CAPÍTULO IX. Estadística

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1 CAPÍTULO IX Estadística

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3 Capítulo 1 ESTADÍSTICA 1.1. Introducción El término estadística, tiene su origen en la palabra Estado, fue introducido en los términos actuales entre los siglos XVIII y XIX. Como antecedentes históricos se conoce la existencia de registros de datos en China con anterioridad al año 2000 A.C. Más próximo a nuestra cultura, el nacimiento de Cristo se relaciona con un censo de bienes y personas en la provincia romana de Palestina, ordenado por el emperador César Augusto. Son los romanos los que introducen el cargo de Censor, responsable de la confección del censo de bienes del estado. En el siglo XVIII, el estudio de las tablas de mortalidad propicia la aparición de las compañías aseguradoras. A partir de estos momentos, la estadística, mediante el estudio y análisis de grandes cantidades de datos adquiere el estatus actual, siendo usada en numerosas disciplinas muy diversas. El objetivo fundamental de la estadística es analizar datos para ayudar en una correcta toma de decisiones o describir ciertas regularidades que pronostiquen el comportamiento de una población en relación con determinados aspectos. Así la estadística se presenta como una herramienta útil para el docente que permite explicar algunas de las condiciones o aspectos relacionados con los acontecimientos de la clase. Por otra parte el Currículum de Primaria recoge en cada uno de los ciclos en que se divide la Educación Primaria, determinados aspectos relacionados con este dominio, y que necesariamente, por tanto, los docentes han de incluir en sus clases. 3

4 Vocabulario específico de Estadística descriptiva A grandes rasgos dividimos la estadística en dos grandes áreas relacionadas entre sí: estadística descriptiva, que se centra en la recolección de datos para su posterior ordenación, y presentación gráfica y numérica, cuyo objetivo es el análisis de los datos vertidos a través de acontecimientos específicos; estadística inferencial que se enfoca en deducir resultados, pronosticar acontecimientos, y generar modelos matemáticos de comportamiento asociados a fenómenos aleatorios Vocabulario específico de Estadística descriptiva Definición 1 Población: Conjunto de individuos (estos pueden ser cualquier cosa). Al número de individuos se le denomina talla o tamaño de la población. Definición 2 Caracteres estadísticos: propiedad o característica objeto de estudio. Pueden ser cuantitativos o cualitativos. El carácter cualitativo se corresponde con un rasgo que poseen los individuos de la población (fumador o no; repetidor o no). Su estudio es sencillo reduciéndose a ordenación y presentación en tablas y gráficos de los atributos estudiados y determinados análisis frecuenciales o porcentuales. El carácter cuantitativo se corresponde con una característica medida a través de cantidades numéricas (peso, estatura). Los caracteres obtenidos de la población constituirán lo que llamaremos datos. Definición 3 Variable estadística: cuando se estudia una característica de una población medida por su cantidad, ésta presenta distintos valores que pueden ir cambiando de un individuo a otro. Estos valores numéricos cambiantes constituyen la variable estadística. Las variables estadísticas 1 presentan las características expresadas mediante una cantidad numérica. Estas cantidades se pueden organizar en dos tipos: 1 Algunos autores distinguen entre variable estadística cualitativa y cuantitativa 4

