Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización

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1 January 8, 04 ( /home/kleinert/kleinert/books/pathiss/pthic7.tex) Mirum, quod divina natura dedit agros. It s wonderful that divine nature has given us fields. Varro, (6 BC 7 BC) 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Normalmente los sistemas físicos reales contienen conjuntos de partículas idénticas, tales como átomos o electrones. Enfocándonos sólo en uno de estos conjuntos, etiquetaremos sus órbitas por x (ν) (t) donde ν =,,3,...,N. El Hamiltoniano de este conjunto de partículas es invariante bajo el grupo de todas las N! permutaciones de los índices orbitales ν. Sus funciones de onda de Schrödinger pueden entonces clasificarse de acuerdo a las representaciones irreducibles del grupo de permutaciones. No todas las representaciones posibles ocurren en la naturaleza. En espacios de más de dos dimensiones, existe una regla de superselección, cuyo origen no se ha explicado aún, la cual elimina todas las representaciones complicadas y permite que se cumplan sólo las dos más simples: las representaciones completamente simétricas y las representaciones completamente antisimétricas. Las partículas con funciones de onda simétricas se llaman bosones. Estas partículas tienen espín con valores enteros. Las partículas con funciones de onda antisimétricas se llaman fermiones, y tienen un espín cuyo valor es un semientero. Las funciones de onda simétricas y antisimétricas dan lugar al característico comportamiento estadístico de los bosones y de los fermiones. Los electrones, por ejemplo, siendo partículas de espín /, aparecen sólo con funciones de onda antisimétricas. La antisimetría es el origen del famoso principio de exclusión de Pauli, el cual exige que una partícula con una orientación definida de espín, tenga acceso a un sólo estado cuántico. Esta es la causa principal de la existencia de la tabla periódica de los elementos, y así de la materia en general. Por otra parte, los átomos en un gas de helio tienen espín cero y se describen por medio de funciones de onda simétricas. Estas funciones de onda pueden acomodar un número infinito de partículas en un sólo estado cuántico, dando lugar al famoso fenómeno de la condensación de Bose-Einstein. En ausencia de interacciones, este fenómeno puede observase en su forma más pura, en donde a temperatura cero todas las partículas De no haber permanecido olvidado por más de medio año, durante 95, en el portafolios de M. Born, entonces editor del Zeitschrift für Physik, un artículo sobre este tema de P. Jordan, estas partículas podrían haber sido llamadas jordanones. Ver las notas bibliográficas de B. Schroer (hep-th/03034). 595

2 596 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización se condensan en el estado base. Para sistemas con interacciones, la estadística de Bose-Einstein puede llevar al sorprendente estado cuántico de la superfluidez. En espacios de más de dos dimensiones la asociación particular de simetría y espín se puede explicar dentro de las teorías cuánticas de campos relativistas, donde está demostrado que esta asociación esta íntimamente ligada con la localidad y la causalidad de la teoría. En dos dimensiones puede haber partículas con un comportamiento estadístico excepcional. Sus propiedades serán discutidas en la Sección 7.5. En el Capítulo 6, tales partículas servirán para explicar el efecto Hall cuántico fraccional. El problema que será resuelto en este capítulo es el cómo incorporar las propiedades estadísticas en una descripción que utiliza la integral de trayectoria de las órbitas de un sistema de muchas partículas. A continuación describimos el formalismo de la segunda cuantización o cuantización de campo en el cual cambiamos la integral de trayectoria de las órbitas de muchas partículas idénticas, en favor de una integral de trayectoria sobre un sólo campo fluctuante, la cual es capaz de tomar en cuenta las propiedades estadísticas en una manera más natural. 7. Órbitas de Ensembles de Partículas de Bose y Fermi En el caso de bosones, la incorporación de las propiedades estadísticas en la integral de trayectoria orbital es bastante fácil. Por el momento, consideremos partículas distinguibles. La amplitud de evolución temporal de un sistema de muchas partículas está dada por la integral de trayectoria (x () b,...,x (N) b ;t b x () a,...,x (N) a ;t a ) = N ν= D D x (ν) ]e ia(n) / h, (7.) donde la acción es de la forma típica A (N) = ] N M (ν) dt ẋ (ν) V(x (ν) ) t a tb ν= N ν ν = V int (x (ν) x (ν ) ), (7.) y donde V(x (ν) ) es un potencial común para todas las partículas cuya interacción es mediante un potencial de pares V int (x (ν) x (ν ) ). Por simplicidad, ignoraremos interacciones que involucren más de dos partículas al mismo tiempo. Si queremos aplicar la integral de trayectoria (7.) a partículas indistinguibles de espín cero simplemente tenemos que añadir, a la suma sobre todas las trayectorias x (ν) (t) cuyas posiciones finales son x (ν) b, la suma de todas aquellas trayectorias cuyas posiciones finales incluyen las permutaciones indistinguibles x (p(ν)) b. Con esto, la amplitud de evolución temporal para n bosones será (x () b,...,x (N) b ;t b x () a,...,x(n) a ;t a )= p(ν) (x (p()) b,...,x (p(n)) b ;t b x () a,...,x(n) a ;t a ), (7.3) donde p(ν) denota las N! permutaciones de los índices ν. Para bosones de espín

