IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS

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1 IX.- SUPERFICIES AMPIADAS IX.1.- INTRODUCCIÓN as superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisión de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y calentamiento en la industria química, etc. Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es conveniente hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen como aletas, así como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (sección recta), que se corresponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie, tales como las rectangulares, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con dimensiones en las que la relación (longitud/espesor) es del orden de 5/1 50/1, y espesores del orden de 0,5 10 mm. as aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo longitudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta. Cuando las aletas son sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su disposición puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la base sea pequeña frente a la superficie de esta última. as protuberancias se tratan con distribución de temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la relación entre la longitud de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la base, es elevada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando esta hipótesis no se cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres dimensiones. as aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, siendo el más frecuente un tubo en el que el número de aletas o protuberancias es variable, con una separación del orden de 1 a 6 centímetros para las aletas, y una distribución de retícula cuadrada o trian Superficies ampliadas.ix.-167

2 gular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades térmicas, los elementos se acoplan en serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor. Cuando el fluido que circula por las aletas está confinado y se mueve mediante un sistema de bombeo, hay que tener en cuenta la energía necesaria para mantener el coeficiente de convección h C a través de las aletas, procurando que la energía térmica extraída sea máxima frente a la energía utilizada en mover el fluido. a) Aletas longitudinales b) Aletas transversales c) Tubos aplastados con aletas continuas Fig IX.1.- Diferentes tipos de aletas Esta situación conduce a un estudio de métodos y costes de fabricación, mantenimiento y rendimiento de los elementos de las aletas, cuyos valores óptimos pueden no coincidir con los óptimos térmicos, por lo que un análisis de estos últimos es importante desde el punto de vista de la fabricación de modelos normalizados, así como de la elección del modelo más adecuado para el usuario. IX..- TRANSFERENCIA TÉRMICA EN AETAS ONGITUDINAES DE SECCIÓN TRANS- VERSA CONSTANTE os perfiles rectangulares sobre superficies planas constituyen el caso más simple de superficies ampliadas. Se pueden disponer en una pared plana, o sobre la longitud axial de un tubo en dirección longitudinal, con hélices de paso elevado o sobre superficies arbitrarias de gran radio de curvatura. El conjunto constituido con aletas longitudinales rectangulares es de fácil fabricación por extrusión, fundición, colada continua, etc. En casos especiales, las aletas longitudinales se mecanizan sobre el material de aleación de la base. as aletas unidas a la base sin discontinuidades, mediante soldadura o presión, no tienen resistencias térmicas de contacto y son adecuadas para temperaturas elevadas dado que la base no se altera por dilataciones térmicas diferenciales siempre que no sufran efectos corrosivos o una excesiva deformación. En régimen estacionario, el calor que se conduce a través de un sistema de aletas se elimina al exterior mediante un proceso de convección, siendo la energía disipada, en la unidad de tiempo, proporcional a su área su- Fig IX..- Aleta de sección transversal constante perficial. En primer lugar vamos a considerar una aleta de sección transversal constante, de longitud a igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig IX. hemos representado una de sección transversal rectangular, de altura, el método es válido para cualquier otra geometría, por la forma que toma el nú Superficies ampliadas.ix.-168

3 mero de ot. El calor se transmite por conducción a través del material de la aleta y luego se elimina por convección al fluido que le rodea. a temperatura del fluido ambiente es T F, y el coeficiente de transmisión de calor por convección es h C, siendo constantes ambos valores. El balance de flujos térmicos en régimen estacionario, en la unidad de tiempo, en el volumen elemental situado en la posición x, es igual a la suma del calor conducido en dicho tiempo fuera del volumen en (x + Δx) más el calor transferido por convección en dicho tiempo, desde la superficie del volumen elemental, es decir: Q x - ( Q x + Q x x Δx ) - Q C 0 siendo: Q x x Δx + Q C 0 Q x - S ( T x ) x Q x x - S ( T x ) x Q C h C da ( T x - T F ) h C ( p Δx ) ( T x - T F ) en las que p es el perímetro y S el área de la sección transversal. a ecuación diferencial de la distribución de temperaturas es: - S ( T x ) x Δx + h C p Δx ( T x - T F ) 0 ( T x ) x - h C p S ( T x - T F ) 0 Definimos una función Φ(ξ) de temperaturas, con ξ x en la forma: Φ (ξ ) T x T F T b T F ; T x T F + Φ( ξ )(T b T F ) por lo que: dt dx (T b - T dφ (ξ ) F ) dξ d T dx T b - T F d Φ (ξ ) dξ dξ dx ξ x ; dξ dx 1 dξ dx T b- T F d Φ( ξ ) dξ T b- T F dφ (ξ ) dξ Sustituyendo en: ( T x ) x - h C p S (T x - T F ) 0 se obtiene: d Φ(ξ) - h C p dξ S Φ(ξ ) 0 a distribución de temperaturas se puede expresar en forma adimensional, en función del número de ot; teniendo en cuenta que el perímetro p multiplicado por la longitud de la aleta, es igual al área total de la superficie lateral (A p ), resulta: p S A S * que tiene dimensiones de longitud, por lo que se puede considerar como la longitud característica * de la aleta; el número de ot se define en la forma: Superficies ampliadas.ix.-169

4 h C p S h C * a expresión de la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas en forma adimensional, correspondiente a la aleta, en función del número de ot, es: d Φ dξ - Φ 0 cuya solución general es Φ (ξ ) C 1 e - ξ + C e ξ os valores de las constantes de integración C 1 y C se determinan una vez se especifiquen las condiciones de contorno para los diferentes casos. Condiciones de contorno.- a temperatura que se suele conocer inicialmente es la correspondiente a la base de la aleta (x 0), (T x0 T b ), que es la primera condición de contorno, por lo que: x 0 ; ξ 0 ; Φ( 0 ) T b - T F T b - T F 1 ; C 1 + C 1 común a los tipos de aletas de sección transversal constante. El calor que entra a la aleta por conducción por la base (x 0), es: Q - S ( T x ) x0 - S ( T Φ (ξ ) b- T F ) ( ) ξ ξ0 S (T b- T F ) ( C 1 - C ) a segunda condición de contorno toma diversas formas, según sea: a) AETA MUY ARGA.- a temperatura de su extremo libre es igual a la del medio exterior del fluido que la rodea: T x T F ; ξ x 1 ; Φ( 1) T F - T F T b - T F 0 C 1 e - + C e y como es muy grande y es proporcional en este caso a resulta que es también muy grande, siendo la distribución de temperaturas correspondiente: 0 + C e 0 C 0 C 1 1 Φ (ξ ) T ξ - T F T b - T F e - ξ ; T ξ T F + ( T b - T F ) e - ξ El calor intercambiado por convección con el exterior se calcula teniendo en cuenta que es igual al que entra por la base de la aleta (x 0) por conducción: Q - S ( T x ) x0 S ( T b - T F ) (C 1 - C ) C 1 1 C 0 S (T b - T F ) b) AETA CON SU EXTREMO IBRE TÉRMICAMENTE AISADO.- Este tipo de aletas no disipa calor por el extremo libre (x ) ó (ξ 1), por lo que: dt dx x 0 ; dt dx x T b - T F dφ (ξ ) dξ ξ1 0 dφ(ξ ) dξ ξ1 0 Superficies ampliadas.ix.-170

