INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES"

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.- HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Los juegos de zr tee u tgüedd de ás de ños; sí por ejeplo los ddos se utlzro tto e el juego oo e ereos relgoss. Ls vlzoes tgus expl el zr edte l volutd dv. E el Reeto el doo progresvo de exploes teológs odue u reosderó de los experetos letoros. Y e el sglo XVI los teátos tlos oezro terpretr los resultdos de experetos letoros sples y fles del sglo XVI exstí u álss epíro de los resultdos letoros. El desrrollo del álss teáto de los juegos de zr se produe letete durte los sglos XVI y XVII. El álulo de prolddes se osold oo dspl depedete e el período que trsurre desde l segud td del sglo XVII hst oezos del sglo XVIII. L hstor de l proldd oez e el sglo XVII udo Fert y Psl trt de resolver lguos proles relodos o los juegos de zr. Auque lguos r sus os udo Crdo (jugdor dode los hy) esró sore 50 El Lro de los Juegos de Azr (uque o fue puldo hst ás de u sglo después sore 660) o es hst dh feh que oez elorrse u teorí eptle sore los juegos. L teorí de l proldd fue pld o ueos resultdos ls ess de juego y o el tepo otros proles sooeoóos. Durte el sglo XVIII el álulo de prolddes se extede proles físos y turles (seguros rítos). El ftor prpl pulsor es el ojuto de proles de strooí y fís que surge lgdos l otrstó epír de l teorí de Newto. Ests vestgoes v ser de port fudetl e el desrrollo de l Estdíst. L dustr de los seguros que ó e el sglo XIX requerí u ooeto exto del resgo de perder pues de lo otrro o se podí lulr ls pólzs.

2 _Aputes de Estdíst II Posterorete se estud l proldd oo u strueto que pertrí eteder los feóeos soles. L eesdd de oprr o exttud los dtos oservdos o l teorí requerí u trteto rguroso del so que v dr lugr l teorí de errores. Durte el sglo XVIII dedo uy prtulrete l populrdd de los juegos de zr se pulro vros douetos de este tpo. Jko Beroull ( ) Ars Cojetd (puldo e 7 uque esrto sore 690) y Auguste De Movre ( ) otruyero de for portte este desrrollo. Jo Beroull proporo l prer soluó l prole de estr u tdd desood prtr de u ojuto de edoes de su vlor que por el error experetl preset vrldd. Fue poero e l pló del álulo ftesl l álulo de prolddes. Té deás de Arh de Movre el reveredo Thos Byes y Joseph Lgrge vetro fóruls y tés de proldd. El pulso fudetl provee de l or de Perre So Mrqués de Lple puló Théore lytque des proltés e el que expoe u álss teáto sore los juegos de zr y fue que dujo l prer defó explít de proldd. Té desrrolló l ley orl oo odelo pr desrr l vrldd de los errores de edd foruló y estó el prer odelo expltvo estdísto. Por su prte Guss hzo su portó e l estó de odelos estdístos. Brvs geólogo y stróoo es el prero e osderr l reló etre errores de edd depedetes etre sí; Bejí Pere propoe el prer rtero pr rehzr oservoes heterogées o el resto y S. Newo el ás foso stróoo ero del sglo XIX trodue los preros étodos de estó udo hy errores fuertes e lguos dtos (Estó Roust). Desde los orígees l prpl dfultd pr poder osderr l proldd oo u r de l teát fue l eloró de u teorí sufeteete pres oo pr que fuese eptd oo u for de teát. A prpos del sglo XX el teáto ruso A. Kologorov l defó de for xoát y estleó u teorí ás pl oo es l teorí de l edd. E l tuldd l teorí teát de l proldd osttuye el fudeto de ls ploes estdísts tto e l vestgó sol oo e l to de desoes. L eesdd de sorter l ertdure os llev estudr y plr l teorí de l proldd. Pr teer éxto e l to de desoes se eest l pdd de trtr ssteátete o l ertdure s edte uddoss evluoes y ploes de étodos estdístos oeretes ls tvddes de los egoos. Ls ploes de étodos estdístos e ls dferetes áres so ueross.

3 Itroduó l álulo de prolddes.- INTRODUCCIÓN E l vd otd pree uhs stuoes e ls que los resultdos oservdos so dferetes uque ls odoes les e ls que se produe l expere se ls ss. Por ejeplo l lzr u oed us vees resultrá r y otrs ruz. Estos feóeos deodos letoros se ve fetdos por l ertdure. E el leguje htul frses oo "proleete..." "es poo prole que..." "hy uhs poslddes de que..." he refere est ertdure. L teorí de l proldd pretede ser u herret pr odelzr y trtr o stuoes de este tpo. Por otr prte udo plos ls tés estdísts l reogd álss e terpretó de los dtos l teorí de l proldd proporo u se pr evlur l fldd de ls olusoes lzds y ls feres relzds. El ojetvo del Cálulo de Prolddes es el estudo de étodos de álss del oporteto de feóeos letoros. Auque desde sus orígees sepre h estdo lgds es erto que exste u erto prlelso etre l estdíst desrptv y el álulo de prolddes oo se puede prer e l sguete tl: ESTADÍSTICA f F Vrle Udesol Vrle Bdesol Dstruó de freues Meds Moetos Idepede Estdíst Seres Teporles PROBABILIDAD Proldd Vrle letor Vetores letoros Dstruó de Proldd (Fuó de dstruó) Esperz Moetos Idepede Estoást Proesos Estoástos E l tvdd dr os eotros o ertos tpos de feóeos que se puede reprodur u gr úero de vees e odoes slres ddo lugr u ojuto de dos o ás posles resultdos. Estos feóeos puede ser de dos tpos: deterístos y letoros.

4 _Aputes de Estdíst II 4..- Coeptos ásos Co ellos vos dr u sere de oeptos pr poder desrrollr este te y los suesvos. o Feóeo deterísto.- Cudo l repetrlo jo déts odoes les se otee sepre los sos resultdos. o Feóeo letoro.- Cudo l repetrlo jo déts odoes les o se otee sepre los sos resultdos. Ejeplo: udo lzos u oed l re oservdo l suesó de rs y rues que preset. o Expereto letoro.- Operó que repetos jo déts odoes les y o se otee sepre los sos resultdos. Ejeplo: lzeto de u ddo oservdo l suesó de úeros que se preset { 4 56}. o Sueso eleetl.- Cd uo de los resultdos posles del expereto letoro; luego u sueso eleetl ost de u solo eleeto del espo uestrl (E). E el ejeplo del ddo: {}. 4 Sueso A ( 4) Sueso eleetl B o Espo uestrl.- Cojuto de todos los suesos eleetles del expereto letoro y lo desgreos oo (E). Ejeplo del ddo: {456} o Sueso.- Cojuto fordo por uo o ás suesos eleetles es der u suojuto de resultdos eleetles del expereto letoro. Ejeplo del ddo: os teres ser s el resultdo sdo u úero pr A{ 5}. o Sueso seguro.- Code o el sueso eleetl y que l relzr el expereto letoro se otedrá o segurdd uo de los posles resultdos o suesos eleetles y por tto ourrrá (E). o Dos suesos se de que so gules udo todo sueso eleetl de uo está e el otro y vevers. o Sueso posle.- Es el que o tee gú eleeto del espo uestrl (E) y por tto o ourrrá u y se represet oo. Ejeplo: E el lzeto del ddo o puede drse el 7.