5 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA Discreta: cuando no existen otros valores entre otros dos dados que la variable pueda alcanzar. Ejemplo: supongamos que en una panadería se venden tres tipos de panes, cuyos precios son 0 70 e; 1 20 e y 0 40 e. Vamos anotando el precio de cada pan que se vende en un determinado día. La población está formada por los panes vendidos ese día en el establecimiento. La característica cuantitativa es el precio. El resultado de nuestra anotación serían los valores de la variable que constituirán los datos, que podrían ser 1 20; 1 20; 0 40; 0 40; 0 40;.... Nunca podré anotar el valor de 1 e, comprendido entre 0 40 y 1 20, pues no existen panes de ese precio. Continua: cuando puede tomar, teóricamente, cualquier valor comprendido entre otros dos. Ejemplo: tomamos como población los tomates puestos a la venta en una frutería. Consideramos como característica cuantitativa el peso de cada tomate. Los valores resultantes podrían ser 40gr; 53gr; 98gr,.... Teóricamente podría encontrar un tomate cuyo peso fuera cualquier valor comprendido entre el tomate de menor peso y el tomate de mayor peso. Definición 4 Muestra: Todos conocemos que para diagnosticar una enfermedad es suficiente con el análisis de una muestra de sangre. Una muestra no es más que una parte de la población. La muestra tiene por objetivo un estudio más simple de parte de la población, pero que arroje resultados válidos para la población completa. Para alcanzar este objetivo, la muestra debe ser representativa de la población. Existen diferentes técnicas de elección de ésta. Entre ellas destacamos, aleatoria simple, estratificada y sistemática. Definición 5 Tablas de frecuencia: Los datos, valores variables, una vez recogidos de la población se tabulan, organizan en una tabla de doble entrada. En la primera columna los valores variables, se colocan de menor a mayor valor, (para el caso de un carácter cualitativo, el orden que se establezca) y en la segunda columna el número de veces que se repite dicho valor, que denominaremos frecuencia absoluta. Se puede completar añadiendo columnas que aclaren y contribuyan 5

6 Vocabulario específico de Estadística descriptiva al análisis: Frecuencia absoluta acumulada formada por el número de datos cuyo valor es menor o igual que el dato en cuestión. Frecuencia relativa, como el cociente entre la frecuencia absoluta por el número total de datos y expresada generalmente como porcentaje. Frecuencia relativa acumulada, definida de forma análoga que la frecuencia absoluta acumulada. Ejemplo 1 Estudiamos el número de hijos de una población de 100 familias españolas: N o de Hijos fr. absoluta fr. absol. acumulada fr. relativa fr. rel. acumulada % 17 % % 39 % % 62 % % 77 % % 87 % % 95 % % 97 % % 99 % % 100 % A veces no interesa la frecuencia absoluta en sí, sino el número de datos comprendidos entre dos valores. Si estamos estudiando el tiempo diario que dedicamos a ver la televisión, no resulta interesante cuántas personas ven la televisión dos horas y cuarto exactamente, sino más bien cuántas personas ven la televisión entre dos horas y dos horas y media por ejemplo. En estos casos se agrupan los datos en intervalos. 6

7 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA Estaturas M. de clase fr. absoluta [140, 150) [150, 160) [160, 170) [170, 180) [180, 190) [190, 200) [200, 210] Ejemplo 2 Consideramos ahora 100 datos relativos a la estatura de 100 alumnos. Vamos a presentar los datos en intervalos de igual amplitud,10 cm. En general la amplitud del intervalo se deja a criterio del estadístico. Llamamos marca de clase al valor central de cada intervalo, que actúa como representante de todos los valores comprendidos en el mismo intervalo Gráficos estadísticos Las tablas estadísticas muestran toda la información de forma rigurosa, sin embargo puede resultar más atractiva, y puede que persuasiva cuando el objetivo es comunicar resultados de fácil comprensión, si ésta se realiza de forma visual mediante gráficos. Estudiaremos los más significativos. Un primer grupo está formado por los gráficos lineales, de los cuales destacamos: Polígono de frecuencia. Corresponde generalmente a variables discretas representadas en un sistema de ejes cartesianos. En el eje de abscisa se sitúan los valores de la variable, y en el eje de ordenadas pueden situarse las diferentes modalidades de frecuencia (la ilustración corresponde a la frecuencia absoluta) que se unen mediante segmentos. 7

