Física Estadística. Tarea 8. A entregar: Miércoles 29 de abril de 2015.

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1 Física Estadística Tarea 8 A entregar: Miércoles 29 de abril de Una manera alternativa de deducir las distribuciones de Bose- Einstein y Fermi-Dirac... y Maxwell-Boltzmann. En algunos textos todavía se discute la forma antigua en la que se pueden deducir las distribuciones de FD, BE y MB. Esta deducción tiene la ventaja de usar de manera explícita la Segunda Ley y nos ayuda a desarrollar una intuición adicional a la forma usual de abordar este problema. Dicho sea de paso, este tipo de análisis lo introdujo Boltzmann en los 1870 s y fue la manera también en la que Bose (1924), Einstein (1925) y Fermi (1926) hallaron las distribuciones que llevan sus nombres. La idea es considerar a un sistema ideal, cerrado, con número de partículas y energía interna, N y E, fijas. Las partículas son indistinguibles. El campo externo no tiene por qué ser uno de paredes rígidas, cualquier campo confinante es suficiente. El que sea ideal nos dice que el Hamiltoniano del sistema se puede escribir como, N H = h i (1) i=1 donde h i es el mismo Hamiltoniano para cada partícula. Supongamos que las energías de h son ɛ m y que hay Γ m estados (de una partícula) que tienen la misma energía ɛ m (i.e. podemos considerar Γ m como la degeneración de cada nivel, o en un límite continuo, como la densidad de estados). Supongamos que el número de partículas es grande, N 1; entonces, un estado del sistema completo puede describirse por la colección de los números de partículas {N 0, N 1, N 2,..., N n,...} que tienen energías {ɛ 0, ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ n,...}. Esos números son arbitrarios siempre y cuando satisfagan las condiciones, N = m N m E = m ɛ m N m. (2) Note que, a diferencia de la convención usada en la clase, la suma m no es sobre estados, sino sobre niveles de energía. Como hemos insistido en clase, 1

2 el sistema se la pasa cambiando de estado, esto es, cambiando los valores {N 0, N 1, N 2,..., N m,...} (más apropiadamente, realizando transiciones entre sus estados debido a las pocas pero siempre presentes colisiones entre sus partículas). Sin embargo, sabemos que si el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico los valores anteriores serán, casi siempre y con un alto grado de precisión, iguales a sus promedios, { N 0, N 1, N 2,..., N m,... }. El propósito de este ejercicio es hallar dicho estado de equilibrio, tomando en cuenta que las partículas cuánticas indistinguibles obedecen o la estadística de Bose-Einstein o la estadística de Fermi-Dirac. La idea física (... genial, diríamos algunos) que introdujo Boltzmann es el considerar a cada grupo de partículas con energía ɛ m, para cualquier valor de m, como un subsistema en el que el número de partículas N m fluctúa. Así, la entropía del sistema completo puede escribirse como S = m S m (ɛ m, N m ). (3) La Segunda Ley nos indica que en el espacio de parámetros de los subsistemas la entropía toma su valor máximo en el estado de equilibrio termodinámico. En nuestro caso, esto ocurre en el espacio de todos los valores posibles {N 0, N 1, N 2,..., N m,...}, sujetos a las condiciones dadas por las ecs.(2). Por supuesto, el valor máximo de S ocurre para { N 0, N 1, N 2,..., N m,... }. El problema se reduce ahora a hallar expresiones para S m (ɛ m, N m ), para las distintas estadísticas, sustituirlas en la entropía total S, ec.(3), y maximizarla sujeta a las restricciones dadas por las ecs.(2). Definimos, en general, a ω m (ɛ m, N m ) como el número de estados de las N m partículas que existen para los Γ n estados con energía ɛ m de una partícula. En otras palabras, ω m (ɛ m, N m ) es el número de maneras en el que podemos colocar N m partículas indistinguibles en Γ m estados de una partícula. Con esta cantidad podemos, entonces, calcular la entropía del subsistema m como, S m = k ln ω m (ɛ m, N m ). (4) Es claro que ω m (ɛ m, N m ) depende de la estadística... y calcularla es el trabajo que tiene usted! 2