5 Itroduó l álulo de prolddes 5 o Sueso opleetro u sueso A: Es el sueso que se verf s oo resultdo del expereto letoro o se verf A. Se ostur deotr o el síolo Ā. o Suesos optles: Los suesos A y B so optles o utuete exluyetes s o puede ourrr sultáeete. A { } B {d e} E A B d e o S teeos dos suesos ulesquer A B: A está otedo e B etoes B o está otedo e A A B B A o S teeos dos suesos ulesquer A B: dode A está otedo e B y B está otedo e A etoes A B. A B / A B B A A B..- Operoes o suesos Al ser los suesos letoros d ás que suojutos de u ojuto E (espo uestrl) podeos plrles ls oods operoes o ojutos oo so l uó terseó y dfere: o Sueso otedo e otro.- U sueso A se de que está otedo o dudo e otro B s sepre que se verf A se verf B. Se represet A B.

6 _Aputes de Estdíst II 6 Ejeplo: Cosderdo el expereto letoro del lzeto de u ddo s desgos por: A que prez el ó el 4 { 4} B que prez u úero pr: { 46} El sueso A B pues los resultdos o suesos eleetles y 4 de A perteee B. Dreos té que A pl B y lo deotreos A B. o Iguldd de suesos.- Ddos dos suesos A y B dreos que so gules s sepre que ourre el sueso A té ourre el sueso B y sepre que ourre el sueso B ourre el sueso A y lo dreos por A B. Es der s se verf: A B A B B A Ejeplo: Se los suesos: A oteer u úero pr l lzr u ddo { 46} B oteer u últplo de { } Aquí se verf que: Luego A B. A B pues sepre que ourre A ourre B B A pues sepre que ourre B ourre A o Dfere de suesos.- Ddos dos suesos letoros A B E se ll sueso dfere de A y B y se represet edte A/B o e A-B l sueso letoro fordo por todos los suesos eleetles que perteee A pero o B. o Uó de suesos.- Ddos dos suesos A y B se ll uó de A y B y se represet por A B l sueso que se relz udo se relz lguo de ellos A o B es der todos los eleetos que está e A ó está e B.

7 Itroduó l álulo de prolddes 7 Ejeplo: Se los suesos: A oteer el lzeto de u ddo u úero pr { 5} B oteer u úero yor que 4 { 5 6} El sueso uó será: A B { 5 } { 5 6} { 5 6} O se oteer u u u 5 ó u 6 e el lzeto del ddo. o Iterseó de suesos.- Ddos dos suesos A y B se ll sueso terseó de A y B y se represet por A B l sueso que se relz s y sólo s se relz sultáeete A y B. Ejeplo: Utlzdo el ejeplo de l uó l terseó vee dd por: o Suesos Ioptles.- Dos suesos A y B uy terseó es el sueso posle se ll suesos optles. Osérvese que u sueso y su otrro so sepre optles. A B φ. o Suesos Copleetros.- Ddo u sueso A se ll sueso otrro o opleetro de A y se represet por Ā l sueso que se relz udo o se relz A y reíproete.

8 _Aputes de Estdíst II 8 El sueso otrro de E es φ y reíproete. Ā E A. Ejeplo: E A B C { 456 } { } A { 456} { 46} B { 5 } { 5} C { 46}..- Propeddes de l uó e terseó de suesos Segudete se preset u sere de propeddes que verf tto l uó oo l terseó de dos o ás suesos. Tles propeddes so oues s oo se uestr e l sguete tl: UNION INTERSECCION. Asotv (AUUCAU(BUC) (A CA (B C). Couttv AUBBUA A BB A. Idepotete AUAA A AA 4. Splftv AU(B A)A A (BUA)A 5. Dstrutv AU(B C)(AU (AUC) A (BUC)(A U(A C) _ Todo sueso A del espo de suesos tee otro lldo otrro A tl que: AUAE A Aφ De ests propeddes surge ls sguetes oseues edts: ) AUφA A φφ ) A EA AUEE ) Leyes de Morg: A B A U B A U B A B. Ejeplo: Se u expereto letoro de lzr u ddo y defos:

9 Itroduó l álulo de prolddes 9 A {pr} B {pr} C {últplo de } Clulr: ) ) ) d) AU B AUC B UC AU B { 456 } { 46 } { 56 } { 456 } E E e) A B 0/ f ) g) ) A C B C {} 6 {} h) B C B C ( AU C { 6} { 5}.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD Pr defr l proldd vos dr vrs defoes o oeptos de proldd. Co ests defoes se pretede expresr de er ojetv y pres el grdo de ourre de ertos resultdos de u feóeo letoro. Coepto Freuetst.- Ddo u sueso A que se repte u úero de vees s oservos l freue o que se repte ese sueso otedreos ls prolddes sods sgdo l freue reltv d sueso. Se ll freue solut de u sueso A l úero de vees que se verf A l relzr el expereto u úero deterdo de vees. Se ll freue reltv de u sueso A l oete etre su freue solut y el úero de vees que se relz el expereto que vee dd por: f (A) r f (A) dode el úero de vees que se repte el expereto. Defó de Lple.- L proldd de ulquer sueso A es gul l oete etre el úero de resultdos fvorles o resultdos que tegr el sueso A y el úero totl de eleetos o posles resultdos del espo uestrl E.