8 Parámetros estadísticos Diagramas de barras. Corresponden a variables discretas, representadas igualmente que el caso anterior, pero sobre cada valor se levanta una columna de altura proporcional a las diferentes frecuencias. (El de la ilustración corresponde a la frecuencia absoluta acumulada, con los mismos datos del ejemplo anterior) Otros tipos de gráficos lineales, similares son: gráficos logarítmicos, diagramas polares, diagramas de tallo y hojas (Stem-and-Leaf Diagram) que aúna la distribución de frecuencias y gráfico simultáneamente. Un segundo grupo podríamos denominarlo gráficos superficiales, entre los que destacamos: Histograma. Se utiliza para representar variables continuas agrupadas en intervalos. Son similares a los diagramas de barras donde la base de cada rectángulo se sitúa sobre los intervalos y el área de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia absoluta. Diagramas circulares o semicirculares. Son representaciones sobre círculos o semicírculos, correspondiente a la frecuencia relativa o absoluta, donde el círculo se divide en sectores de área proporcional a la frecuencia absoluta o relativa. Otros tipos son: pirámides de población, cartogramas planos, pictogramas Parámetros estadísticos Hoy en día no se concibe la estadística sin el concurso de los ordenadores o al menos las calculadoras. El manejo de grandes cantidades 8

9 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA de datos es moneda corriente en estadística, uno de los objetivos de la misma es sintetizar estas grandes cantidades de datos en unos cuantos valores que proporcionen una idea aproximada del comportamiento de todos los individuos de la población en relación al carácter estudiado. A estos valores se les conoce como parámetros estadísticos y aparecen divididos en dos grupos: parámetros de centralización y parámetros de dispersión. Los primeros tienen como finalidad representar a toda la población. Los segundos tienen como objetivo expresar una medida de la proximidad de los datos Parámetros de centralización Media aritmética. Es el cociente de dividir la suma de todos los valores por el número total de ellos. Si los datos están agrupados en intervalos se eligen las marcas de clases como valores. La media se representa por la expresión siguiente (algunos de ellos aparecen repetidos y se podrían presentar multiplicados por la frecuencia absoluta). x = x 1 + x 2 + x x n n La función promedio() para Excel y hoja de cálculo de Openoffice, calcula este valor. Todas las calculadoras disponen de un modo estadístico que hace innecesario el uso de la fórmula. Existen otras medias que en determinados casos resultan más representativas que la aritmética. Pongamos un ejemplo. Un profesor para calcular la nota del cuatrimestre realiza tres exámenes. En el segundo examen incluye la materia del primer examen y en el tercer examen incluye las materias de los exámenes anteriores. No parece justo que se calcule la media aritmética de las tres notas, pues obviamente la nota del tercer examen comprende más materia. La situación se soluciona realizando una media ponderada, otorgando diferentes pesos a las notas de los exámenes. Parece razonable pesos de 1 para la calificación del primer examen, 2 para el segundo y 3 para el tercero. El efecto es como si se hubieran realizado seis exámenes, cuyas notas serían una vez la del primer examen, dos veces la del segundo y tres veces la del tercero y se calculara la media aritmética de los 6 exámenes. 9

10 Parámetros estadísticos Los pesos para la utilización de una media ponderada se establecen en virtud de parámetros no fijos, pero siempre responden a condiciones de razonabilidad no caprichosa. A veces existe un número reducido de datos que distorsiona la representatividad de la media aritmética. Supongamos que pretendemos calcular el sueldo medio de los funcionarios del Estado. En este sector se incluyen los sueldos de los administrativos, que suelen ser modestos, pero también se incluyen los sueldos de notarios y registradores. Estos últimos, aunque pocos, disponen de unos ingresos tan alejados del resto de los funcionarios, que al incluirlos hace que la media resultante no represente realmente el sueldo de los funcionarios. Se soluciona con la llamada media truncada. Se quita un tanto por ciento de los datos de mayor valor y, para compensar, el mismo tanto por ciento de los datos de menor valor. Podríamos quitar 1 % de los datos de mayor valor y 1 % de los datos de menor valor. Se ha hecho una media truncada al 2 %. Se ha eliminado el 2 % de los datos resultando, probablemente, un valor más representativo de la realidad de los salarios de los funcionarios. Mediana. Llamamos mediana a un valor (no necesariamente un dato) que ocupa el lugar central de la distribución, una vez ordenada en orden creciente. Por ejemplo la distribución 2; 2; 3; 4, tiene como mediana 2 5, no es uno de los datos. La distribución 2;3;4, tiene como mediana 3 que coincide con uno de los datos. En el caso en que los datos aparezcan agrupados en intervalos, su cálculo se reduce a encontrar un valor que divida al histograma en dos partes de igual área. En la ilustración tenemos un histograma cuyos rectángulos tienen áreas respectivas de 6, 8 y 4 (frecuencia absoluta). El histograma tiene un área total de 18u 2. El valor que lo divide en dos partes iguales ha de ser mayor que 10 y menor que

