Computational Logic Chapter 5. Intuitionistic Logic

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1 Computational Logic Chapter 5. Intuitionistic Logic Pedro Cabalar Dept. Computer Science University of Corunna, SPAIN January 18, 2011 P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

2 Outline 1 Lógica intuicionista P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

3 Intuicionismo Lógica intuicionista Intuicionismo (L. E. J. Brouwer, 1920 s) es un tipo de constructivismo matemático. Todo objeto matemático es una construcción mental. Debe existir, por tanto, una forma o método para construirlo. Hay muchas propiedades matemáticas no resueltas. Ejemplos: Conjetura de Goldbach: todo número par es suma de dos primos Contiene π nueve nueves seguidos? Sea A(n) = el n-ésimo número de π está precedido por 8 nueves P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

4 Intuicionismo Lógica intuicionista Intuicionismo (L. E. J. Brouwer, 1920 s) es un tipo de constructivismo matemático. Todo objeto matemático es una construcción mental. Debe existir, por tanto, una forma o método para construirlo. Hay muchas propiedades matemáticas no resueltas. Ejemplos: Conjetura de Goldbach: todo número par es suma de dos primos Contiene π nueve nueves seguidos? Sea A(n) = el n-ésimo número de π está precedido por 8 nueves. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

5 Intuicionismo Lógica intuicionista Intuicionismo (L. E. J. Brouwer, 1920 s) es un tipo de constructivismo matemático. Todo objeto matemático es una construcción mental. Debe existir, por tanto, una forma o método para construirlo. Hay muchas propiedades matemáticas no resueltas. Ejemplos: Conjetura de Goldbach: todo número par es suma de dos primos Contiene π nueve nueves seguidos? Sea A(n) = el n-ésimo número de π está precedido por 8 nueves. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

6 Intuicionismo Lógica intuicionista Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico. Decir que existe un objeto xφ(x) no equivale a probar su no existencia x φ(x). No acepta la ley del tercero excluido φ φ. Ejemplo xa(x) xa(x) No acepta el principio de doble negación φ φ. Ejemplo: ( xa(x) xa(x)) es válido. Una de las leyes de de Morgan falla (φ ψ) φ ψ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

7 Intuicionismo Lógica intuicionista Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico. Decir que existe un objeto xφ(x) no equivale a probar su no existencia x φ(x). No acepta la ley del tercero excluido φ φ. Ejemplo xa(x) xa(x) No acepta el principio de doble negación φ φ. Ejemplo: ( xa(x) xa(x)) es válido. Una de las leyes de de Morgan falla (φ ψ) φ ψ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

8 Intuicionismo Lógica intuicionista Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico. Decir que existe un objeto xφ(x) no equivale a probar su no existencia x φ(x). No acepta la ley del tercero excluido φ φ. Ejemplo xa(x) xa(x) No acepta el principio de doble negación φ φ. Ejemplo: ( xa(x) xa(x)) es válido. Una de las leyes de de Morgan falla (φ ψ) φ ψ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

9 Intuicionismo Lógica intuicionista Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico. Decir que existe un objeto xφ(x) no equivale a probar su no existencia x φ(x). No acepta la ley del tercero excluido φ φ. Ejemplo xa(x) xa(x) No acepta el principio de doble negación φ φ. Ejemplo: ( xa(x) xa(x)) es válido. Una de las leyes de de Morgan falla (φ ψ) φ ψ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

10 Intuicionismo Lógica intuicionista Como resultado: es más restrictivo que el razonamiento clásico. Decir que existe un objeto xφ(x) no equivale a probar su no existencia x φ(x). No acepta la ley del tercero excluido φ φ. Ejemplo xa(x) xa(x) No acepta el principio de doble negación φ φ. Ejemplo: ( xa(x) xa(x)) es válido. Una de las leyes de de Morgan falla (φ ψ) φ ψ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

11 Lógica Intuicionista Formalización del intuicionismo: Arend Heyting Veamos axiomatización del caso proposicional (IPC). Cálculo positivo de Hilbert (HPC) p (q p) (p (p q)) (p q) (p q) ((q r) (p r)) (p q) p (p q) q p (q (p q)) p p q q p q (p q) ((q r) (p q r)) más las reglas de Modus Ponens y Sustitución Uniforme. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

12 Lógica Intuicionista Formalización del intuicionismo: Arend Heyting Veamos axiomatización del caso proposicional (IPC). Cálculo positivo de Hilbert (HPC) p (q p) (p (p q)) (p q) (p q) ((q r) (p r)) (p q) p (p q) q p (q (p q)) p p q q p q (p q) ((q r) (p q r)) más las reglas de Modus Ponens y Sustitución Uniforme.. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

13 Lógica Intuicionista El cálculo proposicional intuicionista se define como IPC=HPC + los axiomas de negación (p p) p p (p q) El cálculo proposicional clásico se puede definir como PC=IPC + tercio excluido p p PC=HPC + ( p q) (q p). HPC se usa en otras lógicas de negación más débil que la intuicionista. Ejemplo: Lógica Minimal de Johansson JPC=HPC+(p q) ( q p)+ (p p) P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

14 Lógica Intuicionista El cálculo proposicional intuicionista se define como IPC=HPC + los axiomas de negación (p p) p p (p q) El cálculo proposicional clásico se puede definir como PC=IPC + tercio excluido p p PC=HPC + ( p q) (q p). HPC se usa en otras lógicas de negación más débil que la intuicionista. Ejemplo: Lógica Minimal de Johansson JPC=HPC+(p q) ( q p)+ (p p) P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