3 7. Órbitas de Ensembles de Partículas de Bose y Fermi 597 superior, un procedimiento similar es válido para cada subconjunto de partículas con igual orientación de espín. Una discusión similar se cumple para fermiones. En este caso la función de onda de Schrödinger requiere una antisimetrización completa en las posiciones finales. En forma correspondiente, la amplitud (7.) debe de sumarse sobre todas las posiciones finales permutadas x (p(ν)) b, agregando un signo menos por cada permutación impar p(ν). Así, la integral de trayectoria involucra tanto sumas como restas de las trayectorias. Hasta aquí, el cálculo de la trayectoria de la integración ha sido sólo una suma sobre las trayectorias. Por esta razón será preferible atribuir el signo de las trayectorias a una interacción entre las órbitas, que será llamada la interacción estadística. Esta interacción será deducida en la Sección 7.4. En el tratamiento de la mecánica estadística de sistemas de Bose y Fermi consideraremos la versión de tiempo imaginario de la amplitud (7.3): (x () b,...,x(n) b ; hβ x () a,...,x(n) a ;0)= ǫ p(ν) (x (p()) b,...,x (p(n)) b ; hβ x () a,...,x(n) a ;0), p(ν) (7.4) donde ǫ p(ν) = ± es la paridad de las permutaciones pares e impares p(ν), que serán usadas para Bosones y Fermiones, respectivamente. La traza de la integral espacial nos dará la función de partición de las órbitas de N partículas: Z (N) = N! d D x () d D x (N) (x (),...,x (N) ; hβ x (),...,x (N) ;0). (7.5) El factor /N! tiene en cuenta la indistinguibilidad de las permutaciones finales. Para partículas libres, cada término de la Ec. (7.4) se factoriza como sigue: (x (p()) b,...,x (p(n)) b ; hβ x () a,...,x a (N) ;0) 0 =(x (p()) b hβ x () a 0) 0 (x (p(n)) b hβ x (N) a 0) 0,(7.6) donde cada factor puede representarse como una integral de trayectoria, i.e., x (x (p(ν)) (ν) b hβ x (ν) ( hβ)=x (p(ν)) b a 0) 0 = D D x (ν) exp h hβ dτ M ] x (ν) (0)=x (ν) a 0 ẋ(ν) (τ), (7.7) la cual puede evaluarse usado la versión de tiempo imaginario de la Ec. (.74): (x (p(ν)) b hβ x (ν) a 0) 0 = π h β/m D exp h M x (p(ν)) b x (ν) a hβ ] Por lo tanto, la función de partición puede reescribirse en la forma Z (N) 0 = π h β/m ND N! d D x () d D x (N) N ǫ p(ν) exp p(ν) ν= h M. (7.8) x (p(ν)) x (ν)] hβ. (7.9)

4 598 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Esta expresión, para la función de partición, es el producto de integrales de convolución Gaussianas, el cual puede ser resuelto fácilmente utilizado, en la expresión de la amplitud de evolución temporal(.76) de partículas libres, la Ec.(.75). Lo que cada integral de convolución hace es extender el intervalo temporal en la fluctuación hβ. Debido a la indistinguibilidad de las partículas sólo algunas trayectorias tendrán sus puntos finales conectados con los puntos iniciales, i.e., sólo algunas trayectorias satisfacen condiciones de frontera periódicas en el intervalo (0, hβ). La suma sobre las permutaciones conecta el punto final de algunas trayectorias con el punto inicial de una trayectoria diferente, como se ilustra en la Fig. 7.. Tales trayectorias Figure 7. Trayectorias utilizadas en la función de partición (7.9). Debido a la indistinguibilidad de las partículas, los puntos finales de una trayectoria se pueden conectar a los puntos iniciales de otra. satisfacen condiciones de frontera periódicas sobre un intervalo (0, w hβ), donde w es un número entero. Esto se ve más claramente llevando las trayectorias de la Fig. 7. a un esquema de zona extendida, como se muestra en la Fig. 7., mismo que es reminiscente del gráfico mostrado en la Fig. 6.. También, el esquema de zona extendida se puede colocar en un hipercilindro, como el que se ilustra en el lado derecho de la Fig. 7.. De este modo, todos las trayectorias se descomponen en grupos mutuamente desconectados de trayectorias cerradas rodeando el cilindro, cada una con un número diferente de vueltas w ]. Como ejemplo, una trayectoria conectada que da 3 vueltas alrededor del cilindro D dimensional, contribuye a la función de partición con el factor aquí hemos usado la Fórmula (.75)]: Z (N) 0 3 = π h β/m 3D exp h M d D x () d D x () d D x (3) exp h x () x ()] hβ exp h Si los ciclos tienen longitud w, la contribución es M M x () x (3)] hβ x (3) x ()] = hβ V D π h 3β/M D.(7.0) Z (N)w 0 = Z 0 (wβ), (7.)

