El análisis estadístico de datos composicionales

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1 El análisis estadístico de datos composicionales Vera Pawlowsky-Glahn Dept. d Informàtica i Matemàtica Aplicada Universitat de Girona 1

2 ejemplo 1: hipótesis genéticas genotipos en el sistema MN de grupos sanguíneos individuo MN MM NN Ab Ab Ab Ab Ab Ab Ch Ch Ch Ch In In In individuo MN MM NN In In InAm InAm InAm InAm InAm InAm Es Es Es Es Es Ab = Aborigen; Ch = Chino; In= Indio; InAm = Indio Americano; Es = Eskimo a pesar de la gran variabilidad observable en éstos datos, responden a una estabilidad subyacente, a una ley genética? 2

3 ejemplo 2: fraccionamiento de olivina magnésica análisis químicos de rocas del lago de lava Kilauea Iki (Hawaii) SiO 2 TiO 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 FeO MnO MgO CaO Na 2 O K 2 O P 2 O Richter y Moore (1966): la variabilidad en la muestra se debe al fraccionamiento de olivina magnésica a partir de una misma masa magmática confirma el análisis estadístico de los datos esta afirmación derivada de observaciones de campo y de análisis petrográficos? 3

4 datos composicionales x = [x 1,..., x d ] es una composición con d-partes x i > 0, para todo i = 1,..., d d x i = κ (constante) ejemplos i=1 κ = 1 : probabilidades asociadas a variables discretas; partes por unidad κ = 100 : análisis químicos de rocas; porcentajes en general κ = 180 : ángulos de un triángulo en análisis de formas otras unidades frecuentes: ppm, ppb,... característica esencial: valores relativos 4

5 espacio muestral: el símplex S d = {x = (x 1, x 2,..., x d ) x i > 0; d x i = κ} i=1 S 2 R 2 segmento S 3 R 3 diagrama ternario S 4 R 4 tetraedro 5

6 porqué un enfoque estadístico particular para datos composicionales? en el espacio real sumamos vectores, los multiplicamos por constantes, estudiamos su ortogonalidad, medimos distancias,... posible porque R d es espacio vectorial Euclídeo pero: la geometría Euclídea de R d no es una geometría apropiada para fenómenos composicionales porque (a) los resultados pueden no estar en el símplex p.ej. al sumar vectores composicionales, al multiplicarlos por una constante, al calcular regiones de confianza o regiones predictivas (b) las diferencias Euclídeas no siempre son medidas razonables p.ej. entre el 5% y el 10% hay un incremento relativo del 100%, entre el 50% y el 55% hay un incremento relativo del 10%, pero la distancia Euclídea es la misma 6

7 una geometría específica para el símplex operaciones básicas clausura de z = [z 1,..., z d ] R d + C [z] = [ κ z 1 d i=1 z i,, κ z d d i=1 z i ] perturbación de x S d por y S d : x y = C [x 1 y 1,..., x d y d ] potenciación de x S d por α R α x = C [x α 1,..., x α d] (S d,, ) es un espacio vectorial real 7

8 la perturbación: limitación y/o potencialidad en el estudio de fenómenos composicionales? ejemplo: plantel con agua, tierra, y simiente composición en kilos: [180, 120, 60] en proporciones: x 0 = [a 0, t 0, s 0 ] = [3/6, 2/6, 1/6] y transcurrida una noche: x 1 = [a 1, t 1, s 1 ] = [6/9, 2/9, 1/9] perturbación correspondiente al cambio: qué pasó? x 1 x 0 = C [ 6/9 3/6, 2/9 2/6, 1/9 1/6 ] = [ 1 2, 1 4, 1 4 (a) llovió, resultando [360, 120, 60] kilos de agua, tierra y simiente (b) hizo viento, se llevó tierra y simiente, resultando [180, 60, 30] kilos de agua, tierra y simiente (c) llovió e hizo viento, resultando [270, 90, 45] kilos de agua, tierra y simiente el resultado da siempre la misma composición sin información externa es imposible decidir qué escenario es correcto (limitación), pero podemos usarlos como hipótesis de trabajo (potencialidad) ] 8

9 producto escalar, norma y distancia x, y a = 1 2d d i=1 d j=1 ln x i x j ln y i y j x a = 1 2d d i=1 d j=1 ( ln x ) 2 i x j d a (x, y) = 1 2d d i=1 d j=1 ( ln x i ln y ) 2 i x j y j ( S d c,,,.,. a ) es un espacio Euclídeo geometría de Aitchison sobre el símplex 9

10 espacio real R d símplex S d suma: x + y producto: α x distancia Euclídea: d e (x, y) vector de medias: x = 1 n n l=1 x l distancia y traslación: d e (x + z, y + z) = d e (x, y) distancia y escalado: d e (α x, α y) = α d e (x, y) perturbación: x y potenciación: α x distancia de Aitchison: d a (x, y) centro métrico: x = 1 n ( n l=1 x l) = C [g 1, g 2,..., g d ] ( n g i = l=1 x il ) 1/n dist. y perturbación: d a (x z, y z) = d a (x, y) dist. y potenciación: d a (α x, α y) = α d a (x, y) 10

