Estadísticos de rangos lineales.

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1 Capítulo 3 Estadísticos de rangos lineales. 3.1 Rango de un elemento de un conjunto. Definición Dado un conjunto de números reales {x 1,...,x m } llamamos rango de uno cualquiera de sus elementos x i,ylo denotamos R(x i ),allugar que ocupa x i en el conjunto, luego de ordenarlo de menor a mayor, esto es: m R(x i ) 1 {xh x i } h1 Cuando los elementos del conjunto son todos diferentes, el conjunto de sus rangos es {1,,...,m}. Cuando esto no ocurre (en ese caso suele decirse que hay empates) elconjunto de los rangos contiene números repetidos, y hay entonces números entre 1 y m 1 que no son rangos de ningún elemento. En lo que sigue, vamos a aplicar la definición de rangos a variables aleatorias, y supondremos que sus distribuciones son tales que los empates quedan excluídos con probabilidad 1. Teorema Si H es una función estrictamente creciente, el rango de y i H(x i ) en {H(x h ):h 1,,...,m} es el de x i en {x h : h 1,,...,m} La demostración es inmediata. 3. El problema de las dos muestras A partir de dos muestras (X 1,...,X m )y(y 1,...,Y n ), llamamos estadístico lineal de rangos a un estadístico de la forma m T ψ R(Xi ), (3.1) i1 35

2 Enrique M. Cabaña. 36 Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. donde ψ (ψ 1,...,ψ )esunvector de m + n componentes, y R(X i ) mh1 1 {Xh X i } + n 1 {Yj X i } es el rango de X i. Vamos a suponer que las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias involucradas son tales que no hay empates casi seguramente. En particular, este es el caso cuando X 1,...,X m F, Y 1,...,Y n G, yf y G son funciones de distribución continuas. El nombre problema de las dos muestras se aplica a la prueba de la hipótesis nula de igualdad entre F y G. Cuando se cumple H 0 : F G, cualquiera de los ( ) m subconjuntos de m números elegidos en {1,,...,m+ n} tiene la misma probabilidad que cualquier otro de ser el conjunto de los rangos de (X 1,...,X m ). En particular, P{R(X i )j} 1 m + n, y, si h i y j k, P{R(X h )j, R(X i )k} 1 1 m + n m + n 1. A partir de estas probabilidades, resulta inmediato calcular los momentos de primero y segundo orden de T cuando se cumple H 0 : Teorema 3..1 Cuando se cumple H 0, y VarT ET mn (m + n)(m + n 1) m ψ j (3.) m + n ψj ( ψ j ) /(m + n). (3.3) Demostración. Para cada i 1,...,m, Eψ R(Xi ) ψ j P{R(X i )j} 1 ψ j es independiente de i, demodo que (3.) se obtiene sumando en i. Si h i, entonces Eψ R(Xh )ψ R(Xi ) j k ψ j ψ k P{R(X h )j, R(X i )k} 1 (m + n)(m + n 1) ψ j ψ k, j k

3 Licenciatura en Estadística. 3.. Problema de las dos muestras mientras que, para el caso h i, encontramos 37 Eψ R(X h ) ψj P{R(X i )j} 1 m + n ψj de modo que m m ET E ψ R(Xh )ψ R(Xi ) Eψ R(Xh )ψ R(Xi ) + h1 i1 h i m EψR(X h ) h1 y m(m 1) (m + n)(m + n 1) ψ j ψ k + j k m(m 1) (m + n)(m + n 1) ( ψ j ψ k j,k j m(m 1) (m + n)(m + n 1) ( j ψ j ) + VarT ET (ET ) m (m + n) ψ j )+ ψj m (m + n) ψj m ( 1 m 1 ) m + n m + n 1 m(m 1) (m + n)(m + n 1) ( j ψ j ) ψj + m n m + n m + n 1 mn (m + n)(m + n 1) que se reduce a (3.3). ψ j ψj m (m + n) ( ψ j ) m m + n ( m m + n m 1 ) ( m + n 1 j ψ j ), Corolario Si se eligen valores de ψ (ψ 1,...,ψ ) con las condiciones de normalización ψ j 0 ψ j m + n, entonces T T E( )0, Var( ) m + n m + n mn (m + n)(m + n 1), T y Var( ) µν cuando m + n, µ lim m, ν lim n.

