Aspectos contempor aneos de la mec anica estad ³stica

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1 Aspectos cotemporaeos de la mecaica estad³stica Jo s e Ma r ³a Fila r d o B a s s a lo, A t o io B o u lh o s a N a s s a r y Ma u r o S e r g io D o r s a Ca t t a i y Itroduccio Los libros de texto que estudia los fudametos de la Mecaica Estad³stica emplea el formalismo de la Mecaica Cuatica de SchrÄodiger y/o el de la Mecaica Cuatica de Feyma [ 4]. E este art³culo utilizaremos este ultimo, si embargo e lugar de referiros a los calculos de los propagadores de Feyma realizados mediate itegrales de trayectoria [5], os referiremos a los resultados obteidos mediate la iterpretacio hidrodiamica de la Ecuacio de SchrÄodiger [6 0]. Esta seleccio lleva al tratamieto mecaico{ cuatico{estad³stico de los sistemas disipativos, represetados por el hamiltoiao de Batema{ Caldirola{Kaai, [ 3] asuto que, e uestra opiio, espoco estudiado e los cursos de Mecaica Estad³stica. Aspectos historicos [ 4] Etrop³a y Probabilidad La Seguda Ley de la Termodiamica, se resa e termios de la etrop³a S co el famoso teorema euciado por el f³sico alema Rudolf Clausius (8{888), e 865: S 0; () dode el sigo (=) idica procesos reversibles y el sigo (>), procesos irreversibles. Co todo, e cuato los procesos reversibles so licados por la Mecaica (recuerdese que la Ecuacio de Newto es reversible e eltiempo), los procesosirreversibles hasta etoces coocidoso pod³a ser licadosmecaicamete. Por ejemplo, cosideremoselsiguieteerimeto metal. Tomemosu recipiete cerrado y dividido e dos partes iguales por ua pared. E u determiado istate, se hace vac³o a la T r ad u ccio y ad ap tacio d e J ose Lu is C or d ov a F. Dep to. d e q u ³m ica, U A M{I. y La p r im er a v er sio d e este ar t³cu lo fu e p u b licad a e la Rev ista B r asileir a d e E si o d e F³sica. derecha de la pared despues de teer el gas e equilibrio termico co el de la izquierda. Al ser retirada la pared, el gas comieza a difudirse hacia la derecha y, despues de u tiempo razoable, se obtiee u uevo estado de equilibrio co el gas difudido uiformemete por todo el recipiete. El proceso aterior es irreversible, pues, coforme se sabe erimetalmete, uca ha sido observada la situaciio e que el gas regrese espotaeamete al estado iicial. (Si fuera posible u cambio deestetipo, podr³amosahogarospues, repetia y espotaeamete, se har³a el vac³o a uestro alrededor.) Desde el puto de vista microscopico, la difusio gaseosa descrita arriba ocurre debido a u proceso de colisioes etre las moleculas del gas, lo cual promueve ua co guracio de posicioes y velocidades moleculares e ua situacio determiada. Ahora bie, como las colisioes esta regidas por la Mecaica, pudiera ocurrir la iversio de las velocidades de todas las moleculas e cierta posicio y, e cosecuecia, el gas regresar³a a su estado iicial. Si bie, lo aterior es, e pricipio, mecaicamete posible, es ua situacio altamete improbable. De tal suerte que debe usarse u uevo tipo de razoamieto (el probabil³stico) para describir los procesos irreversibles. Es oportuo idicar que este tipo de paradojas, coocido como paradoja de irreversibilidad fue presetado por el f³sico y qu³mico austr³aco Joha Loschmidt (8{895), e 876. Fue el f³sico y matematico escoces James Clerk Maxwell (83{879) quie preseto, e 867,ua primera idea probabil³stica de la Seguda Ley de la Termodiamica, co el siguiete ejemplo: sea u recipiete coteiedo u gas a ua temperatura ja; supogamos que a la mitad del recipiete existe ua pared co ua puerta maejada por u portero de ojos microscopicos y re ejos extremadamete rapidos. Este portero [ombrado demoio de Maxwellpor el f³sico y matematico escoces William Thomso, Lord Kelvi (84{907)] permite pasar las part³culas de alta velocidad y lo impide a las de baja velocidad. 33

