Teorema del Muestreo
|
|
- Trinidad Rey Torres
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Teorema del Muestreo Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice 1.1. Itroducció 1.2. Coversió aalógico-digital y digital-aalógico 1.3. Proceso de muestreo 1.4. Teorema del muestreo 1.. Alteració de la tasa de muestreo 1.6. Tarea Dr. Luis Javier Morales Medoza 2 1
2 Itroducció 1.1. Itroducció Las técicas de señales digitales proporcioa u método alterativo para procesar ua señal aalógica de iterés práctico tales como la voz, señales biológicas, sísmicas, del soar y de los distitos tipos de comuicacioes so. Para realizar esto, es ecesario ates que ada de ua iterfaz etre la señal aalógica y el procesador digital y viceversa. Estas iterfaces so el covertidor Aalógico-Digital (ADC) y el covertidor Digital-Aalógico (DAC) como se muestra e la Figura 1.1. Señal Aalógica ADC Procesador Digital DAC Señal Aalógica Figura 1.1: Diagrama a bloques de u sistema digital Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 Itroducció El procesador digital de señales puede ser u gra ordeador digital programable (p. e. ua PC) o u pequeño microprocesador embebido (p. e. u DSP, FPGA, PIC) para realizar las operacioes deseadas sobre la señal de etrada. Figura 1.2: DSP de la compañía Altera y uo de la Familia TMS320 de Texas Istrumets Dr. Luis Javier Morales Medoza 4 2
3 Coversió AD y DA 1.2. Coversió Aalógico-Digital y Digital-Aalógico Para procesar señales aalógicas por medios digitales es ecesario covertirlas a formato digital, esto es, trasformarlas e ua secuecia de úmeros de precisió fiita. Este procedimieto se deomia coversió aalógico-digital (ADC). Coceptualmete, se puede ver que la ADC posee u proceso de tres pasos los cuales so: 1. Muestreo. Esta es la coversió de ua señal e tiempo cotiuo a ua señal e tiempo discreto obteida tomado muestras de la señal e tiempo cotiuo e istates de tiempo discreto. Así x a (t) es la etrada al muestreador, la salida es x a (T) x(), dode T se deomia el itervalo de muestreo. Dr. Luis Javier Morales Medoza Coversió AD y DA 2. Cuatificació. Esta es la coversió de ua señal e tiempo discreto co valores cotiuos a ua señal e tiempo discreto co valores discretos (señal digital). El valor de cada muestra de la señal se represeta mediate u valor seleccioado de u cojuto fiito de valores posibles. La diferecia etre la muestra si cuatificar x() y la salida cuatificada x q () se deomia error de cuatificació. 3. Codificació. E el proceso de codificació, cada valor discreto x q () se represeta mediate ua secuecia biaria de b bits. x a (t) x() x q () 1001 Muestreador Cuatificador Codificador Figura 1.3: Diagrama a Bloques de u ADC Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 3
4 Coversió AD y DA ADC tipo flash (e paralelo). Cosiste e ua serie de comparadores arreglados e paralelo que compara a la señal co ua referecia para cada ivel. El resultado de las comparacioes igresa a u circuito lógico que cueta los comparadores activados. Figura 1.4: ADC Flash Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Coversió AD y DA ADC de simple rampa. Este tipo de covertidor utiliza u itegrador co u codesador que se carga a pediete costate hasta alcazar la tesió a covertir, istate e el que cesa la itegració. El tiempo requerido es proporcioal a la tesió de etrada, y puede medirse co u cotador digital. Figura 1.: ADC Simple Rampa Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 4
5 Coversió AD y DA ADC de doble rampa. Este esquema permite idepedizarse de la precisió de la frecuecia del reloj, la resistecia y el codesador. La coversió se hace e dos etapas, la primera se realiza la itegració de la tesió de etrada durate u tiempo fijo, y e la seguda se produce la descarga co pediete fija, durate u tiempo que depede de la catidad de carga acumulada. Figura 1.6: ADC doble rampa Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Coversió AD y DA DAC de escalera. Esta cofiguració permite u rago amplio de valores de las resistecias. E la actualidad, este tipo de circuito es superado por las redes de escalera del tipo R-2R Figura 1.7: DAC de escalera Dr. Luis Javier Morales Medoza 10
6 Coversió AD y DA DAC de escalera R-2R. La propiedad de esta cofiguració es que cualquiera que sea el úmero de seccioes e la red, la resistecia vista por el operacioal es R. Figura 1.8: DAC escalera R-2R Dr. Luis Javier Morales Medoza 11 Coversió AD y DA Existe otros circuitos covertidores aalógico-digital y digital-aalógico que posee circuitería mucho más compleja para mejorar que las vistas atrás. Por ejemplo, los ADC usa DAC detro de su propia circuiteria. Alguos ejemplos so: de aproximacioes sucesivas, balace cotiuo y de rampa discreta Figura 1.9: aproximacioes sucesivas Dr. Luis Javier Morales Medoza 12 6