5 7. Órbitas de Ensembles de Partículas de Bose y Fermi 599 Figure 7. Representación periódica de las trayectorias utilizadas en la función de partición (7.9), tanto en el esquema de zona extendida, como en el hipercilindro D- dimensional, contenido en el espacio de dimensión D +. Las trayectorias corresponden a las mostradas en la Fig. 7.. En el cilindro tenemos sólo una trayectoria cerrada. En general se observan varias partes desconectadas de las trayectorias cerradas. donde Z 0 (wβ) es la función de partición de un partícula libre en el volumen D dimensional V D, para un intervalo temporal imaginario w hβ: Z 0 (wβ) = V D D. (7.) π h wβ/m En términos de la longitud de onda térmica de debroglie l e ( hβ) π h β/m asociada con la temperatura T = /k B β recordemos la Ec. (.353)], esto se puede escribir como Z 0 (wβ) = V D l D e (w hβ). (7.3) En la Ec. (7.) hay un factor adicional /w, ya que del total de w! vueltas conectadas sólo hay (w )! trayectorias cerradas. En el lenguaje de teoría de grupos, esto corresponde al número de ciclos de longitud w, usualmente denotados por (,,3,...,w), más las (w )! permutaciones de los números,3,...,w. Estas permutaciones están ilustradas en la Fig. 7.3, para w =, 3, 4. En una descomposición de todas las N! permutaciones como el producto de los ciclos, el nuḿero de elementos consistentes de C, C, C 3,... ciclos de longitud,, 3,... contiene M(C,C,...,C N ) = N! Nw= C w!w Cw (7.4) elementos ]. Conociendo estos factores combinatorios, de inmediato podemos escribir la función de partición canónica (7.9) para N bosones o fermiones, como la suma sobre todas órbitas alrededor del cilindro, descomponiendola en ciclos: Z (N) 0 (β) = ǫ p(ν) M(C,...,C N ) N! p(ν) N w= N = Σ wwc w Z0 (wβ) ] C w. (7.5)

6 600 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Figure 7.3 De las w! permutaciones asociadas a las diferentes vueltas alrededor del cilindro, (w )! estarán conectadas. Estas permutaciones están encerradas por cuadros punteados. En la notación de ciclos de los elementos de las permutaciones, estas permutaciones son () para dos elementos, (3), (3) para tres elementos, (34), (43), (34), (34), (43), (43) para cuatro elementos. Los ciclos se muestran en la parte superior de cada gráfica, los ciclos triviales de longitud unitaria se han omitido. Las gráficas están ordenadas de acuerdo al número decreciente de ciclos. La suma puede reordenarse como sigue: Z (N) 0 = N! M(C,...,C N )ǫ w,c,...,cn C,...,C N N = Σ wwc w N w= Z0 (wβ) ] C w. (7.6) La paridad ǫ w,c,...,c n de las permutaciones es igual a (±) Σw(w+)Cw. Con el uso de la Ec. (7.4), la suma (7.6) puede reordenarse aún más, de donde encontramos que Z (N) 0 (β) = = C,...,C N N = Σ wwc w C,...,C N N = Σ wwc w Nw= C w!w Cw (±) Σw(w+)Cw N w= w= Z0 (wβ) ] C w N (±) w Z ] 0(wβ) Cw. (7.7) C w! w Para N = 0, esta fórmula dará la función de partición del vacío Z (0) 0 (β) =, i.e., el estado trivial sin partícula. Para N =, i.e., para una partícula, encontramos

7 7. Órbitas de Ensembles de Partículas de Bose y Fermi 60 Z () 0 (β) = Z 0 (β). A orden superior, Z (N) 0 se puede escribir en forma eficiente si introducimos una temperatura característica T (0) c ] /D π h N, (7.8) k B M V D ζ(d/) donde medimos la temperatura T en unidades de T c (0), y definimos la temperatura reducida t T/T c (0). Luego, reescribimos Z () 0 (β) como t D/ V D. Además, si introducimos la variable dependiente en N ] /D N τ N t, (7.9) ζ(d/) encontramos que Z () 0 = τ D/. Algunos ejemplos de funciones para fermiones y bosones, utilizando valores pequeños de N, son: Z () 0 = ± D/ τ D/ +τ D, Z (3) 0 = ±3 D/ τ D/ 3 + D/ τ3 D ±3 τ 3D/ 3, (7.0) Z (4) 0 = ± D τ D/ 4 +( 3 D +3 D/ )τ D 4 ± D τ 3D/ τ D 4. Dela expresión para Z (N) 0 (β), calculamos el calor específico de un ensemble canónico libre recordemos la Ec. (.60)]: C (N) 0 = T d d logz(n) dtt 0 ] = τ N dτ N τ N logz (N) 0 ], (7.) y lo graficamos en la Fig. 7.4 en función de t para diferentes valores del número de partículas N 3]. En el límite N, las curvas se aproximan a la forma típica de una transición de fase en T = T c (0), la cual será deducida para el ensemble gran canónico en las Ecs. (7.67) y (7.70). Las funciones de partición se pueden calcular fácilmente con ayuda de una relación de recurrencia 4,?], empezando con Z (0) 0 : Z (N) 0 (β) = N N (±) n Z 0 (nβ)z (N n) 0 (β). (7.) n= Esta relación puede demostrarse con ayuda de la función de partición gran canónica, la cual se obtiene formando las sumas sobre todas las funciones de partición canónicas Z (N) 0 (β) con factor de peso z N : Z G0 (β) Z (N) 0 (β)z N. (7.3) N=0 El parámetro z es el factor de Boltzmann de una partícula con el potencial químico µ: z = z(β) e βµ, (7.4)