2 34 CotactoS 36, 33{45 (000) Vale se~alar que, de acuerdo a la ley de distribucio de velocidades presetada e 860 por Maxwell, e u gas e equilibrio las part³culas tiee las mas diversas velocidades. As³, despues de cierto tiempo, u lado del recipiete estar³a a mayor temperatura que el otro co lo que el ujo de calor puede darse e dos setidos a criterio del \demoio", y o solo e u setido, coforme idicaba la Seguda ley de la termodiamica. El razoamieto probabil³stico o estad³stico fue itroducido formalmete e la termodiamica, e 877, por el f³sico austr³aco Ludwig Edward Botzma (844{906) a de respoder la paradoja presetada por Loschmidt e 876, coforme veremos mas adelate. Co todo, ates de usar este tipo de argumetos, Boltzma hab³a buscado licar la etrop³a e termios de la mecaica. Por ejemplo, e 866, Boltzma hab³a cosiderado que las part³culas de u gas se mueve e orbitas periodicas, de aqu³ dedujo ua resio aal³tica para la etrop³a que deped³a de los periodos de las part³culas e sus orbitas, el cual aumetaba co el tiempo. E 868 Boltzma preseto u uevo tratamieto para la etrop³a, uevamete de tipo mecaico. Admitio que e u gas ideal, compuesto de u gra umero N de moleculas, las iteraccioes etreellas puede ser despreciadas; esto sigi ca cosiderar que las colisioes etre las moleculas so biarias y supoer que sus velocidades so o{correlacioadas (hipotesis coocida como caos molecular o Stosszahlasatz) lo cual ya hab³a sido admitido por Maxwelly Clausius. As³, para Boltzma, la eerg³a total E de las N moleculas es costate y puede distribu³rse de diferetes maeras. Por otro lado, usado el teorema demostrado por el matematico Joseph Liouville (809{88), e 838, segu el cual e cualquier regio del espacio de fase (p; q) ocupado por u sistema de part³culas o cambia su volume cuado se mueve, Boltzma supuso que ese volume podr³a dividirse e peque~as regioes de u volume t³pico! r, e el cual cada part³cula podr³a teer ua eerg³a ² r. Por tato, si r represeta el umero de part³culas que ocupa u r esimo volume, etoces el sistema como u todo ocupar³a u volume e el espacio fase dado por: V =!! : ::!r r () como ese modelo o respod³a a la paradoja de Loschmidt (876), Boltzma cosidero el razoamieto probabil³stico, e 877, de la siguiete maera. E ese modelo, coforme vimos, cosidero que la eerg³a total E delasn moleculas quecompoe u gas ideal es costate y que puede hallarse distribu³da dediversas maeras, e losllamadosmicroestados. A partir de ah³, itrodujo ua ueva hipotesis: todos los microestados (a los que llamo \complexioes", e.d. \co guracioes") tiee la misma probabilidad P. Ademas, llamo macroestado al estado e el cual ua molecula espec³ ca tiee eerg³a ² r. De este modo, cocluyo que la probabilidad P r de u macroestado es proporcioal al umero de microestados e los cuales la eerg³a remaete E ² r se distribuye etre las (N ) moleculas restates, esto es: ³ P r / ² r (3) Para calcular el umero de co guracioes distitas ( ) de las N part³culas (N = 0 + +:: :) dode N 0 represeta el umero de part³culas co eerg³a 0², represeta el umero de part³culas co eerg³a ², represeta el umero de part³culas co eerg³a ² etc., Boltzma uso u simple argumeto combiatorio, o sea: ( 0 ; ; ;: ::) = N! 0!!: :: (4) As³, utilizado la hipotesisdeprobabilidades iguales, Boltzma cocluyo que: P( 0 ; ; ; :: :) = C ( 0 ; ; ;: ::) (5) dode P( 0 ; ; ; :: :) represeta la probabilidad de ocurrecia de ua co guracio perteeciete al cojuto de ido por los \umeros de ocupacio" ( 0 ; ; ; :: :), y C es ua costate. Co esa hipotesis, Boltzma preseto su celebre iterpretacio probabil³stica de la etrop³a S: S = k l (6) dode k es ua costate y, coforme ya vimos, es el \umero de `complexioes' de u macroestado (sistema)". Es oportuo observar que esta ecuacio esta grabada e la tumba de Boltzma y que fue escrita e esta forma por primera vez, e 900, por el f³sico alema Max Karl Erst Plack (858{947; Premio Nobel de F³sica, 98), ocasio e la que llamo a k \costate de Boltzma". Observacioes I. La iterpretacio probabil³stica de etrop³a presetada por Boltzma muestra que el estado de u