3 Prob. 29. I) Partículas indistinguibles que obedecen la estadística de Bose-Einstein. En clase hallamos que para las partículas indistinguibles cuyas funciones de onda total son simétricas, se tiene como consecuencia que existe una probabilidad diferente de cero de hallar una o más partículas en el mismo estado (de una partícula). A esto le llamamos estadística de Bose-Einstein. (I-a). Muestre que el número de maneras en el que podemos colocar N m partículas indistinguibles en Γ m estados de una partícula, que obedecen la estadística de Bose-Einstein, está dado por ω m = Γ n + N m 1 Γ m 1 (5)... este paso es el más difícil de este problema... no es poca cosa, es lo que hizo Bose! Sugerencia: Este problema es el mismo que el número de maneras en el que se pueden colocar N m pelotas del mismo color (indistinguibles) en Γ m cajas (distinguibles), pudiendo poner ninguna, una o más de una pelotas en cada caja. Note que no existe ninguna restricción entre N m y Γ m. (I-b). Construya ahora la entropía total, ec.(3), usando la suposición termodinámica que N m 1 y Γ m 1. Encuentre el máximo de S, sujeto a las condiciones ecs.(2). Sugerencia: Introduzca dos multiplicadores de Lagrange y defina la función auxiliar, Q = S + kαn kβe, (6) con α y β multiplicadores de Lagrange y k la constante de Boltzmann. De esta manera Q = Q(N 0, N 1, N 2,..., N m,...) es función de los valores N m para toda m, sin ninguna restricción: Halle los valores { N 0, N 1, N 2,..., N m,... } que maximizan Q. 3

4 (I-c). Arguya que el número de ocupación promedio de un estado con energía ɛ m puede ser calculado como n m = N m Γ m (7) y muestre que 1 n m = e α+βɛm 1 que es la Distribución de Bose-Einstein. (8) (I-d). Suponga válida la relación de Euler de la Termodinámica e identifique Q, α y β. Prob. 30. II) Partículas indistinguibles que obedecen la estadística de Fermi-Dirac. En clase hallamos que para las partículas indistinguibles cuyas funciones de onda total son antisimétricas, se tiene como consecuencia que la probabilidad de hallar más de una partícula en el mismo estado (de una partícula) es cero; es decir, cada estado de una partícula puede ser ocupado a lo más por una partícula. A esto le llamamos estadística de Fermi-Dirac. (II-a). Muestre que el número de maneras en el que podemos colocar N m partículas indistinguibles en Γ m estados de una partícula, que obedecen la estadística de Fermi-Dirac, está dado por ω m = Γ m N m (9)... esto fue lo que hizo Fermi, basado en el Principio de Exclusión de Pauli. Sugerencia: Este problema es el mismo que el número de maneras en el que se pueden colocar N m pelotas del mismo color (indistinguibles) en Γ m cajas (distinguibles), pudiendo poner ninguna o sólo una pelota en cada caja. Note que se tiene la siguiente restricción, Γ m N m. (II-b). Repita el procedimiento del punto (I-b) con esta estadística. 4

5 (II-c). De manera análoga al punto (I-c), introduzca el número de ocupación promedio y muestre que en este caso se tiene, la distribución de Fermi-Dirac. n m = 1 e α+βɛn + 1 (10) (II-d). Repita el procedimiento del punto (I-d) para esta estadística. Prob. 31. III) Partículas indistinguibles que obedecen la estadística de Maxwell-Boltzmann. (III-a). Muestre que en el límite diluido Γ m N m, es decir, cuando el número de estados con energía ɛ m es mucho mayor que el número de partículas N m, las expresiones (5) y (9) se reducen a ω m ΓNm m N m! (11) Note que el numerador es bosónico y el denominador es fermiónico, explique por qué y discuta. (III-b). Repita los procedimientos de los incisos (I-b) y (I-c) y muestre que el número de ocupación en este caso es n m = e α βɛm (12) que es la distribución de Maxwell-Boltzmann, aplicable a partículas clásicas indistinguibles. Note que (III-a) implica n m 1 y por lo tanto que e α 1. Prob. 32. Desigualdades para los gases de Fermi y Bose Muestre que pv < NkT gas de Bose pv > NkT gas de Fermi con N el número promedio de partículas. De una interprestación física de estos resultados. 5

6 Prob. 33. Unos calculitos de fermiones... a) Calcule la presión de un gas de electrones en un cristal de plata a temperatura ambiente. b) Estime la temperatura requerida para que la distribución de velocidades de un gas de Fermi tienda a la distribución de Maxwell-Boltzmann, si la densidad electrónica es electrones/cm 3. 6

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