8 60 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización N = N = 0 C (N) 0 /Nk B T/T 0 (c) Figure 7.4 Gráfica del calor específico de un gas de bosones libres, para N = 0, 0, 50, 00, 500, partículas. Para valores grandes de T, las curvas se aproximan al límite de Dulong-Petit 3k B N/, correspondiente a los tres grados de libertad armónicos del Hamiltoniano clásico p /M. No hay grados de libertad del potencial armónico. y es llamado la fugacidad del ensemble. Utilizando la descomposición en ciclos de la Ec. (7.7), la suma se convierte en N Z G0 (β) = (±) w Z 0(wβ)e wβµ ] Cw. (7.5) C w! w C,...,C N N = Σ wwc w w= El lado derecho puede rearreglarse como sigue Z G0 (β) = (±) w Z 0(wβ)e wβµ ] Cw w=c w=0 C w! w = exp (±) w Z ] 0(wβ) e wβµ. (7.6) w= w De aquí obtenemos la energía libre gran canónica de un conjunto de partículas idénticas sin interacción recordemos la Ec. (.545)] F G (β) β logz G0 (β) = (±) w Z 0(wβ) e wβµ. (7.7) β w= w Este resultado es simplemente la suma de las contribuciones dadas por la Ec. (7.), de las trayectorias conectadas, a la función de partición canónica, la cual dará w =,, 3,... vueltas alrededor del cilindro, 6]. Así, nos encontramos con la misma situación ya observada en la Sección 3.0: la energía libre de cualquier sistema mecánico cuántico se puede obtener a partir de la representación perturbativa de la función de partición, donde conservamos únicamente los diagramas conectados. La función de partición canónica se obtiene de la Ec. (7.7) por medio de las derivadas: Z (N) 0 (β) = N N! z NZ G0(β). (7.8) z=0

9 7. Órbitas de Ensembles de Partículas de Bose y Fermi 603 Con este resultado es fácil obtener la relación de recurrencia de la Ec. (7.). Utilizando la forma explícita dada en la Ec. (7.7), vemos que ( ) z Z G0 = z βf G Z G0. (7.9) Aplicando N veces la derivada, obtenemos N ] ( ) N z N z Z (N )! l+ N l G0 = l=0 l!(n l )! z l+βf G z N l Z G0. Para obtener Z (N) 0 debemos de dividir esta ecuación por N! y evaluar las derivadas en z = 0. De la Ec. (7.7) vemos que la l+-ésima derivada de la energía libre gran canónica es l+ = (±) l l!z 0 ((l+)β). (7.30) z=0 Así, obtenemos N! N z NZ G0 = z=0 N z l+βf G N l=0 (±) l Z 0 ((l+)β) (N l )! N l z N l Z G0. z=0 Sustituyendo aquí la Ec. (7.8) y reemplazando l n, obtenemos directamente la relación de recurrención (7.). La energía libre gran canónica (7.7) se puede simplificar usando la propiedad de la función de partición de partícula libre (7.) Z 0 (wβ) = Z 0 (β) wd/, (7.3) con lo cual eliminanos el factor / w D de Z 0 (wβ). Con esto la Ec. (7.7), tendrá la forma F G = β Z w ewβµ 0(β) (±) wd/+. (7.3) w= El número promedio de partículas se encuentra de las derivadas son respecto al potencial químico N = µ F G = Z 0 (β) (±) w ewβµ w= wd/. (7.33) Las sumas sobre w convergen lo mismo para potenciales químicos µ negativos como nulos, i.e., para fugacidades menores que la unidad. En la Sección 7.3 veremos que para fermiones, la convergencia se extiende también para valores positivos de µ. En los ensembles gran canónico, normalmente tratamos con el número medio de partículas N, por lo cual se escribe la etiqueta N en todas las ecuaciones termodinámicas recordemos la Ec. (.55)]. Esto no debe dar origen a ninguna confusión.

10 604 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Si las partículas tienen espín S diferente de cero, las expresiones anteriores tienen un factor de multiplicidad g S = S +, el cual es igual a para los electrones. En lo que sigue estudiaremos en detalle la energía libre gran canónica dada por la Ec. (7.3), de donde obtendremos propiedades importantes de las órbitas de un sistema que contiene un gran número de bosones y fermiones, a saber, la capacidad de los primeros de experimentar la condensación de Bose-Einstein y, para los últimos, la capacidad de formar una esfera de Fermi en el espacio del momentum. 7. Condensación de Bose-Einstein A continuación discutiremos el fenómeno observable más interesante de un sistema que contiene un gran número de bosones, el proceso de condensación de Bose- Einstein. 7.. Gas Libre de Bose Para bosones, las funciones termodinámicas de las Ecs. (7.3) y (7.33) contienen las funciones ζ ν (z) w= z w wν. (7.34) Las cuales, para valores pequeños de z son proporcionales a z, y para z tienden a ζ(ν), donde ζ(z) es la función zeta de Riemann (.5). En la literatura matemática 7], las funciones ζ ν (z) son llamadas funciones Polilogarítmicas, y se denotan por Li ν (z). Estas funciones están relacionadas con la función zeta de Hurwitz, ζ(ν,a,z) w=0 z w /(w +a) ν, mediante la expresión ζ ν (z) = zζ(ν,,z). Las funciones φ(z,ν,a) = ζ(ν,a,z) también son conocidas como funciones de Lerch. En términos de las funciones ζ ν (z) y la forma explícita de la función de partición Z 0 (β), dada por la Ec. (7.), a partir de las Ecs. (7.3) y (7.33) podemos escribir F G y N como F G = β Z 0(β)ζ D/+ (z) = β le D( hβ)ζ D/+(z), (7.35) V D N = Z 0 (β)ζ D/ (z) = le D( hβ)ζ D/(z). (7.36) El rango más interesante, donde queremos conocer las funciones ζ ν (z), es para valores pequeños y negativos del potencial químico µ. Para estos valores la convergencia es muy lenta y es útil encontrar una representación donde la convergancia sea más rápida. Como se hizo en la Subsección.5.6, reescribimos la suma para z = e βµ, sobre los valores de w, como una integral más la diferencia entre una suma y una integral ( ζ ν (e βµ ) dw ewβµ ) e wβµ + dw 0 w ν w= 0 w. (7.37) ν V D

