Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

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1 Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio : Hallar el área A limitada por la parábola y = x y el eje X. Solución: Hallamos los puntos de intersección de la curva con el eje X, recordemos que el eje X corresponde a la recta y = se sigue que y = x y = fx= x tiene soluciones x = ±, note además que f x = x en [, ] de donde obtenemos ver figura A = x dx = x dx = Figura Ejercicio : Hallar el área de la región encerrada por las curvas y = x x y y = x Figura Solución: Graficamos ambas funciones. Busquemos los puntos de intersección de ambas gráficas, es decir, resolvamos el sistema y = x x y = x esto nos lleva a la ecuación x = x x la que tiene por solución x =, x =. Note que en x = la ecuación y = x x da y = y y = x entrega y =, por continuidad se sigue que x x x en [, ] así podemos calcular el área x x x dx = x x x dx = MAT N. C. F./A. A. M.

2 Ejercicio : Hallar el área encerrada por la gráfica de las curva y = x x +, el eje X, y las rectas x = y x = 5. Solución: Notemos que x x + tiene por gráfica una parábola, además x x + = x 6 x + 6 = 6 se sigue que x x + entre las raíces, en particular, en el intervalo [, 5] es negativa. El área buscada es entonces 5 x x + 5 = x x + dx = 5 6 Figura Ejercicio : Hallar el área A encerrada por las curvas y = sin x, y = cos x entre las rectas x = y x = π..5 Solución: Buscamos las intersecciones de las curvas y = sin x, y = cos x en el intervalo [, π], esto nos lleva a buscar las soluciones de sin x = cos x, así x = π/. En [ ], π cos x sin x y en [ π, π] se cumple sin x cos x así π sin x cos x dx = = π/ π + π/ cos x sin x dx + sin x cos x dx + = Figura Ejercicio 5: Hallar el área encerrada entre las curvas y = x y y = x + x x Solución: Buscamos los puntos de intersección de las curvas, es decir, resolvemos el sistema entonces y = x y = x + x x x + x x = x x + x x = x x x + = se sigue que las curvas intersectan en x =, x =, x =, además de forma analítica podemos determinar cual de las curvas se encuentra arriba y en que intervalo.5 Figura 5 MAT N. C. F./A. A. M.

3 En efecto luego utilizando la tabla x + x x x x x x + x x + + x x x x obtenemos que en el intervalo [, ] se cumple si y solo si x [, ], así x + x x x x + x x dx = + x x + x x x = = 7 96 dx x + x x Ejercicio 6: Encontrar el área encerrada por las curvas y = x y y = x. Solución: Buscamos las intersecciones de las curvas, es decir, resolvemos el sistema y = x y = x x dx en este caso es más conveniente resolver para y, se sigue de estas ecuaciones que y = y + que tiene soluciones y =, y = 5, valores que corresponden a x = y x = 5 9 respectivamente. Los gráfico de estas curvas corresponden a una parábola y una recta pero la parábola tiene directriz perpendicular al eje X, es más conveniente mirar el problema como si el eje Y fuera el eje X, nos queda A = y + y dy 5/ y + = y dy = 6 5/ Figura 6 El problema también puede ser visto desde el eje X, la parábola y = x entrega dos funciones y = x y = x MAT N. C. F./A. A. M.

4 se sigue que podemos calcular el área como 5/9 x x dx + x x dx vea la figura 6 así 5/ = 6 Ejercicio 7: Hallar el área encerrada por el eje X y las curvas y = arcsin x, y = arccos x. Solución: Notemos que y = arcsin x, y = arccos x están definidas para x [, ] además y = [ arcsin x sin y = x con y π, π ] y = arccos x cos y = x con y [, π] estas curvas intersectan en y = π, podemos mirar el problema de una manera más conveniente desde el eje Y, en tal caso el área queda π/ cos y sin y dy =.5 Figura 7 mirando el problema desde el eje X el cálculo del área es = / = arcsin x dx + / arccos x dx π + + π Ejercicio : Considere los puntos A =, y B =, sobre la parábola y = x y los puntos C =, s y D =, r tales que el segmento CD es tangente a la parábola y paralelo a AB. Hallar el área encerrada por los segmentos AD, DC, CB y la parábola. Solución: Basta encontrar la recta que contiene el segmento CD, la ecuación tendrá la forma y = mx + n note que al ser paralela a la recta que contiene AB debe tener pendiente m = = esto nos permite además encontrar el punto de tangencia x = x se sigue x = = x = MAT N. C. F./A. A. M.

5 al estar sobre la parábola se tiene que el punto de tangencia es, y como el punto esta sobre la recta se sigue: se sigue que la recta es = + n = n = y = x de donde obtenemos finalmente que el área buscada es x x dx = 9 Figura Ejercicio 9: Hallar el área encerrada por las curvas xy = 9 x + y = 6 Solución: Como consideramos la curva x + y =, estamos asumiendo x, y. De la curva x + y = obtenemos y = x busquemos el punto de intersección de las curvas de la primera obtenemos x + y = 6 x + y + xy = 6 x + y + 6 = 6 6 Figura 9 se sigue x + y = luego tenemos el sistema xy = 9 x + y = multiplicando la segunda por x se sigue x + xy = x y xy = 9 entonces x x + 9 = = x = x = 9 MAT 5 N. C. F./A. A. M.

6 los puntos de intersección son, 9 y 9,. Se sigue que el área es 9 9 x dx = x ln Ejercicio : Hallar el área encerrada por la astroide x / + y / =.5 Solución: Por la alta simetría del problemasimetría respecto al eje Y, al eje X y al origen basta calcular el área encerrada en el primer cuadrante, note que y / = x / se sigue y = x / / Figura y x [, ] entonces sustitución trigonométrica x = sin t A = x / / dx = π Ejercicio : Encontrar el área encerrada por la curva cerrada y = x x. Solución: Note que y entonces x x x x esto es x [, ]. De la ecuación obtenemos las funciones y = x x y = ± x x = ± x x Figura se sigue que el área esta dada por = = x x x x dx x x dx x x = MAT 6 N. C. F./A. A. M.

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