3 Aspectos cotemporaeos...jose Ma. Filardo Bassalo, Atoio Boulhosa y Mauro Sergio Dorsa 35 sistema termodiamico esta de ido como ua medida de probabilidad de u cierto tipo y que su etrop³a represeta: la medida de desorde de u estado. II. El leguaje basico de la Teor³a de Probabilidades y la Teor³a de la Medicio, cuyos primeros coceptos fuero desarrollados e los trabajos de los matematicos alemaes Carl Friedrich Gauss (777{ 855) y Georg Friedrich Riema (86{866), y el fraco{holades Thomas Ja Stieltjes (856{894), fue sistematizado por el fraces Heri Lebesgue (875{94). Veamos alguas de icioes importates de la Teor³a de la Medicio, ecesarias para el desarrollo de la Mecaica Estad³stica. [4] III. De icio. U espacio de medida es u cojuto M juto co ua coleccio de subcojutos de M y ua medida ¹ que asiga u umero o{egativo ¹(A) a cada elemeto A : (M; ;¹). Ejemplos a) Si M = R, y cotiee todos los itervalos [a; b] =fxja x bg, la medida usual (medida de Lebesgue{Riema) esta dada por: ¹([a;b]) = b a (7) Si f es ua fucio seccioalmete cot³ua que se aula e i ito, etoces: + f¹ = f(x)dx (8) b) Si M = R, y cotiee todos los itervalos [a; b]; la medida de Gauss esta dada por: ¹([a; b]) = p b e x = dx (9) ¼ c) Si M =R,y cotieetodoslositervalos [a;b], la medida de Stieltjes esta dada por: ¹([a; b]) = b a a f(x)d[g(x)] (0) Observese que cuado g(x) =x, la medida de Stieltjes se reduce a la de Lebesgue{Riema. d) Si M y el espacio de fase de las coordeadas geeralizadas (lagrageaas) (q;p), la medida de Liouville esta dada por: ¹ = dqdp () IV. De icio. Para cualquier itervalo [a;b] R, ua medida de probabilidad P([a; b]) esta de ida por: P([a; b]) = co: + b a ½(x)dx () ½(x)dx = (3) dode ½(x) es la desidad de probabilidad. V. De icio 3. Sea (M; ;¹) u espacio de medida. U estado (estad³stico) de ese espacio es ua medida de probabilidad sobre M dada por: ½(¹(A)) = ½¹ [A ½ M] (4) \Esambles" Estad³sticos A E 90, el f³sico orteamericao Josiah Williard Gibbs (839{903) publico el libro ititulado Pricipios Elemetales de Mecaica Estad³stica dode retoma el trabajo de Boltzma de 877; si embargo, e lugar de tratar al gas como costitu³do de moleculas e colisioes costates (como hizo Boltzma), partio del espacio (espacio de fase) ocupado por el gas y trabajo co ua fucio ½ de distribucio de putos e ese espacio. As³, e cierto istate de tiempo t, cada puto e el espacio correspode a ua copia el del sistema estudiado, que esta sujeto a determiadas codicioes macroscopicas. Esta es la idea de esamble que, de cierta forma, ya hab³a sido cosiderada por Boltzma:. Deese modo, para Gibbs, la fucio ½ satisfac³a al teorema demostrado por Liouville, e 838, o sea: d½ dt +fh; ½g dode H es el hamiltoiao (eerg³a) del sistema, y el s³mbolo fg idica el paretesis de Poisso. A partir de esa fucio ½, el valor macroscopico observable de cualquier catidad Q hqi esta dado por: R ½Qd hqi R (6) ½d dode: d = dp ::: dp N dq ::: dq N (7) Medida de Liouville (8)

4 36 CotactoS 36, 33{45 (000) Usado esasecuacioes, Gibbs aalizo alguostipos de esambles. Por ejemplo, e el caso estacioario e que ½ o depedel³citametedel tiempo, = 0 y H se matieecostate, tedremos fh;½g =0 y, por tato, d½ dt = 0 lo que sigi ca que ½ es costate. A ese esamble, Gibbs lo ombro micro{caoico, y es u esamble costitu³do por sistemas aislados. Por otro lado, e el caso e que la eerg³a var³a, mateiedo la temperatura T ja (termostato), Gibbs lo deomio esamble caoico. Ademasde estos dos esambles, Gibbs itrodujo el esamble gra-caoico que correspode a la situacio f³sica e que u sistema de part³culas costitu³do de moleculas de varias especies (º ; º ;: :: ;º r ), y co potecial qu³mico (¹ i ) costate, esta e cotacto co u reservorio termico de temperatura costate (termostato). Observacioes I. U esamble micro{caoico es u `esamble' costitu³do por sistemas aislados. Es el mas basico de los esambles ya que e el se formula el postulado fudametal dela Mecaica Estad³stica de Equilibrio. Co todo, o es el mas practico, ya que