UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS EAP DE MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cueros cuadráticos Caítulo Fracciones continuas simles TRABAJO MONOGRÁFICO Para otar el Título de Licenciado en Matemática ura AUTOR Sonia Alanya Pérez LIMA PERÚ 2004

2 FRACCIONES CONTINUAS SIMPLES Dado cualquier fracción racional 0 en su mas simle exresión de manera que ( 0, ) = y > 0, alicando el algoritmo Euclidiano se obtiene: 0 = a < 2 < = 2 a < 3 < 2 2 = 3 a < 4 < 3 j = j a j + j+ j = j+ a j < j+ < j () i Si escribimos x i en lugar de, ara todos los valores de i en el rango i+ 0 i j, entonces las ecuaciones de () se transforman en: x i = a i + x i+ ; 0 i j ; además j = y x j = a j (2) Tomando las dos rimeras de estas ecuaciones con i = 0 e i = y eliminamos x obtenemos: x 0 = a 0 + a + x 2 Ahora reemlazamos x 2 or su valor dado en (2) y continuamos reemlazando x 3, x 4, ara obtener: 0 = x 0 = a 0 + a + a a j + a j (3) Este es un desarrollo en fracciones continuas de x 0 = 0 Los enteros a i se llaman cocientes arciales dados que son los cocientes en la alicación reetida del algoritmo de la división en () Al inicio se suuso que era ositivo, ero no uede hacerse lo mismo con 0 De aquí que a 0 uede ser ositivo negativo o cero 2

3 Como 0 < 2 <, se nota que el cociente a es ositivo y del mismo modo los cocientes a 2, a 3, a j son enteros ositivos En el caso de que i esto es si () contiene mas de una ecuación entonces a j = j y 0 < j+ < j imlica que a j > j+ Notación: Para designar la fracción continua en (3) usaremos la siguiente notación [a 0, a,, a j ] = a 0 + a + a a j + a j Definición Una fracción continua (fc) es una exresión de la forma a 0 + a + a 2 + a 3 + a 4 + b 0 b b 2 b 3 + b n a n + b n a n+ donde los a i y b i ueden ser reales o comlejos Sin embargo si cada b i es igual a, a 0 es un entero y cada a i es un entero mayor que cero ara i ; entonces la fracción continua se llama fracción continua simle (fcs) Los a i de la fracción continua simle (4) se llaman términos de la fracción continua Si el número de términos de una fracción continua es finita, entonces se dice que la fracción continua es una fracción continua simle finita si el número de términos es infinito la fracción continua es una fracción continua simle infinita Todo número real uede ser exresado como una fracción continua simlelos números racionales tendrán una fracción continua simle finita (ver teorema ) y los irracionales tendrán una fracción continua simle infinita (ver teorema 3) Ilustraremos el rocedimiento con algunos ejemlos antes de demostrarlo Ejemlo 3 (4)

4 Exresar el número racional como una fracción continua simle finita 3 2 Solución: Usando el algoritmo de Euclides tenemos: 3 = 2 (2) = 7 () = 5 () = 2 (2) + 2 = (2) = = = = = = = luego 3 = [2,,, 2, 2] 2 Ejemlo 2 Exresar 64 como una fracción continua simle 3 Solución: Como el (64, 3) = y usando el algoritmo de Euclides tenemos 64 = 3 (4) = 2 () + 2 = (2) + 0 4

5 Ejemlo 3 Exresar 8 57 Solución: = = = [4,, 2] = como una fracción continua simle 8 = 57 ( 2) = 33 () = 24 () = 9 (2) = 6 () = 3 (2) = [ 2,,, 2,, 2]

6 Teorema Todo número racional uede ser exresado como una fracción continua simle finita Demostración Sea q el número racional 2 suongamos que q > 0, entonces or la roiedad de la división existen a, r Z tales que entonces q = a 0 + r q = a 0 + q donde a 0 < r 0 q = a + r = a + r 0 q r 0 donde a < 0 r r 0 r = a 2 + r 2 r = a 2 + r r 2 donde a 2 < q y 0 < r 0 < q q r 0 y 0 < r < r 0, r 0 r y 0 < r 2 < r, r n 4 = a n 2 + r n 2 = a n 2 + r n 4 r n 3 r r n 3 donde a n 2 < y 0 < r n 2 < r n 3 n 3 r n 3 r n 2 Observemos que 0 < r n < r n 2 < < r 3 < r 2 < r < r 0 {r n 2 } es una sucesión decreciente de enteros ositivos Como solo existen un número de finito de enteros ositivos menores que q (z i ) tal que z i < q entonces este roceso debe terminar, esto es solo existe σ i un número finito de Z + que satisfacen las ecuaciones Usando lo anterior: q = a 0 + a + a 2 + q = [a 0, a,, a n ] +a j + a j 6

7 or lo tanto, como solo usamos un número finito de términos el número racional queda reresentado or una fracción continua simle y finita q Nota Si a n > entonces a n = (a n ) + = (a n ) + y q = [a 0, a,, a n ] = [a 0, a,, a n 2, a n, ] 2 Si a n = entonces a n + a n = a n + = a n + y q = [a 0, a, a 2,, a n ] = [a 0, a,, a n 2, a n + ] Por lo tanto todo número racional uede ser exresado como una fracción continua simle finita en exactamente dos formas Teorema 2(Unicidad) Si [a 0, a,, a j ] = [b 0, b,, b n ] donde estas fracciones continuas finitas son simles y si a j > y b n > entonces j = n y a i = b i ara i = 0,,, n Demostración Sea y i = [b i, b i+,, b n ] se observa que [b i, b i+,, b n ] = b i + [b i+, b i+2,, b n ] = b i + (5) y i+ se tiene entonces y i > b i y y i > ara i =, 2,, n y y n = b n > Entonces b i = [y i ] ara todos los valores de i en el rango 0 i n Como las fracciones continuas iniciales son iguales, ueden escribirse en la forma: y 0 = x 0 or (3) Ahora como x i = i q i+ imlica que x i+ > ara todos los valores de i 0 y así a i = [x i ] ara 0 i j or (2) A artir de que y 0 = x 0 se deduce que tomando las artes enteras Por (2) y (5) se obtiene b 0 = [y 0 ] = [x 0 ] = a 0 x = x 0 a 0 = y 0 b 0 = y ; x = y ; a = [x ] = [x 2 ] = b 7

8 Podemos establecer or inducción que veamos: x i = y i y a i = b i, imlican que x i+ = y i+ y a i+ = b i+ x i+ = x i a i = y i b i = y i ; x i+ = y i+ ; a i+ = [x i+ ] = [y i+ ] = b i+ or demostrar que j = n (es decir tienen la misma longitud) Suongamos que j < n x i = y j y y j = b j or (2) se tiene x i = a j y or (5) y j > b j ( ) Caso análogo con n < j Por lo tanto j = n Observación Toda fracción continua simle finita reresenta un número racional 8