CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA DIFERENCIAL DEL ROBOT PARALELO

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1 CAÍUO. CNMÁCA DFRNCA D ROBO ARAO es seccó se descrbe el álss de elocddes y celercoes del robo prlelo, el cul puede llerse cbo mede ls ecucoes pr momeo geerl debdo que o ese deslzmeo e ls coeoes. ss ecucoes se descrbe e.5... r el correspodee álss: e deerm ls relcoes de elocdd ere los eslboes del robo; específcmee, se relco l elocdd lel y gulr de l plform co l elocdd gulr de ls rculcoes y co l elocdd lel y gulr de los eslboes de erd y de coplmeo. Además, se der ls correspodees cobs prr de ls epresoes obeds y se epres l elocdd gulr de l plform e fucó de los águlos, β y γ. Así msmo, se deerm ls relcoes de celercó sedo éss seprds e érmos depedees de celercoes y elocddes. Además, mbé se epres l celercó gulr de l plform e fucó de los águlos, β y γ. r ller cbo ese álss es ecesro roducr u sere de ecores que resul del álss de poscomeo y orecó: Deodo l poscó del cero de l plform como p, l poscó de sus érces como, l poscó de ls róuls Q como Q y l poscó de los érces de l bse como O, se defe : p, Q O, Q (- Dode posco los érces de l plform co respeco su ssem coordedo y y so los ecores correspodees los eslboes de erd y de coplmeo. Además, se defe u ecor correspodee l eje de rocó de ls rculcoes cs y dos ecores G y G que posco el cero de gredd de cuerdo ls dscs ormlzds G y G e los correspodees eslboes: s ecesro efzr que el ecor pr ese álss posee u sedo corro l correspodee l seccó de cemác de loclzcó por fcldd e los cálculos.

2 7 R ˆ, G G Z,σ, G ( G (- dsc ormlzd pr G se om desde el eremo del eslbó que coec co l rculcó rocol, mers que pr G se om desde el eremo del eslbó que coec co l róul Q... Aálss de elocddes... Relcoes de elocdd... Relcó ere l plform y ls rculcoes cs e defe ls elocddes de los érces de l plform mede dos ecucoes cemács, ls cules se gul: Q / /Q / (- Q /Q ecucó (- se puede escrbr como: (-4 Hcedo produco puo co mbos ldos de es ecucó: ( ( ( (-5 Como (, eoces ( : ( ( (- e plc l dedd ecorl u ( w ( w u e dode correspod: ( ( (-7

3 8 elocdd gulr del eslbó se puede relcor co l de l rculcó sedo posble despejr es úlm y obeer l relcó buscd: ( ( ( ( (-8... Relcó ere l plform y el eslbó de erd e proech el resuldo eror, obeédose ls relcoes buscds pr ls elocddes lel y gulr del eslbó: (-9 (- G... Relcó ere l plform y el eslbó de coplmeo De l ecucó (-4 se despej y se hce produco cruz co mbos ldos: ( ( ( (- e plc l dedd ecorl u ( w ( u w ( u w dode correspod: ( ( ( ( ( ( (- l eslbó de coplmeo se coec l mecsmo mede u pr de rculcoes esfércs, ls cules delmee o rsme pr. embrgo, l mplemecó de dchs rculcoes descr e l seccó 5. sí lo hce, mede orques de frccó y el coco ere el ro y el eje de l respec rculcó. No obse, dcho pr es pequeño y pr ese álss se cosder como desprecble. Así, s se cosder como ulo el pr rsmdo, el eslbó de coplmeo o ro sobre su eje logudl, por lo que []. oces, es posble despejr obeédose sí l epresó pr l elocdd gulr buscd, pr l cul se proech el resuldo de l ecucó (-9:

4 9 [ ] (- r l elocdd lel se cosder l sguee ecucó cemác: / / (-4 r l cul se despej el érmo de erés y se epres como: G (-5... Dercó de ls cobs... Relcó ere l plform y ls rculcoes cs ecucó (-8 correspode l elocdd gulr de u de ls rculcoes. l ssem de ecucoes correspodee ls ses rculcoes se puede epresr e form mrcl como: M M M (- Correspodedo el peúlmo érmo l cob f : f f f M M M (-7... Relcó ere l plform y el eslbó de erd r epresr l ecucó (-9 e form mrcl se proech l dercó de f epresd e l ecucó (-7:

