INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

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1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.- HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Los juegos de zr tee u tgüedd de ás de ños; sí por ejeplo los ddos se utlzro tto e el juego oo e ereos relgoss. Ls vlzoes tgus expl el zr edte l volutd dv. E el Reeto el doo progresvo de exploes teológs odue u reosderó de los experetos letoros. Y e el sglo XVI los teátos tlos oezro terpretr los resultdos de experetos letoros sples y fles del sglo XVI exstí u álss epíro de los resultdos letoros. El desrrollo del álss teáto de los juegos de zr se produe letete durte los sglos XVI y XVII. El álulo de prolddes se osold oo dspl depedete e el período que trsurre desde l segud td del sglo XVII hst oezos del sglo XVIII. L hstor de l proldd oez e el sglo XVII udo Fert y Psl trt de resolver lguos proles relodos o los juegos de zr. Auque lguos r sus os udo Crdo (jugdor dode los hy) esró sore 50 El Lro de los Juegos de Azr (uque o fue puldo hst ás de u sglo después sore 660) o es hst dh feh que oez elorrse u teorí eptle sore los juegos. L teorí de l proldd fue pld o ueos resultdos ls ess de juego y o el tepo otros proles sooeoóos. Durte el sglo XVIII el álulo de prolddes se extede proles físos y turles (seguros rítos). El ftor prpl pulsor es el ojuto de proles de strooí y fís que surge lgdos l otrstó epír de l teorí de Newto. Ests vestgoes v ser de port fudetl e el desrrollo de l Estdíst. L dustr de los seguros que ó e el sglo XIX requerí u ooeto exto del resgo de perder pues de lo otrro o se podí lulr ls pólzs.

2 _Aputes de Estdíst II Posterorete se estud l proldd oo u strueto que pertrí eteder los feóeos soles. L eesdd de oprr o exttud los dtos oservdos o l teorí requerí u trteto rguroso del so que v dr lugr l teorí de errores. Durte el sglo XVIII dedo uy prtulrete l populrdd de los juegos de zr se pulro vros douetos de este tpo. Jko Beroull ( ) Ars Cojetd (puldo e 7 uque esrto sore 690) y Auguste De Movre ( ) otruyero de for portte este desrrollo. Jo Beroull proporo l prer soluó l prole de estr u tdd desood prtr de u ojuto de edoes de su vlor que por el error experetl preset vrldd. Fue poero e l pló del álulo ftesl l álulo de prolddes. Té deás de Arh de Movre el reveredo Thos Byes y Joseph Lgrge vetro fóruls y tés de proldd. El pulso fudetl provee de l or de Perre So Mrqués de Lple puló Théore lytque des proltés e el que expoe u álss teáto sore los juegos de zr y fue que dujo l prer defó explít de proldd. Té desrrolló l ley orl oo odelo pr desrr l vrldd de los errores de edd foruló y estó el prer odelo expltvo estdísto. Por su prte Guss hzo su portó e l estó de odelos estdístos. Brvs geólogo y stróoo es el prero e osderr l reló etre errores de edd depedetes etre sí; Bejí Pere propoe el prer rtero pr rehzr oservoes heterogées o el resto y S. Newo el ás foso stróoo ero del sglo XIX trodue los preros étodos de estó udo hy errores fuertes e lguos dtos (Estó Roust). Desde los orígees l prpl dfultd pr poder osderr l proldd oo u r de l teát fue l eloró de u teorí sufeteete pres oo pr que fuese eptd oo u for de teát. A prpos del sglo XX el teáto ruso A. Kologorov l defó de for xoát y estleó u teorí ás pl oo es l teorí de l edd. E l tuldd l teorí teát de l proldd osttuye el fudeto de ls ploes estdísts tto e l vestgó sol oo e l to de desoes. L eesdd de sorter l ertdure os llev estudr y plr l teorí de l proldd. Pr teer éxto e l to de desoes se eest l pdd de trtr ssteátete o l ertdure s edte uddoss evluoes y ploes de étodos estdístos oeretes ls tvddes de los egoos. Ls ploes de étodos estdístos e ls dferetes áres so ueross.