requiere ivestigar el espectro de eerg³a del hamiltoiao, que es, e geeral, u problema muy complicado. II. U esamble caoico es u `esamble' costitu³do por sistemas e cotacto co u termostato. Es de gra importacia practica pues es mucho mas coveiete para los calculos que el micro{ caoico. III. U esamble gra{caoico es u `esamble' costitu³do por sistemas e cotacto difuso co u termostato que sirve como reservorio tato de eerg³a cuato de part³culas. Cuado estamos iteresados e u sistema co u umero jo de part³culas, como los electroese u metal, ese `esamble' es de gra importacia pues simpli ca los calculos mas que el caoico. Por otro lado, ese `esamble' gra{caoico tambie se aplica a sistemas e los que es imposible jar el umero de part³culas, como es el caso de gases formados por cuasi{part³culas como fooes y magoes, que so cotiuamete creados y absorbidos por la materia...3 Esambles Quato{Estad³sticos Las resioes vistas ateriormete que icluye a los `esambles' estad³sticos muestra que la fucio desidad ½ icluyealhamiltoiao (eerg³a) delsistema termodiamico cosiderado. E la Mecaica Estad³stica Clasica, el calculo de esa fucio se hace usado la Mecaica Clasica. Co todo, co el adveimieto de la Mecaica Cuatica (MC), a partir de 95, se observo que todos los sistemas e la Naturaleza obedece a ese tipo de Mecaica. De ese modo, aquel calculo paso a ser hecho mediate la MC, y se costituyo e el tema pricipal de la llamada Mecaica Estad³stica Cuatica. Veamos alguos resultados importates de la MC. E la Mecaica cuatica u observable de u sistema esta asociado a u operador hermitiao de u espacio de Hilbert. A su vez, el estado de u sistema esta represetado por u vector j ªi e ese mismo espacio. Si j xi es u autovector del operador posicio de todas las part³culas e u sistema, etoces hx j ªi ª(x) es la fucio de oda del sistema e el estado j ªi, y proporcioa ua descripcio completa de ese estado. Cuado u sistema aislado evolucioa e el tiempo, su fucio de oda esta dada por la resio: ª(x;t) = c (t) (x) (9) dode (x) so las autofucioes ortoormadas de u operador dado diamico del sistema, y j c j idica la probabilidad deecotrar elsistema aislado e la posicio x. De acuerdo co la MC, si ^O es el operador correspodiete a u observable dado de u sistema, etoces el valor esperado de u gra umero de medidas istataeas de ese observable esta dado por: O ve = (ª; ^O ª) (ª;ª) (c ;c m )( ; ^O m ) = ;m (c ; c ) (0) dode (, ) represeta u producto escalar. E el laboratorio, las medidas de los observables o se hace istataeamete, sio durate cierto tiempo. Etoces, el valor de al de u observable se obtiee por el valor medio dado por: hoi = (ª; ^O ª) (ª;ª)

5 Aspectos cotemporaeos...jose Ma. Filardo Bassalo, Atoio Boulhosa y Mauro Sergio Dorsa 37 = P ;m (c ; c m )( ; ^O m ) P (c ;c ) () dode (c ;c m ) es ua media sobre u itervalo de tiempo peque~o comparado co el tiempo de resolucio de los aparatos de medida, pero largo comparado co la duracio de las colisioes moleculares. La Mecaica cuatica estad³stica trata siempre co sistemas que iteractua co el mudo exterior. De aqu³ que, bajo el puto de vista de la MC, el sistema mas el mudo exterior so cosiderados como u verdadero sistema aislado. As³, la fucio de oda ª que represeta ese sistema aislado implica las coordeadas (x) tato del sistema propriamete dicho, como las coordeadas (y) del mudo exterior. De ese modo, si f (x)g represeta u cojuto completo de fucioes ortoormadas y estacioarias del sistema, etoces, de acuerdo co la resio 9, c (y; t) represetara la fucio de oda del mudo exterior y, por cosiguiete, la fucio de oda ª(x; y; t) del sistema aislado sera: ª(x; y; t) = c (y; t) (x) () Observacioes I. Los postulados de la Mecaica cuatica estad³stica (MCE) so postulados relacioados co los coe cetes (c ;c m ), cuado (0) se re ere a u sistema macroscopico, e equilibrio termodiamico. Ese sistema, compuesto den part³culas y ocupado u volume V, iteractua muy debilmete co el medio exterior, de