5 f( f( y f z f( f( y f (-8 z f( Y de gul form pr l ecucó (-: ( ( G ( G f( ( G y f( ( G f( z (-9 oces: ( G f( ( G y f( ( G f( y z z f( f( f( (- Dode el peúlmo érmo correspode l cob : [ ] ( ( G f( ( G f( ( G f( f( y f( z f( (- y z... Relcó ere l plform y el eslbó de coplmeo Co respeco l ecucó (- se desrroll los érmos que coee y : yz zy z y z z z y y y ( ( ( y [( ] ( z,cross (- (-

6 z y z z z y z y z y y y z y z z y y z z z y y y z z y y [ ] z y z y z y [ ] (-4 Aproechdo ls epresoes desrrollds y l dercó de f se epres l ecucó (- e form mrcl: [ ] p p f,cross z y f f f,cross (-5 Dode el peúlmo érmo correspode u cob ermed deod : z y f f f,cross (- Co respeco l ecucó (-5 se desrroll los érmos del ldo derecho:,cross y z y z y y z z y z z y (-7 G,cross G G Gy G Gz Gy Gz G y Gy Gz G z Gy z Gz y (-8

7 Aproechdo ls epresoes desrrollds y l dercó de se epres l ecucó (-5 e form mrcl: [ ],cross G,cross [ ] G,cross ([ ],cross G,cross (-9,cross Dode el peúlmo érmo correspode u cob ermed deod : ([ ] (- (,cross G,cross oces: ( ( (- Dode el peúlmo érmo correspode l cob : [ ] (- (... Aálss de l elocdd gulr elocdd gulr puede ser epresd e fucó de l rzó de cmbo de los águlos, β y γ co respeco l empo, los cules defe l orecó de l plform: d β d γ d d ˆ d ˆ d j ˆ ( ' ˆ ( β ' ˆj ( γ 'ˆ (- Dode ˆ es u ecor uro orml l plform y esá defdo como: ˆ R, β, γkˆ [ cos s β s cos cos β ] ˆ (-4 oces: cos s β cos s β ' ' ' β ' γ ' s s β ' R β ' (-5 cos cos β cos cos β γ ' γ '

8 ' γ 'cos s β β ' γ 's (- γ 'cos cos β embrgo, mbé es posble epresr l rzó de cmbo de dchos águlos co respeco l empo e fucó de. r ello se cosder l ecucó (-5 y se ere l mrz deomd como R : β R cos β (-7 cos cos β Así: [ ' β ' γ '] R (-8.. Aálss de celercoes... Relcoes de celercó... Relcó ere l plform y ls rculcoes cs e defe ls celercoes de los érces de l plform mede dos ecucoes cemács, ls cules se gul: / Q / Q / Q /Q / Q /Q (-9 /Q /Q ecucó (-9 se puede escrbr como: ( ( ( (-4 Hcedo produco puo co mbos ldos de es ecucó: ( ( ( ( ( ( ( ( ( (-4

9 4 e desrroll los dobles producos cruz plcdo l dedd ( w ( u w ( u w u : ( ( ( ( (-4 ( ( ( ( (-4 ( ( ( ( (-44 Y se susuye ls epresoes desrrollds: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (-45 ero como e odo momeo dd l urlez de l rculcó rocol, eoces. Además, como (, eoces ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( : (-4 e plc l dedd u ( w ( w u e dode correspod: ( ( ( ( ( ( ( ( (-47 Recorddo que el eslbó de coplmeo o rsme pr y por lo o o ro sobre su eje logudl, eoces : ( ( ( ( ( ( (-48 celercó gulr del eslbó se puede relcor co l de l rculcó sedo posble despejr es úlm y obeer l relcó buscd: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (-49 (