10 _Aputes de Estdíst II 0 A) º de sos fvorles º de sos posles Coo heos vedo oservdo los suesos los osdereos oo ojutos sedo váldo pr los suesos todo lo estuddo e l teorí de ojutos. Pr llegr l ostruó xoát del Cálulo de Prolddes eestos dr us estruturs lgers áss ostruds sore los suesos de l s er que o ostruí sore los ojutos. Todo feóeo letoro llev sodo u espo uestrl. Pr edr el grdo de ourre de los suesos defos el Álger de Boole álger de suesos o sg álger que verf sguetes odoes:.- El opleetro de u sueso A que perteee l Alger té perteee l lger: A Є Ą Ā Є Ą.- S teeos u sere de suesos ftos (A A..A ) ftos uerles que perteee l Ą l uó de todos ellos tee que perteeer Ą. A A... A Є Ą A.- El sueso posle té perteee l Ą φ Є Ą A.. A Є Ą. Bsádose e dho álger kologorov do l defó xoát de proldd que vee dd otuó. Se ll proldd sod l álger de Boole u pló Ą R tl que d vlor de A le he orrespoder u proldd que verf los sguetes xos: Axo : Sepre es postv. Axo : Sepre estrá etre 0 y. P[ E]. Axo : Se A... A suesos tles que so dsjutos dos dos (es der l terseó es Ø) A Aj φ l proldd es l su de tods ls prolddes de suesos. A ) A ).

11 Itroduó l álulo de prolddes A A A Del terer xo se desprede que s que s A φ A P A + P A + + P[ A es der Ρ U Α j A etoes P [ ] [ ] [ ] ] ( ) ΣΡ( ). Α o Ejeplo: Clul A. L soluó es: A) {5} {46} 5) + 46) ) Solo udo A 0 es der que so dsjutos. Ejeplo: Se u expereto letoro que osste e lzr l re los ddos que o está rgdos y se osder espo uestrl el resultdo de l su de los vlores otedos lulr: { }.- Espo uestrl: E eleetos.- L proldd del sueso A { } P ( A).- L proldd del sueso B { pr} P ( 4.- L proldd del sueso C { 0} P ( C) 5.- L proldd del sueso D { 4567} P ( D) 6.- AU {4680} 6 / 6 4

12 _Aputes de Estdíst II 7.- AU C) {0} 4 / 8.- D U C) {890} 7 / 9.- B U D) {45679} 7 / 0.- A AU { } 0 /.- B U C) { } 0 /.- B D) {46} /...- Espo Prolísto Llos espo prolíst l ter ford por u espo uestrl E; el álger de suesos Ą y u proldd P es der ( E Ą P ). Sus propeddes so: ) L proldd del opleetro de A es eos l proldd de A: Pro [Ā] - Pro [A]. ) L proldd de l uó de A y B es gul l proldd de A ás l proldd de B eos l proldd de l terseó de A y B: Pro [A U B] Pro [A] + Pro [B] - Pro [A B]. ) L proldd del sueso vío es 0: Pro [O] 0 4) S A otee B etoes l proldd de A es eor o gul que l proldd de B: A B Pro [A] Pro [B] 5) L proldd de A es eor o gul : Pro [A]. 4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA Hst hor heos vsto el oepto de proldd prtedo de que l ú foró que teeos sore el expereto es el espo uestrl. S ergo e osoes se ooe que u deterdo sueso h ourrdo. Modfrá est foró dol l proldd de que ourr otro sueso?. Vereos que

13 Itroduó l álulo de prolddes geerlete sí. A prtr de est de surge l de de proldd odod que se defe: Se u espo prolísto y u sueso B perteeete l Alger de Boole tl que 0 etoes se defe l proldd de que ourr A s tes h ourrdo B oo: A B/A) A) s O. Aálogete podeos defr A/ oo A A/ s A) O. De ls defoes terores se dedue lrete ls reloes sguetes: o A A) B/A) o A A/ o A/. B/A). A) o A/ B / A) A) o P ( A / A). o S A B so depedetes A 0 P ( A / B / A) 0. etoes: o A est expresó se le ooe oo regl de l ultpló que e geerl pr u úero k de suesos vee dd por: P (A A... Ak) P (A)P (A/A)...P (Ak/A A... Ak ) Ejeplo: De u ur que otee 9 ols rojs y 5 egrs se extre suesvete ols. Clulr l proldd de los sguetes suesos: ) Que ls dos se egrs ) Que ls dos se rojs ) Que l prer se roj y l segud egr d) Que l segud se roj sedo que l prer fue egr L soluó e d prtdo es l sguete. ) Se N : Sr l ª Negr N : Sr l ª Negr

14 _Aputes de Estdíst II 4 N N ) N ) N /N ) 5/4 4/ ) Se R: Sr l ª Roj R : Sr l ª Roj R R ) R) R /R ) 9/4 8/ ) Se R : Sr l ª Roj N : Sr l ª Negr R N ) R ) N /R ) 9/4 5/ d) Se N : L ª es Negr R : L ª es Roj R /N ) 9/ (qued ols de ls ules 9 so rojs). Ejeplo: Sedo que l lzr u ddo h sldo u úero pr hllr l proldd que este úero hy sdo u dos: A 6 ( A 6 P P ( A) { } P ( { 46} INDEPENDENCIA DE SUCESOS Se A y B dos suesos del espo uestrl. El sueso A se de depedete del sueso B s el ooeto de l ourre de B o odf l proldd de pró de A es der s P (A/ P (A) o A) A/. Propedd: S dos suesos A B so depedetes etoes sepre se verf: De l defó y de est propedd se dedue que s los suesos A y B so depedetes se verf: o Los suesos A y B so depedetes. o Los suesos A y B so depedetes. o Los suesos A y B so depedetes. o Deos que suesos so depedetes s se verf: P A A... A ) A ) A )... A ). (

15 Itroduó l álulo de prolddes 5 Ejeplo: Se osder dos suesos A y B sodos u expereto letoro o A)0.7; 0.6; )0.58. So depedetes A y B? Pr ver s so depedetes oproreos s A B ) A ) B ) ) P[(A ] - A Por tto A - ) Por otro ldo A ) B ) Luego A y B so depedetes pues A B ) A ) B ) 0.4 Ejeplo: Se u expereto letoro que osste e lzr u tetredro regulr uys rs está uerds del l 4 y se defe los suesos: A { ó } B { ó } C { ó 4} Clulr: ) P A 4 ( ) ( 4 ( ) 4 ) P ) P C d) Proldd de oteer u P ( ) A A C) B C) / 4 So depedetes los suesos A B y C? P ( A A) / / / 4 P ( A C) A) C) / / / 4 P ( B C) C) / / / 4 Sgf que A es depedete de B que A es depedete de C que B es depedete de C. A B C) A) C) A B C) ) / 4 A) C) / / / / 8 Luego / 4 / / 8