5 as constantes C 1 y C se obtienen en la forma: dφ dξ ) ξ1 0 - C 1 e- + C e 0 C 1 C e C 1 C e e C 1 + C 1 C e e + C 1 por lo que la distribución de temperaturas es: e C e e e + e Ch C 1 e Ch Φ (ξ ) T ξ - T F T b - T F e e - ξ + e - e ξ e + e - + e ( 1 - ξ ) + e - ( 1 - ξ ) e + e - a temperatura T en el extremo libre de la aleta, ξ 1, es: Ch{ (1 - ξ )} Ch T - T F T b - T F 1 Ch ; T T F + T b - T F Ch El calor disipado por la aleta por convección en la unidad de tiempo, se determina como en el caso anterior, considerando que es el mismo que entra por conducción por la base de la aleta (x 0), es decir: Q - S ( T x ) x0 S ( T b- T F ) (C 1 - C ) S T b - T F e - e - Ch S T b - T F Sh Ch S T b - T F Th c) AETA CON CONVECCIÓN DESDE SU EXTREMO IBRE.- a condición de contorno en el extremo libre es: - dt dx ) x h C (T - T F ) x h CΦ(1)(T b - T F ) - dt dx ) x - T b - T F que igualada a: dφ dξ ) ξ1 dφ dξ ) ξ1 - C 1 e - + C e dφ dξ ) ξ1 - h C Φ( 1) - h C ( C 1 e- + C e ) permite obtener la segunda relación entre las constantes C 1 y C : - h C (C 1 e - + C e ) - C 1 e - + C e C 1 e - ( - + h C ) + C e ( + h C e ( + ) 0 C 1 y como C 1 + C 1 resulta: C 1 ( + h C ) e ( e + e - ) + h C 1 ( e - e - ) ( + h C Ch + h C h C ) e - ( - h C ) C ) e Sh Superficies ampliadas.ix.-171

6 C ( - h C ) e- ( e + e - ) + h C ( e - e - ) a distribución de temperaturas es: 1 ( - h C Ch + h C ) e- Sh Φ(ξ) T(ξ)-T F T b -T F C 1 e - ξ +C e ξ 1 Ch {(1 - ξ) Ch } + h C + h C e ( Sh{ (1 - ξ) } Sh El calor disipado en la unidad de tiempo es: Q S (T b - T F ) (C 1 - C ) S (T b - T F ) S Sh + ( T b - T F ) Ch h C + h C Ch Sh + h C ) e- ξ + e ( - h C ) e ξ Ch + h C Sh h Cp S ; h C Ch {(1 - ξ ) } + S p e ( Ch + S p S p Sh{ (1 - ξ ) } Sh + h C ) - e ( - h C ) Ch + h C S ( T b - T F ) Th h C Sh h C Th S ( T b - T F ) Th + S p 1 + S p Th h C p h C a S a e h m ; m C e e m S ( T b - T F ) m Th(m ) + h C m 1 + h C m Th(m ) d) AETA ENTRE DOS PAREDES A TEMPERATURAS DISTINTAS T B Y T.- a condición de contorno en el extremo T es: x ; T T ; ξ x 1 Φ (1) T - T F T b - T F C 1 e - + C e C C ( 1 - C ) e - + C e e - + C ( e - e - ) e - + C Sh C Φ(1) - e- Sh ; C Φ(1) - e- Sh e - Φ(1) Sh Superficies ampliadas.ix.-17

7 en las que T b, T y T F son conocidas por lo que Φ(1) también lo es. Distribución de temperaturas: Φ (ξ ) e - Φ( 1) Sh e - ξ Φ (1) - e- + Sh e ξ e (1 - ξ ) - Φ( 1) e - ξ + Φ (1) e ξ - e ( 1 - ξ ) Sh El calor Q para cualquier valor de ξ es: Sh { ( 1 - ξ )} + Φ(1) Sh ( ξ ) Sh Q - S dt dx - S ( T b - T F ) dφ (ξ ) dξ - S ( T b - T - Ch{ (1 - ξ )} + Φ (1) Ch ( ξ ) F ) Sh El calor disipado por la aleta es igual al calor entrante por la pared a T b, menos el calor saliente por la pared a T, es decir: Q Q ξ0 - Q ξ1 - S ( T b - T F Φ( 1) - Ch - Φ (1) Ch + 1 ) Sh - S ( T b - T F ( 1 - Ch ) {Φ( 1) + 1} ) Sh IX..- CAMPO DE APICACIÓN DE AS AETAS RECTAS DE PERFI UNIFORME a condición dq d Q S ( T b - T F ) m es: dq d S ( T b - T F ) m 0 aplicada a la ecuación: Th( m ) + h C m 1 + h C Th( m ) m m Ch ( m ) {1 + h C m Th ( m )} - { Th ( m ) + h C m } h C m m Ch ( m ) {1 + h 0 C m Th ( m )} 1 + h C m Th ( m ) { Th ( m ) + h C m } h C m ; 1 ( h C m ) m e h C e que se cumple para cualquier valor de, e indica las condiciones técnicas a tener en cuenta para colocar aletas sobre una superficie y el efecto que estas producen. Esta ecuación indica que si la resistencia térmica por unidad de superficie frontal de la aleta es menor que la resistencia térmica correspondiente a la convección, hay que colocar aletas, mientras que en el caso contrario, las aletas producen un efecto refrigerante. Al sustituir este valor en la segunda derivada se obtiene un punto de inflexión, que se corresponde con una evacuación de calor del tubo sin aletas. a) Cuando h C e > 1, resulta que poner aletas produce un efecto aislante o refrigerante, por cuanto Superficies ampliadas.ix.-17

8 el calor que se elimina es inferior al del tubo sin aletas, que se interpreta como que las aletas absorben calor del medio ambiente y lo transmiten al fluido (Vaporizador de una máquina frigorífica) b) Cuando h C e 1, las aletas no producen ningún efecto, y es equivalente al tubo sin aletas c) Cuando h C e < 1, la adición de aletas produce un incremento del flujo de calor al fluido ambiente, (sistema de calefacción) En los procesos de calefacción, por razones de tipo económico, es mejor que la superficie primaria carezca de aletas, a menos que se cumpla que h C e << 1. Por razones de espacio o de resistencia mecánica, se tiende a que las aletas no sean muy largas. En aletas cortas, para que tenga interés la disipación de calor, se tiene que cumplir que: h C e 1 5 ; p S ( a + e ) a e e ; h C S p 1 5 ya que de no ser así, no merece la pena poner aletas. Para que una aleta sea eficaz, debe tener un espesor e muy pequeño, y estar construida por un material de elevada conductividad térmica. IX.4.- PERFI OPTIMO Es interesante lograr un valor óptimo de Q para una superficie del perfil Ω dada, por unidad a de longitud de tubo; el espesor óptimo cumple que dq de 0. Para el caso de una aleta con su extremo libre térmicamente aislado se tiene: Q S T b - T F Th S ( T b - T F ) m Th ( m ) m e S (T b - T F ) e Th ( e ) S a e ; a 1 S e ; Ω e (T b - T F ) e Th ( e Ω) Para una aleta cuya masa esté fijada, Ω es constante, por lo que esta ecuación indica la variación del flujo térmico en función del espesor e de la aleta. Derivando Q respecto de e, e igualando a cero, resulta: dq de ( T b - T F ) { e Th ( e Ω ) - e Ch ( e Ω ) Ω e 6 h C e 4 } 0 Th ( e Ω ) ( e Ω ) Sech ( e Ω ) ; Th Sech Resolviendo se obtiene: óptimo, , por lo que el espesor y longitud óptimas son: Superficies ampliadas.ix.-174