modo que su eergia (E ) puede ser cosiderada aproximadamete costate, esto es, se ecuetra etre E y E + ( E). As³, si H fuera el hamiltoiao de ese sistema, la eerg³a (E ) del sistema se obtedra por medio de la siguiete ecuacio: H = E ; h j m i = ± m ) (3) dode es la fucio del sistema cosiderado. De ese modo, los postulados de la MCE so los siguietes:. Igual probabilidad a priori: (c ; c ) = o 0 (4) (; para E E E + ) (5). Fases estocasticas: (c ;c m ) = 0 ( 6= m) (6) Co esos postulados, las resioes (9) y (0) se puede escribir de la siguiete maera: dode: ª(x; t) = hoi = b (t) (x); (7) j b j ( ; ^O ) (8) j b j j b j = o 0 (9) (; parae E E + ) (30) II. El postulado delasfasesestocasticasimplica que el estado de u sistema e equilibrio puede ser tomado como ua superposicio icoherete de auto{ estados del sistema, caracterizado u `esamble'. Ahora, segu la resio (8), el valor medio deu observable depede del termio j b j, que esta ligado a ese postulado. Si embargo, podemos describir u `esamble' si mecioar lasfases estocasticas de sus estados, mediate el operador desidad ^½, de- ido por: ^½ = k ( k j k i j b k j h k j (3) j k ih k j= ) (3) cuyos elemetos de matriz ½ m, segu la MC esta dados por: ½ m ( m ; ½ ) h m j ½ j i = hª m j k i j b k j h k j ª i k = j b k j h m j i! ½ m = ± m j b k j (33) Empleado las resioes (3) y (33) la resio (8) estara dada por: hoi = ( ; ^O^½ ) ( ; ^½ ) = Tr( ^O^½) Tr^½ (34)

6 38 CotactoS 36, 33{45 (000) dode Tr sigi ca la traza del operador correspodiete. III. El`esamble' micro{caoico cuatico esu `esamble' para el cual se tiee: dode: ½ m = ± m j b k j (35) j b j = o 0 (36) (; para E E E + ) (37) ^½ = EE E+ j ih j (38) Tr^½ = ½ (E); (39) S(E; V ) = k l (E) (40) IV. U `esamble' caoico cuatico es u `esamble' para el cual se tiee: ^½ = ½ m = ± m e E (4) = e ^H ^½ = e ^H hoi = = Tr^½ = = Tre ^H j ie E h j Tr( ^Oe ^H) j ih j! (4) (43) e E (44) (45) (46) dode es la fucio de particio y, geeralmete, la eerg³a asociada es la eerg³a libre de Helmholtz F. Observese que T r es calculado sobre todos los estados del sistema que tiee N part³culas e el volume V. V. U `esamble' gra{caoico cuatico es u `esamble' para el cual el operador desidad ^½ actua sobre u espacio de Hilbert co u umero ide- ido de part³culas. Para ese `esamble', la fucio gra{particio esta dada por: (z; V; T) = z N N (V;T) (47) N= 0 dode N es la fucio de particio para N part³culas, z = e ¹ es la llamada fugacidad, y ¹ es el potecial qu³mico..3 Calculo de la Matriz Desidad ½ Segu vimos ateriormete, para u `esamble' cuato-caoico, el operador desidad esta dado por la resio (43): ^½ = i j i ie Ei h i j (48) Vamos a calcular ese operador e la represetacio de posicio. As³, si j x 0 i y j xi so autovectores del operador posicio de todas las part³culas e el sistema, etoces: ½(x 0 ;x) = hx 0 j ^½ j xi = i ½(x 0 ;x) = i hx 0 j i ie Ei h i j xi! i (x 0 ) i (x)e Ei (49) Ahora, veamos la ecuacio diferecial satisfecha por ese elemeto de matriz. Tomemos la resio (43) y derivemosla respecto a = ^He ^H! ^H ^½ E la represetacio posicio, la ecuacio aterior puede ser escrita dela siguiete forma, coocida como Ecuacio de Bloch: [5] ^H x ½(x 0 ; x; ) ;x; ) (50) dode ^H x idica que el operador hamiltoiao actua e la variable x y: ½(x 0 ; x; 0) = ±(x 0 x) (5) Examiado la resio (50), se veri ca que si hacemos la siguiete trasformacio: tedremos: = t i¹h ^H x ½(x 0 ; x; ) = ;x; (5) (53)