11 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA En el primer rectángulo tenemos un área de 6, luego del segundo rectángulo hemos de tomar 3 unidades para completar la mitad de 18, 9u 2. Dado que la amplitud del intervalo es 5, nos basta con hacer una proporción directa: x 3 = 5 8 = x = = Me = = Moda. Es el dato o datos que presenta mayor frecuencia. Si los datos están agrupados en intervalos no parece conveniente elegir como moda la marca de clase. Debería estar más próxima del intervalo colindante que presente mayor área. En la ilustración los triángulos ACM y BDM son semejantes por tener los mismos ángulos. Si la altura del triángulo ACM sobre el lado AC es x, la del BMD sobre BD será 5 x. Por semejanza x 5 x = AC BD. Podemos considerar que AC =8-6 y BD = 8-4 (en todo caso serían números proporcionales a estos) 4 x = 2 (5 x); = 6 x = 10; x = 5/3 = Mo = = Más próximo al intervalo de extremos 5, 10 que le corresponde un rectángulo de mayor área. Cuartiles y Percentiles. Los cuartiles son tres valores Q 1, Q 2 y Q 3 (no necesariamente datos) que superan exactamente al 25 %; 50 %; 75 % de los datos. Q 2 se corresponde por definición con la mediana. La distribución de datos queda dividida en cuatro partes iguales mediante estos tres números. Se asocia un gráfico llamado de caja y bigotes (box-and-whisker diagram) que visualiza la distribución de los datos teniendo como puntos de referencia los cuartiles. 11

12 Parámetros estadísticos Los percentiles son 99 números mediante los cuales la distribución queda dividida en 100 partes iguales. Por ejemplo el percentil 90, P 90 ; supera exactamente al 90 % de los datos y es menor exactamente que el 10 % de los datos. Para el cálculo de los cuartiles y percentiles, en datos agrupados en intervalos o no, mantenemos las pautas establecidas para el cálculo de la mediana. Así para calcular P 90 con datos no agrupados, calculamos el 90 % de la frecuencia absoluta, si resulta un número con decimales, coincide con el dato siguiente y si resulta un número entero, P 90, sería la media aritmética entre el valor que ocupa dicho dato y el siguiente. Si los datos están agrupados en intervalos, calculamos el 90 % de la frecuencia absoluta, y por un procedimiento análogo al de la mediana, calculamos a qué punto en el histograma le corresponde dicha área Parámetros de dispersión Rango o recorrido. Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. En caso de datos agrupados en intervalos se toma la diferencia máxima posible entre los límites de los intervalos. Se llama rango semiintercuartílico al valor 1 2 (Q 3 Q 1 ). Varianza. Es la media aritmética de los cuadrados de los números obtenidos al restar a cada valor de la variable la media aritmética. Se representa por s 2. Desviación típica. Es la raíz cuadrada de la varianza y mide la dispersión de los datos. Una serie de datos estadísticos viene caracterizada por su media aritmética y por su desviación típica que representaremos por s. Aunque el cálculo, tanto de la varianza como de la desviación típica, no supone ninguna dificultad mediante el uso de calculadora u ordenadores, sí resulta de gran utilidad completar las tablas de frecuencia con las columnas como en el ejemplo. Ejemplo 3 Calcular la varianza y desviación típica en la distribu- 12