3 Itroduó l álulo de prolddes.- INTRODUCCIÓN E l vd otd pree uhs stuoes e ls que los resultdos oservdos so dferetes uque ls odoes les e ls que se produe l expere se ls ss. Por ejeplo l lzr u oed us vees resultrá r y otrs ruz. Estos feóeos deodos letoros se ve fetdos por l ertdure. E el leguje htul frses oo "proleete..." "es poo prole que..." "hy uhs poslddes de que..." he refere est ertdure. L teorí de l proldd pretede ser u herret pr odelzr y trtr o stuoes de este tpo. Por otr prte udo plos ls tés estdísts l reogd álss e terpretó de los dtos l teorí de l proldd proporo u se pr evlur l fldd de ls olusoes lzds y ls feres relzds. El ojetvo del Cálulo de Prolddes es el estudo de étodos de álss del oporteto de feóeos letoros. Auque desde sus orígees sepre h estdo lgds es erto que exste u erto prlelso etre l estdíst desrptv y el álulo de prolddes oo se puede prer e l sguete tl: ESTADÍSTICA f F Vrle Udesol Vrle Bdesol Dstruó de freues Meds Moetos Idepede Estdíst Seres Teporles PROBABILIDAD Proldd Vrle letor Vetores letoros Dstruó de Proldd (Fuó de dstruó) Esperz Moetos Idepede Estoást Proesos Estoástos E l tvdd dr os eotros o ertos tpos de feóeos que se puede reprodur u gr úero de vees e odoes slres ddo lugr u ojuto de dos o ás posles resultdos. Estos feóeos puede ser de dos tpos: deterístos y letoros.

4 _Aputes de Estdíst II 4..- Coeptos ásos Co ellos vos dr u sere de oeptos pr poder desrrollr este te y los suesvos. o Feóeo deterísto.- Cudo l repetrlo jo déts odoes les se otee sepre los sos resultdos. o Feóeo letoro.- Cudo l repetrlo jo déts odoes les o se otee sepre los sos resultdos. Ejeplo: udo lzos u oed l re oservdo l suesó de rs y rues que preset. o Expereto letoro.- Operó que repetos jo déts odoes les y o se otee sepre los sos resultdos. Ejeplo: lzeto de u ddo oservdo l suesó de úeros que se preset { 4 56}. o Sueso eleetl.- Cd uo de los resultdos posles del expereto letoro; luego u sueso eleetl ost de u solo eleeto del espo uestrl (E). E el ejeplo del ddo: {}. 4 Sueso A ( 4) Sueso eleetl B o Espo uestrl.- Cojuto de todos los suesos eleetles del expereto letoro y lo desgreos oo (E). Ejeplo del ddo: {456} o Sueso.- Cojuto fordo por uo o ás suesos eleetles es der u suojuto de resultdos eleetles del expereto letoro. Ejeplo del ddo: os teres ser s el resultdo sdo u úero pr A{ 5}. o Sueso seguro.- Code o el sueso eleetl y que l relzr el expereto letoro se otedrá o segurdd uo de los posles resultdos o suesos eleetles y por tto ourrrá (E). o Dos suesos se de que so gules udo todo sueso eleetl de uo está e el otro y vevers. o Sueso posle.- Es el que o tee gú eleeto del espo uestrl (E) y por tto o ourrrá u y se represet oo. Ejeplo: E el lzeto del ddo o puede drse el 7.

5 Itroduó l álulo de prolddes 5 o Sueso opleetro u sueso A: Es el sueso que se verf s oo resultdo del expereto letoro o se verf A. Se ostur deotr o el síolo Ā. o Suesos optles: Los suesos A y B so optles o utuete exluyetes s o puede ourrr sultáeete. A { } B {d e} E A B d e o S teeos dos suesos ulesquer A B: A está otedo e B etoes B o está otedo e A A B B A o S teeos dos suesos ulesquer A B: dode A está otedo e B y B está otedo e A etoes A B. A B / A B B A A B..- Operoes o suesos Al ser los suesos letoros d ás que suojutos de u ojuto E (espo uestrl) podeos plrles ls oods operoes o ojutos oo so l uó terseó y dfere: o Sueso otedo e otro.- U sueso A se de que está otedo o dudo e otro B s sepre que se verf A se verf B. Se represet A B.