16 _Aputes de Estdíst II 6 No se uple l teror odó por lo que A B y C o so depedetes etre sí so depedetes dos dos. Ejeplo: E u rj de rts heos suprdo vrs de ells etre los que qued se verf ls sguetes prolddes: - Proldd de oteer u rey: 05 - Proldd de oteer u rt que se stos: 00 - Proldd de oteer u rt que o se rey stos: 06 Clulr: - Está etre ells el rey de stos? so frtvo dr su proldd.- - Cuáts rts hy e l rj? P ( Rey Bstos) P ( Re y Bstos) 0 6 Re y U Bstos) Re y U Bstos) P Re y + P Bstos Re y Bstos) ( ) ( ) Re y I Bstos) ( Re y Bstos) P Por lo que l ser yor que ero d que está el rey de stos o u proldd de Se ps 005 e for de fró: Lo que d que s l proldd de sr u rt (el rey de stos) es de etre 0 quere der que el úero totl de rts e l rj es de 0 (por l defó de Lple). 6.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL E prer lugr tes de defr el teore es eesro defr que es u ojuto opleto. Se de que u ojuto de suesos A A... A E for u sste opleto s verf: o So optles dos dos es der A A 0 j j o Que l uó de todos ellos es el espo uestrl es der A... A E. A Co todo esto se defe el teore de l Proldd Totl oo: Se A A...A u sste opleto de suesos tles que l proldd de d uo de ellos es dstt de ero y se B u sueso pr el que se ooe ls prolddes B/A ) etoes l proldd del sueso B vee dd por:

17 Itroduó l álulo de prolddes 7 PB ( ) PA ( ) PB ( / A). Fgur: S A A A A4 A5 for u sste opleto podeos lulr l proldd de B prtr de ls tddes [ B A ] P o lo que es lo so [ B / A ] P[ A ] P L deostró del teore es fál de her oo deostros. S A A A A 4 y A 5 for u sste exhustvo y exluyete de suesos podeos lulr l proldd de B prtr de ls prolddes de estos suesos es der prtr del sueso B se puede desopoer oo: B B E B ( A A A... A ) que pldo ls propeddes de los suesos es fál ver que todo esto es gul ( B A ) ( B A ) ( B A ) ( B ) B... A. Clulr l proldd de B es lo so que lulr l proldd de l expresó teror es der P ( B A ) + B A ) B ) A y que l ser u sste opleto ls terseoes so vís. Adeás oo seos que P ( A ( A P / P etoes l proldd de se puede desopoer oo P ( A A / ( B / A ) A ) + B / A ) A ) B / A ) A ) A ) B / A ).

18 _Aputes de Estdíst II 8 Ejeplo : Se tee dos urs l º tee ols ls y egrs l º tee ols ls y egrs. Se elge u ur l zr y de ell se extre u ol. Clulr l proldd de que se l. Se A : elegr l ur º A : elegr l ur º B: extrer ol l A ) B/A ) + A ) B/A ) / /5 + / /5 /. Ejero : U opñí dedd l trsporte púlo explot tres líes de u udd de for que el 60% de los utouses ure el servo de l prero líe el 0% ure l segud y el 0% ure el servo de l terer líe. Se se que l proldd de que drete u utoús se veríe es del % 4% y % respetvete pr d líe. Deter l proldd de que e u dí u utoús sufr u verí. Soluó: Pr oteer l soluó defos el sueso "sufrr u verí" (Av) puede produrse e ls tres líes (L L L ). Segú el teore de l proldd totl y teedo e uet ls prolddes del dgr de árol djuto teeos: Av) L ) Av/L ) + L ) Av/L ) + L ) Av/L ) Ejero : U epres del ro de l letó elor sus produtos e utro ftorís: F F F y F 4. El poretje de produó totl que se fr e d ftorí es del 40% 0% 0% y 0% respetvete y deás el poretje de evsdo orreto e d ftorí es del % % 7% y 4%. Toos u produto de l epres l zr. Cuál es l proldd de que se euetre defetuosete evsdo? Soluó: Lldo M "el produto está defetuosete evsdo" se tee que este produto puede proeder de d u de ls utro ftorís y por tto segú el teore de l proldd totl y teedo e uet ls prolddes del dgr de árol djuto teeos:

19 Itroduó l álulo de prolddes 9 M) F ) M/F ) + F ) M/F ) + F ) M/F ) + F 4 ) M/F 4 ) Ejero 4: Pr relzr u expereto letoro dspoeos de u uestr de o oesoros de ohes de los ules dos oesoros tee ohes los y 5 zules otros dos oesoros tees ohes los y zules y el últo oesoro tee ohes los y zul. Cuál es l proldd de elegr u ohe zul? Sueso A: los y 5 zules Coo exste suesos A etoes A)/5 Proldd de esoger zul e estos dos oesoros zul/a)5/8 Sueso B: los y zules Coo exste suesos B etoes /5 Proldd de esoger zul e estos dos oesoros zul//5 Sueso C: los y zul Coo exste sueso C etoes C)/5 Proldd de esoger zul e este oesoro zul/c)/ zul)a)*zul/a)+ *zul/+ C)*zul/C) P ( zul) S huéseos optdo por herlos oo 5 suesos dvdules: zul) A)*zul/A)+A)*zul/A)+*zul/+*zul/+C)*zul/C)

20 _Aputes de Estdíst II zul) TEOREMA DE BAYES Se A A... A u sste opleto de suesos tl que l proldd de d uo de ellos es dstt de ero y se B u sueso ulquer pr el que se ooe ls prolddes B/A ) etoes: A ) B / A ) A ) B / A ) A /... A ) B / A ) Deostró : A A ) B/A ) A /... despejdo A / os qued: A ) B / A ) A /... PB ( ) y por el teore de l proldd totl : A / A ) B / A ) A ) B / A )... Ejeplo: Bsádoos e el ejero teror supogos que relzd l extró l ol extríd es l. Clulr l proldd de que se de l ur º. Pr resolverlo t sólo plr l fórul A / A ) B / A ) A ) B / A ) + A ) B / A ) Ejero: Teeos tres urs: A o ols rojs y 5 egrs B o ols rojs y egr y C o ols rojs y egrs. Esogeos u ur l zr y extreos u ol. S l ol h sdo roj uál es l proldd de her sdo extríd de l ur A? Soluó:

21 Itroduó l álulo de prolddes Pr oteer l soluó llos R "sr ol roj" y N "sr ol egr". E el dgr de árol djuto puede verse ls dstts prolddes de ourre de los suesos R o N pr d u de ls tres urs. L proldd pedd es A/R). Utlzdo el teore de Byes teeos: Del ejeplo 4 teror de los oesoros uál es l proldd de que el ohe zul elegdo se del oesoro dode hy sólo ohes los y zul? Síos que 0 6 zul) etoes C) zul C) C zul) 5 00 A) zul A) + zul + C) zul C) COMBINATORIA El álss otoro se oup de l ordeó de los ojetos detro de u ojuto. E este setdo os fltrá étodos que será útles pr deterr el