4 Enrique M. Cabaña. 38 Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. Se observará que cuando T m i1 ψ R(Xi ) es un estadístico de rangos lineal, puede construirse otro estadístico T m i1 ψr(x i ) del mismo tipo, que es una función determinística (independiente de la muestra) de T, yque, por lo tanto, posee la misma información que T, con coeficientes que cumplen las condiciones de normalización que aparecen en el enunciado del corolario precedente. En efecto, basta reemplazar cada ψ j por ψ j (ψ j k ψ k /(m + n)) (m + n)/( (ψ k k1 l ψ l /(m + n)) ), pues esta operación lleva T en m T ψr(x i ) (T m ψ j ) (m + n)/( i1 m + n k1 (ψ k l ψ l /(m + n)) ), que es un polinomio de primer grado en T con coeficientes que dependen exclusivamente de los ψ j,pero no de las muestras. 3.3 Acerca de la distribución de T bajo la hipótesis nula F G. Las distribuciones de funciones de los rangos, cuando F G, pueden obtenerse de la observación indicada previamente de que cualquiera de los ( ) m subconjuntos de m números elegidos en {1,,...,} tiene la misma probabilidad que cualquier otro de ser el conjunto de los rangos de (X 1,...,X m ). La siguiente imagen geométrica da una descripción de la distribución de los rangos de las X (y de las Y )bajoh 0 : F G. Teorema Apartir de las observaciones X 1,...,X m, Y 1,...,Y n construimos el vector U (U 1,...,U ) cuyas componentes valen U j 1, cuando j está enelconjunto R X {R(X 1 ),R(X ),...,R(X m )}, y 1 en caso contrario. Apartir de U definimos S (S 0,S 1,...,S ),cons j j k0 U k. Acada S hacemos corresponder la poligonal de lados {((j 1,S j 1 ), (j, S j )) : j 1,,...,m+ n}. Esta poligonal tiene un primer lado que une (0, 0) con (1, 1) cuando la más pequeña de las observaciones es una X, o(0, 0) con (1, 1) cuando es una Y. Luego un lado a 45 grados hacia arriba, si la siguiente observación es una X, ohacia abajo si es una Y,yasí sucesivamente hasta describir los m + n rangos.

5 Licenciatura en Estadística Distribución de T cuando F G. Cada una de las ( ) m trayectorias poligonales de este tipo que unen (0, 0) con (m + n, m n) tiene la misma probabilidad ( ( ) 1) m que cualquier otra. El paseo al azar simétrico simple obtenido cuando U 1,...,U son independientes e idénticamente distribuidas con P{U j 1} P{U j 1} 1/ (j 1,,...,m+ n) ys se define de la misma manera a partir de U, tiene la misma distribución. El enunciado precedente, cuya demostración es inmediata, conduce a calcular probabilidades asociadas a H 0 por simple enumeración de trayectorias. Sugiere también qué tipo de estadísticos resultan apropiados para utilizar los rangos en problemas de inferencia Efecto del desplazamiento relativo de una muestra respecto a la otra. Supongamos que nos interesa probar H 0,ydetectar especialmente bien las alternativas de desplazamiento relativo de la distribución de las X respecto de la de las Y : H 1 : F (x) G(x c), para alguna constante c. Cuando se cumpla la alternativa con c > 0, las X estarán desplazadas hacia la derecha de las Y.Enese caso, las variables con rangos pequeños serán mayoritariamente Y, ylos rangos grandes corresponderán a las X. Las trayectorias tenderán por lo tanto a comenzar dirigiéndose hacia abajo, y terminarán subiendo, para llegar al punto terminal que está fijo. En otras palabras, las trayectorias indicativas de que se cumple la alternativa serán las más bajas. Por lotanto, una prueba de la hipótesis de igualdad de las distribuciones sensible a la alternativa de desplazamiento a la derecha, se obtendrá tomando como región crítica al conjunto de las trayectorias más bajas. Como bajo la hipótesis nula todas las trayectorias tienen la misma probabilidad, la cantidad de trayectorias en la región crítica será α ( ) m, donde α es el nivel de la prueba. Para precisar la observación precedente se requiere decidir cuáles son las trayectorias más bajas, es decir, dar una medida de la altura de una trayectoria. Esto puede hacerse de diversas maneras, y da lugar a diferentes pruebas basadas en los rangos.