6 _Aputes de Estdíst II 6 Ejeplo: Cosderdo el expereto letoro del lzeto de u ddo s desgos por: A que prez el ó el 4 { 4} B que prez u úero pr: { 46} El sueso A B pues los resultdos o suesos eleetles y 4 de A perteee B. Dreos té que A pl B y lo deotreos A B. o Iguldd de suesos.- Ddos dos suesos A y B dreos que so gules s sepre que ourre el sueso A té ourre el sueso B y sepre que ourre el sueso B ourre el sueso A y lo dreos por A B. Es der s se verf: A B A B B A Ejeplo: Se los suesos: A oteer u úero pr l lzr u ddo { 46} B oteer u últplo de { } Aquí se verf que: Luego A B. A B pues sepre que ourre A ourre B B A pues sepre que ourre B ourre A o Dfere de suesos.- Ddos dos suesos letoros A B E se ll sueso dfere de A y B y se represet edte A/B o e A-B l sueso letoro fordo por todos los suesos eleetles que perteee A pero o B. o Uó de suesos.- Ddos dos suesos A y B se ll uó de A y B y se represet por A B l sueso que se relz udo se relz lguo de ellos A o B es der todos los eleetos que está e A ó está e B.

7 Itroduó l álulo de prolddes 7 Ejeplo: Se los suesos: A oteer el lzeto de u ddo u úero pr { 5} B oteer u úero yor que 4 { 5 6} El sueso uó será: A B { 5 } { 5 6} { 5 6} O se oteer u u u 5 ó u 6 e el lzeto del ddo. o Iterseó de suesos.- Ddos dos suesos A y B se ll sueso terseó de A y B y se represet por A B l sueso que se relz s y sólo s se relz sultáeete A y B. Ejeplo: Utlzdo el ejeplo de l uó l terseó vee dd por: o Suesos Ioptles.- Dos suesos A y B uy terseó es el sueso posle se ll suesos optles. Osérvese que u sueso y su otrro so sepre optles. A B φ. o Suesos Copleetros.- Ddo u sueso A se ll sueso otrro o opleetro de A y se represet por Ā l sueso que se relz udo o se relz A y reíproete.

8 _Aputes de Estdíst II 8 El sueso otrro de E es φ y reíproete. Ā E A. Ejeplo: E A B C { 456 } { } A { 456} { 46} B { 5 } { 5} C { 46}..- Propeddes de l uó e terseó de suesos Segudete se preset u sere de propeddes que verf tto l uó oo l terseó de dos o ás suesos. Tles propeddes so oues s oo se uestr e l sguete tl: UNION INTERSECCION. Asotv (AUUCAU(BUC) (A CA (B C). Couttv AUBBUA A BB A. Idepotete AUAA A AA 4. Splftv AU(B A)A A (BUA)A 5. Dstrutv AU(B C)(AU (AUC) A (BUC)(A U(A C) _ Todo sueso A del espo de suesos tee otro lldo otrro A tl que: AUAE A Aφ De ests propeddes surge ls sguetes oseues edts: ) AUφA A φφ ) A EA AUEE ) Leyes de Morg: A B A U B A U B A B. Ejeplo: Se u expereto letoro de lzr u ddo y defos:

9 Itroduó l álulo de prolddes 9 A {pr} B {pr} C {últplo de } Clulr: ) ) ) d) AU B AUC B UC AU B { 456 } { 46 } { 56 } { 456 } E E e) A B 0/ f ) g) ) A C B C {} 6 {} h) B C B C ( AU C { 6} { 5}.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD Pr defr l proldd vos dr vrs defoes o oeptos de proldd. Co ests defoes se pretede expresr de er ojetv y pres el grdo de ourre de ertos resultdos de u feóeo letoro. Coepto Freuetst.- Ddo u sueso A que se repte u úero de vees s oservos l freue o que se repte ese sueso otedreos ls prolddes sods sgdo l freue reltv d sueso. Se ll freue solut de u sueso A l úero de vees que se verf A l relzr el expereto u úero deterdo de vees. Se ll freue reltv de u sueso A l oete etre su freue solut y el úero de vees que se relz el expereto que vee dd por: f (A) r f (A) dode el úero de vees que se repte el expereto. Defó de Lple.- L proldd de ulquer sueso A es gul l oete etre el úero de resultdos fvorles o resultdos que tegr el sueso A y el úero totl de eleetos o posles resultdos del espo uestrl E.

10 _Aputes de Estdíst II 0 A) º de sos fvorles º de sos posles Coo heos vedo oservdo los suesos los osdereos oo ojutos sedo váldo pr los suesos todo lo estuddo e l teorí de ojutos. Pr llegr l ostruó xoát del Cálulo de Prolddes eestos dr us estruturs lgers áss ostruds sore los suesos de l s er que o ostruí sore los ojutos. Todo feóeo letoro llev sodo u espo uestrl. Pr edr el grdo de ourre de los suesos defos el Álger de Boole álger de suesos o sg álger que verf sguetes odoes:.- El opleetro de u sueso A que perteee l Alger té perteee l lger: A Є Ą Ā Є Ą.- S teeos u sere de suesos ftos (A A..A ) ftos uerles que perteee l Ą l uó de todos ellos tee que perteeer Ą. A A... A Є Ą A.- El sueso posle té perteee l Ą φ Є Ą A.. A Є Ą. Bsádose e dho álger kologorov do l defó xoát de proldd que vee dd otuó. Se ll proldd sod l álger de Boole u pló Ą R tl que d vlor de A le he orrespoder u proldd que verf los sguetes xos: Axo : Sepre es postv. Axo : Sepre estrá etre 0 y. P[ E]. Axo : Se A... A suesos tles que so dsjutos dos dos (es der l terseó es Ø) A Aj φ l proldd es l su de tods ls prolddes de suesos. A ) A ).

11 Itroduó l álulo de prolddes A A A Del terer xo se desprede que s que s A φ A P A + P A + + P[ A es der Ρ U Α j A etoes P [ ] [ ] [ ] ] ( ) ΣΡ( ). Α o Ejeplo: Clul A. L soluó es: A) {5} {46} 5) + 46) ) Solo udo A 0 es der que so dsjutos. Ejeplo: Se u expereto letoro que osste e lzr l re los ddos que o está rgdos y se osder espo uestrl el resultdo de l su de los vlores otedos lulr: { }.- Espo uestrl: E eleetos.- L proldd del sueso A { } P ( A).- L proldd del sueso B { pr} P ( 4.- L proldd del sueso C { 0} P ( C) 5.- L proldd del sueso D { 4567} P ( D) 6.- AU {4680} 6 / 6 4

12 _Aputes de Estdíst II 7.- AU C) {0} 4 / 8.- D U C) {890} 7 / 9.- B U D) {45679} 7 / 0.- A AU { } 0 /.- B U C) { } 0 /.- B D) {46} /...- Espo Prolísto Llos espo prolíst l ter ford por u espo uestrl E; el álger de suesos Ą y u proldd P es der ( E Ą P ). Sus propeddes so: ) L proldd del opleetro de A es eos l proldd de A: Pro [Ā] - Pro [A]. ) L proldd de l uó de A y B es gul l proldd de A ás l proldd de B eos l proldd de l terseó de A y B: Pro [A U B] Pro [A] + Pro [B] - Pro [A B]. ) L proldd del sueso vío es 0: Pro [O] 0 4) S A otee B etoes l proldd de A es eor o gul que l proldd de B: A B Pro [A] Pro [B] 5) L proldd de A es eor o gul : Pro [A]. 4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA Hst hor heos vsto el oepto de proldd prtedo de que l ú foró que teeos sore el expereto es el espo uestrl. S ergo e osoes se ooe que u deterdo sueso h ourrdo. Modfrá est foró dol l proldd de que ourr otro sueso?. Vereos que