7 Coversió AD y DA Alguos parámetros de iterés para los DAC so: La resolució, exactitud, el error de escala, error de offset, mootoía, Tiempo de establecimieto, slew-rate, sobrepico y glith, derivadas co la temperatura y co el evejecimieto etre otros parámetros. Para los ADC so: Rechazo al ruido, resolució, error de cuatizació, error de histéresis, error de offset, error de cero, y error de escala. Dr. Luis Javier Morales Medoza 13 Muestreo de Señales.3. Muestreo de señales aalógicas Existe muchas maeras de muestrear ua señal, la más comú es el muestreo periódico o uiforme. Este proceso se describe mediate la relació x ( ) x ( T ) = a < < + (1.1) dode x() es la señal e tiempo discreto obteida tomado muestras de la señal aalógica x a (t) cada T segudos. Este proceso se ilustra e la Figura El itervalo de tiempo T etre dos muestras sucesivas se deomia periodo de muestreo o itervalo de muestreo, y su reciproco (1/T = F s ) se llama velocidad de muestreo (muestras por segudo) o frecuecia de muestreo (Hertz). Dr. Luis Javier Morales Medoza 14 7
8 Muestreo de Señales x a (t) x() = x a (t) x a (t) F s = 1/T Muestreador x() x a (t) x() = x a (t) t T 2T T 9T t = T Figura 1.10: Muestreo periódico de ua señal aalógica Dr. Luis Javier Morales Medoza 1 Muestreo de Señales El muestreo periódico establece ua relació etre las variables t de tiempo cotiuo y de tiempo discreto. De hecho, estas variables se relacioa liealmete a través del periodo de muestreo T o equivaletemete, a través de la velocidad de muestreo como t T = T = (1.2) Como cosecuecia de (1.2), existe ua relació etre la variable frecuecia F de las señales aalógicas y la variables frecuecia f de las e tiempo discreto. Para establecer dicha relació si se cosidera ua señal aalógica de la forma ( t) = A ( π Ft +θ ) x a 2 cos (1.3) Dr. Luis Javier Morales Medoza 16 8
9 Muestreo de Señales que, cuado se muestrea periódicamete a ua velocidad de F s = 1 /T muestras por segudo, da lugar a ( T ) x( ) = Acos( π FT +θ ) x a 2 x 2πF ( ) = Acos + θ F s Si ua señal e tiempo discreto es expresada como ( ) = A ( π f +θ ) x 2 (1.4) cos (1.) etoces, al comparar la relació (1.4) co la (1.), se observa que las variables de frecuecia F y f está liealmete relacioadas como Dr. Luis Javier Morales Medoza 17 Muestreo de Señales F f = (1.6) F s Si ω = 2πf y Ω = 2πF, etoces, la (1.6) queda como ω = ΩT (1.7) La relació dada e (1.6) justifica el ombre de frecuecia ormalizada o relativa, que se usa a veces para describir a la variable f. Como se ve e (1.6), se puede usar a f para determiar a la frecuecia F solo si la frecuecia de muestreo F s es coocida. El rago de la variable de frecuecia F ó Ω para seoides e tiempo cotiuo es < Ω < + < F < + (1.8) Dr. Luis Javier Morales Medoza 18 9
10 Muestreo de Señales Si embargo, la situació es diferete para seoides e tiempo discreto, las cuales establece que ½ < F < ½ π < ω < π (1.9) Sustituyedo (1.6) y (1.7) e (1.9) se ecuetra que la frecuecia de la seoide e tiempo cotiuo cuado se muestreo a ua velocidad F s = 1/T debe ecotrarse e el rago o equivaletemete 1 Fs = 2T 2 Fs F 2 1 = 2T (1.10) π = πfs Ω πfs T π = T (1.11) Dr. Luis Javier Morales Medoza 19 Muestreo de Señales Ejemplo 1. cosidere la siguiete señal aalógica x a ( t) = 3cos( 100πt ) a) Si la señal se muestrea a ua velocidad de F s = 200Hz cuál es la señal e tiempo discreto obteida tras el muestreo?. b) Si la velocidad de muestreo cambia a F s = 7Hz. Sol. Aplicado la (1.4) se tiee a) b) x x 100π 200 ( ) = 3cos = 100π 7 ( ) = 3cos = π 3cos 2 4π 3cos 3 Dr. Luis Javier Morales Medoza 20 10
11 Muestreo de Señales Figura 1.11: Muestreo de la señal x a (t) Dr. Luis Javier Morales Medoza 21 Teorema del Muestreo.4. Teorema de Muestreo Dada ua señal aalógica cualesquiera, cómo se debe elegir el periodo de muestreo T? ó cual es velocidad de muestres F s? Para cotestar esta preguta es ecesario cierta iformació sobre la característica de la señal que va a ser muestreada. E particular, se debe teer cierta iformació geeral sobre el coteido de frecuecia de la señal. Geeralmete, dicha iformació se ecuetra dispoible, por ejemplo se sabe que la frecuecia mayor e señales de voz roda los 3KHz o e las señales de televisió tiee compoetes de frecuecia importate hasta los MHz. La iformació coteida e dichas señales se ecuetra e la amplitud, frecuecia y fase de las distitas compoetes de frecuecia, pero ates de obteer dichas señales o se cooce sus características co detalle. Dr. Luis Javier Morales Medoza 22 11