13 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA ción siguiente: Intervalos Marcas(x i ) Fa f i x i Diferencias (x i x) 2 f i (x i x) 2 [140, 150) [150, 160) [160, 170) ,25 [170, 180) [180, 190) [190, 200) ,88 [200, 210] n= x = s 2 = = s = = Interpretación de la varianza Intentaremos dar una idea intuitiva de la interpretación de estos dos últimos parámetros. Consiste en que la mayoría de los datos deben estar alrededor de la media. Supongamos una serie de datos x 1, x 2,..., x n ; cuya media es x, varianza s 2 y desviación típica s. Tomamos un intervalo con centro en x y radio s t, esto es ( x s t, x + s t). s 2 = 1 n n 1 (x i x) 2 la suma de sólo aquellos sumandos originados por datos que están fuera del intervalo anterior. En cada dato que esté fuera del intervalo se verifica (x i x) 2 s 2 t 2, y por tanto s 2 s 2 t frecuencia relativa de aquellos datos que están fuera del intervalo anterior. Esta desigualdad que nos proporciona una cota de la 2 frecuencia relativa de los datos no comprendidos en un intervalo elegido alrededor de la media (fr 1 t ) se conoce como desigualdad de 2 Chebychev. A través de ella también podremos cuantificar cuántos datos están comprendidos en un intervalo determinado (obsérvese que elegido un intervalo simétrico alrededor de la media, t es la amplitud del intervalo dividido por dos veces la desviación típica). Si mediante está desigualdad averiguamos que fuera de un intervalo están como máximo el 20 %, ya sabemos que dentro del intervalo 13

14 Variables bidimensionales están al menos el 80 % de los datos. Tipificación de variables A veces interesa comparar dos series estadísticas cuyos datos puede que no tengan ni siquiera relación. Si un estudiante ha obtenido en una asignatura un 5 5, cuando la media de la clase es 5 con una desviación típica de 0 5 y en otra asignatura ha obtenido un 7, cuando la media de la clase es 6 con una desviación de 2, nos podemos preguntar en cuál de las dos asignaturas ha obtenido mejor rendimiento relativo. Para dar respuesta a la cuestión en ambas series se realiza un cambio de variable de forma que los datos de las nuevas variables tengan media 0 y desviación típica 1, y así podamos compararlas. A este cambio de variable se le llama tipificación de variable, y la variable nueva resultante diremos que está normalizada. El cambio consiste en z = x x s, cuyos nuevos valores tienen z = 0 y s z = 1. Así en los ejemplos propuestos el 5 5 se transforma en = 1; en cambio el 7 se transforma en = 0 5. Podemos apreciar que el 5 5 es una nota que expresa un mejor rendimiento en la primera asignatura que el 7 de la segunda asignatura Variables bidimensionales A aquellas variables que comprenden dos características de los individuos de una población se les llama bidimensionales. Nuestro objetivo se va a centrar en la posible relación entre las dos características consideradas. Estudiemos las dos característica de número de zapato; talla en la población de los estudiantes de la clase. La meta está en encontrar si hay relación entre el número del zapato y la talla y si podemos estimar de alguna manera la talla conocido el número de zapato y viceversa. Podría ocurrir que la talla quedara determinada funcionalmente, de manera única, por el número del zapato. O que la talla fuera in- 14

15 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA dependiente del número del zapato, no tuviera relación y por tanto sería imposible determinar la talla a partir del número de zapato. También podría apreciarse una dependencia estadística de manera que los valores mantengan pautas similares. De modo análogo que en las variables unidimensionales, la información puede ser recogida en tablas de doble entrada o tablas bidimensionales. Ejemplo 4 La siguiente tabla de doble entrada nos muestra las variables x: número de recibidos en el mes de enero; y: número de enviados en el mismo mes por 16 personas. y x Totales Totales Ejemplo 5 Tabla bidimensionales M: notas de matemáticas; F: notas de física de 20 alumnos M F Estas tablas nos proporcionan dos distribuciones unidimensionales, una para la variable x y otra para la variable y. Además se pueden considerar en el primer ejemplo varias distribuciones condicionadas, teniendo en cuenta un solo valor de una de las variables y todos los demás de la otra (por ejemplo x y=50, número de recibidos condicionado a que se han mandado 50). Si representamos gráficamente en unos ejes cartesianos los puntos P i (x i, y i ) del ejemplo 81 obtenemos un conjunto de puntos en el plano que recibe el nombre de nube de puntos, el cual nos proporciona una primera idea de la relación existente entre las dos notas. 15