9 m e m e Ω e e Ω ; e ópt Ω 0,997 ópt h C Ω ópt Ω e ópt 0,997 Ω Ω 1,007 Ω h C En general se suelen conocer las constantes físicas y las condiciones de funcionamiento de la aleta, como son, h C,, Q, (T b - T F ), por lo que se puede obtener otra formulación para las dimensiones óptimas en función de éstos parámetros y de ópt en la forma: Q ( T b - T F ) e Th ópt Q e ópt ( ) T b - T F 1 0,61 Th h ópt C ( Q ) T b - T F Igualando los valores de e ópt se obtienen las ecuaciones que se utilizan para diseñar la aleta recta de espesor constante, de mínimo material: e ópt 0,61 h C ( Q ) T b - T 0,997 F Ω Ω ópt 0,5048 h C ( Q T b - T F ) ópt 0,7979 h C Q T b - T F as aletas no se deben emplear nunca en aquellos casos en los que el coeficiente de película h C sea grande. En aletas normales, e < 1,5 mm, construidas con materiales corrientes, como el acero o el aluminio, no se recomienda el empleo de superficies ampliadas si el medio exterior es, un líquido sometido a convección forzada, o un vapor que condensa, ya que es fácil encontrar coeficientes h C > 5000 W/m ºC, que proporcionan valores de h C e del orden de la unidad, por lo que el empleo de la aleta sería antieconómico. Con aletas de dimensiones normales se hace un intercambio térmico muy efectivo, entre la superficie y el gas que la rodea. En los gases convectores es frecuente obtener coeficientes de película del orden de 50 a 10 W/m ºC, que permiten valores de h C e lo bastante bajos como para que las aletas ejerzan su efecto y de ahí el que algunas de sus aplicaciones más interesantes lo sean por ejemplo en: - Motores enfriados por aire - Precalentadores de aire y economizadores de calderas - Serpentines de calentamiento y enfriamiento de los acondicionadores de aire - Radiadores de automóviles - Intercambiadores de calefacción agua-aire, etc. Para aletas con convección en el extremo se puede hacer uso del concepto de longitud corregida C despreciando los efectos de convección en dicho extremo, mediante la expresión: C + e, y se tratan como aletas con su extremo libre aislado térmicamente. Superficies ampliadas.ix.-175

10 IX.5.- CASOS ESPECIAES Una de las características fundamentales del análisis de protuberancias de sección constante, consiste en que dado el pequeño espesor de las mismas se puede considerar la conducción como unidireccional y, por lo tanto, que la variación de la temperatura a través de su sección transversal permanece prácticamente constante. Esta suposición se puede aplicar a una serie de situaciones como: - Determinadas superficies conductoras, hilos o placas, recubiertas con un aislante, de forma que transversalmente a ellas, entre el hilo o placa y el medio que les rodea, apenas varía la temperatura, pero que a lo largo de los mismos existe una diferencia de temperatura significativa; esta situación no se corresponde físicamente con la de la protuberancia, pero el proceso térmico que acontece sí, ya que en la protuberancia existe un gradiente de temperaturas a lo largo de ella, pero no transversalmente, por lo que esta casuística se puede aplicar de alguna forma a Fig IX..- Aleta de sección variable dicha situación. - a instalación de un termopar utilizado para medir la temperatura de una corriente de gases calientes, hace que la esfera del termopar se encuentre a una temperatura inferior a la de los gases cuya temperatura va a medir, existiendo un flujo térmico conductivo a lo largo de los hilos del termopar que le unen con la pared más fría, que está equilibrado por la convección desde los gases, por lo que la variación de la temperatura transversal de los hilos del termopar es prácticamente uniforme, existiendo una diferencia de temperaturas entre el termopar (caliente) y el equipo de registro (frío) similar a la de la protuberancia, lo que permite determinar el error esperado en la lectura del termopar. - Existen intercambiadores de calor de placas perforadas que se pueden asimilar a aletas, ya que la variación de la temperatura a través de ellas es pequeña comparada con la variación de temperaturas en la región que separa la corriente caliente de la corriente fría. - os conductores de cobre en un circuito impreso se pueden considerar como aletas, al igual que la porción del circuito que los separa. En estos ejemplos se observa que la situación no guarda parecido alguno con el caso geométrico de la protuberancia y, sin embargo, la suposición de que la variación de la temperatura es mínima en la sección transversal del hilo o de la placa permite obtener una ecuación diferencial similar a la deducida para la protuberancia. IX.6.- AETAS DE SECCIÓN VARIABE Para aquellos tipos de aleta en los que su perfil no sea constante, podemos considerar un elemento diferencial de anchura dx, tal como se muestra en la Fig IX., sobre el que se definen los siguientes calores: El calor entrante por conducción en x, es: Q 1 S T x x Superficies ampliadas.ix.-176

11 El calor saliente por conducción en (x + dx), es: Q Q 1 + Q 1 x dx + Q 1 dx x! +... Q 1 + Q 1 x dx El calor disipado por convección en el elemento diferencial es: Q C h C da ( T x - T F ) El balance de flujos térmicos es: Q 1 Q + Q C Q 1 + Q 1 x dx + Q C Q 1 x dx + Q C 0 lamando Φ T x - T F a la diferencia entre las temperaturas de la aleta y del fluido en que está inmersa, se tiene: x (- S dφ dx ) dx + h C Φ da 0 ; - ds dx dφ dx dx - S d Φ dx dx + h C Φ da 0 en la que S es la sección transversal variable y da la superficie lateral del elemento elegido de la aleta expuesta a la convección. Dividiéndola por ( S dx) se obtiene: d Φ dx + 1 S ds dx dφ dx - h C ( 1 S da dx ) Φ 0 que es de aplicación general a cualquier tipo de configuración de superficie ampliada en la que la conducción de calor sea monodimensional. Para el caso particular de aleta recta de sección transversal constante, se tiene: S Cte ds 0 A p x da p dx d Φ dx - p h C S Φ 0 AETA ANUAR DE ESPESOR CONSTANTE.- Este tipo de aletas, Fig IX.4, se utiliza principalmente en cambiadores de calor líquido-gas, y en cilindros de motores refrigerados por aire; para su estudio se supondrá que el espesor de la aleta (e << r e - r b ) es mucho más pequeño que la diferencia entre sus radios, por lo que la conducción de calor dentro de la aleta dependerá únicamente de la coordenada radial (r x) tomando la ecuación diferencial la forma: d Φ dr + S 1 ds dr dφ dr - h C ( 1 S da dr ) Φ 0, en la que: S π r e ; ds A π ( r - r b ) ; Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial se obtiene: dr π e da dr 4 π r d Φ dr + 1 r dφ dr - m Φ 0, siendo: m e que es la ecuación diferencial de Bessel de orden cero. Su solución es: Φ B I 0 ( m r ) + C K 0 ( m r ) Superficies ampliadas.ix.-177

