ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS"

Transcripción

1 ÁNGULOS y DISTANCIAS ente RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática

2

3 1. PROBLEMAS DE ÁNGULOS 1.1 ÁNGULO DE DOS RECTAS: Si la do ecta on paalela o coincidente (lo cal e fácil de detecta, pe, en tal cao, vectoe diectoe eán igale o popocionale) obviamente el ánglo qe foman eá ceo. Po tanto, no inteean do cao: Poyectamo na de ella hata qe ean ecante y e cotan y e czan Nótee qe en la do itacione el ánglo qe vamo a conidea e el meno poible qe foman la do ecta, y no plementaio (18º ). En ambo cao, el ánglo qe foman la do ecta e obtiene análogamente, ya qe coincidiá con el ánglo qe foman vectoe diectoe: co = El valo abolto del nmeado e neceaio paa qe el podcto ecala al qe afecta ea iempe poitivo y po tanto el ánglo obtenido ea agdo, ya qe pdiea oci qe lo do vectoe fomaan n ánglo obto, en cyo cao podcto ecala eía negativo. Ejecicio final tema: 1 y Ejecicio PAEG: 4A ept 11 (+ poición elativa) 1. ÁNGULO DE DOS PLANOS: Si lo do plano on paalelo o coincidente (lo cal e fácil de detecta, pe, en tal cao, vectoe nomale n eán igale o popocionale), evidentemente el ánglo qe foman eá ceo. Po tanto, lo ealmente inteeante e conidea qe lo do plano e cotan, en cyo cao el ánglo qe foman lo do plano coincidiá con el qe foman vectoe nomale n, como pede vee en la figa igiente. También aqí entendeemo po ánglo ente ambo el meno de ello, i.e. el agdo 1, y po lo tanto en la coepondiente fómla hay qe tene en centa el podcto ecala en valo abolto: n n n ' Vita de pefil n ' co = n n n ' n ' ' ' 1 A ete ánglo lo llamamo diedo. Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

4 Ejecicio final tema: 3 y 4 Ejecicio PAEG: 4 B ept 3, 4 A ept ÁNGULO RECTA-PLANO: Si la ecta, o bien e paalela, o bien etá contenida en el plano, (lo cal e fácil de detecta, pe, en tal cao, el de la ecta y el n del plano eán pependiclae, i.e. podcto ecala eá ceo), el ánglo qe foman eá evidentemente ceo. Po tanto, lo ealmente inteeante e conidea qe la ecta incide obe el plano. En tal cao, el ánglo bcado eá el complementaio del qe foman y. n, como pede apeciae en la figa igiente. Po conigiente, tilizaemo na fómla imila a la anteioe, peo en la qe inteviene el eno, ya qe hay qe ecoda qe el coeno de n ánglo e igal al eno de complementaio : n 9º- en = n n Ejecicio: 5, 6 y 7. PROBLEMAS DE DISTANCIAS.1 d(p,): Spongamo qe no dan n pnto P(x,y,z ) y qeemo obtene ditancia al plano de ecación Ax+By+Cz+D=. Éta eá igal a la ditancia ente P y P, poyección otogonal de P obe (ve figa), y vendá dada po la igiente fómla: P(x,y,z ) 9º n = (A,B,C) d(p, ) = Ax + By A + B + Cz + C + D A(a,b,c) P : Ax+By+Cz+D= Demotación: Spongamo n pnto calqiea A(a,b,c) del plano ; entonce, en el tiánglo de la figa, e cmpliá qe: en =co(9º-) Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

5 d(p, ) co = (1) AP Po ota pate, e el ánglo qe foman AP y n ; po lo tanto, e cmpliá qe: AP n co = () AP n Depejando d(p,) de (1) y tityendo co de () e obtiene: d(p, ) AP n (x a, y b, z c) (A,B, C) Ax + By + Cz aa bb cc = = = (3) n A + B + C A + B + C Ahoa bien, como el pnto A(a,b,c), qiee deci qe al titi la componente de A en la ecación del plano veificaá la ecación de éte, e deci: A(a,b,c) aa + bb + cc+ D = aa bb cc = D : Ax + By + Cz + D = y tityendo eto último en (3) obtenemo la fómla deeada. (C.Q.D) Obevacione: 1) Con eta fómla también e pede halla la ditancia ente do plano paalelo: bata con obtene n pnto calqiea de calqiea de lo do plano y halla ditancia, mediante la fómla anteio, al oto plano. ) Análogamente, la fómla obtenida también da centa de la ditancia ecta-plano 3 : en ete cao había qe ecoge n pnto abitaio de y aveiga ditancia al plano ( no al evé!). Ejecicio final tema: 8 a 16 Ejecicio PAEG: d(p,): 4B ept 7, 4A jn 6, 1B jn, 4B jn 3, 4A jn 5, 4B ept 8, 4A ept 1 (+imético) d(,'): 4B jn 7, 4A ept 4, 4B ept 14 (+ poición elativa - ) d(,): 4A jn 13, 4B ept 11 (con paámeto), B ept 97, 4A jn 4. d(p,): Spongamo qe no dan n pnto P y qeemo obtene ditancia a na ecta dada. Éta eá igal a la ditancia ente P y P, poyección otogonal de P obe (ve figa), y vendá dada po la igiente fómla: 3 Obviamente, e obeentiende qe la ecta e paalela al plano (ya qe, i la ecta etá obe el plano, o lo cota, la ditancia evidentemente eía ceo). Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