11 7. Condensación de Bose-Einstein 605 La integral puede evaluarse fácilmente y hallamos el valor Γ( ν)( βµ) ν, y lo que resta se puede representar en una serie de potencias de µ, y obtenemos la serie de Robinson (.58): ζ ν (e βµ ) = Γ( ν)( βµ) ν + Existe una representación integral útil de las funciones ζ ν (z): donde i ν (α) representa la integral k=0 k! (βµ)k ζ(ν k). (7.38) ζ ν (z) Γ(ν) i ν(βµ), (7.39) i ν (α) 0 ε ν que contiene la función de distribución de Bose (3.93): n b ε = dε e ε α, (7.40) e ε α. (7.4) De hecho, representando el denominador del integrando en una serie de potencias e ε α = w= e wε e wα, (7.4) y realizando las integrales en ε, obtenemos directamente las series de la Ec. (7.34). Es instructivo expresar la energía libre gran canónica F G en términos de las funciones i ν (α). Combinando la Ec. (7.35) con las Ecs. (7.39) y (7.40), obtenemos F G = β Z 0(β) i D/+(βµ) Γ(D/+) = βγ(d/+) V D π h β/m D 0 dε ε D/ e ε βµ. (7.43) La integral se puede escribir en otra forma mediante integración parcial, usando el hecho de que e ε βµ = ε log( e ε+βµ ). (7.44) Los términos de frontera se anulan e inmediatamente encontramos: V D F G = βγ(d/) π h β/m D 0 dεε D/ log( e ε+βµ ). (7.45) Obviamente, esta expresión es igual a la suma sobre los momenta de las funciones de partición de osciladores con energía hω p p /M, evaluados en el límite termodinámico N, donde usamos una densidad de partículas fija N/V, y donde los estados del momentum forman un continuo: F G = log( e β hωp+βµ ). (7.46) β p

12 606 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Es fácil constatar la válidez de esta expresión, reescribiendo la suma como una integral con ayuda de la fórmula (.558), para la superficie de la esfera unitaria en D dimensiones, y hacemos un cambio de variable a la energía reducida de la partícula ε = βp /M p V D = d D p (π h) = V DS D D (π h) D V D Γ(D/) π h β/m D 0 dpp D (M/β) D/ = V D S D (π h) D dεε D/ dεε D/. (7.47) Otra forma de expresar este límite es dεn ε, (7.48) p 0 donde N ε es la densidad de estados reducida por unidad de energía: N ε V D Γ(D/) π h β/m D εd/. (7.49) La energía libre del oscilador (7.46) difiere de la expresión usual del oscilador armónico, Ec. (.485), por la falta de la energía del estado base hω p /. El origen de esta diferencia será explicado en las Secciones 7.7 y 7.4. El número de partículas correspondiente a las representaciones integrales (7.45) y (7.46) es N = µ F G = V D Γ(D/) π h β/m D 0 dε εd/ e ε βµ p e β hωp βµ. (7.50) Para un número de partículas dado N, la Ec. (7.36) nos permite calcular la fugacidad como función del inverso de la temperatura, z(β), y de ésta el potencial químico µ(β) = β logz(β). Esto se hace en forma más simple resolviendo en la Ec. (7.36) la expresión para β en función de z, e invirtiendo la función resultante β(z). Las funciones ζ ν (z) se muestran en la Fig Habrá una solución z(β), sólo si el número total de partículas N es menor que la función característica definida por el lado derecho de la Ec. (7.36) para una fugacidad unitaria z(β) =, o un potencial químico nulo µ = 0: N < V D ζ(d/). (7.5) le D ( hβ) Ya que l e ( hβ) decrece cuando aumenta la temperatura, la condición anterior se cumple para T suficientemente grande. Para temperaturas decrecientes, la solución existe sólo en tanto la tempertura es mayor que la temperatura crítica T c = /k B β c, determinada por N = V D ζ(d/). (7.5) le D ( hβ c )

