1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

Transcripción

1 . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El área A será A = d = ] = 4 8 = 4. Hallar el área de la región limitada por la gráfica de y = sen y el eje OX en, π]. El área A será A = π π sen d sen d = cos ] π cos ]π π = 4 π. Hallar el área limitada por las gráficas de = y e y = +. Calculemos los puntos de intersección de las gráficas. Se tiene = = z + z = para z =

2 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS Resulta z = ±. Como z = debe ser positivo, se tiene z = + + y, entonces, = ± = ±a. El área A será A = a a + d = arc tg ] a a ] a a =, Hallar el área limitada por las gráficas de y = sen e y = cos en π/4, 5π/4]. Calculemos los puntos de corte de las gráficas de las dos funciones en el intervalo π/4, 5π/4]. Como sen = cos para = π/4 ó = 5π/4, las gráficas se cortan en los etremos del intervalo. Tendremos que el área es A = 5π/4 π/4 sen cos d = cos sen ] 5π/4 π/4 = 4 = 5. Hallar el área limitada por las gráficas y = y y = +. Escribiendo las ecuaciones con la en función de la y, se tiene = y, que es una recta, y = y, que es una parábola tumbada sobre

3 el eje OX. Si integramos con respecto a la y, debemos encontrar los valores de la y donde se cortan las gráficas. Estos valores son aquellos que cumplen y = y y + y = y = ± 4 = { El área será A = ( y ) (y )dy = ] y y + y = 6. Calcular el área encerrada por la elipse de ecuación a + y b =. Se tiene = a cos t, y = b sen t. La elipse está centrada en el origen y su gráfica es del siguiente tipo: b A a con área igual a 4A. Cuando (, y) = (, b), entonces cos t =, esto es, t = π/. De igual manera, cuando (, y) = (a, ), entonces cos t =, esto es, t =. El área buscada es 4A = 4 a f() d = 4 b sen t( a sen t) dt = π/ = 4 ab sen t dt = 4ab sen t dt = π/ π/ cos t = 4ab dt = ab t ] π/ sen t = πab π/

4 4 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS 7. Calcular el volumen del sólido de revolución que genera la elipse 4 + 9y = 6 al girar sobre el eje OX. ) Se tiene a =, b =. y 6 4 = = 4 (. 9 9 Entonces V = π (f()) d = π 4 ) ( d = 4π 9 ] = 6π 7 8. Calcular la longitud del arco y = ln( ) desde = /4 hasta = /4. Se tiene L f = b a /4 + (f ()) d = + 4 ( ) d = /4 = /4 / /4 + ( ) d = /4 d = Descomponiendo en fracciones parciales, sustituyendo de nuevo en la integral, /4 /4 ( + ) d = + +, y L f = /4 /4 /4 d+ /4 d = + ln + ] /4 /4 = ln ( ) 5

5 5 9. Calcular la longitud de la curva = a cos θ, y = a sen θ. Se tiene + y = a, de modo que estamos ante una circunferencia de centro y radio a. L f = t t ( (t)) + (y (t)) dt = = π π a dθ = aθ] π = πa a sen θ + a cos θ dθ =. Calcular el área de la superficie de revolución obtenida al hacer girar la curva y = sobre el eje OX, desde = hasta =. Tenemos S = π b a f() + (f ()) d = π + 4 d = = π d = π 9 ( + 4 ) /] = π 9 (8 8 ). Estudiar el carácter de las siguientes integrales impropias: a) d ( ) La función f() = ( ) es continua en todo el intervalo D = (, ]. Además, f() > para todo D. La integral es impropia de primera especie y converge, ya que d ( ) = lím a a d ( ) = lím a ] = lím a a = 6 ( ) ] a =

6 6 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS b) d (ln ) La función f() = (ln ) es continua en todo el intervalo D =, ). Además, lím f() =, con lo que hay una asíntota horizontal de ecuación y =. La integral es de primera especie y converge, ya que d b (ln ) = lím d b (ln ) = lím ] b = b ln = lím b ln b + ] = ln ln c) + d La función f() = es continua en todo el intervalo (, ), + luego la integral será de primera especie. Además, se tiene que lím ± f() = ±, de modo que hay dos asíntotas horizontales de ecuaciones y = e y =, lo cual nos indica que la integral será divergente. En efecto, + d = + d++ + d = I +I

7 7 Estudiemos la convergencia de I. I = + d = lím a a + d = = lím ( + ) /] = lím (a + ) /] = a a a De modo que I es divergente y, por tanto, también lo es la integral del enunciado. d) ( )e d Observemos que f() = ( )e es continua en toda la recta real (integral de primera especie), con lím f() = y lím f() =, de modo que la integral va a ser divergente. En efecto, integrando por partes, ( )e d = e e d = = e e + ] e d = e De manera que ( )e d = ( )e d+ Estudiemos la convergencia de I : ( )e d = I +I I = ( )e d = lím a e ] a = lím a ae a = Como I no converge, tampoco lo hace la integral del enunciado.