22 _Aputes de Estdíst II úero de resultdos posles de u expereto. Veos otuó de u for reve ls foruls otors: Vroes s repetó: Se ll Vroes s repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos teedo e uet el orde. (Iport el orde y o se puede repetr). V (-)... (-+). Ejeplo: Se u ojuto fordo por ls letrs. Cuátos grupos de letrs se puede oteer s repetr los eleetos teedo e uet el orde? V ( + ) 6 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Vroes o repetó: Se ll Vroes o repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos teedo e uet el orde. Es l s defó teror pero pudedo repetr los eleetos que tervee e el grupo. VR Sguedo o el ejeplo teror Cuátos grupos de letrs se puede oteer reptedo los eleetos teedo e uet el orde? V 9 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Perutoes s repetó: Se ll Perutoes de eleetos ls vroes s repetó pero el úero de eleetos ode o el úero de grupo. (port el orde y o se puede repetr). P V! Sguedo o el ejeplo Cuátos grupos de letrs se puede oteer s repetr los eleetos teedo e uet el orde? P! 6

23 Itroduó l álulo de prolddes { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Cooes s repetó: Se ll Cooes s repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos s teer e uet el orde. (No port el orde se puede repetr). C )! (!! Sguedo el prer ejeplo: ( ) 6!!! C { } ( ) ( ) ( ). Cooes o repetó: Se ll Cooes o repetó de eleetos todos e grupos de d uo de los suojutos de eleetos que se puede forr o los eleetos s teer e uet el orde. (No port el orde pero se puede repetr). CR + )! (! )! ( + Y por últo terdo el ejeplo ( ) ( ) !! 4!!!! + + C { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es: POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble

Más detalles

TEMA 2: NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES.

TEMA 2: NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES. TEMA NÚMEROS RACIONALES FRACCIONES.. Cojuto e los Núeros Rioles, Q. El ojuto e los úeros rioles es u pliió e los úeros eteros, los que se le ñe uevos úeros que se ostruye o úeros eteros y se ll FRACCIONES.

Más detalles

10. Optimización no lineal

10. Optimización no lineal 0. Optzcó o lel Coceptos báscos Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles Optzcó s restrccoes e desó Optzcó s restrccoes e desó > Modelos co restrccoes de uldd Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos

Más detalles

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario RDICLES. Rdiles. Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió.. Simplifiió de rdiles.. Reduió de rdiles ídie omú.. Poteiió de epoete friorio. Operioes o rdiles.. Produto de rdiles.... Etrió de ftores

Más detalles

( ) ( ) El principio de inducción

( ) ( ) El principio de inducción El priipio e iuió U ejemplo seillo pr empezr Si hemos oío hlr e progresioes ritmétis (series e úmeros e form que l iferei etre os oseutivos es siempre l mism, omo,,, 0,) prolemete o será fáil lulr l sum

Más detalles

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x) FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes

Más detalles

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN

INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor

Más detalles

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU) 3. Udd rtmétc Lógc (LU) bordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd rtmétc Lógc (LU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como

Más detalles

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V COMBINATORIA Por Aálisis Cobitorio o Cobitori, se etiede quell prte del álgebr que se ocup del estudio y propieddes de los grupos que puede forrse co eleetos ddos, distiguiédose etre sí: por el úero de

Más detalles

CAPITULO I INTRODUCCION

CAPITULO I INTRODUCCION Coceptos de Estdístc. Presetcó. Qué es l estdístc? CAPITULO I INTRODUCCION Se suele pesr e u relcó de dtos umércos presetd de form orded y sstemátc. Est de es l cosecuec del cocepto populr que este sore

Más detalles

Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información

Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información Leguje humo Represetcó de l formcó Utlz u cojuto de símbolos lfumércos Crcteres lfbétcos:, B, C,.Z,, b, c,...z Símbolos umércos 9 sgos de putucó... Puede represetr Iformcó umérc lfumérc Leguje del ordedor

Más detalles

El tremendo error que se ha cometido no está en lo mal que se hayan hecho las operaciones, sino en

El tremendo error que se ha cometido no está en lo mal que se hayan hecho las operaciones, sino en SIMPLIFICAR EXPRESIONES (OPERAR) Y DESPEJAR O RESOLVER ECUACIONES. Por qué el título enion tres oss que se estudin por seprdo o que ni siquier se estudin?. Pues no lo sé, pero tnto pr operr oo pr despejr

Más detalles

Distribución conjunta de variables aleatorias

Distribución conjunta de variables aleatorias FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta de varables aleatoras E uchos probleas práctcos, e el so expereto aleatoro, teresa estudar o sólo ua varable aleatora so

Más detalles

Permutaciones y combinaciones

Permutaciones y combinaciones Perutacioes y cobiacioes Cotaos posibilidades Coezaos co u secillo ejeplo E España los coches tiee ua atrícula que costa de cuatro dígitos deciales seguidos de tres letras sacadas de u alfabeto de 26 Cuátas

Más detalles

Análisis de Anova encajado

Análisis de Anova encajado 9 Aáss de Aov edo E este pítuo se trt os modeos de ANOVA de u ftor que tee más de u ve de áss. No se trt de dos ftores por seprdo, so que detro de ftor prp de áss, se osder otros ftores suorddos. Pr evtr

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrile rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució

Más detalles

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FÍSICA I/11. PRÁCTICA No. 2 ANÁLISIS GRÁFICO.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FÍSICA I/11. PRÁCTICA No. 2 ANÁLISIS GRÁFICO. Pága de 5 NÚCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A ÁREA DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA I/ PRÁCTICA No ANÁLISIS GRÁFICO OBJETIVO

Más detalles

Unidad-4: Radicales (*)

Unidad-4: Radicales (*) Uiversidd de Coepió Fultd de Cieis Veteriri Nivelió de Competeis e Mtemáti (0 Uidd-: Rdiles (* Rdil. Es u epresió de l form: que represet l ríz eésim priipl de. El etero positivo es el ídie u orde del

Más detalles

1. Números reales. 2. Raíces y potencias. 3. Operaciones con radicales. Matemáticas 4º ESO

1. Números reales. 2. Raíces y potencias. 3. Operaciones con radicales. Matemáticas 4º ESO Mteátis º ESO 1. Núeros reles Clsifiió de los úeros reles Frió geertriz de u úero deil Reresetió de úeros rioles e l ret rel Aroxiioes Itervlos. Ríes y oteis Proieddes de ls oteis de exoete riol Rdiles

Más detalles

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES: TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol

Más detalles

PROGRAMA ANALÍTICO. Fecha de aprobación: Departamento de ELECTRÓNICA OBLIGATORIA OPTATIVA X X. Unidad de enseñanza-aprendizaje. Nivel : Licenciatura

PROGRAMA ANALÍTICO. Fecha de aprobación: Departamento de ELECTRÓNICA OBLIGATORIA OPTATIVA X X. Unidad de enseñanza-aprendizaje. Nivel : Licenciatura Feh de probó: Deprtmeto de ELECTRÓNICA PROGRAMA ANALÍTICO Nvel : Letur Udd de eseñz-predzje TEMAS SELECTOS DE REDES DE COMPUTADORAS II Clve: 1121047 Hors teorí 4.5 Hors prát 0.0 Seró 1121043 Crédtos 9

Más detalles

TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrible rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hbitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució

Más detalles

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES ELECCÓN ÓPTM DEL PLZO DE UN PRÉSTMO EN FUNCÓN DE PREFERENCS NDVDULES Jesús Mª Sáchez Motero jsmoter@us.es Mª Ágeles Domíguez Serro doser@us.es Jver Gmero Rojs jgm@us.es Deprtmeto Ecoomí plcd Uversdd de

Más detalles

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...

Más detalles

CAPITULO IV EQUILIBRIO VAPOR -LIQUIDO

CAPITULO IV EQUILIBRIO VAPOR -LIQUIDO CAITULO I EQUILIBRIO AOR -LIQUIDO ara evaluar el fuoameto de u sstema de separaó e etapas, es eesaro efetuar álulos de equlbro vapor-líqudo de balae de matera e ada etapa de separaó, utlado para ello ua

Más detalles

a es la parte real, bi la parte imaginaria.

a es la parte real, bi la parte imaginaria. CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml

Más detalles

Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura

Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura T 4: grsos lls o lls TEMA 4. EGEIONE LINEALE LINEALE Y NO.. 3. Itroduccó 4. Nocltur 5. Llzcó Ajust grsó ll ll d últpl cucos 6. 7. 8. grsos EUMEN Progrcó o lls Mtlb Cálculo uérco Igrí T 4: grsos lls o lls.

Más detalles

Matrices. Matrices especiales

Matrices. Matrices especiales UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI tries triz: ojuto de eleetos ordedos e fils y olus os eleetos puede ser úeros reles o oplejos E este urso solo se osider tries o eleetos reles

Más detalles

Anillos de Newton Fundamento

Anillos de Newton Fundamento Aillos de Newto Fudmeto Los illos de Newto so producidos por itererecis cudo dos hces de luz, procedetes de l mism uete, recorre cmios ópticos dieretes. Eiste distitos modos de logrr este eómeo, el que

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llamamos magnitud a toda propiedad física susceptible de ser medida.

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llamamos magnitud a toda propiedad física susceptible de ser medida. CÁLCULO VECTORIAL.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llmms mgtud td prpedd físc susceptle de ser medd. Al lr ls mgtudes físcs pdems cmprr que este ds clses e dferecds: ) Mgtudes esclres: s quells que

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició

Más detalles

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto

Más detalles

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que

Más detalles

DEFINICIONES BÁSICAS, EXPONENTES Y RADICALES

DEFINICIONES BÁSICAS, EXPONENTES Y RADICALES . TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN A prtir de los coociietos de ritétic, se desrrollrá u leguje edite síolos térios, pr elorr u serie de técics de cálculo; el leguje ls técics, costitue u r iportte de l teátic,

Más detalles

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ojetivos: Defiir ecució de segudo grdo. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo propieddes de l iguldd. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo fctorizcioes. Resolver l ecució

Más detalles

INDICACIONES. En estas preguntas tienes que unir con una línea las palabras o las oraciones con su dibujo. Une con una línea la palabra con su dibujo.

INDICACIONES. En estas preguntas tienes que unir con una línea las palabras o las oraciones con su dibujo. Une con una línea la palabra con su dibujo. 1 2 En ests pregunts tienes que unir on un líne ls plrs o ls oriones on su diujo. Ejemplo: INDICACIONES Une on un líne l plr on su diujo... gllo. Une on un líne l orión on su diujo.. Julio orre... 3 AHORA

Más detalles

3 Potencias y raíces de números

3 Potencias y raíces de números Potecis y ríces de úeros reles. Potecis de expoete turl. Defiició. El producto tiee sus siete fctores igules. Este producto se puede idicr de for brevid coo. se ll poteci, y l fctor, bse. El úero de veces

Más detalles

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DOCENTE: IDALY MONTOYA A.

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO GUIA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DOCENTE: IDALY MONTOYA A. . POTENCIACIÓN FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS Llos poteci de u úero reltivo, l producto de torlo coo fctor tts veces coo se quier. Si es u úero reltivo culquier es u úero turl, tedreos l otció,

Más detalles

4ª Etapa. Contaminación de Alimentos

4ª Etapa. Contaminación de Alimentos 4ª Etp Cotmcó de Almetos *Cotmcó de lmetos. Almeto cotmdo: *lterdo *Adulterdo *Geuo,etc. Tpos de Cotmcó: * Bológc * Químc * Físc 3 3 Almeto cotmdo: *Alterdo: *Cotmdo: *Adulterdo: Almeto que h sufrdo, por

Más detalles

El Amplificador Operacional de Tensiones

El Amplificador Operacional de Tensiones El Aplfcador Operacoal de Tesoes El Aplfcador Operacoal de Tesoes. Itroduccó 2. El Aplfcador Operacoal Ideal de Tesoes 3. Nodealdades e el Opap 4. Crcutos co ealetacó Postva. Itroduccó.. El problea de

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II Fultd de ens Eonóms onvotor de Juno Prmer Semn Mterl Auxlr: luldor fnner MATEMÁTIA DE LAS OPERAIONES FINANIERAS II 5 de Myo de 011 1 hors Durón: hors 1. ) Préstmos que se mortzn por el método frnés (térmnos

Más detalles

C0MPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA ÁREA DE MATEMÁTICA. CONTENIDOS DE REVISIÓN PARA 3º AÑO Prof. Patricia Cardona

C0MPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA ÁREA DE MATEMÁTICA. CONTENIDOS DE REVISIÓN PARA 3º AÑO Prof. Patricia Cardona C0MPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA ÁREA DE MATEMÁTICA CONTENIDOS DE REVISIÓN PARA 3º AÑO Prof. Ptrici Crdo COMPLEJO EDUCATIVO Dr. OSCAR ABDALA CONTENIDOS DE REVISIÓN CONJUTOS NUMÉRICOS Nturles: N = 1