13 7. Condensación de Bose-Einstein ζ 5/ (z)/ζ(5/) ζ 3/ (z)/ζ(3/) z Figure 7.5 Representación gráfica de las funciones ζ ν (z) para ν = 3/ y 5/. Estas funciones aparecen en la termodinámica de Bose-Einstein. Esto determina la densidad crítica de los átomos. La longitud de de Broglie, en términos de la cual expresamos la temperatura crítica, aparecerá con tanta frecuencia que la abreviaremos como l c : l e ( hβ c ) = l c N V D ζ(d/) ] /D. (7.53) La densidad crítica se alcanza a la temperatura característica T c (0), introducida en la Ec. (7.8). Nótese que para un sistema bidimensional, la Ec. (7.8) tiene T c (0) = 0, debido a que ζ() =, lo cual implica que no existe el condensado. Sin embargo, se observan señales interesantes en la vecindad de la transición. De hecho, hasta ahora hemos ignorado la interacción entre átomos, misma que generalmente es repulsiva. Esta interacción dará lugar a un tipo especial de transición de fase llamada transición de Kosterlitz-Thouless. Para una discusión de esta transición ver los textos de la Ref. 8]. Combinado la Ec. (7.8) con la Ec. (7.36) obtenemos una ecuación para z en función de la temperatura, para valores superiores a T c : ( ) T D/ ζ D/ (z(t)) =, T > T c. (7.54) Tc ζ(d/) Esto puede resolverse fácilmente calculando T/T c como función de z = e βµ. Dado que para valores pequeños de z, todas las funciones η ν (z) tienen una dependencia lineal en z, el comportamiento de alta temperatura de z será z ζ(d/)(t c /T) D/ Si la temperatura es menor que T c, el sistema no podrá acomodar todas las partículas N en un estado normal. Una cierta fracción de estas partículas, por ejemplo N cond (T), son forzadas a condensarse en el estado base de momentum cero, formando el llamado condensado de Bose-Einstein. El condensado actúa como un contenedor de partículas con potencial químico cero. Ambas fases se pueden describir por un sola ecuación, la ecuación para el número total de partículas normales, i.e., aquellas partículas que están fuera del condensado: N n (T) = V D l D e ( hβ) ζ D/(z(β)). (7.55)

14 608 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Para T > T c, todas las partículas están en el estado normal y la relación entre µ y la temperatura se encuentra de la ecuación N n (T) = N, de donde la Ec. (7.55) se reduce a la Ec. (7.36). Sin embargo, para T < T c, el potencial químico se anula de tal manera que z = y la Ec. (7.55) se reduce a N n (T) = V D l D e ( hβ)ζ D/(), (7.56) de donde hallamos el número de partículas en el estado normal en función de la temperatura: ( ) N n (T) T D/ N =, T < T c. (7.57) T c Por lo tanto, la densidad de partículas en el estado condensado será N cond (T) N = N ( ) n(t) T D/ N =. (7.58) T c Ahora, encontramos que la energía interna está dada por E = F G +TS +µn = F G T T F G +µn = β (βf G )+µn, (7.59) de acuerdo con la relación general de la termodinámica, Ec. (.553). Si expresamos N como F G / µ, entonces podemos escribir E = F G +(β β µ µ )F G. (7.60) Utilizando la Ec. (7.35) vemos que sólo la derivada del prefactor con respecto a β es distinta de cero, ya que el efecto de aplicar el operador (β β µ µ ) a cualquier función de z = e βµ da como resultado una contribución nula. Así obtenemos luego, junto con las Ecs. (7.35) y (7.36), obtenemos: E = D F G, (7.6) E = D β Z 0(β)ζ D/+ (z) = D ζ D/+ (z) ζ D/ (z) Nk BT. (7.6) La entropía se encuentra usando la relación termodinámica (.574): o más explícitamente, S = T (E µn F G) = T ] D + S = k B Z 0 (β)ζ D/+ (z) βµn = k B N ( D + D+ ) F G µn, (7.63) ζ D/+ (z) ζ D/ (z) βµ ]. (7.64)

15 7. Condensación de Bose-Einstein 609 Para T < T c, la entropía está dada por (7.64), donde µ = 0, z = y N se reemplaza por el número N n de partículas en el estado normal de la Ec. (7.57): ( ) T D/ (D +) S < = k B N Tc ζ D/+ () ζ D/ (), T < T c. (7.65) Las partículas en el estado condensado no contribuyen ya que están en un estado único. Tampoco contribuyen a E y F G ya que tienen energía cero y µ = 0. Similarmente, de la Ec. (7.6), encontramos que: E < = D ( ) T D/ Nk ζ D/+ () BT Tc ζ D/ () = D D + TS <, T < T c. (7.66) Utilizando la expresión(7.65), el calor específico C a volumen constante, en unidades de k B, para T < T c y con la relación C = T T S N, será recordemos la Ec. (.60)]: ( ) T D/ (D +)D C = k B N Tc 4 ζ D/+ () ζ D/ (), T < T c. (7.67) Para T > T c y para un N fijo, el potencial químico satisface la ecuación β β (βµ) = D ζ D/ (z) ζ D/ (z). (7.68) Esto se obtiene directamente de la cancelación de la derivada β β N = 0, producto del hecho de que el número de partículas N es fijo. Aplicando la derivada a la Ec. (7.36) y usando la relación z z ζ ν (z) = ζ ν (z), así como también usando el hecho de que β β f(z) = z z f(z)β β (βµ), obtenemos β β N = β β Z 0 (β)]ζ D/ (z)+z 0 (β)β β ζ D/ (z) = D Z 0(β)ζ D/ (z)+z 0 (β)ζ D/ (z)β β (βµ)=0, (7.69) con lo cual demostramos la Ec. (7.68). El calor específico C, a volumen constante, en unidades de k B, se encuentra por medio de la derivada C = T T S N = β β E N, usando una vez más la Ec. (7.68), obtenemos: C = k B N (D +)D 4 ζ D/+ (z) ζ D/ (z) D 4 ] ζ D/ (z), T > T c. (7.70) ζ D/ (z) A altas temperaturas, C tiende al límite de Dulong-Petit Dk B N/, ya que para valores pequeños de z, la función ζ ν (z) se comporta como z. Consideremos ahora el caso físico donde D = 3, en este caso el segundo denominador de la Ec. (7.70) contiene la función ζ / (z). A medida que, para valores mayores que T C, la temperatura se acerca al punto crítico, z tiende a la unidad, y