13 Itroduó l álulo de prolddes geerlete sí. A prtr de est de surge l de de proldd odod que se defe: Se u espo prolísto y u sueso B perteeete l Alger de Boole tl que 0 etoes se defe l proldd de que ourr A s tes h ourrdo B oo: A B/A) A) s O. Aálogete podeos defr A/ oo A A/ s A) O. De ls defoes terores se dedue lrete ls reloes sguetes: o A A) B/A) o A A/ o A/. B/A). A) o A/ B / A) A) o P ( A / A). o S A B so depedetes A 0 P ( A / B / A) 0. etoes: o A est expresó se le ooe oo regl de l ultpló que e geerl pr u úero k de suesos vee dd por: P (A A... Ak) P (A)P (A/A)...P (Ak/A A... Ak ) Ejeplo: De u ur que otee 9 ols rojs y 5 egrs se extre suesvete ols. Clulr l proldd de los sguetes suesos: ) Que ls dos se egrs ) Que ls dos se rojs ) Que l prer se roj y l segud egr d) Que l segud se roj sedo que l prer fue egr L soluó e d prtdo es l sguete. ) Se N : Sr l ª Negr N : Sr l ª Negr

14 _Aputes de Estdíst II 4 N N ) N ) N /N ) 5/4 4/ ) Se R: Sr l ª Roj R : Sr l ª Roj R R ) R) R /R ) 9/4 8/ ) Se R : Sr l ª Roj N : Sr l ª Negr R N ) R ) N /R ) 9/4 5/ d) Se N : L ª es Negr R : L ª es Roj R /N ) 9/ (qued ols de ls ules 9 so rojs). Ejeplo: Sedo que l lzr u ddo h sldo u úero pr hllr l proldd que este úero hy sdo u dos: A 6 ( A 6 P P ( A) { } P ( { 46} INDEPENDENCIA DE SUCESOS Se A y B dos suesos del espo uestrl. El sueso A se de depedete del sueso B s el ooeto de l ourre de B o odf l proldd de pró de A es der s P (A/ P (A) o A) A/. Propedd: S dos suesos A B so depedetes etoes sepre se verf: De l defó y de est propedd se dedue que s los suesos A y B so depedetes se verf: o Los suesos A y B so depedetes. o Los suesos A y B so depedetes. o Los suesos A y B so depedetes. o Deos que suesos so depedetes s se verf: P A A... A ) A ) A )... A ). (

15 Itroduó l álulo de prolddes 5 Ejeplo: Se osder dos suesos A y B sodos u expereto letoro o A)0.7; 0.6; )0.58. So depedetes A y B? Pr ver s so depedetes oproreos s A B ) A ) B ) ) P[(A ] - A Por tto A - ) Por otro ldo A ) B ) Luego A y B so depedetes pues A B ) A ) B ) 0.4 Ejeplo: Se u expereto letoro que osste e lzr u tetredro regulr uys rs está uerds del l 4 y se defe los suesos: A { ó } B { ó } C { ó 4} Clulr: ) P A 4 ( ) ( 4 ( ) 4 ) P ) P C d) Proldd de oteer u P ( ) A A C) B C) / 4 So depedetes los suesos A B y C? P ( A A) / / / 4 P ( A C) A) C) / / / 4 P ( B C) C) / / / 4 Sgf que A es depedete de B que A es depedete de C que B es depedete de C. A B C) A) C) A B C) ) / 4 A) C) / / / / 8 Luego / 4 / / 8