16 Variables bidimensionales Podemos observar que no hay una relación funcional entre ambas series de valores que nos permitiese saber la nota de Física de un alumno conociendo la de Matemáticas. Sin embargo sí cabe esperar que un alumno que saque buenas notas en Matemáticas también las saque en Física. A esto lo conocemos como dependencia estadística o aleatoria. Es posible además que los puntos se condensen alrededor de una línea, que tendremos que definir y medir el grado de aproximación a la nube de puntos. Si la línea a que nos hemos referido anteriormente, es una línea recta, diremos que se trata de un problema de regresión lineal. Otros tipos son logarítmica, exponencial, y polinómica en general. La regresión lineal es el caso más común. El procedimiento de cálculo de las rectas que aproximan a la nube de puntos es el método de los mínimos cuadrados. Éste consiste en establecer que la suma de los cuadrados de los errores cometidos al tomar la ordenada (o abscisa) de cada par de valores correspondiente a todos los datos sea lo menor posible. Mediante el uso de derivadas parciales, no previstas en este curso, se llega a una recta del tipo y ȳ = S xy (x x) s 2 x El parámetro S xy se denomina covarianza, y viene dado por n i=1 S xy = (x i x) (y i ȳ) n i=1 = x i y i x ȳ n n El número s xy s se conoce como coeficiente de regresión lineal (s x x 2 2 es la varianza respecto de la característica que hemos denominado x). Como se puede observar la recta pasa por ( x, ȳ) (centro de gravedad de la nube de puntos). 16

17 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA El parámetro que mide la calidad de la aproximación lineal es el coeficiente de correlación r = S xy s x s y. El coeficiente de correlación lineal verifica 1 r 1 2 ; donde los valores -1 y 1 se obtienen solamente cuando la relación entre x e y es funcional. Cuanto más próximo se encuentre r de estos valores, más bien se adapta la recta a la nube de puntos. Cuando r es positivo ambas variables crecen o decrecen simultáneamente, se trata de una correlación directa. En caso de r negativo, una variable crece cuando la otra decrece, la correlación es inversa. A la recta presentada anteriormente le llamamos recta de regresión de y sobre x, porque estima los valores de y a partir de los valores de x. De forma análoga se puede estimar los valores de x a partir de los valores de y mediante la recta de regresión de x sobre y. Esta recta viene dada por x x = S xy s 2 y (y ȳ) (Nótese que el producto de los coeficientes de regresión de ambas rectas es r 2 ) El ejemplo propuesto nos ofrece como rectas de regresión: F = M y M = F (r = 0 65) Si un alumno tiene un 5 5 en matemáticas, sustituyendo en la recta de regresión de Física sobre Matemáticas, estimamos la nota de física ˆF = De forma análoga si la nota de Física ha sido 7 5, la estimación para Matemáticas es ˆM = 7 1. La fiabilidad de la estimación la garantiza r. En este ejemplo no queda garantizada la estimación. Consideraremos una correlación muy fuerte a partir de 0 75, o menor que para valores negativos. 2 n i=1 [(x i x) + t (y i ȳ)] 2 0 es una inecuación en t. El discriminante de la inecuación de segundo grado en t ha de ser < 0, a partir de lo cual se deduce la relación buscada. 17