6 40 Enrique M. Cabaña. Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales Dos maneras de medir la altura de una trayectoria. Dos de las maneras de decidir cuáles son las trayectorias más bajas, ambas utilizadas en la construcción de pruebas, son las siguientes: Se describe la altura por medio de una combinación lineal con coeficientes positivos de las alturas de los vértices: j0 a j S j. Por ejemplo, si todos los pesos son iguales, obtenemos W 1 j0 S j. En cambio, si sólo uno de los pesos es positivo y los restantes son nulos, obtenemos simplemente M j S j. Se describe la altura de acuerdo al mìnimo valor alcanzado por la trayectoria o por una función sencilla de la trayectoria, por ejemplo, min j0,1,..., S j, min (S j j(m n)), etc. j0,1,..., Entre los segundos están los estadísticos de Kolmogorov - Smirnov. Observemos que los primeros pueden escribirse también en la siguiente forma, que muestra que son estadísticos lineales de rangos: j0 a j S j j a j k1 U k k1 jk donde ψ k jk a j. Como consecuencia, j0 a j S j m i1 a j U k k1 ψ R(Xi ) ψ j, ψ k (1 {k RX } ), y esta expresión difiere de (3.1) en el término determinístico ψ j,de modo que proporciona la misma información que el estadístico T. 3.4 Algunos ejemplos de pruebas de posición basadas en estadísticos lineales de rangos La prueba de Wilcoxon. La primera prueba basada explícitamente en un estadístico lineal de rangos que apareció en la bibliografía fué la de Wilcoxon. Se trata de una prueba

7 Licenciatura en Estadística Algunos ejemplos de pruebas de posición. sensible a desplazamientos relativos de las dos distribuciones. El estadístico utilizado es m W R(X i ), i1 que tiende a dar resultados significativamente grandes cuando las X están desplazadas hacia la derecha de las Y, e, inversamente, significativamente pequeños cuando están desplazadas hacia la izquierda. Los valores posibles de W van desde un mínimo de m i1 i 1m(m +1)hasta el máximo in+1 i mn+ 1m(m+1). Este estadístico es de la forma T m i1 ψ R(Xi ) con ψ j j, de modo que S ψ 1()(+1) y SC ψ 1()(+1)(+1). 6 De (3.8) resulta EW mn ()( 1) m ()(+1) m(+1) ( ()(+1)(+1) ()(+1) 6 4, yde (3.9), VarW ) mn(+1). 1 La distribución de W puede obtenerse por enumeración directa, cuando los tamaños de las muestras no son demasiado grandes. Además, para probar H 0 no es necesario conocer completamente la distribución de W, sino que basta tener las cuantilas 1 α, α o1 α/ yα/, donde α es el nivel, según se trate de una prueba unilateral sensible a F (x) G(x δ), δ>0, una prueba unilateral sensible a F (x) G(x δ), δ<0, o una prueba bilateral con igual peso en ambas partes de la región crítica, cuando se desea que la prueba sea sensible a F (x) G(x δ), sin especificar el signo de δ. Por ejemplo, cuando m n 5,α.05 y la región crítica es de la forma W > c, tenemos que encontrar c tal que la probabilidad de {W >c} sea 5%. El número posible de ) 5. El 5% de esta cantidad es 1, 6. trayectorias es ( 10 5 Es claro que el máximo valor de W, que es ocurre sólo cuando la ordenación de las variables es YYYYYXXXXX. El valor 39 también ocurre sólo una vez, en el caso YYYYXYXXXX. A partir de esta configuración, hay dos formas de reducir la suma de rangos en una unidad para obtener W 38, a saber, YYYXYYXXXX y YYYYXXY XXX, luego tres (YYXYYYXXXX, YYYXYXYXXX y YYYYXXXYXX) con suma 37, cinco (YXYYYYXXXX, YYXYYXYXXX, YYYXXYYXXX, YYYXYXXYXX y YYYYXXXXY X) con suma 36, etc. La probabilidad de {W >35} es entonces 1/ %, valor muy próximo al nivel deseado. Una trayectoria más que agregáramos haría que el nivel fuera mayor que el 5%, de modo que la región crítica {W >35} resuelve nuestro problema, al menos aproximadamente, con la mejor aproximación posible. La distribución de W está tabulada para valores no muy grandes de m y n. Para valores grandes existen aproximaciones asintóticas, que veremos más adelante.