12 Teorema del Muestreo De hecho, el propósito del procesado de señal es ormalmete la extracció de dichas características. Si embargo, si se cooce la máxima frecuecia de ua determiada clase de señal, se puede especificar la velocidad de muestreo ecesaria para covertir las señales aalógicas e señales digitales. Si se supoe que cualquier señal aalógica se puede represetar como ua suma de seoides de diferetes amplitudes, frecuecias y fases, es decir x a N () t = A cos( 2 Ft + θ ) i= 1 i π (1.12) dode N idica el úmero de compoetes de frecuecia. Todas las señales, como las de voz ó video se presta a dicha represetació e cualquier itervalo de tiempo pequeño. i i Dr. Luis Javier Morales Medoza 23 Teorema del Muestreo Normalmete, las amplitudes, fases y frecuecias varía letamete de u itervalo de tiempo al siguiete. Si se supoe que la frecuecia de ua determiada señal o excede ua frecuecia máxima coocida F max. Por ejemplo, si F max = 3KHz, para señales de voz y F max = MHz para señales de video, se puede ver que la máxima frecuecia puede variar ligeramete, y para asegurar que F max o sobrepase determiado valor, la señal aalógica es pasada a través de u filtro que ateúe fuertemete las compoetes de frecuecia por ecima de F max. E la práctica, este filtrado se realiza ates del muestreo. Se sabe que la frecuecia más alta de ua señal aalógica que puede recostruirse si ambigüedad cuado la señal se muestrea a ua velocidad de F s = 1/T es F s /2. Cualquier frecuecia por ecima de F s /2 o por debajo de F s /2 produce muestras que so idéticas a las correspodietes a las frecuecias detro del itervalo F s /2 F F s /2. Dr. Luis Javier Morales Medoza 24 12
13 Teorema del Muestreo Para evitar las ambigüedades, que resulta del aliasig, se debe seleccioar ua velocidad de muestreo lo suficietemete alta, esto es, se debe escoger a F s /2 mayor que a F max. Por lo tato para evitar el problema de aliasig, se seleccioa a F s como F s > 2F max (1.13) Teorema: Si la frecuecia más alta coteida e ua señal aalógica x a (t) es F max = B y la señal se muestrea a ua velocidad F s > 2F max, etoces x a (t) se puede recuperar totalmete de sus muestras mediate la siguiete fució de iterpolació: g () t ( 2πBt) si = 2πBt (1.14) Dr. Luis Javier Morales Medoza 2 Teorema del Muestreo Así, x a (t) se puede expresar como a () t = = x a g t Fs Fs x (1.1) dode x a (/F s ) = x a (T) = x(). Cuado el muestreo de x a (t) se realiza a la tasa míima de muestreo F s =2B, la formula de recostrucció (1.1) se trasforma e x a () t = si 2π xa = 2 2πB B B( t 2B) ( t ) 2B (1.16) La tasa de muestreo dada por FN = 2B = 2Fmax, se deomia tasa de Nyquist. La Figura 1.12 ilustra el proceso de u DAC ideal que usa esta fució de iterpolació. Dr. Luis Javier Morales Medoza 26 13
14 Teorema del Muestreo g () t si 2π = 2πB B( t 2B) ( t ) 2B Figura 1.12: Coversió aalógico a digital ideal Dr. Luis Javier Morales Medoza 27 Teorema del Muestreo Como puede observarse tato e la (1.1) como e la (1.16), la recostrucció de x a (t) a partir de la secuecia x() es u proceso complicado que supoe la suma poderada de la fució de iterpolació g(t) y sus versioes correspodietemete desplazadas e el tiempo g(t - T) co < <, dode los coeficietes de poderació so las muestras de x(). Dada la complejidad y el ifiito úmero de muestras que se requiere e (1.1) y (1.16), éstas formulas de recostrucció, so puramete de iterés teórico. Ejemplo 2. Cosidere la siguiete señal aalógica x a () t = 3cos0πt + 10si 300πt cos100πt Cual es la tasa de Nyquist para esta señal? Dr. Luis Javier Morales Medoza 28 14
15 Teorema del Muestreo Sol. Las frecuecias presetes e la señal so: F = 1 2Hz F = 10Hz F 0Hz 2 3 = Por lo tato, la frecuecia máxima coteida e la señal es 10Hz, y de acuerdo a (1.13) la tasa de Nyquist es F N = 2F max F N = 300Hz Dr. Luis Javier Morales Medoza 29 Teorema del Muestreo Ejemplo 3. Cosidere la siguiete señal aalógica x a ( t) = 3 cos 2000πt + si 6000πt + 10cos12000πt a) Cual es la tasa de Nyquist para esta señal? b) supoga ahora que se muestrea esta señal a ua velocidad de F s = 000 muestras por segudo Cuál es la señal e tiempo discreto que se obtiee tras el muestreo? Sol. F = 1 1KHz F = 3KHz F3 = 6KHz 2 Por lo tato F N = 12KHz Dr. Luis Javier Morales Medoza 30 1