8 8 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS e) ( ) / d La función f() = ( ) / tiene, en el intervalo, ], un dominio D = (, ] \ {}, ya que en los puntos {±} hay dos asíntotas verticales al anularse el denominador (obsérvese la gráfica). La función f() será continua en D. Tenemos una integral impropia de segunda especie. Como ( d = ) / ( d + ) / + ( ) / d = I + I + I ( ) / = ( ) / + C, entonces ( d+ ) / I = lím a + a ( d = lím ( ) /] ) / a + = a b I = lím b ( d = lím ( ) /] b ) / b = I = lím a + a ( d = lím ( ) /] ) / a + = a Así, d = I ( ) / +I +I = es convergente., de modo que la integral f) / d La función f() = / tiene una asíntota vertical en = y es continua en su dominio, que será D =, ] \ {}.

9 9 Tenemos una integral de segunda especie con / d = / d + Como / d = / + C, resulta I = lím /] b = b / d = I + I I = lím /] = a + a De modo que la integral es convergente y / d = ( +). g) 4 d El integrando tiene una asíntota vertical en =. La integral es de segunda especie. 4 d = 4 d + 4 d = I + I Tenemos 4 d = + C. Veamos la convergencia de I. I = lím ] b ( b = lím b b ) = 7 Como I diverge, la intregral del enunciado también lo hace.

10 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS h) + d La función f() = + = (+)( ) tiene dos asíntotas verticales, aunque en el intervalo, ] sólo se tiene =. La integral es de segunda especie. + d = Se tiene De manera que + d+ + d = + d = ( / = + + / ) d = ln + I = lím ln b + ] b + d = I +I = Como I diverge, también lo hace la integral del enunciado. i) e +e d La función f() = La integral es de primera especie. e es continua en todo el intervalo (, ). +e

11 Además, e +e d = arc tg e + C, de modo que e d = + e e d + + e e + e d = I + I Por simetría de f() tendremos que I = I. Estudiemos la convergencia de I. I = lím a arc tg e ] a = π 4 Como I = I, se tiene que la integral del enunciado es convergente, con e d = π +e. j) + 9 d La función f() = + 9 es continua en todo el intervalo, ], salvo en el etremo =, donde no está definida y lim +f() =, y en el etremo =, donde se tiene una asíntota vertical (ver dibujo). La integral es de segunda especie. Resolvamos la integral indefinida. + d = 9 d d 9 = Entonces = (9 ) / + arc sen + C + b + d = lím d = 9 b 9 = lím (9 ) / + arc sen ] b = b

12 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS = lím ( (9 b ) / + arc sen b ) arc sen( ) = π b y la integral es convergente. k) / d La función f() = está definida y es continua en todo el intervalo /, ) y tiene una asíntota vertical en =. La integral es de segunda especie. Se tiene d = dt sen t = cotg t = + C La segunda igualdad se obtiene haciendo el cambio = sen t, d = cos tdt. Entonces / La integral converge. l) ( ) d d = lím b ] b / = La función f() = está definida y es continua en todo ( ) el intervalo, ], salvo en =, donde eiste una asíntota vertical. La integral es de segunda especie.

13 Como ( ) d = ( ) + C, se tiene ll) ( ) d = ( ) d + Estudiemos la convergencia de I. de modo que la integral diverge. d I = lím b ( ) ] b =, ( ) d = I + I La función f() = está definida y es continua en el intervalo (, ], teniendo una asíntota vertical en =. Tendremos lll) 6 d = lím d = lím ( ) /] = a + a a + a de modo que la integral converge. 4 d La función f() = 4 está definida y es continua en todo el intervalo (, 6]. En = se tiene una asíntota vertical.

14 4 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS d = lím a + a Entonces, la integral converge. ] d = lím a + /4 = a llll) sen d La función f() = sen es continua en todo el intervalo, ). La integral es de primera especie. sen d = lím b b sen d = lím cos ] b = lím ( cos b+) b b Sin embargo, este límite no eiste (tomando b valores del tipo b = nπ, el límite sería, mientras que tomando b valores del tipo b = (n + )π, el límite sería ).