8 4 Enrique M. Cabaña. Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales La prueba de Mann y Whitney. El estadístico de Mann y Whitney es A W m(m +1)/, y varía entre 0 y mn. Suesperanza bajo H 0 es mn/, y su variancia es la misma de W,yaque ambos estadísticos difieren en una cantidad no aleatoria. Resulta interesante observar que, si subdividimos el rectángulo de vértices (0, 0), (m, m), (m + n, m n), (n, n), limitado por las dos trayectorias extremas, en los mn cuadrados de lados a 45 ō que se obtienen intercalando n 1 y m 1 paralelas equidistantes entre los lados de pendiente positiva y los de pendiente negativa, respectivamente, entonces A coincide con la cantidad de esos cuadrados que están por encima de la trayectoria que representa la ordenación conjunta de las dos muestras, y por debajo de la trayectoria más alta. Basta observar que al intercambiar dos observaciones contiguas XY para llevarlas a YX, dejando el resto sin modificar, esto aumenta en una unidad tanto a A oaw como al número de cuadritos por encima de la trayectoria. Como este número es cero para la trayectoria más alta, cuando A también vale 0, se deduce que A y ese número coinciden. La enumeración de las doce trayectorias más altas, es decir, las que dejan menos cuadrados por encima, que hiciéramos en el ejemplo de aplicación de la Prueba de Wilcoxon a dos muestras de tamaño 5, resulta mucho más simple cuando enumeramos las trayectorias que dejan 0, 1,, 3, 4, o 5 cuadrados por encima, que son las que indican las figuras anexas. Trayectorias con A 0 o 1. Trayectorias con A. Trayectorias con A 3. Trayectorias con A 4.

9 Licenciatura en Estadística Ejemplos de pruebas lineales de rangos Una versión gráfica de la prueba de Wilcoxon. Vamos a representar en un par de ejes cartesianos los valores X 1,...,X m en abscisas, y los Y 1,...,Y n en ordenadas. La cantidad de elementos de la muestra de las Y menores que X i es igual a la cantidad de intersecciones de las rectas y Y j, j 1,...,n con la recta x X i que están por debajo de la bisectriz y x de los cuadrantes primero y tercero. Por lotanto, la cantidad de esas intersecciones correspondientes a las rectas x X i para i 1,...,m es m n i1 1 Yj <X i. A esta suma falta agregarle mi1 mh1 1 Xh X i para tener el estadístico W de Wilcoxon. Como consecuencia, coincide con el estadístico A de Mann y Whitney. En resumen: La cantidad A de intersecciones de las rectas y Y j con las rectas x X i por debajo de y x es igual al estadístico de Mann y Whitney. Como consecuencia, si corresponde rechazar H 0 cuando A<a Algunos ejemplos de pruebas lineales de rangos. Las observaciones de las secciones precedentes llevan a considerar que coeficientes ψ i monótonos son adecuados para detectar alternativas de desplazamiento de una muestra respecto de la otra. Cuando nos interesa detectar cambios en la concentración o dispersión, en ausencia de desplazamientos relativos, debemos poner de manifiesto cuándo las X están concentradas en el centro, y las Y desplazadas hacia los extremos, lo que indicaría que las X están más concentradas que las Y,oviceversa. El estadístico T resulta sensible a estos comportamientos cuando los coeficientes ψ crecen (o bien decrecen) desde el centro a los extremos. Por ejemplo, los valores ψ i i 1 (m + n +1) o ψ i (i 1 (m + n + 1)) sirven para poner de manifiesto cambios de dispersión. La Tabla 3.1 indica los estadísticos utilizados en algunas de las primeras pruebas propuestas en la literatura, y sus dos primeros momentos. Las regiones críticas son de la forma T<const, T>const o la unión de ambas, con constantes adecuadas en cada una de las desigualdades, y T m 11 ψ R(Xi ). Algunos de los estadísticos propuestos son apropiados para detectar cambios de posición, y otros para cambios de dispersión. En cualquier caso, y para cada nivel α la obtención de la constante c α que cumple la propiedad P{T >c α } α, sepuede hacer por simulación y también por el cálculo exacto de la distribución de T.