18 Problemas propuestos Problemas propuestos 1. En un Hospital infantil se pretende hacer un estudio sobre el consumo de leche, al día, en la 1 a semana de vida de los recién nacidos. Para ello se eligió una muestra de 270 bebés con los siguientes resultados: x i cc [80, 100) [100, 120) [120, 140) [140, 160) [160, 180) [180, 200) [200, 250] f i a) Hallar el consumo medio de leche por niño al día y el consumo más frecuente. b) A partir de qué cantidad se consume por encima de la mitad de los bebés. c) Es intención del Hospital someter a estudio aquellos recién nacidos comprendidos entre el 5 % que menos consuman o que más consuman. Entre unos niños que consumen diariamente 220, 248, 189, 90, 114 c.c. de leche cuáles han de ser sometidos a estudio. 2. Una empresa de reparto a domicilio de pizzas solicita un informe de viabilidad para instalarse en una ciudad de habitantes. El negocio es rentable si al menos personas solicitan entre (1, 5) pizzas al año. Para ello conocemos, mediante una muestra que cada habitante pide una media de 3 pizzas al año con una desviación típica de 1 pizza. Haz un informe para dicha empresa. 3. La media de edad de los asistentes a la fiesta del décimo noveno cumpleaños de Juan, sin contar el anfitrión, es de y contando a Juan es de 19 ˆ3. Al aparecer el abuelo de Juan la media aumentó a Calcular el número de asistentes a la fiesta y la edad del abuelo. 4. Estudia la tabla adjunta, que corresponde al sueldo, frecuencia y el porcentaje de subida producido por los trabajadores de una determinada empresa a principio de año. 18

19 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA Sueldo Frecuencia Porcentaje de subida [1500, 1600) 20 8 % [1600, 1700) 15 7 % [1700, 1800) 9 6 % [1800, 1900) 7 5 % [1900, 2000] 4 4 % a) Halla la media, moda y cuartiles del sueldo b) Halla la media, moda y cuartiles del porcentaje de subida. 5. Las estaturas de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son: Est.(x) Pes.(y) a) Calcula el coeficiente de correlación lineal b) Recta de regresión de y sobre x c) Si el equipo ficha un jugador que mide 208 cm. Se puede predecir su peso? En caso afirmativo, obtenerlo. 6. La siguiente tabla nos da la altitud de ocho ciudades sobre el nivel del mar y los litros de lluvia recogidos en las mismas durante la primavera del Altitud litros/m a) Rectas de regresión b) Estimación de la altitud de una ciudad donde se recogieron 380 litros/m 2 c) Estimación del agua recogida por m 2, en una ciudad de 500 metros de altitud. 7. Cinco alumnos de 19, 20, 21, 22, 23 años de edad pesan respectivamente, 65, 67, 66, 70, 73 kilos. a) Halla las rectas de regresión b) Calcula el peso estimado de un estudiante de 24 años c) Calcula la edad estimada de un estudiante de 60 kilos. Estudia la fiabilidad de las estimaciones. 19

20 Problemas propuestos 8. Para realizar unos estudios sobre energía solar se han medido las temperaturas máximas y el número de horas de sol durante una semana, obteniéndose los siguientes resultados : LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO TEMP N o h a) Halla las rectas de regresión de la temperatura máxima en función del número de horas de sol. b) Hallar la recta de regresión del n o de horas de sol en función de la temperatura máxima. c) El lunes siguiente a la realización de la experiencia se rompió el medidor del n o de horas de sol. Se puede estimar el n o de horas de sol a partir de la temperatura máxima? Justificar la respuesta y hacer la estimación para una temperatura máxima de 19 o C. 9. Sea una variable estadística bidimensional correspondiente a la población de estudiantes, (x, y) con x = número de personas que viven con cada uno; y = gasto en euros los fines de semana. La recta de regresión de y sobre x viene dada por la expresión y = 0 5 x a) Un alumno comparte casa con 3 personas más, Cuánto se estima que gaste el fin de semana? y si vive con 5 personas? b) El gasto medio en los fines de semana de la población estudiantil es de 20 e, cuál será el promedio de personas que viven con los alumnos? c) Razona cuál de las siguientes rectas puede ser la de regresión de x sobre y: i) x = 3y ; ii) x = y ; iii) x = y + 25 d) Indica la clase de relación que hay entre x e y. 10. Calcula la moda y los cuartiles de la distribución dada por x i fr abs

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