7 Aspectos cotemporaeos...jose Ma. Filardo Bassalo, Atoio Boulhosa y Mauro Sergio Dorsa 39 que es ua ecuacio aaloga a la Ecuacio de SchrÄodiger (ES). Observacioes Para el caso del oscilador armoico amortiguado caracterizado por el hamiltoiao de Batema{ Caldirola{Kaai, [ 3] la ecuacio de Bloch esta dada por: [6] e ¹h + m! e ¹h x ½(x; x 0 ; ) ; x; ) (54) Examiado la resio (54), se veri ca la trasformacio idicada por la resio (5), asociada co la trasformacio: la resio (54) llevara a: [7;8]! i (55) ¹h e + m!e t x ½(x;x 0 ; ) = ; x; (56) que es ua ecuacio aaloga a la ES para u sistema disipativo de Batema{Caldirola{Kaai. Cabe aputar que la cuatizacio de ese sistema es au u problema abierto e f³sica, pricipalmete e lo que se re ere a cual fucio S represeta a ese sistema. [9 4] Deese modo, lo que vimosateriormeteos muestra que calcular la matriz desidad para u sistema termodiamico es equivalete a resolver la ES. As³, segu la Mecaica cuatica Feymaiaa, tedremos: ½(x; x 0 ; ) = [x(u)]dx(u) (57) dode Dx(u) es la medida de Feyma y: [x(u)] = Ã ¹h ¹h o! h m _x (u) + V [x(u)]i du (58).4 Calculo de la fucio de particio Segu vimos ateriormete, para u `esamble' cuato{caoico, la fucio de particio esta dada por la resio (44): = e F = Tr^½ (59) F = l (60) dode F es la eerg³a libre o fucio de Helmholtz. [ 4] E la represetacio posicio, la ecuacio aterior puede ser escrita e la siguiete forma: = e F = Tr^½ = ½(x;x; )dx (6) Observacioes: E el caso de que los observables de u sistema f³sico var³e discretamete, la fucio de particio esta dada por: = e F = e E (6) y el valor medio de u observable (hoi) sera dado por: hoi = O e E (63).5 Calculo del calor espec³ co a volume costate C V Segu la Termodiamica, [ 4] el calor espec³ co a volume costate (C V ) de u sistema f³sico esta dado por: C V @ = µ (64) dode U es la eerg³a itera media del sistema cosiderado, cuyo valor, usado las resioes (6) y (63), esta dado por: U = E e E (65) Derivado la resio (6) e relacio a, se llega = E e E (66)

8 40 CotactoS 36, 33{45 (000) Si @ µ k (67) Sustituyedo (66) y (67) e (65), llegamos a: U = De (6), se l = F) = = Ahora, llevado (69) a (68), resultara: Por otro lado, teemos: U = ( F) = F + = F = ) = k ( F) = F T (68) (69) (70) (7) Comparado las resioes (70) y (7), tedremos: U = F ( F) (7) Sustituyedo la resio (7) e (64), tedremos: C V = ( F) (73) Ahora, escribamos C V e termios de la fucio de particio. Calcularemos, iicialmete, la siguiete T k (74) Remplazado la resio (74) e la resio (68), tedremos: U (75) Fialmete, sustituyedo la resio (75) e la (64), resultara: µ C C V = = k = @! µ (76).6 Aplicacioes E este apartado haremos ua aplicacio de los resultados obteidosateriormete, calculado la matriz desidad (½), la fucio particio () la fucio de Helmholtz o eerg³a libre F y el calor espec³ co a volume costate (C V ) de los sistemas disipativos represetados por el hamiltoiao de Batema{ Caldirola{Kaai, dado por la resio (56). Nos parece relevate hacer esta aplicacio ya que, ademas de que los mismos o so tratados debidamete e los cursos de graduados de Mecaica Estad³stica, permite obteer los casos particulares del oscilador armoico y de la part³cula libre, tratados e los textos tradicioales de Mecaica Estad³stica. a) Matriz Desidad (½) Segu vimos ateriormete, la matriz desidad se obtiee del propagador de Feymadel sistema f³sico cosiderado, haciedo las siguietes sustitucioes: t = i¹h ;! i (77) Iicialmete, vamosa tomar el propagador de Feyma para el sistema de Batema{Caldirola{ Kaai: [6;7] K(x; x 0 ;t) = µ = m e t= ¼i¹hseÁ

9 Aspectos cotemporaeos...jose Ma. Filardo Bassalo, Atoio Boulhosa y Mauro Sergio Dorsa 4 dode: im e t ¹hseÁ + im ¹hseÁ im e t= ¹hseÁ xx0 µ cosá seá µ cosá + seá x 0 x s µ Á = t; =! 4 (78) (79) Usado las resioes (77) y (78), la matriz desidad quedara escrita e la forma: ½(x; x 0 m e ¹h = = ; ) = ¼i¹hse( i¹h ) ½ m e ¹h ¹hise( i¹h ) [cos( i¹h ) i se( i¹h ) x m ¹hise( i¹h ) cos( i¹h ) + i se( i¹h ) x 0 ¾ m e ¹h = + ¹hise( i¹h ) xx0 Cosiderado las idetidades: (80) i se( iz) = seh(z); (8) cos( iz) = cosh(z) (8) sehz = ez e z (83) coshz = ez + e z (84) y haciedo x = x 0, la resio (80) quedara como: m e ¹h = ½(x; x; ) = ¼¹hseh(¹h ) = m xe ¹h = µ ¹h ½ cosh(¹h ) cosh ¹hseh(¹h ) ¾ µ ¹h seh(¹h )seh Casos particulares a. Oscilador armoico simple (85) E este caso, basta hacer = 0 e las resioes (79) y (85). De ese modo, tedremos: ½ OA S (x;x; ) = m! ¼¹hseh(¹h!) = ½ m!x [cosh(¹h!) ] ¹hseh(¹h!) Cosiderado las idetidades: ³ coshz = seh z ³ z ³ z sez = seh cosh la resio (86) quedara como: [ 4] m! ½ OA S (x; x; ) = ¼¹hseh(¹h!) µ m!x ¹h! tah ¹h ¾ (86) = (87) (88) a. Part³cula libre E este caso, basta hacer! = 0 e la resio (88) y la resio: De ese modo, tedremos: [ 4] sehz lim = (89) z! 0 z m ½ PL (x;x; ) = ¼¹h = (90) b) Fucio de particio Utilizado las resioes (6) y (85), se llega a: = = + + ½(x; x; )dx Usado la idetidad: + m e ¹h = = ¼¹hseh(¹h ) µ m xe ¹h = ½ cosh(¹h ) ¹hseh(¹h ) µ ¹h cosh seh(¹h ) ¾ µ ¹h seh dx (9) e ax dx = r ¼ a (9)