10 Enrique M. Cabaña. 44 Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. Para obtener exactamente la distribución de T,seenumeran las ( ) m ubicaciones posibles de las X en el conjunto de las m + n observaciones, y se calcula T en cada caso. Se obtiene así unconjunto T de ( ) m números. Cada uno de los valores t T tiene la misma probabilidad ( ) 1, m cuando son todos diferentes. En general, la probabilidad de t es ν(t) ( ) 1, m siν(t) es la cantidad de veces que se obtiene el valor t en T. Se observará que si C es la familia de los ( ) m subconjuntos de m elementos de {1,, 3,...,m+ n}, entonces T { j C ψ j : C C},yeste conjunto sólo depende del conjunto desordenado {ψ j : j 1,, 3,...,m + n}. En otras palabras, T resulta ser el mismo conjunto de sumas, no importa en qué orden estén los elementos de ψ, con tal que estos sean los mismos. Esta observación está enlabase de la prueba de Siegel y Tuckey, incluida en la Tabla 3.1, para la que esa tabla muestra que la esperanza y la variancia de T coinciden con la esperanza y la variancia correspondientes a la Prueba de Wilcoxon. No sólo conciden los momentos; coincide la distribución de T, porque los elementos de ψ son los mismos en ambas pruebas, aunque en otro orden. En la prueba de Wilcoxon, los números 1,,...,m+ n se ubican en orden creciente en los m + n lugares del vector ψ. Encambio, en la de Siegel ytuckey, se distribuyen de manera que los valores más bajos están en los extremos, y los más altos en el centro, para distinguir, de la misma manera que en la Prueba de Ansari-Bradley, las alternativas de cambio de dispersión. La diferencia es que las componentes de ψ en la prueba de Ansari-Bradley se repiten de manera simétrica: mientras que en la de Siegel-Tuckey se cambian ligeramente para que no se repitan: La ventaja de utilizar los mismos números como componentes de ψ es que de esa manera, las tablas de la distribución del estadístico de Wilcoxon bajo la hipótesis nula se aplican a la distribución del nuevo estadístico. 3.6 Programa para el cálculo de la distribución de los estadísticos lineales de rangos.

11 Licenciatura en Estadística Ejemplos de pruebas lineales de rangos. 45 Tabla 3.1: Momentos de T m 11 ψ R(Xi ) correspondientes a algunas pruebas de uso corriente. Nombre ET ψ m i ψ j Fisher y Yates EΦ 1 (U (i) ) Van der Waerden Φ 1 (i/(m + n + 1)) Wilcoxon i mn VarT ( ()( 1) ) ψj 1 ( ψ j ) m(m+1) + mn de la Mediana ( ) sign 1 i m mn(+1) 1 mn 4( 1), si m + n es par mn 4(), si m + n es impar Capon E(Φ 1 (U (i) ) m - Klotz Φ 1 (i/(m + n + 1)) - - Mood ( i +1 Ansari - Bradley i (m + n +1 i) Siegel - Tuckey (i (m + n +1 i)) 1 ( 1)i de las Cuartilas sign( 1 i ) Savage j+1 i ) m(() 1) 1 1 j m(+) 4, si m + n es par m(+1) 4(), si m + n es impar m(m+1) + mn m( 1) () si m + n 3mod4 km,k [(m + n)/4] si m + n 3mod4 m mn(+1)(() 4) 180 mn( )(+) 48( 1), si m + n es par mn(+1)(() +3) 48(), si m + n es impar mn(+1) 1 mn(() () 1)) 4() ( 1) si m + n 3mod4 kmn( k) () ( 1) si m + n 3mod4 mn 1 ( 1 1 ) 1 j

12 Enrique M. Cabaña. 46 Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. El siguiente programa enumera las combinaciones y calcula la distribución de T,apartir de los datos m, n, p, donde p es un vector de m + n componentes que representa las componentes de ψ. Elresultado es el vector vcrit, cuyas componentes son los valores críticos c α correspondientes a las regiones de rechazo T<c α, para niveles α 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.05, 0.1. nu; lgamma(nu+1)/(gamma(m+1)*gamma(n+1)); tzeros(1,l); uzeros(1,nu); i1; h[1:m]; t(1)sum(p(h)); while h(1)<n+1 if h(m)<nu h(m)h(m)+1; else jm-1; while h(j)n+j jj-1; end h(j)h(j)+1; for kj+1:m h(k)h(k-1)+1; end end ii+1; t(i)sum(p(h)); end tsort(t); vcritt(floor([ ]*l)+1); De este programa, por ejemplo, cuando se eligen m, n entre y 10, y se toma el vector p (1,,...,m+ n) m+1 (1, 1,...,1), que corresponde a la Prueba de Mann y Whitney, se obtienen la Tabla 3.. El agregado al programa anterior de las líneas am*sum(p)/nu; bm*n*(sum(p.^)-(sum(p))^/nu)/(nu*(nu-1)); x[-3:.1:3]; ya+sqrt(b)*x; yeldibujo de las gráficas de (t, [0 : l]/l) yde(y, Φ(x)) permite comparar la distribución de T con la distribución normal con la misma media y variancia. Las Figuras 3.1 muestran los resultados en los casos m,n 3ym 10,n 10. Se observará que las tablas de la distribución bajo H 0 del estadístico de Mann y Whitney valen también para el de Wilcoxon, sumando a los valores críticos la constante m(m + 1)/, y, por los comentarios de la sección precedente, también son utilizables para el estadístico de Siegel y Tuckey.