Más detalles

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto

Más detalles

Determinantes: un apunte teórico-práctico

Determinantes: un apunte teórico-práctico Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente

Más detalles

Matemática 1 Capítulo 4

Matemática 1 Capítulo 4 Mtemátic Cpítulo 4 Comitori Ejemplo Cuáts comids diferetes que coste de u plto pricipl y u eid puede hcerse prtir del siguiete meú? Etrds Sop Esld Pltos priciples Pst Miles de pollo Filete de pescdo Beids

Más detalles

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES E l epresió c, puede clculrse u de ests tres ctiddes si se cooce dos de ells resultdo de este odo, tres opercioes diferetes: º Poteci º Rdicció º Logrito c pr clculr,

Más detalles

UNIVERSIDAD AMERICANA. Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN

UNIVERSIDAD AMERICANA. Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN UNIVERSIDAD AMERICANA Escuel de Mteátic, I C-12. Curso BAN-03: Mteátic I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwi Gerrdo Acuñ Acuñ PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN L fctorizció es epresr e for teátic u polioio o úero coo

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración.

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración. Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de

Más detalles

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios Mtemátics º Uidd 7: Sucesioes Uidd 7: Sucesioes. Solució los ejercicios Ejercicio Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes sucesioes: ),,,,,... 5 6 7 b ) 0,, 8,5,, 5... b 5 6 c ) 0,,,,,,... 5 6 7 c Ejercicio

Más detalles

Tema 5: Operación de amortización. Préstamos

Tema 5: Operación de amortización. Préstamos Te 5: Opecó de otzcó. Péstos.- Plteeto geel de l opecó de otzcó co teeses pospgbles. Recbe est deocó tod opecó de pestcó úc y cotpestcó últple: Pestcó - { 0,t 0 } otpestcó -{, t, t..., t } El cptl de l

Más detalles

Resumen: Límites de funciones. Asíntotas

Resumen: Límites de funciones. Asíntotas Resue: Líites de ucioes. Asítots epre que se pued sustituir probles e l epreó de Los csos e los que o se pued sustituir es: k cudo tegos Es ideterido el go del y depede de l regl de los gos. Ejeplos: *?

Más detalles

CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica. Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen

CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica. Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen CAPÍTULO 3 Fució Epoecil Fució Logrític 3.1) Repso de propieddes de ls potecis Por su uso e iportci, es ecesrio revisr ls propieddes de ls potecis, que se resue cotiució. ( ) 1 1 0 3.) Fució Epoecil Defiició

Más detalles

TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES

TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES SUCESIÓN NUMÉRICA: es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles (o u subcojuto de él) y l imge está icluid e el cojuto de los Reles ( ) SUCESIÓN ARITMÉTICA:

Más detalles

Liceo Marta Donoso Espejo Raíces para Terceros

Liceo Marta Donoso Espejo Raíces para Terceros . Ríces cudrds y cúics Liceo Mrt Dooso Espejo Ríces pr Terceros Coeceos el estudio de ls ríces hciédoos l siguiete pregut: Si el áre de u cudrdo es 64 c 2, cuál es l edid de su ldo? Pr respoder esto deeos

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES. PRODUCTOS NOTABLES. Productos Notbles: So poliomios que se obtiee de l multiplicció etre dos o más poliomios que posee crcterístics especiles o expresioes prticulres, cumple cierts regls fijs; es decir,

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} TEMA Prelimires: Números y cojutos P- Números eteros: Se deomi úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) los úmeros que os sirve pr cotr objetos:,,,4,5,... El cojuto de los úmeros turles se desig por

Más detalles

C n i V0 V10 V'0 V'10 1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872

C n i V0 V10 V'0 V'10 1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872 9. lcúlese los vlores cl y fl de u ret dscret, medt, formd por térmos de cutí. y vlord u tto perodl del %. Dstgur los csos prepgble y pospgble. Solucó: 7.7,7 ;.77,9 ; (pospgble).7, ;.,79 ; (prepgble).....

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}

Más detalles

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE FILIL - REQUIP VECTORES INGENIERO: PERCY LFREDO GRMONTE LIMCHE En el tem nteror hímos menondo qe ls mgntdes físs según s ntrle peden ser lsfds omo eslres o etorles MGNITUD ESCLR: Es qell mgntd qe qed en

Más detalles

CAPITULO 1 VECTORES EN R 3

CAPITULO 1 VECTORES EN R 3 CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles..

Más detalles

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. .. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos

Más detalles

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda*

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda* EL TEOREA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alerto E. J. cord* *Igeiero Geogrfo Profesor Titulr de Alisis temtico II Fcultd de Ciecis Ecoomics Estdistic Uiversidd Nciol de Rosrio 5.- Aliccioes

Más detalles

MODELOS DE PROBABILIDAD

MODELOS DE PROBABILIDAD 3 MODELOS DE PROBABILIDAD.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS E ocasioes, alguas variables aleatorias sigue distribucioes de probabilidad uy cocretas, coo por ejeplo el estudio a u colectivo ueroso de idividuos

Más detalles

Cuestionario Respuestas

Cuestionario Respuestas Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de

Más detalles

LABORATORIO DE PROGRAMACIÓN EN LENGUAJE ENSAMBLADOR x86-16bits

LABORATORIO DE PROGRAMACIÓN EN LENGUAJE ENSAMBLADOR x86-16bits LBORTORIO DE PROGRMCIÓN EN LENGUJE ENSMBLDOR x86-6ts Covesó o-scii Ojetvo El ojetvo de est páctc es l pogcó del códgo eceso p covet u úeo eteo o lcedo e eo l cde SCII coespodete su codfccó e u vedd de

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes

Más detalles

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer

Más detalles

Dpto. INGENIERÍA ENERGÉTICA Y FLUIDOMECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Dpto. INGENIERÍA ENERGÉTICA Y FLUIDOMECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE VALLADOLID AIRE HÚMEDO Y PROCESOS PSICROMÉRICOS Introduccón. Crcterístcs del re úedo. Dgrs pscroétrcos. Análss de los procesos pscroétrcos báscos del re úedo ASIGNAURA: ERMODINÁMICA ÉCNICA RANSMISIÓN DE CALOR GRADO:

Más detalles

FUNDAMENTOS DE CLASE

FUNDAMENTOS DE CLASE FUNDAMENTOS DE CLASE b c r b c Rodrgo A. Ocoró Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI FACULTAD: INGENIERIAS PROGRAMA: INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS PRERREQUISITO:

Más detalles

9 Proporcionalidad geométrica

9 Proporcionalidad geométrica 82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l

Más detalles

Propuesta para actualizar la Nota Técnica de Daños Materiales y Robo Total del Seguro de Automóviles Residentes