12 siendo I 0 la función de Bessel modificada de primera especie y orden cero y K 0 la función de Bessel modificada de segunda especie y orden cero, cuyos valores vienen indicados en la Tabla IX.1; B y C son las constantes de integración. Fig IX.4.- Aleta anular de espesor constante De las condiciones de contorno se obtiene lo siguiente: a) Para: r r b T T b Φ b T b - T F B I 0 ( m r b ) + C K 0 ( m r b ) b) Para r r e, la convección es nula, ya que se desprecia el calor evacuado por el extremo de la aleta; por lo tanto: ( dt dr ) rr e 0 ; ( dφ dr ) rr e 0 ( dφ dr ) rr e d dr { I 0 ( m r )} m I 1 ( m r ) d dr { K 0 ( m r )} - m K 1 (m r ) B m I 1 ( m r e ) - m C K 1 ( m r e ) 0 as constantes B y C se obtienen del sistema de ecuaciones: Φ b B I 0 ( m r b ) + C K 0 ( m r b ) 0 B I 1 ( m r e ) - C K 1 ( m r e ) B C Φ b K 1 ( m r e ) K 1 ( m r e ) I 0 ( m r b ) + K 0 (m r b ) I 1 ( m r e ) Φ b I 1 ( m r e ) K 1 ( m r e ) I 0 ( m r b ) + K 0 ( m r b ) I 1 ( m r e ) Φ Φ b Distribución de temperaturas en la aleta: K 1 ( m r e ) I 0 ( m r ) + I 1 ( m r e ) K 0 (m r ) K 1 ( m r e ) I 0 ( m r b ) + K 0 ( m r b ) I 1 ( m r e ) El calor disipado por la aleta es el que atraviesa la base de la misma por conducción: Q - S b dφ dr rr b S b π e r b - π e r b m Φ b K 1(m r e ) I 1 (m r b ) - I 1 (m r e ) K 1 (m r b ) K 1 (m r e ) I 0 (m r b ) + I 1 (m r e ) K 0 (m r b ) Estas ecuaciones para la distribución de temperaturas y del flujo de calor se pueden escribir de modo más general en forma adimensional; al considerar el problema de tipo monodimensional, las expresiones adimensionales de la temperatura y del flujo térmico, se pueden obtener en función de parámetros adimensionales, que se definen en la forma: Superficies ampliadas.ix.-178

13 Tabla IX.1.- Valores de las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda especie, órdenes cero y uno x I 0 ( x) I 1 ( x) I x 0 ( x) I 1 ( x) π K 0 ( x ) π K 0 ( x ) π K 1( x ) π K 1( x ) ,99 4,56 0,0050 0, ,1 1,005 0,0501 1,5451 6,7 5,,56 9,54 0, ,0006 0, 1,0100 0,1005 1,11580,0405 5,4 9,0088 5,181 0, , ,4 1,0404 0,040 0,7095 1,906 5,6 46,776 4,8 0,0011 0,0016 0,6 1,090 0,17 0, ,8941 5,8 56,081 50,946 0, , ,8 1,1665 0,49 0,5991 0, ,44 61,419 0, , ,661 0,565 0,680 0,818 6, 80,7179 7,8859 0, , , 1,97 0,7147 0,070 0,7667 6,4 96, ,061 0, , ,4 1,554 0,8861 0,1551 0,045 6,6 116,57 107,05 0, , ,6 1,7500 1,0848 0, ,1519 6,8 140,16 19,78 0, , ,8 1,9896 1,17 0,0990 0, ,59 156,09 0, ,000891,796 1,5906 0, , , 0,91 188,50 0, ,0001,,691 1,9141 0, , ,4 44,41 7,175 0, , ,4,049,981 0, ,0501 7,6 94, 74, 0, , ,6,55,7554 0,0568 0, ,8 54,685 1,099 0, ,000144,8 4,157,011 0, , ,564 99,87 0, , ,8808,954 0,0116 0, , 515,59 48,048 0, , , 5,747 4,74 0, , ,4 61,944 58,657 0, , ,4 6,7848 5,6701 0, , ,6 750, ,77 0, ,000050,6 8,077 6,708 0, ,0160 8,8 905,797 85,66 0, ,000041,8 9,5169 8,1404 0, , ,59 100,91 0, , ,019 9,7595 0, , , 10,66 146,68 0, , , 1,445 11,706 0, ,0067 9,4 1595,8 1507,88 0, , ,4 16, ,046 0, , ,6 197,48 184,14 0, , ,6 19,096 16,866 0, , ,8 9,9 07,1 0, , ,8,797 0,58 0,0097 0, ,7 670,99 0, , β es un parámetro adimensional del coeficiente de película α es un parámetro adimensional del tamaño de la aleta η es un parámetro adimensional de la coordenada (posición) que se pueden aplicar a otras configuraciones de aletas. Para la aleta anular de perfil de sección constante se definen: h β an m r e C r e e η an r ; α r an r b e r e Sustituyendo estos valores en la ecuación de la distribución de temperaturas, resulta: Φ Φ b T - T F T b - T F K 1 (β an ) I 0 (β an η an ) + I 1 (β an ) K 0 ( β an η an ) K 1 ( β an ) I 0 ( β an α an ) + I 1 (β an ) K 0 ( β an α an ) que permite determinar la temperatura en cualquier punto conocida la temperatura en la base, realizándose los cálculos con ayuda de la Tabla de funciones de Bessel modificadas de 1ª y ª especie. Método gráfico.- Para cálculos rápidos que proporcionan una precisión suficiente, la distribución de temperaturas se puede obtener con ayuda de una gráfica que llamaremos G 1 (η β), Fig IX.5, de forma que: Para: r r e Φ Φ e η an 1 Φ e Φ b K 1 ( β an ) I 0 ( β an ) + I 1 ( β an ) K 0 ( β an ) K 1 ( β an ) I 0 ( β an α an ) + I 1 ( β an ) K 0 ( β an α an ) y como: Superficies ampliadas.ix.-179

14 Φ e Φ Φ e Φ b Φ b Φ K 1 (β an ) I 0 (β an ) + I 1 (β an ) K 0 (β an ) K 1 (β an ) I 0 (β an α an ) + I 1 (β an ) K 0 (β an α an ) K 1 (β an ) I 0 (β an η an ) + I 1 (β an ) K 0 (β an η an ) K 1 (β an ) I 0 (β an α an ) + I 1 (β an ) K 0 (β an α an ) K 1 (β an ) I 0 ( β an ) + I 1 (β an ) K 0 ( β an ) K 1 (β an ) I 0 ( β an η an ) + I 1 (β an ) K 0 ( β an η an ) α resulta que estas dos ecuaciones son idénticas, en las que se sustituyen an por η an Φ b por Φ Fig IX.5.- a función G 1 para la distribución de la temperatura en aleta anular de espesor uniforme Fig IX.6.- a función G para el flujo calorífico en aleta anular de espesor uniforme Si se define una función: G 1 (β an γ ) K 1 (β an ) I 0 (β an ) + I 1 (β an ) K 0 (β an ) K 1 (β an ) I 0 (β an α an ) + I 1 (β an ) K 0 (β an α an ) las dos ecuaciones anteriores son: Superficies ampliadas.ix.-180