16 60 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización ζ / (z) diverge. Así, /ζ / () = 0 y el segundo término en (7.70) no cotribuye, de donde obtenemos un máximo en tres dimensiones C max = k B N 5 4 ζ 5/ () ζ 3/ () k BN (7.7) Este valor es el mismo que el valor crítico de la Ec. (7.67) para valores menores a T c. Por lo tanto, el calor específico es continuo en T c. Sin embargo, exhibe una discontinuidad notable. Para calcular la discontinuidad en la pendiente, calcularemos el comportamiento de las cantidades termodinámicas para T > T c. A medida que, para valores menores a T c, T pasa por T c, el potencial químico empieza a tomar valores menores a cero, y podemos usar la serie de potencias de la Ec. (7.54) ( T 3/ = + Tc) ζ ] 3/(z), (7.7) ζ 3/ () donde el símbolo aplicado a alguna cantidad, indica que se le ha quitado su valor de potencial químico cero. Para valores de T cercanos a T c, podemos usar la aproximación ( ) T 3/ ζ 3/(z) Tc ζ 3/ (). (7.73) Si ahora, utilizamos la serie de Robinson (7.38) para aproximar la función ζ 3/ (z) para valores pequeños y negativos de µ: ζ 3/ (e βµ )=Γ( /)( βµ) / +ζ(3/)+βµζ(/)+..., (7.74) donde Γ( /) = π. Con esto, el lado derecho de la Ec. (7.73) será ζ 3/ (z)/ζ 3/ () = π/ζ(3/)( βµ) /. Sustituyendo este valor en la Ec. (7.73), obtenemos la dependencia en la temperatura de µ para T > T c : µ (T ) 3/ ] 4π k BT c ζ (3/). (7.75) El término dominante en la Ec. (7.74), la raíz cuadrada, también puede obtenerse de la representación integral (7.40), misma que tiene su principal contribución de los valores pequeños de α 0, de donde i 3/ (α) puede aproximarse usando la expresión i 3/ (α)= 0 ( dzz / e z α ) e z T c α 0 dz z / (z α) = π α. (7.76) Usando la relación (7.6) para D = 3, podemos calcular la derivada de la energía con respecto al potencial químico E = 3 µ T,V F G µ. (7.77) T,V

17 7. Condensación de Bose-Einstein 6 Esto nos permite encontrar la energía interna para valores de T por arriba de la temperatura crítica T c, donde µ es pequeño, en la forma E E < + 3 Nµ = E < 3 (T ) 3/ ] 8π Nk BT c ζ (3/). (7.78) T c De la derivada de esta cantidad con respecto a la temperatura encontramos que la pendiente del calor específico, para valores superiores e inferiores a T c, tiene una discontinuidad en ( ) C 7 T 6π ζ (3/)N k B N k B, (7.79) T c T c donde, de la Ec. (7.66) y usando D = 3, cada una de las pendientes serán (aquí, hemos usado C/ T = E/ T ): y de la Ec. (7.78): ( ) C< = 5 T 4 ( ) C> = T 3ζ(5/) ζ(3/) ( ) C< T Nk B T c.8885 Nk B T c, T < T c, (7.80) ( ) C Nk B, T > T c. (7.8) T T c El calor específico del gas tri-dimensional de Bose está graficado en la Fig. 7.6, donde se le compara con el calor específico del helio superfluido, utilizando los parámetros atómicos apropiados n =. nm 3, M = kg, y donde la temperatura crítica es T c 3.45K, la cual es algo mayor que la temperatura crítica del helio, T c.7 K. Existen dos grandes desacuerdos en la descripción precedente debido a las interacciones fuertes en el helio. Primero, el comportamiento para valores pequeños de T es (T/T c ) 3/, en lugar del conocido comportamiento (T/T c ) 3 esperado para fonones. Segundo, el límite de Dulong Petit de un sistema en interacción es más cercano al caso de osciladores armónicos, el cual es dos veces mayor que el de partículas libres. Recuerdese que de acuerdo a la ley de Dulong Petit (.603), C tiene una contribución de Nk B T/ por grado de libertad armónico, ya sea este potencial o cinético. La energía de una partícula libre es armónica sólo en el momentum. La condensación de Bose Einstein para un gas diluido, en la descripción simple dadaarriba, fueobservada en9959]. Esto sehizo enfriando átomosde 87 Rbenuna trampa magnética a una temperatura inferior a los 70 nk, donde se observó que alrededor de átomos formaron el condensado, una especie de superátomo. Recientemente, estos condensados se han puesto en rotación y se ha mostrado que son perforados por líneas de vórtices 0], tal como sucede con el helio superfluido II.