15 Lógica Intuicionista El cálculo proposicional intuicionista se define como IPC=HPC + los axiomas de negación (p p) p p (p q) El cálculo proposicional clásico se puede definir como PC=IPC + tercio excluido p p PC=HPC + ( p q) (q p). HPC se usa en otras lógicas de negación más débil que la intuicionista. Ejemplo: Lógica Minimal de Johansson JPC=HPC+(p q) ( q p)+ (p p) P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

16 Lógica Intuicionista En primer orden añadimos los axiomas: ϕ(t) xϕ(x) xϕ(x) ϕ(t) y las reglas ψ ϕ(x) ψ ϕ(x) ϕ(x) ψ xϕ(x) ψ con x no libre en t o en ψ. Todas las conectivas,,,,, son necesarias. Tan sólo podemos definir ϕ como ϕ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

17 Lógica Intuicionista En primer orden añadimos los axiomas: ϕ(t) xϕ(x) xϕ(x) ϕ(t) y las reglas ψ ϕ(x) ψ ϕ(x) ϕ(x) ψ xϕ(x) ψ con x no libre en t o en ψ. Todas las conectivas,,,,, son necesarias. Tan sólo podemos definir ϕ como ϕ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

18 Lógica Intuicionista Lógica intuicionista Cálculo de secuentes intuicionista. Basta con modificar el caso clásico del siguiente modo: Los secuentes sólo tienen una fórmula al lado derecho Γ, α β Cambiamos la regla Γ, α Γ, β Γ, Γ, α β, L por la nueva: Γ, α ϕ Γ, β ϕ Γ, Γ, α β ϕ L P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

19 Lógica Intuicionista Lógica intuicionista Para primer orden (al igual que en clásico) añadimos las reglas: Γ, α(y) Γ, xα(x) ( L) Γ α(t), Γ xα(x), ( R) Γ, α(t) Γ, xα(x) ( L) Γ α(y), Γ xα(x), ( R) ojo ( L), ( R) sólo cuando y no aparece en ninguna otra fórmula. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

20 Lógica Intuicionista: semántica Kripke Semántica Kripke para cálculo intuicionista proposicional. Muy similar a modal, tenemos W,, V con W conjunto de mundos, accesibilidad y V : W Atoms {0, 1}.... pero además: 1 Condición de persistencia: si w u y V (w, p) = 1 entonces V (u, p) = 1. 2 es una relación de orden parcial (transitiva, reflexiva). P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

21 Lógica Intuicionista: semántica Kripke Semántica Kripke para cálculo intuicionista proposicional. Muy similar a modal, tenemos W,, V con W conjunto de mundos, accesibilidad y V : W Atoms {0, 1}.... pero además: 1 Condición de persistencia: si w u y V (w, p) = 1 entonces V (u, p) = 1. 2 es una relación de orden parcial (transitiva, reflexiva).. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

22 Lógica Intuicionista: semántica Kripke La satisfactibilidad se define como w = p si V (p, w) = 1 w = ϕ ψ si w = ϕ o w = ψ w = ϕ ψ si w = ϕ y w = ψ w = ϕ ψ si para todo u tal que w u, u = ϕ o u = ψ. w = Ejemplos: probar la no validez de ϕ ϕ o de ϕ ϕ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

23 Lógica Intuicionista: semántica Kripke La satisfactibilidad se define como w = p si V (p, w) = 1 w = ϕ ψ si w = ϕ o w = ψ w = ϕ ψ si w = ϕ y w = ψ w = ϕ ψ si para todo u tal que w u, u = ϕ o u = ψ. w = Ejemplos: probar la no validez de ϕ ϕ o de ϕ ϕ. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

24 Lógica Intuicionista: semántica Kripke En primer orden la cosa se complica. El dominio o universo no tiene por qué ser fijo. Tenemos D w para cada w W. La persistencia implica ahora que, si w u entonces D w D u, los átomos ciertos en D w lo son también en D u y las correspondencias de functiones en w se mantienen en u. Por lo demás, es similar a clásico w = xϕ(x) si para todo d D w, w = ϕ(d) w = xϕ(x) si para algún d D w, w = ϕ(d) P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

25 Lógica Intuicionista: semántica Kripke En primer orden la cosa se complica. El dominio o universo no tiene por qué ser fijo. Tenemos D w para cada w W. La persistencia implica ahora que, si w u entonces D w D u, los átomos ciertos en D w lo son también en D u y las correspondencias de functiones en w se mantienen en u. Por lo demás, es similar a clásico w = xϕ(x) si para todo d D w, w = ϕ(d) w = xϕ(x) si para algún d D w, w = ϕ(d). Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

26 Lógica Intuicionista: semántica Kripke En primer orden la cosa se complica. El dominio o universo no tiene por qué ser fijo. Tenemos D w para cada w W. La persistencia implica ahora que, si w u entonces D w D u, los átomos ciertos en D w lo son también en D u y las correspondencias de functiones en w se mantienen en u. Por lo demás, es similar a clásico w = xϕ(x) si para todo d D w, w = ϕ(d) w = xϕ(x) si para algún d D w, w = ϕ(d). Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

27 Lógica Intuicionista: correspondencia con S4 Podemos traducir fórmulas intuicionistas a S4 (Gödel 1933) := p := Lp (ϕ ψ) := ϕ ψ (ϕ ψ) := Lϕ Lψ (ϕ ψ) := Lϕ Lψ ( ϕ) := Lϕ ϕ es un teorema en IPC sii ϕ es un teorema en S4. P. Cabalar ( Dept. Ch5. Computer Intuitionistic ScienceLogic University of Corunna, SPAIN January ) 18, / 13

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