Control estadístico de procesos imprecisos

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1 Control estadístico de procesos imprecisos Ana Belén Ramos Guajardo 1 Ángela Blanco Fernández 2 1 European Centre for Soft Computing, 2 Departamento de Estadística e I.O., Universidad de Oviedo, Resumen En este trabajo se presenta un método de control estadístico de procesos utilizando técnicas de contraste de hipótesis en el contexto de datos imprecisos. Con el fin de analizar la estabilidad de un proceso modelado a través de una variable aleatoria difusa, el estudio se centrará en el valor medio (difuso) y la variabilidad (valor real) de dicha variable. Palabras Clave: Control estadístico de procesos, variable aleatoria difusa, test de hipótesis. 1 Introducción El control estadístico de procesos (CEP), introducido por Shewart (ver [11]), es una metodología de trabajo destinada a asegurar y controlar que un proceso responde de forma estable, predecible y dentro de las tolerancias establecidas y a elaborar criterios de decisión para la detección de desviaciones y el inicio de acciones correctivas (ver, por ejemplo, [12]). Las características que definen la calidad de un conjunto de valores dados están relacionadas con determinadas magnitudes medibles que se denominan variables de control y que deben tener valores bien definidos y varianzas limitadas. Las causas de variabilidad pueden ser clasificadas en dos grupos. El primero de ellos se basa en las causas que se asumen como parte inherente al proceso y no necesitan ser estudiadas pues el coste que esto supondría no tendrá una repercusión proporcional en la mejora de la calidad. Se denominan causas no asignables o causas comunes. En el segundo grupo se encuentran las causas que provocan variaciones sobrevenidas, sistemáticas o aleatorias, cuya magnitud es crítica para el resultado de la actividad y que, por tanto, deben ser investigadas. Se denominan causas asignables o causas especiales. El objetivo del CEP es analizar la estabilidad de un proceso, basado en el control de las causas asignables anteriormente descritas. Un método para conseguir este fin consiste en confirmar la hipótesis de que el valor medio µ y la desviación estándar σ de una variable X, la cual caracteriza el funcionamiento del proceso, permanecen constantes en el transcurso del tiempo. En definitiva, se trata de realizar un test de hipótesis sobre el valor de la media y la variabilidad del proceso. Se pretende, por tanto, establecer un criterio estadístico que nos permita verificar las dos hipótesis siguientes: La media no ha cambiado: µ 0 = µ i. La variabilidad no ha cambiado: σ 0 = σ i. Dada una variable de control X, los contrastes de hipótesis anteriores se llevarán a cabo haciendo uso de estadísticos basados en la media y en la varianza de esa variable. En general el control se realizará mediante la extracción periódica de una muestra de n elementos, es decir, la realización de n medidas suficientemente próximas en el tiempo (en la escala temporal del proceso) para garantizar que las mismas se realizan en un estado dado del mismo. El valor de la media y la varianza del proceso pueden ser conocidos a priori, por nuestro conocimiento histórico del mismo, o estimarse a partir de un conjunto inicial de k muestras. Gran parte de los problemas reales en los que interviene el control estadístico de procesos son modelados XIV Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica fuzzy 723

2 mediante variables aleatorias reales (ver, por ejemplo, [10]). Sin embargo, en muchas ocasiones los modelos clásicos no son suficientes ya que no recogen la imprecisión que a veces subyace en la realidad y que se puede expresar a través de los llamados datos experimentales imprecisos o valores difusos. En este trabajo el objetivo es analizar la posibilidad de imitar los métodos clásicos cuando la variable de control es una variable aleatoria difusa (VAD) y estudiar ejemplos reales que responden a esta situación. 