10 5... Relcó ere l plform y el eslbó de erd e proech el resuldo eror pr obeer l relcó buscd pr l celercó gulr del eslbó: (-5 r l celercó lel se cosder l sguee ecucó cemác: G ( (-5 G e plc l dedd u ( w ( u w ( u w y como G e odo momeo, eoces, obeédose sí l relcó buscd: G G ( G ( G (-5 G G... Relcó ere l plform y el eslbó de coplmeo De l ecucó (-4 se despej y se hce produco cruz co mbos ldos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (-5 e plc l dedd ecorl u ( w ( u w ( u w del ldo zquerdo de l ecucó: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (-54 l eslbó de coplmeo o rsme pr lrededor del eje logudl debdo ls rculcoes esfércs sus eremos, eoces l compoee de l celercó gulr e dch dreccó es ul, []. Así, es posble despejr obeédose sí l epresó pr l celercó gulr buscd:

11 ( ( ( ( ( ( ( ( (-55 e desrroll los dobles y rples producos cruz plcdo l dedd ( w ( u w ( u w u omdo e cue que e odo momeo, por lo que, sí como : ( ( ( (-5 ( ( ( ( ( (-57 ( ( ( (-58 ( ( ( ( ( ( (-59 ( ( ( ( ( (- oces se susuye ls epresoes desrrollds, obeédose sí l relcó buscd pr l celercó gulr : ( ( ( ( ( (- r l celercó lel se cosder l sguee ecucó cemác, de l cul és se despej: / / / / ( G ( G ( ( (- G G e plc l dedd u ( w ( u w ( u w del ldo derecho de l ecucó, omdo e cue que, obeédose l relcó buscd: G ( G G (-

12 7... eprcó de érmos s relcoes erores se epres como formds por dos compoees mrcles pr usrse co myor fcldd e el álss dámco: U mrz (deod por el superídce que mulplc l ecor de celercó lel y gulr de l plform y u ecor (deodo por el superídce depedee de elocddes leles o gulres.... Relcó ere l plform y ls rculcoes cs De l ecucó (-49: (-4... Relcó ere l plform y el eslbó de erd ecucó (-5 pr se busc seprr ulzdo el resuldo de l (-4: (-5 (- e desrroll el prmer érmo de l ecucó (-89 hcedo uso de l dedd u w w u (recorddo el desrrollo de l ecucó (-4: (-7 oces:

13 8 (-8 (-9 ( ( ( ( ( ecucó (-5 pr se busc seprr hcedo referec l (-: (-7 ( ( (-7 ( G G G e desrroll los dos prmeros érmos del ldo derecho de l ecucó (-7: ( Gz Gy G Gz G ( Gy Gz Gy G G,cross ( Gz Gy G( G G,cross G (-7 (-7 oces: ( G,cross ( (-74 (-75 G,cross G... Relcó ere l plform y el eslbó de coplmeo ecucó (- pr se busc seprr: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (-7 (-77 ( ( ( r desrrollr el érmo que coee y se us l mrz,cross defd e l ecucó (- y se hce uso de l dedd ( u w w u :

14 9 cross,,cross (-78 Co respeco l érmo que coee se hce uso de l ecucó (- y de ueo se plc l dedd u w w u : (-79 oces: [ ],cross (-8 (-8 ecucó (- pr mbé se busc seprr: G G (-8 (-8 r desrrollr el érmo que coee y se us l mrz,cross defd e l ecucó (-7: [ ],cross,cross (-84 Co respeco l érmo que coee se hce uso de l ecucó (-77 y se emple l mrz G,cross defd e l ecucó (-8:

15 ( G G G, cross( ( G,cross (-85 oces: [ ] (,cross G,cross (-8 (-87 ( ( G G,cross (... Aálss de l celercó gulr U epresó pr l celercó gulr smlr l obed e l seccó.. pr l elocdd gulr se obee dferecdo co respeco l empo l ecucó (-: '' β ' γ 'cos cos β ' γ 's s β γ ''cos s β d β '' ' γ 'cos γ ''s (-88 d β ' γ 'cos s β ' γ 's cos β γ ''cos cos β ecucó (-88 puede epresrse mbé como: cos s β '' β ' γ ' cos cos β ' γ ' s s β s β '' ' γ ' cos (-89 cos cos β γ '' β ' γ ' cos s β ' γ ' s cos β embrgo, mbé es posble epresr l segud derd co respeco l empo de los águlos, β y γ e fucó de y l segud mrz de l ecucó (-89: '' β ' γ ' cos cos β ' γ ' s s β β '' R ' γ ' cos (-9 γ '' β ' γ ' cos s β ' γ ' s cos β

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