11 operación centrado: representar x x observaciones: (a) la muestra centrada gravitará entorno al baricentro (b) es muy útil para visualizar estructuras en los datos en un diagrama ternario (c) la perturbación transforma líneas rectas en líneas rectas es posible incluir en la representación gráfica tanto tramas de referencia como campos composicionales sin riesgo de distorsión no lineal 11

12 representación habitual de datos composicionales: coordenadas en la base canónica de R d : x = x 1 [1, 0,..., 0] + + x d [0,..., 0, 1] = d i=1 x i e i ventaja: fácil de interpretar problemas: (a) no toda combinación de coeficientes lleva a un elemento de S d (valores negativos y nulos no están permitidos) (b) los vectores {e 1, e 2,..., e d } no pertenecen a S d no es ni un sistema de generadores, ni una base (c) trabajar con la perturbación y la potenciación no es fácil pero: S d espacio vectorial Euclídeo permite la representación en coordenadas 12

13 coordenadas alr (additive logratio) ( alr(x) = ln x 1, ln x 2,..., ln x ) d 1 x d x d x d problema: la base no es ortogonal d a (x, y) d e (alr(x), alr(y)) coordenadas clr (centered logratio) ( clr(x) = ln x 1 g(x), ln x 2 g(x),..., ln x ) d g(x) con g(x) = ( d i=1 x i) 1/d = media geométrica de x ventaja: d a (x, y) = d e (clr(x), clr(y)) problema: son coordenadas en un sistema generador de R d y los puntos se sitúan sobre un hiperplano por el orígen ortogonal al vector [1, 1,..., 1] matriz de covarianzas singular 13

14 coordenadas ilr (isometric logratio) ( 1 ilr(x) = ln x 1 1, ln x 1x 2 1,..., ln 2 x 2 6 x 3 x 3 d(d 1) ) d 1 i=1 x i x d 1 d ventaja: coordenadas en una base ortonormal d a (x, y) = d e (ilr(x), ilr(y)) la matriz de covarianzas no es singular podemos aplicar estadística multivariante habitual a las coordenadas desventaja: resultados difíciles de interpretar solución: calcular en coordenadas en una base ortonormal y expresar los resultados en la base canónica de R d sin abandonar el simplex 14

15 trabajar en coordenadas permite aplicar cualquier técnica multivariante permite definir distribuciones en el símplex, p.ej. x sigue una normal en S d las coordenadas ilr(x) siguen una normal multivariante en R d 1 los parámetros se estiman a partir de la expresión de las observaciones en coordenadas, p.ej. por máxima verosimilitud pueden construirse regiones predictivas para las observaciones y regiones de confianza para el centro métrico pueden utilizarse técnicas habituales, como análisis de componentes principales, cluster, discriminante, factorial,...) problema: interpretación en partes 15

16 1 6 ln MN2 NN MM = 0, 5548 ln MN2 NN MM = 1, 3590 MN 2 NN MM = 3, 8922 MN 2 = 3, 8922 NN MM ley de la genética de Hardy-Weinberg: MN 2 = 4 NN MM 16

17 el biplot como herramienta gráfica del análisis exploratorio es la representación simultánea de las variables y observaciones expresadas en coordenadas clr mediante una aproximación de rango dos elementos principales de un biplot el origen O d vértices ν i n casos (observaciones) α l d radios Oν i vínculos ν i ν j 17

18 propiedades [ ] ν i ν j 2 Var ln x i x j [ ] Oν i 2 Var ln x i g(x) [ ] cos(ν i Oν j ) Corr ln x i g(x), ln x j g(x) intersección (ν i ν j, ν k ν l ) = M [ cos(ν i Mν k ) Corr ln x i, ln x ] k x j x l ν i ν j y[ ν k ν l en ] ángulo recto cos(ν i Mν k ) 0 Corr ln x i x j, ln x k x 0 posible independencia l biplot de una subcomposición seleccionar vértices [ ] ν i ν j 0 Var ln x i x j 0 x i x j constante vértices aprox. colineales biplot uni-dimensional variabilidad uni-dimensional 18

19 conclusiones para el estudio de fenómenos aleatorios en general, y composicionales en particular, es esencial determinar el espacio soporte de las observaciones y optar por una métrica adecuada al problema antes de iniciar el estudio si el soporte y la métrica corresponden a una estructura de espacio Euclídeo, en general es más fácil trabajar en coordenadas respecto a una base ortonormal la geometría de Aitchison en el símplex y las coordenadas clr e ilr permiten aplicar técnicas de análisis de datos e inferencia estadística a conjuntos de datos composicionales sin problemas el problema pendiente es hallar en cada caso las expresiones que mejor facilitan la interpretación de los resultados 19

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