2 Preliminares Sea R p el espacio Euclídeo p-dimensional con la norma usual. Se denota por K c (R p ) la clase de subconjuntos no vacíos, compactos y convexos de R p y por F c (R p ) la clase de conjuntos difusos compactos y convexos de R p, es decir, F c (R p ) = {U : R p [0,1] U α K c (R p ) α [0,1]} (donde U α es el α- nivel del conjunto difuso U para todo α (0, 1], y U 0 es la clausura del soporte de U). El espacio F c (R p ) puede dotarse de una estructura semilineal por medio de la suma y el producto por escalares definidos aplicando el principio de extensión de Zadeh [13]. Para cada α-nivel, esta aritmética coincide con la suma de Minkowski y el producto por escalares (es decir, (U V ) α = U α + V α = {u + v u U α, v V α } y (λu) α = λu α = {λu u U α } para todo U, V F c (R p ), λ R y α [0, 1]). También es útil considerar la diferencia de Hukuhara de U, V F c (R p ), U H V, definida (si existe) como el elemento W F c (R p ) tal que U = V W. Otro elemento fundamental a tener en cuenta es la función soporte (ver, por ejemplo, Klement et al. [5]). La aplicación función soporte se define como s : F c (R p ) L(S p 1 [0,1]) con s(u) la función soporte de U, s U, tal que s U (u, α) = sup w U α u, w, u S p 1, α [0,1], donde, es el producto interno usual en R p y S p 1 denota la esfera unidad en R p, es decir, S p 1 = {u R p u = 1}. La función soporte preserva la estructura semilineal de F c (R p ), es decir, dados U, V F c (R p ), λ > 0, se verifica s U+V = s U + s V, y s λu = λs U. Además, si exite la diferencia de Hukuhara U H V, entonces s U HV = s U s V. La función soporte permite identificar isométricamente el espacio F c (R p ) con un cono convexo del espacio de funciones integrables Lebesgue L(S p 1 [0,1]) (ver, por ejemplo, [5] and [3]) sobre la base de diferentes métricas. Por ejemplo, Körner and Näther [7] consideran una familia de métricas generalizadas D K en F c (R p ), dadas por = [D K (U, V )] 2 Z (s U(u, α) s V (u, α))(s U(v, β) s V (v, β))dk(u,α, v, β) (S (p-1) [0,1]) 2 donde K es un núcleo simétrico y definido positivo. La familia de métricas D K representa la distancia tipo L 2 genérica en el espacio de Banach L(S p 1 [0,1]), lo que permite expresar D K en términos del producto escalar (o la norma asociada) en este espacio como D 2 K(U, V ) = s U s V, s U s V K = s U s V 2 K. Dado el espacio de probabilidad (Ω, A, P), una variable aleatoria difusa (VAD) es una aplicación D K - medible Borel X : Ω F c (R p ). Esta definición es equivalente al concepto clásico introducido por Puri & Ralescu [8] (ver [2] y [7]). Si X 0 =sup x X0 x L 1 ( Ω, A, P), se puede definir el valor medio difuso de X, E(X), como el único conjunto difuso tal que (E(X)) α se identifica con la integral de Aumman del conjunto aleatorio X α, para todo α [0.1] (ver [8]). En el caso particular p = 1, se cumple que (E(X)) α = [E(inf(X α ),E(sup(X α )] para todo α [0,1]. Además, si E( X 0 2 ) <, se puede definir la varianza de X (ver [7]) como el valor real σ 2 X = E ( D 2 K (X,E(X)) ). Dada una muestra aleatoria simple {X i } n i=1 obtenida a partir de X, se considera la media muestral de X, dada por X n = (X X n )/n, como el estimador difuso de E(X), y la varianza muestral definida por σ 2 X = 1 n n i=1 D2 K (X i, X n ) como estimador de σ 2 X. Para ilustrar el comportamiento del método propuesto, se analizará un caso real cuyos datos son números difusos triangulares. Éstos conforman un caso particular de conjuntos difusos, con p = 1, y se denotan por A = Tri(A I, A m, A S ), donde A I, A m, A S R son tales que A I y A S son el ínfimo y supremo del 0-corte, y [A m, A m ] es el 1-corte de A (ver Figura 1). 3 Procedimiento para el control estadístico de procesos imprecisos Un proceso con datos imprecisos viene determinado por una VAD X que actúa como variable de control 724 XIV Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica fuzzy

3 1 ( ) n σ 2 T 2 = X σx 2 (4) 1 n ( ) 2 DK 2 (X i, X n ) σ X 2 n i=1 Dado un nivel de significación β, las regiones críticas asociadas a (1) y (2) son de la forma {T 1 > c 1 β } y { T 2 > c 2 β }, respectivamente. 0 I m S A A A Figura 1: Número difuso triangular A. caracterizando el funcionamiento del proceso a lo largo del tiempo. El valor medio y la varianza de X pueden ser conocidos de antemano (bien porque estén prefijados por un experto o bien por el conocimiento histórico del problema). En otro caso, como etapa preliminar al análisis de la estabilidad del proceso, dichos valores deben ser estimados a partir de una muestra que se supone tomada en condiciones de estabilidad y que se denomina muestra de control. Una vez fijadas las condiciones de estabilidad, resumidas en los valores de referencia E 0 (X) y σ0 2, el procedimiento de control consiste en extraer una muestra del proceso cada cierto periodo de tiempo. El método de extracción de las muestras es acumulativo, es decir, la muestra extraída en el intervalo de tiempo [0, t] es la unión de la muestras tomadas en los intervalos [0, s] y [s, t], donde s < t. Para cada periodo [0, t], se analiza si los correspondientes momentos muestrales se mantienen próximos a los de