15 Φ e Φ b G 1 (β an α an ) y Φ e Φ G 1( β an η an ), para (α < η < 1) es decir, G 1 (η β) se transforma en: G 1 (β an α an ) para hallar la temperatura en el radio extremo r e G 1 (β an η an ) para hallar la temperatura en cualquier radio r Conocido Φ e el valor de Φ se calcula para cualquier radio comprendido entre r b y r e, a partir de: Φ e Φ G 1( β an η an ), para (α < η < 1) El flujo calorífico se puede calcular también mediante otra gráfica que se denomina G (α an β an ), la cual se obtiene a partir de: Q - π e ( m r b ) Φ b K 1 (m r e ) I 1 ( m r b ) - I 1 (m r e ) K 1 ( m r b ) K 1 ( m r e ) I 0 ( m r b ) + I 1 ( m r e ) K 0 ( m r b ) Se multiplica y divide por (1 - α an ) β an π e ( α an β an ) Φ 1 - α an b 1 - α an K 1 (α an β an ) I 1 ( β an ) - I 1 (α an β an ) K 1 ( β an ) K 1 ( β an ) I 0 (α an β an ) + I 1 (β an ) K 0 (α an β an ) Q π e (1 - α an ) β an Φ b α an β an (1 - α an ) K 1 (α an β an ) I 1 ( β an ) - I 1 (α an β an ) K 1 ( β an ) K 1 ( β an ) I 0 (α an β an ) + I 1 (β an ) K 0 (α an β an ) G (α an β an ) Q π e ( 1 - α an ) β an Φ b G (α an β an ) en la que la función G (α an β an ) se ha definido en la forma: G (α an β an ) α an β an ( 1 - α an ) K 1 (α an β an ) I 1 ( β an ) - I 1 (α an β an ) K 1 ( β an ) K 1 ( β an ) I 0 (α an β an ) + I 1 ( β an ) K 0 (α an β an ) y viene representada en la Fig IX.6. AETA ONGITUDINA DE PERFI TRAPECIA.- Para proceder al estudio de la aleta longitudinal de perfil triangular y trapecial resulta conveniente situar el origen de coordenadas en el punto de intersección de las caras de la aleta, para el caso triangular, o de su prolongación, para el trapecial, Fig IX.7, por cuanto se simplifica el cálculo de las constantes de integración. Partiendo del hecho de que la aleta sea lo suficientemente delgada como para suponer un espesor (e << - x e ), existirá flujo monodimensional. Fig IX.7.- Aleta recta de perfil triangular y trapecial Superficies ampliadas.ix.-181

16 a ecuación diferencial a resolver es: d Φ dx + S 1 ds dx dx dφ - h C ( 1 S da dx ) Φ 0 Para la aleta longitudinal de anchura unidad, en la que se pueden despreciar las pérdidas laterales, el área de las secciones lateral A, y transversal S, varía con x en la forma: S b x ; ds dx b A cd ad + ac ad x - x e ac b/ ad x - x e ( x - x e ) + ( b ( x - x e ) 1 + x - x e ) siendo f 1 + b 4 una constante que depende de las características de la aleta. Si: >> b f 1, se satisface la condición monodimensional: Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial general se obtiene: b 4 ( x - x e ) f ad A ( x - x e ) da dx d Φ dx + ( b x b ) dφ dx - h C ( b x f ) Φ 0 d Φ dx + 1 x dx dφ - n x Φ 0, con: n f h C b m siendo la solución de esta ecuación diferencial: Φ B I 0 ( n x ) + C K 0 ( n x ) AETA ONGITUDINA DE PERFI TRIANGUAR.- Para calcular las constantes de integración de la aleta triangular B y C, partiremos de las condiciones en los extremos; de acuerdo con la Fig IX.7, se tiene: a) Para: x x e 0, C 0, por cuanto la función de Bessel modificada K 0 tiende a infinito cuando el argumento tiende a cero; por lo tanto: Φ B I 0 ( n x ) b) Para: x, T T b que se supone constante, luego, Φ Φ b, y por lo tanto, el valor de B es: Φ b B I 0 ( n ) B Φ b I 0 ( n ) a distribución de temperaturas es: Φ Φ b I 0 ( n ) I 0 ( n x ) Φ I 0 ( n x ) Φ b I 0 ( n ) El calor disipado al exterior por la aleta longitudinal de anchura unidad será igual al que penetra por conducción por su base, por lo que: Q - ( S dφ dx ) x - b Φ b n I 1 ( n ) I 0 ( n ) - b Φ b n I 1 ( n ) I 0 ( n ) Superficies ampliadas.ix.-18

17 do: Método gráfico.- as ecuaciones de Φ y de Q se pueden expresar en forma adimensional, hacien- β t n 8 f h C b ; η t a distribución de temperaturas es: Φ Φ b I 0 ( β t η t ) I 0 (β t ) x El flujo de calor es: Q - Φ b b β t G (β t η t ) I 1 ( β t ) I 0 (β t ) - Φ b b β t G 4 (β t ) en las que se han definido las nuevas funciones, G (β t η t ) y G 4 (β t ), Fig IX.8 y 9, en la forma: G ( β t η t ) I 0 ( β t η t ) I 0 ( β t ) ; G 4 ( β t ) I 1( β t ) I 0 ( β t ) Para cálculos rápidos se utilizan las gráficas de G (β t η t ) y G 4 (β t ), Fig IX.8 y 9 Fig IX.8.- a función G para la distribución de la temperatura en la aleta recta de perfil triangular Fig IX.9.- a función G 4 para el flujo calorífico en la aleta recta de perfil triangular Superficies ampliadas.ix.-18