16 Teorema del Muestreo b) Dado que se ha elegido a F s = KHz, la máxima frecuecia que puede ser represetada si ambigüedad mediate las muestras es usado la (1.2) se obtiee F s KHz 2 = 2. 3 ( t) = 3cos 2π ( 1 ) ( ) 2 ( + si 2π + 10cos π ) 1 = 3 cos 2π ( 1 ) ( 2 ) ( 1 + si 2π cos 2π + ) 1 = 3cos 2π ( 1 ) ( 2 ) 2 ( + si 2π + 10cos π ) 1 2 = 13cos 2π ( ) si 2π ( ) x a 6 Dr. Luis Javier Morales Medoza 31 Tarea 1. Ivestigue e forma detallada cada uo de los covertidores aalógicodigital que se presetaro e esta lectura, cubriedo el aálisis del circuito, aplicacioes, vetajas y desvetajas que preseta cada uo, etre otros datos de iterés. 2. Realice la programació de u DAC y ADC e Matlab aplicado los métodos de coversió descritos e esta lectura. 3. Ivestigue cual es el estado del arte de los covertidores aalógicosdigitales y digitales-aalógicos e cuestió de diseño electróico, e programació de alguos sistemas embebidos (PIC, FPGA, DSP), velocidad, etc. Dr. Luis Javier Morales Medoza 32 16
17 Tarea 4. Se tiee las siguietes señales aalógicas x a x a x a () t = 3 cos 600πt + 2cos1800πt () t = Re{ exp( j200πt )} + 7 Im{ exp( j400πt )} () t = 3Re{ exp( j200πt )} Im{ exp( j100πt )} Ecuetre: a) La frecuecia máxima b) La tasa de Nyquist c) Si la frecuecia de muestreo cambia a F s = 00 muestras por segudo Cuál es la señal e tiempo discreto que se obtiee tras el muestreo? Dr. Luis Javier Morales Medoza 33 17
Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG
Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas
Más detallesTema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Idice: Series de Fourier Serie Trigoométrica de Fourier Aálisis gráfico. Primeras compoetes de frecuecia Ejemplo Serie de Fourier e forma de Expoeciales
Más detalles[e j N 2 e j N 2 ]...} (22)
Trasformadores multiseccioales de cuarto de oda. La teoría de reflexioes pequeñas descrita e la secció aterior se puede usar para aalizar trasformadores multiseccioales de u cuarto de oda. Cosidere la
Más detallesResumen Tema 2: Muestreo aleatorio simple. Muestreo con probabilidades desiguales.
Resume Tema 2: Muestreo aleatorio simple. Muestreo co probabilidades desiguales. M.A.S.: Muestreo aleatorio simple co probabilidades iguales si reemplazo. Hipótesis: Marco perfecto, si omisioes i duplicados
Más detallesMedidas de Tendencia Central
1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida
Más detallesSeries de Fourier Aplicación: Análisis de Señales
Series de Fourier Aplicació: Aálisis de Señales Jua E Dombald Estudiate de Igeiería Electróica Uiversidad Nacioal del Sur, Avda Alem 53, B8CPB Bahía Blaca, Argetia Juae_ce@hotmailcom Agosto Resume: E este
Más detallesUNIDAD 9. PROBABILIDAD Matemáticas II. Ies do Barral.Curso 2017/ Experimentos aleatorios
1. Experimetos aleatorios U experimeto se llama aleatorio cuado o se puede predecir su resultado; además, si se repitiese el mismo experimeto e codicioes aálogas, los resultados puede diferir. a) El resultado
Más detalles1. Secuencia Impulso unitario (función Kroëneker) 1, n = n 0. (n) = = {... 0, 0, (1), 0, 0,... }
SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO Las señales está clasificadas de maera amplia, e señales aalógicas y señales discretas. Ua señal aalógica será deotada por a t e la cual
Más detallesProf: Zulay Franco 1
Biestables 1.1 Itroducció Ua vetaja importate de los sistemas digitales sobre los aalógicos es la capacidad de almacear fácilmete grades catidades de iformació por periodos cortos o largos. Esta capacidad
Más detallesPROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES TEMA : FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. Señales y Sistemas de Tiempo Discreto Se itroducirá coceptos de señales y sistemas de tiempo discreto. Para ello se detallará
Más detallesLECTURA 5 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT
UIVERSIDAD TÉCICA FEDERICO SATA MARÍA DEPARTAMETO DE ELECTRÓICA LECTURA 5 TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT CURSO LABORATORIO DE PROCESAMIETO SIGLA ELO 385 DIGITAL DE SEÑALES PROFESOR PABLO LEZAA ILLESCA
Más detalles1. Diagramas Frecuenciales Respuesta en Frecuencia 2
04 a Diagramas Frecueciales.doc 1 1. Diagramas Frecueciales 1. Diagramas Frecueciales 1 1.1.1. Respuesta e Frecuecia 1.. Presetació de la Respuesta e Frecuecia - Diagramas de Bode 8 1..1. Caso Particular:
Más detallesDISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ESPACIO MUESTRAL. El cojuto de todos los resultados posibles de u eperimeto estadístico deotado por S o Ω VARIABLE. Se deomia variable a la
Más detalles4.4 Sistemas mal condicionados
7 4.4 Sistemas mal codicioados l resolver u sistema de ecuacioes lieales usado u método directo, es ecesario aalizar si el resultado calculado es cofiable. E esta secció se estudia el caso especial de
Más detallesÍNDICE. Prólogo Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Generalidades.. 11 Introducción teórica Ejercicios resueltos...
ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. Ecuacioes difereciales ordiarias. Geeralidades.. 11 Itroducció teórica... 13 Ejercicios resueltos.... 16 Capítulo 2. itegració de la ecuació de primer orde. La ecuació lieal...................................................................
Más detallesQuadern d activitats de filtres digitals
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA ESCOLA UNIVERSITARIA POLITÈCNICA DE VILANOVA I LA GELTRÚ FILTRES ELECTRONICS ANALOGICS I DIGITALS (FEAD) Quader d activitats de filtres digitals GRUPS: K45-S45 CURS:
Más detallesAPROXIMACIÓN DE FILTROS CAPÍTULO 2
APROXIMACIÓN DE FILTROS CAPÍTULO . Aproximacioes de Filtros E el capítulo se mecioaro los filtros ideales, e la realidad o se puede lograr ua aproximació ideal, por lo que los filtros reales sólo puede
Más detallesPráctica 7 CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Práctica 7. Cotrastes de hipótesis Práctica 7 CONTRATE DE IPÓTEI Objetivos Utilizar los cotrastes de hipótesis para decidir si u parámetro de la distribució de uos datos objeto de estudio cumple o o ua
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS
INFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS BÁSICOS Població E el cotexto de la estadística, ua població es el cojuto de todos los valores que puede tomar ua característica medible e particular, de u cojuto correspodiete
Más detalles4.- Aproximación Funcional e Interpolación
4- Aproximació Fucioal e Iterpolació 4 Itroducció Ua de las mayores vetajas de aproximar iformació discreta o fucioes complejas co fucioes aalíticas secillas, radica e su mayor facilidad de evaluació y
Más detallesTEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN Objetivo: El objetivo de la estimació putual es usar ua muestra para obteer úmeros (estimacioes putuales) que sea la mejor represetació de los verdaderos parámetros de la població.
Más detallesTema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros
Idice: Señales periódicas. Aálisis de Simetría Simetría Par Simetría Impar Simetría de Media Oda Simetría de Cuarto de Oda Señales Ortogoales Prof. Raquel Frías Aálisis de Señales 1 1. Señales Periódicas
Más detallesCAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística
CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia
Más detallesPreguntas más Frecuentes: Tema 2
Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,
Más detallesEstadística Aplicada a las ciencias Sociales Examen Febrero de 2008 segunda semana
Estadística Aplicada a las ciecias Sociales Exame Febrero de 008 seguda semaa Ejercicio 1.- E la siguiete tabla, se tiee el úmero de alumos de educació de adultos matriculados e el curso graduado escolar
Más detallesLECTURA 3 GENERACIÓN DE SEÑALES
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LECTURA 3 GENERACIÓN DE SEÑALES CURSO SIGLA LABORATORIO DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES ELO 385 PROFESOR RODRIGO HUERTA CORTÉS AYUDANTE
Más detallesNotas de Teórico. Sistemas de Numeración
Departameto de Arquitectura Istituto de Computació Uiversidad de la República Motevideo - Uruguay Sistemas de umeració Arquitectura de Computadoras (Versió 4.3b - 6) SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E
Más detallesTrata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
1 Estadística Descriptiva Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combiatoria Trata de describir y aalizar alguos caracteres de los idividuos de u grupo dado, si extraer coclusioes para u grupo mayor.