13 Licenciatura en Estadística Acerca de la distribución de T cuando F G. 47 Tabla 3.: Valores críticos c α de la Prueba de Mann y Whitney de nivel α, con región crítica T<c α, para muestras de tamaños m y n. m n n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 α 0.5% α 1% α.5% α 5% α 10%

14 48 Enrique M. Cabaña. Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. Figura 3.1: Funciones de distribución del estadístico de Mann y Whitney para muestras de tamaño y 3 (izquierda) y 10 y 10 (derecha) y función de distribución normal, con iguales media y variancia. 3.7 Acerca de la distribución de T bajo la alternativa F G. Llamemos f, g a las densidades de F y G, respectivamente, que supondremos que existen. En ese caso, las densidad conjunta del vector de los estadísticos de orden (X (a),...,x (m),y (a),...,y (m) )en(x 1,...,x m,y 1,...,y n ) con x 1 <x <...<x m, y 1 <y <...<y n es m!n!f(x 1 )f(x )...f(x m )g(y 1 )g(y )...g(y n ). Vamos a introducir el vector aleatorio U definido por U (U 1,...,U ), U j 1 {j {R(Xi ):i1,,...,m}}, apartir del cual T ysuesperanza se escriben en la forma: T ψ j U j, ET ψ j P{U j 1}. Llamemos U al conjunto de los valores posibles del vector aleatorio U. De acuerdo a su definición, U es la familia de todos los vectores de m + n componentes, que tienen m de ellas iguales a 1 y las restantes iguales a 0. Para calcular P{U j 1} vamos a evaluar primero P{U u} para cada u U y luego P{U j 1} u U,u j 1 P{U u}.

15 Licenciatura en Estadística Acerca de la distribución de T cuando F G. Para u U, P{U u}... m!n! [(f(t j ) g(t j ))u j + g(t j )]dt j t 1 <t <...<t... m!n! t 1 <t <...<t [ 1+ ( ) ] f(tj ) g(t j ) 1 u j g(t j )dt j. En el caso particular f(x) 1 + τk(x) que corresponde a la hipótesis nula g(x) f(x) g(x) cuando τ 0, yaalternativas próximas a la hipótesis nula para τ pequeño, obtenemos, con el agregado del subíndice τ que pone de manifiesto la dependencia respecto a este parámetro, P τ {U u}... m!n! [1 + τk(t j )u j ] g(t j )dt j. (3.4) t 1 <t <...<t Aunque el cálculo de la probabilidad a partir de esta fórmula sólo parece practicable para valores muy particulares de los integrandos, la derivada respecto de τ en τ 0tiene una expresión relativamente sencilla: P τ {U u} τ u j τ0... m!n! t 1 <t <...<t... m!n!k(t j ) g(t k )dt k t 1 <t <...<t k1 k(t j )u j g(t j )dt j u j Ek(Z (j) ), donde Z (1),...,Z () es una muestra ordenada de tamaño m + n de la distribución G con densidad g. De aquí resulta P τ {U h 1} τ u U τ0 u U,u h 1 P τ {U u} τ u j 1{u h 1}Ek(Z (j) ) u j Ek(Z (j) ) τ0 u U,u h 1 u j Ek(Z (j) ) u U 1{u h 1} u h Ek(Z (h) ) 1{u h 1} + Ek(Z (j) ) 1{u h 1,u j 1} u U j h u U ( ) m + n 1 u h Ek(Z (h) ) + ( ) m + n Ek(Z (j) ) m 1 j h m 49

16 50 Enrique M. Cabaña. Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. (( ) ( )) m + n 1 m + n u h Ek(Z (h) ) m 1 m ( ) m + n ( ) m + n + Ek(Z (j) )u h Ek(Z (h) ), m m 1 porque Ek(Z (j) ) Ek(Z j )(m + n)ek(z j ), y, por la definición de k, Ek(Z j ) 1 τ (f(x)/g(x) 1)g(x)dx 0. Como consecuencia, ET τ τ0 ( ) m + n ψ j Ek(Z (j) ). (3.5) m 1 El resultado tiene interés, porque describe localmente, cuando f es próxima a g, cómo varía la esperanza del estadístico T cuando f se aparta de g en una dirección descrita por la función k. Esta descripción correspondiente a un caso extremadamente particular puede generalizarse. En efecto, cuando las densidades admiten un desarrollo de primer orden de la forma f(x) g(x) 1+τk(x)+o(τ), en las condiciones que se establecen con precisión en el siguiente enunciado, el resultado del cálculo previo de la derivada de ET respecto de τ en τ 0sigue siendo válido. Teorema Para cada τ en un entorno de 0, consideremos muestras aleatorias simples Y 1,...,Y n cuya distribución tiene densidad g y X 1,...,X m con densidad f τ,ysupongamos que existen funciones K y k tales que f τ(x) g(x) 1+τk τ(x), (3.6) lim τ 0 (kτ (x) k(x)) g(x)dx 0, k τ K(x) para todo x, y K m (x)g(x)dx < para todo m. (3.7) Cuando se cumplen esas condiciones, vale la expresión (3.5) para ET τ. τ0