18 IX.7.- PERFI OPTIMO DE A AETA ONGITUDINA DE PERFI TRIANGUAR El perfil óptimo de la aleta triangular longitudinal de sección Ω b con Q en la forma: se obtiene haciendo dq db 0 Q - b Φ bn I 1 ( n ) I 0 ( n ) n b - Φ b b I 1 ( I 0 ( b ) - Φ b b b ) I 1 ( 4 Ω I 0 ( 4 Ω b ) b ) Derivándola respecto de b se obtiene la condición de máximo: 4 I 1 ( 4 Ω I 0 ( 4 Ω b ) Ω b ) de la que se deducen: Ω h Base: b ópt 1,6718 C ongitud: ópt 1,196 Ω h Ω, condiciones óptimas función de la sec- C b ópt ción Ω del perfil. I h 1 ( 4 Ω C b { 1 - ( Teniendo en cuenta la carga térmica: I 0 ( 4 Ω b ) ) } 4 Ω b ) b,6168 Q - Φ b b ópt I 1 (,6168 ) I 0 (,6168) - 0,7754 Φ b b ópt b ópt 0,87 Q ( ) h C T b - T F Ω ópt 0,48 h C ( Q ) T b - T ; ópt 0,840 ( F h C Q ) T b - T F Igualando los valores de b ópt o de ópt, se obtiene la relación entre el perfil óptimo Ω (de mínimo material) y la carga térmica Q: Ω ópt 0,486 h C Q ( ) T b - T F IX.8.- RENDIMIENTO DE A AETA Se define el rendimiento de una aleta µ, como la relación entre la cantidad de calor transferida realmente por la aleta Q a y el calor transferido a través de una aleta ideal Q i : η Q real Q ideal a aleta ideal transfiere la máxima cantidad de calor respecto a una aleta cualquiera del mismo tamaño e igual temperatura en la base. a aleta ideal tiene una conductividad térmica infinita y, por consiguiente, toda ella es isotérmica, por lo que estará a la temperatura de la base T b. a transferencia de calor, por unidad de tiempo, desde una aleta ideal es: Q i h C A a ( T b - T F ) siendo (A a p ) la superficie lateral de la aleta expuesta al fluido a temperatura T F. Superficies ampliadas.ix.-184

19 Por lo tanto, la transferencia de calor por unidad de tiempo, procedente de la aleta real, en función del rendimiento, es: Q real Q η h C A a (T b - T F ) Si se tiene en cuenta la sección A t, perteneciente al tubo, el calor Q total disipado por la aleta y el tubo es: Q Q t + Q a h C ( A t + η A a ) ( T b - T F ) Casos particulares: a) AETA ONGITUDINA DE SECCIÓN UNIFORME, DE SUPERFICIE CONSTANTE Y EXTREMO IBRE AISADO η S ( T b - T F ) Th h C p ( T b - T F ) Th ; h C p S ; p (a + e) a que viene representada en la Fig IX.10. Fig IX.10.- Eficiencia de las aletas de sección uniforme y de sección triangular b) AETA ONGITUDINA DE PERFI TRIANGUAR η b Φ b n I 1 ( n ) I 0 ( n ) Φ b n b 1 n I 1 ( n ) I 0 ( n ) n f h C b β I 1 ( n ) t n I 0 ( n ) G 4 ( β ) I 1 (β ) I 0 ( β ) m G 4 ( n ) n G 4 ( β t ) β t Superficies ampliadas.ix.-185

20 Fig IX.11.- Eficiencia de aletas de perfil rectangular, triangular y parabólico Fig IX.1.- Eficiencia de aletas anulares de perfil rectangular c) AETA ANUAR DE ESPESOR CONSTANTE η π (1- α an ) e Φ b β an G (α an β an ) h C Φ b A A π (r e - r b ) α an r b r e β an h C r e e ; r b r e α an ; r e e β an Superficies ampliadas.ix.-186

21 π (1 - α an ) e Φ b β an G (α an β an ) h C Φ b π r e ( 1 - α an ) G (α an β an ) Cuando las aletas son muy largas, >> b, la eficiencia de la aleta se puede poner en función del parámetro b m as Fig IX.11 y 1, muestran la variación de la eficiencia de la aleta en función de dicho parámetro para algunas secciones transversales típicas; así, en la Fig IX.11 se representa la eficiencia de aletas longitudinales en las que el espesor de la aleta varía con la distancia x medida desde la base de la aleta; en la Fig IX.1 se representa la eficiencia de aletas anulares en forma de disco de espesor e Cte. Al aumentar el número de aletas en una superficie se aumenta el área de transferencia térmica, pero también aumenta la resistencia térmica de la superficie en donde se fijan las aletas, por lo que se pueden presentar situaciones en las que al aumentar el número de aletas no se incremente la transferencia de calor. EFICACIA DE AETAS SOBRE SUPERFICIES PANAS m Perfil Perfil Perfil Perfil parabólico rectangular triangular cóncavo convexo ,1 0,996 0,995 0,99 0,975 0, 0,986 0,98 0,96 0,968 0, 0,971 0,957 0,9 0,965 0,4 0,949 0,97 0,877 0,95 0,5 0,94 0,89 0,99 0,90 0,6 0,895 0,854 0,78 0,877 0,7 0,85 0,814 0,75 0,84 0,8 0,8 0,774 0,69 0,80 0,9 0,795 0,75 0,65 0, ,761 0,697 0,618 0,71 1,1 0,77 0,661 0,585 0,695 1, 0,694 0,69 0,555 0,666 1, 0,66 0,596 0,58 0,6 1,4 0,6 0,567 0,50 0,6 1,5 0,60 0,54 0,48 0,57 1,6 0,576 0,514 0,459 0,545 1,7 0,55 0,491 0,44 0,5 1,8 0,56 0,47 0,4 0,497 1,9 0,50 0,45 0,405 0,476 0,48 0,41 0,9 0,456,1 0,46 0,414 0,76 0,47, 0,44 0,98 0,5 0,44, 0,46 0,84 0,5 0,404,4 0,409 0,7 0,8 0,89,5 0,94 0,57 0,7 0,75,6 0,8 0,45 0,17 0,61,7 0,67 0,4 0,08 0,49,8 0,54 0, 0,99 0,8,9 0,4 0,1 0,9 0,7 0,1 0,04 0,8 0,17,1 0,1 0,95 0,74 0,07, 0,11 0,86 0,57 0,98, 0,0 0,79 0,6 0,89,4 0,9 0,71 0,54 0,81,5 0,85 0,64 0,47 0,74 Superficies ampliadas.ix.-187

22 EFICACIA DE AETAS ANUARES DE PERFI RECTANGUAR β/α α 0, α 0,4 α 0,6 α 0,8 0,1 0,99 0,994 0,995 0,995 0, 0,971 0,979 0,98 0,985 0, 0,98 0,954 0,96 0,967 0,4 0,896 0,9 0,96 0,944 0,5 0,847 0,884 0,904 0,915 0,6 0,794 0,84 0,868 0,88 0,7 0,74 0,798 0,89 0,849 0,8 0,684 0,754 0,79 0,91 0,9 0,57 0,709 0,75 0, ,589 0,565 0,711 0,74 1,1 0,544 0,65 0,67 0,711 1, 0,50 0,587 0,56 0,569 1, 0,466 0,551 0,60 0,55 1,4 0,4 0,517 0,569 0,605 1,5 0,40 0,486 0,59 0,575 1,6 0,74 0,458 0,51 0,547 1,7 0,49 0,41 0,484 0,5 1,8 0,6 0,407 0,46 0,498 1,9 0,06 0,85 0,47 0,475 0,87 0,65 0,415 0,454,1 0,7 0,46 0,97 0,44, 0,55 0,9 0,79 0,416, 0,41 0,14 0,6 0,99,4 0,8 0,99 0,47 0,8,5 0,17 0,86 0, 0,56,6 0,06 0,7 0,19 0,54,7 0,196 0,6 0,07 0,4,8 0,187 0,51 0,95 0,9,9 0,179 0,41 0,85 0,18 0,17 0, 0,75 0,06,1 0,154 0,4 0,55 0,96, 0,159 0,15 0,56 0,88, 0,15 0,08 0,48 0,79,4 0,145 0,01 0,4 0,71,5 0,141 0,195 0, 0,6 d) MÉTODO DE SCHMIDT El método se basa en la transferencia de calor a la configuración de tubos desnudos o lisos, tratándose el tubo como una aleta de altura cero a correlación de Schmidt para la conductancia, en el caso de tubos con aletas helicoidales, rectangulares, circulares o cuadradas, es de la forma: h C h cf Z { 1 - (1 - η aleta ) ( S aleta S tubo+aletas ) } h cf es el coeficiente de transferencia térmica para tubo desnudo en flujo cruzado S aleta es el área de la superficie de la aleta, incluyendo ambos lados y periferia en la que: S tubo+aletas es el área de la superficie del tubo expuesta entre aletas, más la de las aletas Factor geométrico Z 1-0,18 ( aleta ) 0,6 espaciado entre aletas a eficiencia de las aletas se muestra en la Fig XI.1, como función de un parámetro X de valor: - Aletas helicoidales: X aleta Z h cf F espaciado Superficies ampliadas.ix.-188