Más detallesTRABAJO PRÁCTICO N O 1. SÍNTESIS DE SEÑALES Y ANÁLISIS DE SISTEMAS
TRABAJO PRÁCTICO N O. SÍNTESIS DE SEÑALES Y ANÁLISIS DE SISTEMAS PARTE : SEÑALES Recomedacioes geerales: Utilice el comado stem para el graficado de las señales discretas. El uso de plot o se ajusta al
Más detallesα β la cual puede presentar
5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
Más detallesProblemas de Introducción al Procesado digital de Señales. Boletín 1.
Problemas de Itroducció al Procesado digital de Señales. Boletí. Se tiee la señal aalógica t e segudos t se 5 π t + cos 5 π t se 5 π t se muestrea co ua frecuecia de 5 H. Determia la señal obteida al hacer
Más detallesTema 1. Introducción a las Señales en Tiempo Contínuo y Discreto
Idice: 6. Señales Discretas 7. Operacioes sobre Señales Discretas Suma de Señales Producto de Señales Escalamieto e Tiempo Escalamieto e Magitud Trasposició ó Reflexió 8. Señales Sigulares Fució Escaló
Más detallesAnálisis de resultados. Independencia de las muestras
Aálisis de resultados Clase ro. 8 Curso 00 Idepedecia de las muestras Los resultados de ua corrida de simulació, so muestras de algua distribució. Esos resultados los llamamos "respuestas". Las respuestas
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales
Más detallesUNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS Asigatura : Cálculo Numérico, MAT-23. Profesor : Emilio Cariaga L. Periodo : er. Semestre 205. SERIES DE POTENCIAS
Más detallesEl método de Monte Carlo
El método de Mote Carlo El método de Mote Carlo es u procedimieto geeral para seleccioar muestras aleatorias de ua població utilizado úmeros aleatorios. La deomiació Mote Carlo fue popularizado por los
Más detallesCLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detallesDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS) www.cedicaped.com DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Recordemos que el Espacio Muestral es el cojuto de todos y
Más detallesUnidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones
Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos
Más detallesUniversidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA. Ingenierías RH-Amb-Ag TEORÍA
Uiversidad Nacioal del Litoral Facultad de Igeiería Ciecias Hídricas ESTADÍSTICA Igeierías RH-Amb-Ag TEORÍA Mg. Susaa Valesberg Profesor Titular INFERENCIA ESTADÍSTICA TEST DE HIPÓTESIS INTRODUCCIÓN Geeralmete
Más detallesElectrónica de Comunicaciones Tema 6 PLL
Electróica de Comuicacioes Tema 6 PLL Ejercicio ) Problema Iiciado e clase Se desea diseñar u sitetizador de frecuecia que cubra desde 98 a 200 Mhz e itervalos de 0 Hz. Para este diseño se desea que la
Más detallesGuía 1 Matemática: Estadística NM 4
Cetro Educacioal Sa Carlos de Aragó. Sector: Matemática. Prof.: Ximea Gallegos H. 1 Guía 1 Matemática: Estadística NM 4 Nombre: Curso: Fecha. Uidad: Estadística y Probabilidades. Apredizajes Esperados:
Más detallesCálculo II (0252) TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS. Semestre
Cálculo II (5) Semestre - TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS Semestre - José Luis Quitero Julio Departameto de Matemática Aplicada UCV FIUCV CÁLCULO II (5) José Luis Quitero Las otas presetadas a cotiuació tiee
Más detallesESTADISTICA UNIDIMENSIONAL
ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate
Más detallesQué es la estadística?
Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma
Más detalles2.2. Estadísticos de tendencia central
40 Bioestadística: Métodos y Aplicacioes La dispersió o variació co respecto a este cetro; Los datos que ocupa ciertas posicioes. La simetría de los datos. La forma e la que los datos se agrupa. Cetro,
Más detalles) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1
ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA El objetivo básico de la iferecia estadística es hacer iferecias o sacar coclusioes sobre la població
Más detallesCombinatoria. Tema Principios básicos de recuento
Tema 4 Combiatoria La combiatoria, el estudio de las posibles distribucioes de objetos, es ua parte importate de la matemática discreta, que ya era estudiada e el siglo XVII, época e la que se platearo
Más detallesCuestión 2 (tiempo recomendado 15 min.)