referencia, con un cierto nivel de confianza. En este trabajo se propone el uso de técnicas de contraste de hipótesis para llevar a cabo este análisis. Dada una muestra del proceso {X i } n i=1 obtenida a partir de X en el intervalo de tiempo [0, t], se contrastan simultáneamente las siguientes hipótesis: H 1 0 : E(X) = E 0(X) frente a H 1 1 : E(X) E 0(X) (1) H 2 0 : σ2 X = σ2 0 frente a H2 1 : σ2 X σ2 0 (2) La resolución de ambos contrastes ha sido obtenida en [4] y [9], respectivamente, mediante el empleo de técnicas bootstrap utilizando los siguientes estadísticos de contraste: T 1 = D2 K (X n,e(x)) σ 2 X (3) 3.1 Resolución bootstrap A diferencia de los métodos desarrollados en los contrastes clásicos para la media y la varianza de una variable aleatoria real, en los que generalmente se conoce la distribución exacta del estadístico, en el contexto difuso actualmente sólo se conocen aproximaciones asintóticas a tal distribución (ver, por ejemplo, [6] y [7]). Las técnicas bootstrap que se emplean en [4] y [9] para la resolución de estos contrastes no necesitan del conocimiento de la distribución exacta o límite del estadístico y además mejoran, en general, la velocidad de convergencia en comparación con las técnicas asintóticas. Dada X la VAD control de un proceso y una muestra aleatoria simple {X i } n i=1 a partir de X, el procedimiento bootstrap para la resolución de (1) (análogamente para (2)), se puede resumir en los siguientes pasos: i) Calcular el valor del estadístico T 1 para esa muestra. ii) Obtener una muestra bootstrap, {X i }n i=1 a partir de la anterior y calcular el valor del estadístico bootstrap T 1 = D2 K (X n, X n ) σ 2 X iii) Repetir ii) un elevado número B de veces, obteniendo el conjunto de estimadores bootstrap {T 1... T B }. iv) Aproximar el p-valor del contraste (1) por la proporción de valores en {T 1... T B } mayores que T 1. Observación 3.1 Para el contraste (2), por la forma de su región crítica, en el paso iv) se aproxima el p- valor por la proporción de valores en {T 1... T B } cuyo valor absoluto sea mayor que el de T Procedimiento de control del proceso Dado un proceso modelado a través de la VAD X el objetivo es analizar su estabilidad a lo largo del tiempo. XIV Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica fuzzy 725

4 Para ello se propone un método de control basado en contrastes de hipótesis para la media y la varianza de X, del siguiente modo: 1. Fijar los valores de referencia E 0 (X) y σ 2 0 bajo condiciones de estabilidad del proceso. 1.i) Prefijados por un experto o conocidos históricamente. 1.ii) Estimados a partir de una muestra de control {X i } k i=1 que se asume obtenida bajo estabilidad. Calculados su media y varianza muestrales, se define E 0 (X) = X y σ0 2 = σ Control del proceso en el intervalo de tiempo [0, t]: 2.i) Extraer una m.a.s. de X en ese tiempo, {X i } nt i=1. 2.ii) Resolver los contrastes (1) y (2) mediante el algoritmo bootstrap propuesto en la Sección iii) Si el p-valor obtenido en ambos contrastes supera el nivel de significación deseado, se puede concluir que el proceso se mantiene estable en el tiempo [0, t] y se continua el control en 3. En otro caso, si alguna de las dos hipótesis nulas se rechaza, se debe detener el control estadístico y analizar las causas de inestabilidad que provocaron ese rechazo. 3. Control del proceso en el intervalo de tiempo [0, s], s > t: 3.i) Extraer una m.a.s. de X en el tiempo [t, s], {X i } ns i=n t+1. Tomar como m.a.s. en [0, s] la unión de ésta con la obtenida en 2.i), denotada por {X i } ns i=1. 3.ii) Considerar t = s y volver al paso 2.ii). 4 Ejemplo ilustrativo Con el objeto de ilustrar en la práctica el procedimiento propuesto en las secciones precedentes, se muestra su aplicación sobre un ejemplo real. Se pretende analizar la variación de la concentración (µm/cm 3 ) de partículas PM10 en el aire en la ciudad de Madrid entre los años 2003 y Los datos se encuentran disponibles en El Ministerio de Medio Ambiente español define las partículas PM10 como aquellas partículas de polvo, cenizas, hollín, metal, cemento o polen, dispersas en la atmósfera, cuyo diámetro varía entre 2.5 y 10 µm. Se considera el proceso consistente en la medición de la concentración de esas partículas semanalmente, modelado a través de una VAD triangular X cuyos datos X i = (Xi I, Xm i, XS i ) vienen dados por la concentración mínima y máxima de partículas PM10 alcanzada durante la semana (Xi I y XS i, respectivamente) y la concentración media semanal (Xi m). Se toma como muestra control los