18 6 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización Figure 7.6 Calor específico de un gas de Bose, cuya transición de fase es en T c. Por comparación también se ha graficado el calor específico del helio superfluido, utilizando los mismos parámetros atómicos. La curva experimental se ha reducido en un factor, a fin de que tenga el mismo límite de Dulong-Petit de bosones libres. 7.. Gas de Bose en una Caja Finita Para entender mejor el proceso de condensación, consideremos un sistema con un número muy grande, pero finito, de bosones contenidos en una caja cúbica, cuyos lados L son lo suficientemente grandes para albergar nuestro sistema de bosones. Luego, la suma en el lado derecho de la Ec. (7.50) dará la contribución de los estados de momentum discreto al número total de partículas. Esto implica que la función ζ D/ (z) en la Ec. (7.36) ha de ser reemplazada por la función ζd/ box (z), definida por la suma sobre los vectores de momentum discreto p n = hπ(n,n,...,n D )/L, donde n i =,,3,...: N = V D l D e ( hβ) ζbox D/ (z) = p n e βp n /M βµ. (7.8) Esto puede expresarse en términos de la función de partición auxiliar unidimensional de una partícula en un caja unidimensional: Z (b) e bn /, b β h π /ML = πle ( hβ)/l, (7.83) como n= N = V D l D/(z) = e D( hβ)ζbox w La función Z (b) está relacionada con la función elíptica theta Z D (wb)z w. (7.84) ϑ 3 (u,z) + z n cosν (7.85) n=

19 7. Condensación de Bose-Einstein 63 a través de Z (b) = ϑ 3 (0,e b/ ) ]/. El comportamiento para valores pequeños de b de esta función puede hallarse fácilmente siguiendo la técnica de la Subsección.5.6. Reescribimos la suma con la ayuda de la fórmula de suma de Poisson (.05), como una suma sobre las integrales ϑ 3 (0,e b/ ) = = k= ( π b e k b/ = + dke k b/+πikm m= ) e π m /b m=. (7.86) Así, hasta pequeñas correcciones exponenciales, podemos reemplazar ϑ 3 (0,e b/ ) por π/b, y de esta manera para valores pequeños de b (i.e., valores grandes de L/ β), tenemos: Z (b) = π b +O(e π /b ). (7.87) Para valores grandes de b, Z (b) decae en forma exponencial a cero. En la suma (7.8), el nivel de menor energía, donde p,..., = hπ(,...,)/l, juega un papel especial. Su contribución al número total de partículas es el número de partículas en el estado condensado: N cond (T) = e Db/ βµ = z D z D, z D e βµ Db/. (7.88) Este número diverge para z D, donde la función de la caja ζd/ box (z) tiene un polo en /(Db/ βµ). Este polo evita que al resolver la Ec. (7.8), para el número de partículas en la caja, βµ sea exactamente igual a Db/. En un sistema finito pero con un gran número de partículas y para valores cercanos a T = 0, casí todas las partículas estarán en el estado condensado, de tal manera que Db/ βµ será muy pequeño, del orden de /N, pero no cero. El límite termodinámico se puede hallar fácilmente definiendo una función regularizada ζ box D/ (z), en la cual omitimos el término singular en la suma (7.8). Definamos el número de partículas en el estado normal, como aquellas que no han condensado hacia el estado de momentum cero, por la relación N n (T) = N N cond (T). Entonces podemos reescribir la Ec. (7.8) como una ecuación para el número de partículas en el estado normal explícitamente tendremos N n (T) = V D box le ( hβ) ζ D/(z(β)), (7.89) D N n (T) = S D (z D ) Z D (wb)ewdb/ ]zd w. (7.90) w= Un posible punto crítico se puede determinar utilizando z D = e igualando el número de partículas resultante N n, con el número total de partículas N. Si N es

20 64 7 Órbitas de Muchas Partículas Estadística y Segunda Cuantización suficientemente grande, sólo necesitaremos el límite de S D () para valores pequeños de b, mismo que será calculado en el Appendix 7A ver la Ec. (7A.)], de manera tal que la temperatura asociada T c () estará determinada por la ecuación N = π b c 3 ζ(3/)+ 3π logc 4b () 3 b c +..., (7.9) c donde C En el límite termodinámico, la temperatura crítica T c (0) obtiene ignorando el segundo término, de donde obtenemos se π N = b (0) c 3 ζ(3/), (7.9) en total acuerdo con la Ec. (7.5), donde hemos de utilizar el valor de b hallado en la Ec. (7.83). Con esta expresión reescribimos la Ec. (7.9) como ( ) T () 3/ c + 3 T c (0) N π b (0) c logc 3 b (0) c. (7.93) Utilizando la Ec. (7.9) podemos expresar a b (0) c en términos de N, lo cual implica que δt () c T (0) c N /3 log ζ /3 (3/)N/3 πc 3 ζ /3 (3/). (7.94) La temperatura T c () no es fácil de medir experimentalmente, pero lo que si podemos hacer es hallar el lugar donde la densidad del estado condensado tiene su curvatura máxima, i.e., donde d 3 N cond /dt 3 = 0. La temperatura asociada Tc exp es mayor, por el factor + O(/N), que T c (). Sin embargo, esto no modifica la corrección a orden /N /3 del término dominante. La demostración será dada en el Appendix 7B Efecto de las Interacciones El Helio superfluido tiene una temperatura de transición más baja que la del gas ideal de Bose. Esto es de esperarse ya que la repulsión átomica impide el proceso de condensación de los átomos en el estado de momentum cero. De hecho un cálculo perturbativo simple, utilizando un potencial cuya transformada de Fourier para valores pequeños del momenta se comporte como Ṽ(k) = g r effk /6+... ], (7.95) tendrá un cambio negativo T c T c T (0) c, proporcional a la densidad de partículas ]: T c T (0) c = 3 h Mr effg N V, (7.96)

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