16 _Aputes de Estdíst II 6 No se uple l teror odó por lo que A B y C o so depedetes etre sí so depedetes dos dos. Ejeplo: E u rj de rts heos suprdo vrs de ells etre los que qued se verf ls sguetes prolddes: - Proldd de oteer u rey: 05 - Proldd de oteer u rt que se stos: 00 - Proldd de oteer u rt que o se rey stos: 06 Clulr: - Está etre ells el rey de stos? so frtvo dr su proldd.- - Cuáts rts hy e l rj? P ( Rey Bstos) P ( Re y Bstos) 0 6 Re y U Bstos) Re y U Bstos) P Re y + P Bstos Re y Bstos) ( ) ( ) Re y I Bstos) ( Re y Bstos) P Por lo que l ser yor que ero d que está el rey de stos o u proldd de Se ps 005 e for de fró: Lo que d que s l proldd de sr u rt (el rey de stos) es de etre 0 quere der que el úero totl de rts e l rj es de 0 (por l defó de Lple). 6.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL E prer lugr tes de defr el teore es eesro defr que es u ojuto opleto. Se de que u ojuto de suesos A A... A E for u sste opleto s verf: o So optles dos dos es der A A 0 j j o Que l uó de todos ellos es el espo uestrl es der A... A E. A Co todo esto se defe el teore de l Proldd Totl oo: Se A A...A u sste opleto de suesos tles que l proldd de d uo de ellos es dstt de ero y se B u sueso pr el que se ooe ls prolddes B/A ) etoes l proldd del sueso B vee dd por:

17 Itroduó l álulo de prolddes 7 PB ( ) PA ( ) PB ( / A). Fgur: S A A A A4 A5 for u sste opleto podeos lulr l proldd de B prtr de ls tddes [ B A ] P o lo que es lo so [ B / A ] P[ A ] P L deostró del teore es fál de her oo deostros. S A A A A 4 y A 5 for u sste exhustvo y exluyete de suesos podeos lulr l proldd de B prtr de ls prolddes de estos suesos es der prtr del sueso B se puede desopoer oo: B B E B ( A A A... A ) que pldo ls propeddes de los suesos es fál ver que todo esto es gul ( B A ) ( B A ) ( B A ) ( B ) B... A. Clulr l proldd de B es lo so que lulr l proldd de l expresó teror es der P ( B A ) + B A ) B ) A y que l ser u sste opleto ls terseoes so vís. Adeás oo seos que P ( A ( A P / P etoes l proldd de se puede desopoer oo P ( A A / ( B / A ) A ) + B / A ) A ) B / A ) A ) A ) B / A ).

18 _Aputes de Estdíst II 8 Ejeplo : Se tee dos urs l º tee ols ls y egrs l º tee ols ls y egrs. Se elge u ur l zr y de ell se extre u ol. Clulr l proldd de que se l. Se A : elegr l ur º A : elegr l ur º B: extrer ol l A ) B/A ) + A ) B/A ) / /5 + / /5 /. Ejero : U opñí dedd l trsporte púlo explot tres líes de u udd de for que el 60% de los utouses ure el servo de l prero líe el 0% ure l segud y el 0% ure el servo de l terer líe. Se se que l proldd de que drete u utoús se veríe es del % 4% y % respetvete pr d líe. Deter l proldd de que e u dí u utoús sufr u verí. Soluó: Pr oteer l soluó defos el sueso "sufrr u verí" (Av) puede produrse e ls tres líes (L L L ). Segú el teore de l proldd totl y teedo e uet ls prolddes del dgr de árol djuto teeos: Av) L ) Av/L ) + L ) Av/L ) + L ) Av/L ) Ejero : U epres del ro de l letó elor sus produtos e utro ftorís: F F F y F 4. El poretje de produó totl que se fr e d ftorí es del 40% 0% 0% y 0% respetvete y deás el poretje de evsdo orreto e d ftorí es del % % 7% y 4%. Toos u produto de l epres l zr. Cuál es l proldd de que se euetre defetuosete evsdo? Soluó: Lldo M "el produto está defetuosete evsdo" se tee que este produto puede proeder de d u de ls utro ftorís y por tto segú el teore de l proldd totl y teedo e uet ls prolddes del dgr de árol djuto teeos:

19 Itroduó l álulo de prolddes 9 M) F ) M/F ) + F ) M/F ) + F ) M/F ) + F 4 ) M/F 4 ) Ejero 4: Pr relzr u expereto letoro dspoeos de u uestr de o oesoros de ohes de los ules dos oesoros tee ohes los y 5 zules otros dos oesoros tees ohes los y zules y el últo oesoro tee ohes los y zul. Cuál es l proldd de elegr u ohe zul? Sueso A: los y 5 zules Coo exste suesos A etoes A)/5 Proldd de esoger zul e estos dos oesoros zul/a)5/8 Sueso B: los y zules Coo exste suesos B etoes /5 Proldd de esoger zul e estos dos oesoros zul//5 Sueso C: los y zul Coo exste sueso C etoes C)/5 Proldd de esoger zul e este oesoro zul/c)/ zul)a)*zul/a)+ *zul/+ C)*zul/C) P ( zul) S huéseos optdo por herlos oo 5 suesos dvdules: zul) A)*zul/A)+A)*zul/A)+*zul/+*zul/+C)*zul/C)

20 _Aputes de Estdíst II zul) TEOREMA DE BAYES Se A A... A u sste opleto de suesos tl que l proldd de d uo de ellos es dstt de ero y se B u sueso ulquer pr el que se ooe ls prolddes B/A ) etoes: A ) B / A ) A ) B / A ) A /... A ) B / A ) Deostró : A A ) B/A ) A /... despejdo A / os qued: A ) B / A ) A /... PB ( ) y por el teore de l proldd totl : A / A ) B / A ) A ) B / A )... Ejeplo: Bsádoos e el ejero teror supogos que relzd l extró l ol extríd es l. Clulr l proldd de que se de l ur º. Pr resolverlo t sólo plr l fórul A / A ) B / A ) A ) B / A ) + A ) B / A ) Ejero: Teeos tres urs: A o ols rojs y 5 egrs B o ols rojs y egr y C o ols rojs y egrs. Esogeos u ur l zr y extreos u ol. S l ol h sdo roj uál es l proldd de her sdo extríd de l ur A? Soluó:

21 Itroduó l álulo de prolddes Pr oteer l soluó llos R "sr ol roj" y N "sr ol egr". E el dgr de árol djuto puede verse ls dstts prolddes de ourre de los suesos R o N pr d u de ls tres urs. L proldd pedd es A/R). Utlzdo el teore de Byes teeos: Del ejeplo 4 teror de los oesoros uál es l proldd de que el ohe zul elegdo se del oesoro dode hy sólo ohes los y zul? Síos que 0 6 zul) etoes C) zul C) C zul) 5 00 A) zul A) + zul + C) zul C) COMBINATORIA El álss otoro se oup de l ordeó de los ojetos detro de u ojuto. E este setdo os fltrá étodos que será útles pr deterr el

22 _Aputes de Estdíst II úero de resultdos posles de u expereto. Veos otuó de u for reve ls foruls otors: Vroes s repetó: Se ll Vroes s repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos teedo e uet el orde. (Iport el orde y o se puede repetr). V (-)... (-+). Ejeplo: Se u ojuto fordo por ls letrs. Cuátos grupos de letrs se puede oteer s repetr los eleetos teedo e uet el orde? V ( + ) 6 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Vroes o repetó: Se ll Vroes o repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos teedo e uet el orde. Es l s defó teror pero pudedo repetr los eleetos que tervee e el grupo. VR Sguedo o el ejeplo teror Cuátos grupos de letrs se puede oteer reptedo los eleetos teedo e uet el orde? V 9 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Perutoes s repetó: Se ll Perutoes de eleetos ls vroes s repetó pero el úero de eleetos ode o el úero de grupo. (port el orde y o se puede repetr). P V! Sguedo o el ejeplo Cuátos grupos de letrs se puede oteer s repetr los eleetos teedo e uet el orde? P! 6

23 Itroduó l álulo de prolddes { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Cooes s repetó: Se ll Cooes s repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos s teer e uet el orde. (No port el orde se puede repetr). C )! (!! Sguedo el prer ejeplo: ( ) 6!!! C { } ( ) ( ) ( ). Cooes o repetó: Se ll Cooes o repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos s teer e uet el orde. (No port el orde pero se puede repetr). CR + )! (! )! ( + Y por últo terdo el ejeplo ( ) ( ) !! 4!!!! + + C { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6

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