10 4 CotactoS 36, 33{45 (000) la resio (9) lleva a: [6] ½ µ ¹h = cosh(¹h ) cosh seh(¹h ) ¾ µ ¹h seh (93) Casos Particulares b. Oscilador armoico simple E este caso, basta que hagamos = 0 e las resioes (79) y (93). De ese modo, tedremos: OA S = p [cosh(¹h!) ] Usado la resio (87), se llega a: [ 4] OA S = seh ³ ¹h! (94) b. Part³cula libre E este caso, la resio (49) os muestra que para calcular eloperador ^½ precisamos de la fucio de oda (x). Ahora bie, segu la MC, para la part³cula libre la ormalizacio de esa fucio de oda se realiza e ua caja de logitud L. Por tato, la itegralidicada e la resio (6) deberealizarsee el itervalo (0;L). As³, usado este hecho la resio (89), fucio de particio para la part³cula libre sera: [ 4] L r m PL = 0 ¼¹h dx! r m PL = L ¼¹h (95) c) Fucio de Helmholtz F Usado las resioes (60) y (93), obteemos: F = µ µ ¹h l cosh(¹h ) cosh µ ¹h seh(¹h )seh (96) Casos Particulares c. Oscilador armoico simple Usado las resioes (60) y (94), resultara: [ 4] µ ¹h! F OA S = lseh (97) c. Part³cula libre Usado las resioes (60) y (95), resultara: [ 4] F PL = r m µl l ¼¹h (98) d) Calor Espec³ co a volume costate C V Usado las resioes (60), (73) y (96), tedremos: C V = ( F) C V = k = k = k = (l[a( A[ ] [A( [B( )] (99) dode: " µ ¹h A( ) = cosh(¹h ) cosh B( ) = µ ¹h seh(¹h )seh (0) A( ) A( ) Usado las resioes (79), (0) y las resioes de idas abajo: d dz sehz = coshz d coshz dz = sehz (0) la resio (0) quedara como: B( ) = ¹h! A( ) cosh seh(¹h ) (03) Y sustituyedo la resio (03) e la resio (99), tedremos: C V C V = A( ) cosh seh(¹h )! = k¹h(!) C( ) (04)

11 Aspectos cotemporaeos...jose Ma. Filardo Bassalo, Atoio Boulhosa y Mauro Sergio Dorsa 43 Usado las resioes (00) y (0), calculemos C( ) idicado e la resio (04): C( ) A( ) cosh seh(¹h ) 0 ) [A( cosh seh(¹h cosh seh(¹h ) A( ) A 0 ³ ¹h C( ) = ¹h [A( )] cosh (¹h )! seh (¹h ) µ seh (¹h )seh 4 cosh cosh(¹h ) µ C seh seh(¹h ) A(05) Usado la resio (79) y la idetidad: cosh z seh z = (06) la resio (05) puede escribirse como: ¹h C( ) = cosh + [A( )] 4 seh (¹h ) cosh cosh(¹h ) µ seh seh(¹h ) (07) Sustituyedo la resio (07) e la (04) y geeralizado para el caso tridimesioal, tedremos: [6] C V = 3 k(¹h!) cosh 4 seh (¹h ) cosh cosh(¹h ) + µ seh cosh(¹h ) cosh seh(¹h )seh seh(¹h ) µ ¹h µ ¹h (08) Casos Particulares d. Oscilador Armoico Simple E este caso, basta hacer = 0 e las resioes (79) y (08). De ese modo, obtedremos: C V = 3 k (¹h!) cosh(¹h!) (09) Usado las resioes (85) y (88), la resio (09) quedara: µ ¹h! C V = 3k(¹h!) µ (0) ¹h! que es el resultado obteido por Eistei, e 906. [5] d. Part³cula Libre E este caso, basta hacer! = 0 e la resio (0). De ese modo, llegaremos a: C V µ ¹h = 3k lim!! 0 = 0 0 µ ¹h!! µ ¹h! () Para evitar esa idetermiacio aparete, vamos a usar el Teorema de l' H^opital: µ µ lim µ!! 0 = lim ¹h!!! 0 µ µ ¹h! ¹h!! + = lim µ!! 0 ¹h! ¹h µ ¹h! +! = lim!! 0 ¹h

12 44 CotactoS 36, 33{45 (000)!¹h + = lim!! 0 µ µ ¹h ¹h! = µ ¹h () Llevado este resultado a la resio (), resultara: C V = 3k (3) que es el resultado obteido por Boltzma, e 87, [6] y resa la famosa Ley de Dulog{Petit de 89. [7] Observacioes Utilizado el mismo formalismo empleado e este art³culo, podremos obteer el calor espec³ co a volume costate (C V ) de u sistema amortiguado que oscila armoicamete bajo la accio de u campo magetico extero (H). De este modo, tedremos: [8] C V = k ¹h (! (µ ;µ ; µ L ) L +! ) (coshµ coshµ + sehµ sehµ )! L cosh! L (µ ; µ ;µ L ) µ! L +! coshµ sehµ! L sehµ L +! (µ ;µ 3 ) µ! 3 cosh µ seh µ 3 + (µ ;µ 3 )! L = eh mc (µ ;µ ; µ L ) = coshµ coshµ coshµ L sehµ sehµ (µ ;µ 3 ) = + coshµ coshµ 3 3 sehµ sehµ 3 (5) Puede mostrarse [8] que las resioes (08), (0) y (3) so casos particulares de la resio (4). Referecias. Feyma, R. P. Statistical Mechaics: A Set of Lectures. Addiso-Wesley Publishig co pay, Ic. (990).. Huag, K. Statistical Mechaics. Joh Wiley ad Sos (987). 