Cuestió (tiempo recomedado 0 mi.) 0,5ptos. Para el covertidor de la Figura, cuado opera e Modo de Coducció Cotiuo, Se pide: Euciar las codicioes de régime permaete para u covertidor comutado. Teiedo e
Más detallesTema 14: Inferencia estadística
Tema 14: Iferecia estadística La iferecia estadística es el proceso de sacar coclusioes de la població basados e la iformació de ua muestra de esa població. 1. Estimació de parámetros Cuado descoocemos
Más detallesMaestría en Marketing Métodos y técnicas de análisis cuantitativo y cualitativo. Métodos de Muestreo. Otoño Problemas a tratar
Maestría e Marketig Métodos y técicas de aálisis cuatitativo y cualitativo Métodos de Muestreo Referecia: PR Cap 11, KT 1-14. Otoño 004 Problemas a tratar Que alterativas hay para cofeccioar ua muestra
Más detallesTEMA 5: Gráficos de Control por Atributos. 1. Gráfico de control para la fracción de unidades defectuosas
TEMA 5: Gráficos de Cotrol por Atributos 1 Gráfico de cotrol para la fracció de uidades defectuosas 2 Gráfico de cotrol para el úmero medio de discoformidades por uidad Selecció del tamaño muestral 3 Clasificació
Más detallesDerivación Numérica. Ultima actualización: 15/01/2008
Titulació: Asigatura: Autor: Igeiero Geólogo Aálisis Numérico César Meédez Ultima actualizació: 5/0/008 Derivació Numérica Plaificació: Materiales: Coocimietos previos: Teoría+ Prácticas+0.5 Laboratorio
Más detallesINECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.
INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad
Más detallesPráctica de Laboratorio. Respuesta de los Instrumentos de Medida ante Distintas Señales de Tensión y Frecuencia.
Uiversidad Nacioal de Mar del lata. ráctica de Laboratorio ema: Respuesta de los Istrumetos de Medida ate Distitas Señales de esió y Frecuecia. Cátedra: Medidas Eléctricas I 3º año de la carrera de Igeiería
Más detallesTRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER (FFT)
Capítulo 6 TRASORADA RAPIDA DE OURIER (T) Los temas a tratar e el presete capítulo so: 6. Algoritmo T 6. T Iversa. 6.3 Implemetació Televisió Digital 6- La implemetació de la ec. (4.5) ivolucra u úmero
Más detallesI. Funciones trigonométricas. Armónicos.
PRÁCTICA : APROXIMACIONES DE FOURIER I I Fucioes trigoométricas Armóicos Iformació básica Las fucioes trigoométricas básicas Las fucioes trigoométricas básicas so las fucioes seo y coseo: siωt y cosω t,
Más detallesUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Revisió, Cambios y Ampliació: Ig. José Alejadro Marí Fuete Primaria: Ig. César Augusto Zapata Urquijo 1. M U E S T R E O S I S T E M
Más detallesCAPÍTULO 1 COMPUTADORA DIGITAL. Modelo De Von Neumann
CAPÍTULO 1 COMPUTADORA DIGITAL Ua computadora digital es ua combiació de dispositivos y circuitos electróicos orgaizados de tal forma, que puede realizar ua secuecia programada de operacioes co u míimo
Más detallesUNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA, AUTOMÁTICA E INFORMÁTICA INDUSTRIAL Prácticas de Regulació Automática Práctica 3 Aálisis e el domiio del tiempo de sistemas físicos de primer
Más detallesDeterminación del tamaño de una muestra (para dos o más muestras)
STATGRAPHICS Rev. 457 Determiació del tamaño de ua muestra (para dos o más muestras) Este procedimieto determia el tamaño de muestra apropiado para estimar o realiar pruebas de hipótesis respecto a alguo
Más detallesORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.
ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar
Más detallesFÍSICA GENERAL 2º CUATRIMESTRE 2014 TT.PP. LABORATORIOS- TEORIA DE ERRORES. (Algunos conceptos importantes)
FÍSICA GENERAL 2º CUATRIMESTRE 2014 TT.PP. LABORATORIOS- TEORIA DE ERRORES (Alguos coceptos importates) 1. Error de apreciació. Lo primero que u experimetador debe coocer es la apreciació del istrumeto
Más detallesCUADRATURA GAUSSIANA
CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios
Más detallesImportancia de las medidas de tendencia central.
UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació
Más detallesCoeficientes Binomiales
Uiversidad de los Ades Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales Escuela de Estadística Coeficietes Biomiales Prof. Gudberto José Leó Ragel MÉRIDA- VENEZUELA, 5 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades
Más detallesEn el tema anterior se estudió que muchas decisiones se toman a partir de resultados muestrales. Por ejemplo:
TEMA 6. Estimació putual. E muchos casos o será posible determiar el valor de u parámetro poblacioal descoocido, aalizado todos los valores poblacioales, pues el proceso a seguir puede ser destructivo,
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi
EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee
Más detallesTécnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20
Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra
Más detallesUna nueva serie para el cálculo del número π
Ua ueva serie para el cálculo del úmero π Sergio Falcó Sataa Resume: Es de sobras coocido que eiste muchísimas series uméricas para el cálculo de los primeros dígitos del úmero π. Pero, e geeral, todas
Más detallesSeñales en Tiempo Discreto
Señales e Tiempo Discreto Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció.. Señales e tiempo discreto.3. Clasificació de las señales
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesUniversidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
Facultad de Igeiería Eléctrica Uiversidad Michoacaa de Sa Nicolás de Hidalgo Aputes para el Curso Procesamieto Digital de Señales x(t) Señal aalógica p(t) impulsos de muestreo t x() T s señal discretiada
Más detallesLAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS TEMA 8
EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 8 8.. U ivestigador desea coocer la opiió de los madrileños sobre la saidad pública. Para ello, acude a las 8 de la mañaa al hospital público de la capital más cercao a su domicilio
Más detallesEjemplo Solución. 2) Datos p 1 =253/300 p 2 =196/300 n 1 =n 2 =300 α= ) Ensayo de hipótesis
Ejemplo Solució ) Se trata de ua distribució muestral de diferecia de proporcioes. Se evalúa dos tipos diferetes de solucioes para pulir, para su posible uso e ua operació de pulido e la fabricació de
Más detallesEstudio Frecuencial de Sistemas Continuos de 1 er y 2º Orden
Uiversidad Carlos III de Madrid Departameto de Igeiería de Sistemas y Automática SEÑALES Y SISTEMAS Práctica Estudio Frecuecial de Sistemas Cotiuos de 1 er y º Orde Estudio frecuecial de sistemas cotiuos
Más detallesSe utilizan los datos puntuales de altura de precipitación o intensidades máximas de lluvia registradas en una estación
.. Tormetas putuales Aspectos geerales Se utiliza los datos putuales de altura de precipitació o itesidades máximas de lluvia registradas e ua estació So válidas para áreas cuya extesió este defiida por
Más detallesDensidad espectral de potencia de una señal digital PAM multinivel
Desidad espectral de potecia de ua señal digital PAM multiivel Mayo de 017 Apellidos, Nombre: Departameto: Cetro: Flores Asejo, Satiago J. (sflores@dcom.upv.es) Dep. de Comuicacioes EPS de Gadia Resume
Más detallesTRABAJO DE GRUPO Series de potencias
DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre
Más detallesEjercicio 1. Calcule y grafique la densidad espectral de potencia de la salida del filtro y el valor de potencia total. Ejercicio 2.
Guía de Ejercicios Ejercicio El circuito RC de la figura es excitado por ua señal de ruido blaco co desidad espectral de potecia costate e igual a N /. R w(t) C v(t) Calcule y grafique la desidad espectral
Más detallesEstadística Descriptiva
Estadística Descriptiva TEMA 1 Estadística Descriptiva 1. Variables estadísticas uidimesioales a) Itroducció b) Estudio descriptivo de ua variable c) Represetacioes gráficas d) Medidas de tedecia cetral
Más detallesProblemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviaa Ramírez Beavides Iferecia Estadística La teoría de la iferecia estadística cosiste e aquellos
Más detallesSolución: 0 y -25 Hz.
TEMA 2. CONVERSION AD/DA. 1. (apple)se tiee u proceso idustrial e el que al medir la tesió se tiee voltios (t e segudos); esta señal se muestrea co u periodo de 10 milisegudos. Determia de maera aalítica
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesAUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL
º ITT SISTEMAS ELECTRÓNICOS º ITT SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN º INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN AUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL PRÁCTICA 7: SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La fució
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tedecia cetral so los valore que se ubica e el cetro de u cojuto de datos estos puede estar ordeados o o. Geeralmete se utiliza cuatro de estos valores coocidos
Más detallesCód. Carrera: Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 11.
rueba Itegral Lapso 03-7-76-77 /0 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód. 7-76-77) icerrectorado Académico Cód. Carrera: 6-36-80-08- -60-6-6-63 Fecha: 0 0-0 MODELO DE RESUESTAS Objetivos al. OBJ
Más detallesMETODO DE ITERACION DE NEWTON
METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura
Más detallesDefinición. Ventajas y desventajas respecto a los filtros analógicos. Ventajas:
Facultad de Ciecias Exactas y aturales y Agrimesura Departameto de Igeiería Cátedra : Señales y Sistemas Aputes de cátedra ema 7-a : Itroducció a los Filtros Digitales Defiició Los filtros digitales so
Más detalles1. QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
1. QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? Cuado coloquialmete se habla de estadística, se suele pesar e ua relació de datos uméricos presetada de forma ordeada y sistemática. Esta idea es la cosecuecia del cocepto popular
Más detallesGrado en Ingeniería Electrónica y Automática Industrial PEF EVALUACIÓN NO CONTINUA
Grado e Igeiería Electróica y Automática Idustrial PEF EVALUACIÓN NO CONTINUA Asigatura: INSTRUMENTACIÓN ELECTRÓNICA Apellidos: Fecha: Mayo-016 Nombre: DNI: Cuestió 1. Justifique cualitativamete el fucioamieto
Más detallesvalor absoluto de sus términos, se tiene la serie: que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA TEOREMA. Si e la serie alterada ( ) valor absoluto de sus térmios, se tiee la serie: a + a + + a + a se toma el = que si es covergete,
Más detalles