Propuesta para actualizar la Nota Técnica de Daños Materiales y Robo Total del Seguro de Automóviles Residentes ropuesta para actualzar la Nota Técca de Daños aterales y Robo Total del Seguro de Autoóvles Resdetes Israel Avlés Torres Novebre 99 Sere Docuetos de Trabajo Docueto de Trabajo No. 0 Ídce. Estructura Técca

Más detalles

CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en

CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres e coordeds crtess 8.. Cálculo del áre e coordeds prmétrcs 8.3. Cálculo del áre e coordeds polres 8.4. Cálculo

Más detalles

2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA

2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA ejeriiosemees.om MTRICES Y DETERMINNTES. Dds ls mtries Hllr ) ) B ).B d) B. e) +B f) C. g) C.B h) C.D i) j) B k) + l) B.B uioes. Dds ls mtries B. Clul +B, B,, B, B, B uió D C B.B / / / / / / / / B / /

Más detalles

Taller 3: material previo

Taller 3: material previo Tller 3: mteril previo El tller 3 está dedido los diferentes modelos de empquetmiento ompto de esfers y prender ontr átomos dentro de l eld unidd. Por ello, ntes de l orrespondiente sesión (dís 20, 21

Más detalles

Haga clic para cambiar el estilo de título

Haga clic para cambiar el estilo de título Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles

Más detalles

Tema 9. Combinatoria

Tema 9. Combinatoria Tea 9. Cobiatoria. Defiició de cobiatoria. Estrategias de resolució.. Estrategia del producto y la sua.. Diagraa de árbol. Variacioes y perutacioes.. Variacioes siples u ordiarias.. Perutacioes.. Variacioes

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: 9 5-9 55 9 ADRID FBRRO 5 UNIVRSIDAD PONTIFIIA D SALAANA ATÁTIAS DISRTAS FBRRO 5 (TARD) PROBLA : Se cooce el siguiete comportmieto de Luis e u resturte l que v comer: - No es verdd

Más detalles

Posible solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de junio de 2007

Posible solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de junio de 2007 Posible soluió del exame de Ivestigaió Operativa de Sistemas de juio de 7 Problema : (3 putos) E u laboratorio se aaliza las probabilidades de que u átomo radioativo se ovierta e u átomo de otro tipo,

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

ÓPTICA FCA 08 ANDALUCÍA

ÓPTICA FCA 08 ANDALUCÍA . U teléoo óil opera o odas eletroagétias de reueia = 9 0 8 Hz. a) Deterie la logitud de oda y el úero de oda e el. b) Si la oda etra e u edio e el que su eloidad de propagaió se redue a 3/4, razoe qué

Más detalles

PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA DIGITAL Prolems de Eletróni Digitl 4º ESO PROLEMS DE ELECTRÓNIC DIGITL 1. En l gráfi siguiente se muestr l rterísti de l resisteni de un LDR en funión de l luz que reie. Qué tipo de mgnitud es est resisteni? 2.

Más detalles

PRUEBA DE MATEMÁTICA 2014 CUARTO GRADO DE PRIMARIA

PRUEBA DE MATEMÁTICA 2014 CUARTO GRADO DE PRIMARIA ELABORACIÓN: PROF. MANUEL LUQUE LLANQUI-FORMADOR DE ACOMPAÑANTES PEDAGÓGICOS 1 Mediión de Logro de Cpiddes en Comprensión Letor y Mtemáti Curto Grdo de Eduión Primri-2014 Diretiv N 18-2014-DGP-DRSET/GOB.REG.TACNA

Más detalles

EJERCICIOS DE DINÁMICA

EJERCICIOS DE DINÁMICA EJERCICIOS DE DIÁMICA 1. Dd un cuerd cpz de oporr un fuerz áx de 00, cuál erá l celercón áx que e podrá councr con ell un de 10 kg cundo e encuenr obre un plno horzonl n rozeno? Sol: ) 0. En un plno horzonl

Más detalles

Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida

Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida Tem 6 El lenguje eptdo por un FA Funión de trnsiión δ p j p l Dr. Luis A. Pined ISBN: 970-32-2972-7 Σ Q p i p k n Pr todo en Q & Σ, δ(, ) = p Funión de trnsiión etendid δ permite moverse the un estdo otro

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Esto es sólo una muestras de los ejercicios, repasa también los de la libreta y los del libro.

Esto es sólo una muestras de los ejercicios, repasa también los de la libreta y los del libro. MATEMÁTICAS º ESO Esto es sólo un muestrs e los ejeriios, reps tmién los e l liret los el liro. Deprtmento e Mtemátis Coleio Sgro Corzón e Jesús ontever. eliz ests operiones: - 8 - -. Efetú: - - - - -

Más detalles

Propuesta de un modelo para la gestión de los neumáticos de una flota de vehículos

Propuesta de un modelo para la gestión de los neumáticos de una flota de vehículos 5 th Iteratioal oferece o Idustrial Egieerig ad Idustrial Maageet XV ogreso de Igeiería de Orgaizació artagea, 7 a 9 de Setiebre de 2 Prouesta de u odelo ara la gestió de los euáticos de ua flota de vehículos

Más detalles

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese

Más detalles

1. Propiedades molares y propiedades molares parciales

1. Propiedades molares y propiedades molares parciales erodáca. ea 9 Ssteas abertos y ssteas cerrados de coposcó varable. ropedades olares y propedades olares parcales Ua agtud olar se dee coo: Sepre está asocada a u sstea terodáco de u úco copoete (sstea

Más detalles

INTEGRACION NUMERICA Método se Simpson

INTEGRACION NUMERICA Método se Simpson cerque@gmil.com Ojetivos: Geerles Específicos Oservcioes Prelimires Clculo de Áres El método de Simpso Desrrollo del modelo de Simpso Ejemplos Progrm e diferetes legujes L jerrquí de clses INTEGRACION

Más detalles

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es (Feb03-ª Sem) Problema (4 putos). Se dspoe de u semcoductor tpo P paraleppédco, cuya dstrbucó de mpurezas es ( x a) l = A 0 dode A y 0 so mpurezas/volume, l es u parámetro de logtud y a la poscó de ua

Más detalles

d e l a L e y 1 8. 3 8 4.

d e l a L e y 1 8. 3 8 4. D I A G N Ó S T I C O D E L A S I T U A C I Ó N E N E L S I S T E M A T E A T R A L E n e l c a m i n o d e p r o f u n d i z al r a c o n s o l i d a c i ó n d e l s e c t o r t e a t rsae l, r e s u

Más detalles