valores semanales correspondientes al año 2002, obteniendo como valores de referencia del proceso E 0 (X) = ( , 38.25, ) y σ0 2 = Aunque los datos pertenecen a una serie temporal, la correlación no es relevante y se puede suponer la independencia entre las observaciones. Se comienza el análisis de la estabilidad del proceso a partir de la primera semana de 2003, ejecutando el algoritmo de control cada cuatro semanas. Como resultado, a un nivel de significación β = 0.05, se puede admitir la estabilidad del proceso hasta el período de tiempo [0,52 semanas] (que corresponde a enero-diciembre de 2003), en el que el p-valor asociado al contraste (2) es Por tanto, se debe detener el control y analizar las causas del rechazo de H 2 0. Comparando los valores muestrales para ese intervalo de tiempo, X = ( , , ) y σ X 2 = , con los correspondientes valores de referencia del proceso, se puede observar un aumento significativo de ambas magnitudes. En la Figura 2 se muestra la evolución del proceso entre enero de 2002 y diciembre de Los datos se representan mediante líneas verticales cuya longitud corresponde a la amplitud del 0-nivel (el intervalo [Xi I, XS i ]) y la cruz al valor que define el 1-nivel (Xi m ). Así mismo, se muestran las medias difusas de referencia (año 2002, color azul) y la correspondiente al año 2003 (color rojo), pudiendo comprobarse el aumento notado anteriormente Concentración PM10 (micrómetros/cm3) Semanas Figura 2: Control del proceso XIV Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica fuzzy

5 Concentración PM10 (micrómetros/cm3) Semanas Figura 3: Control del proceso 2004-Junio Concentración PM10 (micrómetros/cm3) Semanas Figura 4: Control del proceso En este punto se propone modificar las condiciones de estabilidad, considerando como muestra control la correspondiente al año 2003, con valores de referencia E 0 (X) = ( , , ) y σ 2 0 = , y comenzar un nuevo análisis de la estabilidad del proceso a partir de la primera semana de Los resultados obtenidos desde ese momento permiten asegurar que el proceso se mantiene estable hasta el periodo de tiempo [0,76 semanas] (hasta junio de 2005), en el que el p-valor asociado al test (1) resulta En este caso, la comparación de los valores de referencia con los valores muestrales correspondientes a este periodo, X = ( , , ) y σ 2 X = , indica una disminución de la concentración media de partículas PM10, y un aumento de la variabilidad (aunque ésta no suficientemente elevada para conducir al rechazo de H 2 0). En la Figura 3 se puede observar gráficamente este comportamiento. Procediendo de forma análoga, se considera como nueva situación de estabilidad la correspondiente al año 2004, con E 0 (X) = ( , , ) y σ 2 0 = , y se ejecuta el control del proceso desde enero de A partir de los resultados obtenidos, se observa que el proceso se mantiene estable ya hasta el final del estudio. La Figura 4 muestra la evolución del proceso en este periodo, donde el valor medio y la varianza de referencia no son rechazados al nivel de confianza del 95%. Por tanto, se puede concluir que la concentración de partículas PM10 en el aire de la ciudad de Madrid hasta diciembre de 2007 no ha sufrido una variación significativa con respecto a los valores del año Conclusiones El método desarrollado en este trabajo permite una extensión de los estudios de control estadístico de procesos al contexto impreciso. Los desarrollos propuestos para el análisis de la estabilidad de un proceso con datos imprecisos se basan en el control de la media difusa y la varianza real de los datos a través de contrastes de hipótesis resueltos mediante técnicas bootstrap. Además, para ilustrar la utilidad práctica de este método, se ha desarrollado sobre un ejemplo real y se han analizado los resultados obtenidos. Agradecimientos Las investigaciones realizadas en este trabajo han sido financiadas parcialmente por el Ministerio Español de Ciencia e Innovación a través del proyecto MTM , por el Gobierno del Principado de Asturias mediante el Plan PCTI (beca BP06-010), y por el centro de investigación internacional European Center for Soft Computing. Referencias [1] C. Bertoluzza, N. Corral, A. Salas, On a new class of distances between fuzzy numbers, Mathware & Soft Computing , [2] A. Colubi, J.S. Domínguez-Menchero, M. López- Díaz, R. Ralescu. A D E [0, 1] representation of random upper semicontinuous functions, Proc. Amer. Math. Soc. vol. 130 pp , XIV Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica fuzzy 727

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