17 Licenciatura en Estadística Un criterio para la selección de ψ. Ejemplo Cuando g(x) ϕ(x) 1 π e x / y f τ (x) g(x t), entonces y f τ(x) g(x) e (x t) / e x / e xτ/ τ /4 k τ (x) τ (exτ/ τ /4 1) τ (xτ/ τ /4+ 1 (xτ/ τ /4) e λ(xτ/ τ /4) ) x τ/+τ(x/ τ/4) e λ(xτ/ τ /4) con 0 <λ<1. La función k τ (x) está uniformemente acotada en valor absoluto por K(x) x +(1/) + ( x / +1/4) e x /+1/4 para τ 1, y su límite cuando τ tiende a cero es k(x) x, que difiere de k τ en valor absoluto en menos de τ (1/+(x/+1/4) e x /+1/4 cuando τ 1. La función K satisface K m ϕ<, como resulta inmediato verificar debido a la rapidez con que ϕ tiende a cero en infinito, y (k τ k) ϕ τ (1/ +(x/ +1/4) e x /+1/4 )ϕ(x)dx 0 cuando τ 0. Demostración del Teorema. El desarrollo (3.6) nos permite escribir f τ (x) g(x)(1 + τk τ (x)+τ k τ(x)/4) yentonces la expresión (3.4) de P τ {U u} es reemplazada por... m!n! t 1 <...<t [1+(τk τ (t j )+ 1 4 τ k τ(t j ))u j ] g(t j )dt j, yelcociente incremental puede escribirse en la forma 1 τ (P τ{u u} P 0 {U u}) (... [k τ (t j )+τkτ(t j )Q(τk τ (t j ))]u j m!n! ) g(t k )dt k, t 1 <...<t k donde Q es un polinomio. Las hipótesis permiten pasar al límite cuando τ 0 dentro de la integral, de modo que P τ {U u} u τ j Ek(Z (j) ), τ0 donde Z (1),...,Z () es, como antes, una muestra ordenada de tamaño de la distribución con densidad g. Apartir de aquí, se repiten sin modificación los argumentos utilizados para el caso particular tratado inicialmente.

18 5 Enrique M. Cabaña. Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. 3.8 Un criterio para la selección de los coeficientes Coeficientes localmente óptimos. Los coeficientes ψ (ψ 1,...,ψ )intervienen en los resultados obtenidos previamente: E 0 T m m + n S ψ, Var 0 T E τ T τ τ0 mn (m + n)(m + n 1) SCD ψ, (3.8) ( ) m + n ψ j Ek(Z (j) ), (3.9) m 1 donde S ψ es la suma de las componentes del vector ψ, SCD ψ ψj ( ψ j ) /(m + n) eslasuma de cuadrados de diferencias con la media de las componentes del mismo vector, y los subíndices agregados a la esperanza y alavariancia nos recuerdan a qué valor de τ corresponden las distribuciones bajo las que se calculan esos momentos. Un criterio adecuado para la selección de ψ es pedir que el sesgo de T, una vez tipificada bajo la hipótesis nula, sea lo mayor posible, al menos localmente, cerca de τ 0.Para obtenerlo, pediremos que la derivada respecto de τ de la variable tipificada (Var 0 T ) 1/ (T E 0 T ) sea lo más grande posible en valor absoluto, esto es, buscaremos ψ que maximice (Var 0 T ) 1 ( Eτ T τ ) τ0 ( ψ j Ek(Z (j) ) ( )) m 1 mn SCD ()( 1) ψ. El denominador no varía cuando a cada componente de ψ se agrega o sustrae una constante, dado que sólo intervienen las diferencias de cada componente de ψ con el promedio de todas ellas, pero tampoco el numerador varía, porque la suma de las esperanzas Ek(Z j )esnula, como observamos más arriba. Por lotanto, podemos limitarnos a buscar soluciones para las que S ψ 0,y en ese caso la suma de cuadrados de diferencias que aparece en el cociente se reduce a SCD ψ SC ψ ψj. Tampoco varía el cociente cuando cada componente de ψ se multiplica por una misma constante, porque tanto el numerador como el denominador son homogéneos de segundo orden. Esto nos permite agregar la condición ψj 1,por ejemplo, sin alterar el máximo.