23 - Aletas rectangulares, cuadradas o circulares X r Y define en la Fig.XI.14. Z h cf F espaciado, en la que el parámetro Y se la forma: a conductancia global se puede poner, considerando el parámetro C limp (factor de limpieza) en 1 U A 1 + R equiv + C limp A e h c ext 1 A i h c int Fig XI.1.- Eficiencia de aletas en función del parámetro X Fig XI.14.- Coeficiente Y función de la relación R/r para diversos tipos de aletas IX.9.- AETAS ONGITUDINAES DE PERFI PARABÓICO Perfil parabólico cóncavo Ecuación del perfil: z b ( x ) Superficie del perfil: Ω b 4 h Calor evacuado al exterior: Q c Φ b m Distribución de temperaturas: Φ Φ T - T F ( b T b - T x F )a ; a m η m ; m h c b Superficies ampliadas.ix.-189

24 h Condición para el perfil óptimo: m c b b Ω ópt,08 h c ; ópt b Ω 1,44 Ω ópt h c... Perfil parabólico convexo Ecuación del perfil: z b Distribución de temperaturas: Φ T - T F 4 x Φ b T b - T F I ( /) ( 4 m ) Eficacia: η m I (-1/ ) ( 4 m ) Condiciones para el perfil óptimo: 4 m h b ópt : 1,401 c Ω ; ópt Ω Superficie del perfil: Ω b Calor evacuado al exterior: Q I ( / ) ( 4 m ) h c Φ b m I (-1/ ) ( 4 m ) I ( 1/ ) ( 4 m 4 x ) 4 h c x I (-1/ ) ( 4 m Ω 1,705 b/ ) ; m 1,07 Ω b ópt h c... h c b IX.10.- PROTUBERANCIAS Volumen: V π z dx 0 Ecuación diferencial: d Φ dx Protuberancia parabólica cóncava Perfil: z d ( x ) Superficie lateral: A π z dx π d Sección transversal: S π z π d ( 4 x )4 π ( d ) ( x )4 dx π d x dφ dx h c 4 x d Φ n 4 h c d ( n x ) Φ Distribución de temperaturas: Φ Φ b ( x )a, con: a m Calor evacuado: Eficiencia: η h 0 c da Φ h 0 c π d ( x ) +a d Φ b dx π h c Φ b +a m 9 Calor evacuado: Q η A h c Φ b η A h c (T b - T F ) ( x ) dx 0 π d h ; m c d n +a + a π h c d (m) Condición para el perfil óptimo: dq d 0 m ; m ; ópt m d h c... Protuberancia parabólica convexa Perfil: z d x Superficie lateral: A π z dx π d Sección transversal: S π z π d x 4 0 x dx π d Superficies ampliadas.ix.-190

25 Volumen: V π z dx 0 π ( d x ) dx π d 8 Ecuación diferencial: d Φ dx + 1 x dx dφ 4 h c d Φ n 4 h c x d n x Φ Distribución de temperaturas: Φ Φ b I 0 { 4 I 0 ( 4 4 m x m ) } Calor evacuado: Q h 0 c da Φ h 0 c π d 4 I x 0 { Φ b I 0 ( 4 m 4 x } m ) dx π d h c Φ b m I 1 { 4 I 0 ( 4 m } m ) Eficiencia: µ I 1 ( 4 m ) m I 0 ( 4 m ) Calor evacuado al exterior: Q (T b - T F ) η A h c m... Condición para el perfil óptimo: dq d 0 4 1,05 ; m 0,5568 ópt 0,5568 m 0,9 d h c Protuberancia paralelepípedo de sección cuadrada Volumen: V b ; p a ; S a e Calor evacuado al exterior: Q (T b - T F ) η A h c Superficie de evacuación de calor: A 4 b + b 4 b Eficiencia: η Th( m ) m Th ; m b ; h C p S Condición para el perfil óptimo: b / 1,419 ópt,01419 ; ópt 0,75 ( V ) h /5 0,75 ( b ) c h /5 c... Calor evacuado al exterior: Q (T b - T F ) η A h c Protuberancia cilíndrica Volumen: V π d ; p π d ; S π d 4 4 Superficie de evacuación de calor: A π d + π d Eficiencia: η Th( m ) m Th ; m 4 π d h c b ; h c p S Condición para el perfil óptimo: m 0,95 ; ópt 0,4 ( V h c ) /5 0,8 d h c... Protuberancia pirámide cuadrangular Superficie de evacuación de calor: A b x Volumen: V b ; S b ( x ) S b ( x ) Ecuación diferencial: d Φ dx + x Distribución de temperaturas: Φ Φ b x I 1 ( m x ) I 1 ( m ) Calor evacuado: Q h 0 c da Φ h 0 c Eficiencia: η I ( m ) m I 1 ( m ) 4 b x Φ b x I 1 ( m x ) I 1 ( m ) dφ dx 4 h c b x dx 4 h cb Φ b m Φ m h c b I ( m ) I 1 ( m ) m Φ Calor evacuado al exterior: Q (T b - T F ) η A h c Condición para el perfil óptimo: m 0,45 ; ópt 0,48 ( V h c ) /5 0,18 b h c... Superficies ampliadas.ix.-191