3. Kubo, R. Statistical Mechaics. North-Hollad Publishig Compay (97). 4. Yokoi, C. Mecaica Estat³stica. Notas de Aula, IFUSP (997). 5. Feyma, R. P. ad Hibbs, A. R. Quatum Mechaics ad Path Itegrals. McGraw-Hill Book co pay (965). 6. Bassalo, J. M. F. Equivalece amog the Propagators of Time-Depedet Quadratic Systems ad Free Particles, by Solvig the SchrÄodiger Equatio. Il Nuovo Cimeto 0B, 3-3 (995). dode: coshµ coshµ 3 +! sehµ sehµ 3 3 µ = ¹h ; µ = ¹h µ 3 = 3 ¹h µ L =! L ¹h r =! +! L 4 r 3 =! 4 (4) 7. Bassalo, J. M. F. Equivalece amog the Propagators of Three-Dimesioal Time-Depedet Quadratic Systems ad Free Particles, by Solvig the SchrÄodiger Equatio. Il Nuovo Cimeto B, (996). 8. Bassalo, J. M. F., Alecar, P. T. S. ad Cattai, M. S. D. Equivaleceamog thepropagatorsof Three-Dimesioal Time-Depedet Quadratic Systems ad Free Particles. Il Nuovo Cimeto 3B, (998). 9. Faria De Suoza, C. ad Dutra, A. S. The Propagator for a Time-Depedet Mass Subject to a Harmoic Potecial with a Time- Depedet Frequecy. Physics Letters 3A, (987).

13 Aspectos cotemporaeos...jose Ma. Filardo Bassalo, Atoio Boulhosa y Mauro Sergio Dorsa Nassar, A. B. Feyma Propagator ad the Space-Time Trasformatio Techique. Physica 4A, 4-3 (987).. Batema, H. O DissipativeSystemsad Related Variatioal Priciples. Physical Review 38, (93).. Caldirola, P. Forze o Coservative ella Meccaica Quatistica. Nuovo Cimeto 8, (94). 3. Kaai, E. O the Quatizatio of the Dissipative Systems. Progress of Theoretical Physics 3, (948). 4. Baberg, P. ad Sterberg, S. A Course i Mathematics for Studets of Physics,. Cambridge Uiversity Press (99). 5. Bloch, F. ur Theorie des Austauschproblems ud der Remaezerscheiug der Ferromagetika, eitschrift fäur Phyzik 74, (93). 6. Jaussis, A., Papatheou, V. ad Vlachos, K. Statistical Mechaics ad the Quatum Frictio. Physics Letters 77A, -4 (980). 7. Bassalo, J. M. F. O Oscilador Harm^oico. Tese de Professor Titular. Dfufpa (mimeo) (989). 8. Nassar, A. B., Bassalo, J. M. F. ad Alecar, P. T. S. Noliear Superpositio Law ad Feyma Propagator. Physics Letters 3A, (986). 9. Bothelo, L. C. ad Silva, E. P. da Feyma path-itegral for the damped Caldirola-Kaai actio. Physical Review 58E, 4-43 (998). 0. Cheg, B. K. Exteded Feyma Formula for Damped Harmoic Oscillator with the Time- Depedet Perturbative Force. Physics Letters 0A, (985).. Herrera, L., Nu~ez, L., Pati~o, A. ad Rago, H. A Variatioal Priciple ad the Classival ad Quatum Mechaics of the Damped Harmoic Oscillator. America Joural Physics 54, (986). 3. JAY, J. R. Lagragias ad Systems they Describe how ot to Treat Dissipatio i Quatum Mechaics. America Joural Physics 47, (979). 4. Nassar, A. B., Bassalo, J. M. F., Alecar, P. T. S., Cacela, L. S. G. ad Cattai, M. S. D. Wave Propagator via Quatum Fluid Dyamics. Physical Review 56E, (997). 5. Eistei, A. Die Placksche Theorie der Strahlug ud die Theorie der spezi sche WÄarme. Aale der Physik, (906). 6. Boltzma, L. Aalytischer Beweis des zweite Hauptsatzesder mechaische WÄarmetheorie aus de SÄatze Äuber das Gleichgewicht der lebedige Kraft, Sitzugsberichte der Kaiserlichte Akademie der Wisseschafte (Wie) 63, 7-73 (87). 7. Dulog, P. L. et Petit, A. T. Sur quelques poits importats de la theorie de la chaleur, Aales de chimie et de physique 0, (89). 8. Igacio, W. P. O calor espec³ co de u sistema amortecido que oscila harmoicamete sob a a»c~ao de u campo magetico extero. Tese de Mestrado, DFUFPA (999). cs. Dema, H. H. O Liear Frictio i Lagrage's Equatio. America Joural Physics 34, (966).

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