19 Licenciatura en Estadística Distribución asintótica. Encontramos entonces que los coeficientes que maximizan el sesgo relativo del estadístico T son los que maximizan el producto interno ψ j Ek(Z (j) ) de los vectores ψ y κ (Ek(Z (1) ),...,Ek(Z () )). La solución a este problema es inmediata: De todos los vectores ψ de norma ψj 1,ortogonales a 1 (1, 1,...,1) (ya que ψ j 1), el que tiene mayor producto interno con κ es el que minimiza el ángulo (ψ, κ ). Dado que también κ es ortogonal a 1, elvector ψ que minimiza el ángulo es el propio κ normalizado: ˆψ κ / κ. En virtud de las observaciones anteriores, cualquier vector con componentes ψ j a + bek(z j ) con a, b constantes cualesquiera, produce el mismo valor máximo del sesgo relativo local. Ejemplo Como consecuencia del criterio precedente, se verifica que la prueba de Fisher y Yates tiene los coeficientes localmente óptimos para detectar desplazamientos a partir de una distribución normal Coeficientes aproximadamente óptimos. Dado que las variables Z (j) pueden obtenerse mediante la transformación Z (j) G 1 (U (j) ), con U (1),...,U () muestra ordenada de la distribución uniforme en (0, 1), y que VarU (j) j(+1 j) 0 cuando m + n es de () (+1) j esperar que U (j) sea próximo a su esperanza,yque Z +1 (j) sea próximo a G 1 j ( ), de modo que, si k es suficientemente regular, se cumplirá aproximadamente Ek(Z (j) ) κ( ), con k(z) κ(g(z)). Por lo tanto, una +1 j +1 versión aproximada de los coeficientes óptimos según el criterio de la sección j anterior es ψ j a + bκ( ) En este caso, ψ j a + b 1 0 κ(u)du. Ejemplo 3.8. Como consecuencia, la prueba de van der Waerden tiene coeficientes aproximadamente óptimos para detectar desplazamientos a partir de una distribución normal.

20 54 Enrique M. Cabaña. Capítulo 3: Estadísticos de rangos lineales. 3.9 Distribución asintótica de los estadísticos de rangos lineales Distribución bajo H 0 : F G F 0 Cuando los coeficientes ψ j son de la forma ( ψ j ψ j m + n +1 ), (3.10) para alguna función adecuada ψ, el estadístico T m i1 ψ R(Xi ) puede escribirse en la forma ( ) mfm (t)+ng n (t) T m ψ df m (t), (3.11) m + n +1 donde F m (t) 1 mi1 1 m {Xi t} es la función de distribución empírica de X 1,..., X m. En efecto, integrar respecto de df m equivale a sumar el integrando evaluado en cada X i y dividir por m. Por otra parte, el rango de X i es precisamente mf m (X i )+ng n (X i ), donde G n (t) 1 n 1 n {Yj t} es la función de distribución empírica de Y 1,...,Y n,yesto muestra la validez de (3.11). Supondremos, sin pérdida de generalidad, ya que los ψ j pueden reemplazarse sin cambiar la información por a + bψ j, que 1 0 ψ(u)du 0,ytambién que 1 0 ψ (u)du 1. El puente empírico b X m(t) m(f m (t) F (t)) converge a un F -puente browniano b F, que puede escribirse en la forma b F (t) b X (F (t)) donde b X es un puente browniano típico. De la misma manera, el puente empírico b Y n (t) m(gn (t) G(t)) converge a un G-puente browniano b G, independiente de b F, que puede escribirse en la forma b G (t) b Y (G(t)) donde b Y browniano típico independiente de b X. Usaremos los desarrollos es un puente para escribir T m + n F m (t) F 0 (t)+b X m(t)/ m, G n (t) F 0 (t)+b Y n (t)/ m, m m + n ψ ( mf0 (t)+ mb X m(t)+nf 0 (t)+ nb Y ) n (t) m + n +1 ( df 0 (t)+ 1 ) db X m m(t)

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