26 Protuberancia cónica Superficie de evacuación de calor: A π r x r d x π d x Volumen: V π d ; S π d ( 1 4 x ) Ecuación diferencial: d Φ dx + x Distribución de temperaturas: Φ Φ b x I 1 ( m x ) I 1 ( m ) Calor evacuado: Q h 0 c da Φ h 0 c Eficiencia: η I ( m ) m I 1 ( m ) Calor evacuado al exterior: Q (T b - T F ) η A h c π d x Φ b x I 1 ( m x ) I 1 ( m ) dφ dx 8 h c d x Φ m h c d dx π h c d Φ b m 4 m x I ( m ) I 1 ( m ) Condición para el perfil óptimo: m 0,55 ; ópt 0,4 ( V h c ) /5 0,5 d h c... Φ EFICACIA DE PROTUBERANCIAS SOBRE SUPERFICIES Paralelepipédica, Parabólica Cónica Parabólica m cilíndrica cóncava convexa 0,1 0,996 0,995 0,997 0,996 0, 0,986 0,991 0,985 0,997 0, 0,971 0,98 0,971 0,968 0,4 0,949 0,966 0,95 0,91 0,5 0,94 0,949 0,95 0,908 0,6 0,995 0,9 0,898 0,957 0,7 0,86 0,909 0,868 0,8 0,8 0,8 0,887 0,87 0,79 0,9 0,795 0,955 0,805 0, ,761 0,84 0,775 0,718 1,1 0,77 0,819 0,745 0,684 1, 0,694 0,796 0,716 0,65 1, 0,66 0,774 0,698 0,619 1,4 0,6 0,75 0,661 0,589 1,5 0,60 0,7 0,65 9,55 1,6 0,576 0,711 0,61 0,57 1,7 0,55 0,69 0,59 0,514 1,8 0,56 0,57 0,569 0,49 1,9 0,50 0,655 0,548 0,471 0,49 0,69 0,59 0,45,1 0,46 0,61 0,51 0,45, 0,44 0,605 0,495 0,418, 0,46 0,59 0,479 0,40,4 0,409 0,575 0,464 0,89,5 0,94 0,561 0,45 0,75,6 0,8 0,548 0,47 0,6,7 0,67 0,55 0,44 0,51,8 0,54 0,5 0,41 0,4,9 0,4 0,511 0,401 0, 0,1 0,5 0,9 0,,1 0,1 0,499 0,8 0,11, 0,11 0,479 0,71 0,0, 0,0 0,459 0,61 0,94,4 0,9 0,459 0,5 0,86,5 0,85 0,449 0,44 0,79 Desarrollo del método para protuberancia cónica Ecuación diferencial d Φ dx + 1 S ds dx dφ dx - h r ( 1 S da dx ) Φ 0, siendo: Φ T - T exterior Superficies ampliadas.ix.-19

27 S es la superficie en la base a la distancia x: S π R x S π r π R x ds π R x dx r radio superficie S R x y en el supuesto de conducción térmica en la dirección x: A es la superficie lateral de altura x: A π r x + ( r ) π R x x + ( R x ) A π r x π R x x π R x da π R x Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial se obtiene: d Φ dx + x dφ dx - ( h r R ) 1 x Φ 0 Haciendo: N h r R m ó m h r R, resulta: d Φ dx + x Solución general: dφ dx - N x dφ x Φ 0 dx x d Φ dx + x dφ dx - N x Φ 0 Φ 1 x {C 1 I 1 ( N x ) + C K 1 ( N x )} T - T ext + x dφ dx - m x Φ 0 ó Para: x ; Φ Φ base ó T T base Condiciones de contorno: Para: x 0 ; dφ dx 0 Distribución de temperaturas: T T base x I 1 ( N x ) I 1 ( N ) Calor evacuado: C 0 C 1 T base I 1 ( N ) Q π h r d 0 x x I 1 ( N x ) I 1 ( N ) T base dx π h r d N I ( N ) I 1 ( N ) T base { sustituyendo N } π h r d I ( ) m I 1 ( m ) T base El valor de h r es el coeficiente de radiación; estos valores son: Si las temperaturas medias ˆ T pf y T ext T vacío no difieren demasiado entre sí, se puede poner: q σ A ε 1 ( T ˆ 4 pf - T 4 ext ) σ A ε 1 (T pf + T ext ) ( T ˆ pf + T ext ) ( T ˆ T ˆ pf + T ext pf - T ext ) T m σ A ε 1 4 T m ( ˆ T pf - T ext ) A 1 h r ( ˆ T pf - T ext ) ε 1 la emisividad de la superficie siendo: h r 4 σ ε 1 T m El problema está en hallar T pf T media pared Caso general: a conductividad térmica unitaria de la radiación hr se define mediante la expresión: h r 1 R r A s F pared-vacío ( ˆ T ˆ pf - T vacío T 4 pf - T 4 vacío ) s F pared-vacío ( ˆ T pf + T vacío ) ( ˆ T pf + T vacío ) En este caso, el factor de Forma F valdría la unidad Nota: el calor eliminado al exterior puede ser en cualquier forma; en este caso es radiación, pudiéndose utilizar la formulación general de aletas y protuberancias cambiando h c por h r. Superficies ampliadas.ix.-19

28 IX.11.- COEFICIENTE GOBA DE TRANSMISIÓN DE CAOR PARA E CASO PARTICU- AR DE AETAS REFRIGERADAS POR AIRE En la ecuación básica Q U A ΔT común a cualquier tipo de intercambiador de calor, el valor de Q normalmente se conoce, mientras que la superficie de intercambio térmico A es desconocida. El coeficiente global de transmisión de calor U es función de: - a resistencia térmica de la capa límite del fluido que circula por el interior de los tubos - a conductividad térmica del material del tubo y aletas - a resistencia térmica de la capa límite en la parte del tubo más las aletas en contacto con el aire a primera de estas resistencias se determina mediante las ecuaciones clásicas conocidas, dependiendo de la naturaleza del flujo, mientras que la contribución de la suciedad depende del tipo de fluido que se esté experimentando. El coeficiente de película a través de las aletas se puede determinar mediante la fórmula de Joung de la forma: Espaciado entre aletas Nu 0,14 Re 0,681 Pr 0, ( FH ) 0,0 ( FT ) 0,114 ( FH ) ongitud de la aleta, en la que: Espaciado entre aletas ( FT ) Espesor de la aleta El coeficiente de transmisión de calor h C así obtenido se modifica mediante un elemento corrector, en el que están comprendidos el rendimiento de la aleta η, la superficie exterior del tubo Α τ, la de la aleta A a y la total A. El valor medio: ˆ h C h C(η A a + A t ) A El área total disponible, puede ser del orden de 0 a 0 veces la del tubo. Si llamamos T 1 y T las temperaturas de entrada y salida del fluido que circula por el interior de la tubería, y T F1 y T F las temperaturas inicial y final del aire, de las que sólo se conoce T F1, la temperatura T F se calcula, con U expresado en W/m ºC, en la forma: T F T F1 + Q G aire c p (aire ) T F1 + Q, o por: T F T F1 + 0,0009 U ( T 1 + T G F c pf ) - T F1 ) (Brown) Tabla IX..- Coeficientes de transferencia de calor típicos para el aire de refrigeración ÍQUIDOS U (W/m ºC ) VAPORES U (W/m ºC ) Temp. media Vapor (x 1) 810 Temp. media Vapor (x 0,9) 600 Temp. media Vapor (x 0,6) 415 Hidrocarburos ligeros 45 Temp. media Hidrocarburos medios 70 Temp. media Amoníaco 600 Temp. media Presión Temp. media GASES 0,7 atm 7 atm 5 atm Gasóleo Vapor Queroseno Hidrocarburos Nafta Aire Hidrocarburos ligeros Amoníaco Agua Hidrógeno Superficies ampliadas.ix.-194