6 A P β d(p, ) = PA x P Demotación: En el tiánglo de la figa e cmple: d(p, ) co = (1) PA Po ota pate, po definición del módlo del podcto vectoial PA x, tendemo qe: PA = enβ () co = PA x Depejando d(p,) de (1) y tityendo co de () e obtiene la fómla qe bcamo. (C.Q.D.) Obevacione: 1) Nótee qe no podemo implifica el vecto PA, pe entonce módlo, y po tanto la ditancia, e veían modificado (no aí, pe apaece en nmeado y denominado) ) Con eta fómla también e pede halla la ditancia ente do ecta paalela: bata con obtene n pnto calqiea de calqiea de la do ecta y halla ditancia, mediante la fómla anteio, a la ota ecta. Ejecicio final tema: 17 a Ejecicio PAEG: 4A ept 1, 4B ept 1, 4B jn 13 (//), 4A ept 99, 4B ept 5.3 Ditancia ente do ecta qe e czan: La ditancia ente do ecta y qe e czan e la mínima ditancia ente ella, i.e. la ditancia ente lo do pnto R y S de máxima apoximación de amba ecta (ve figa). Viene dada po la igiente fómla: Ω S A h d(,) x d(, ) = [ A A,, ] x Ω R A Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

7 Demotación: Cando do ecta e czan, iempe e poible enconta endo plano, Ω y Ω, qe la contengan y qe ean paalelo (ve figa). La ditancia bcada eá entonce la mima qe la ditancia ente dicho plano. Po ota pate, ecodemo qe el volmen de n paalelepípedo como el de la figa, de aita definida po lo vectoe A, y venía dado po el módlo del podcto mixto de éto: A [ A A,, ] Vol = (1) Ahoa bien, el volmen de n paalelepípedo e igal al áea de la bae po la alta; éta última obviamente coincide con la ditancia qe bcamo, mienta qe el áea de la bae ea el módlo del podcto vectoial de lo do vectoe qe la foman, i.e. x. Po lo tanto: Vol = x h () = d(,) Po último, depejando h, e deci, d(,), de () y tityendo el valo del volmen de (1) e obtiene la fómla deeada. (C.Q.D.) Obevacione: 1) A A no e debe implifica. S A x Ω ) Podemo aplica la fómla anteio in conoce a pioi poición elativa: en cao de qe amba e coten el nmeado e anlaía 3) Exite n método altenativo paa halla eta ditancia, qe conite en halla la ecación de no de lo do plano, Ω o Ω, y halla la ditancia de n pnto calqiea de la ota ecta a dicho plano. R A común Ω 4) A vece también e pide la pependicla común de do ecta qe e czan i.e. la ecta qe cota a amba pependiclamente, y qe, lógicamente (ve figa), coincide con la ecta qe ne lo do pnto R y S má póximo de amba ecta. S obtención e my encilla en foma implícita, como inteección de do plano y, definido aí: : ': { A,, x } { A,, x } Plano a Ω y qe contiene a Plano a Ω y qe contiene a 5) Exite, ademá, n tece método paa halla tanto la ditancia ente la do ecta qe e czan como la pependicla común, conitente en calcla peviamente lo do pnto R y S de máxima apoximación de amba ecta (ve figa) mediante podcto ecala. Ejecicio final tema: 3 a 8 Ejecicio PAEG: B jn 3 (+ pto. máx. apox.), B jn 1 A ept 99 (+ común), B jn 97, 4B ept 4 (+ ánglo,), 4A ept 14 (+ poición elativa) Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

8 3. WEB RECOMENDADOS RELACIONADOS CON EL TEMA: En la ed hay extena coleccione de co y poblema de Geometía, eelto eto último de foma my claa y fácil de entende: Peo la página má inteeante e la igiente, del pogama Decate, qe no pemite, ente ota coa, epeenta en el epacio plano, y vaialo en fnción de paámeto: 4. CUADRO RESUMEN DE FÓRMULAS DE DISTANCIAS: PUNTO Q(x 1,y 1,z 1 ) RECTA :{ A, } PLANO : Ax+By+Cz+D= d(p,q) = PQ = PUNTO P(x,y,z ) = (x x ) + (y y ) + (z z ) PA x d(p, ) = (1) d(p, ) = Ax + By A () + B + Cz + C + D // : Coge n pnto calqiea de na de ella y halla ditancia a la ota, mediante (1) RECTA :{ A, } PLANO y e czan: d(, ) = : común : ': [ A A,, ] x { A,, x } { A,, x } Coge n pnto calqiea de la ecta y halla ditancia al plano, mediante () Coge n pnto calqiea de calqiea de lo do plano y halla ditancia al oto plano, mediante () 5. CUADRO RESUMEN DE FÓRMULAS DE ÁNGULOS: RECTA PLANO n RECTA co = en = n n PLANO co = n n n' n n ' Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

9 3 EJERCICIOS de ÁNGULOS y DISTANCIAS º BACH. Poblema de ánglo: x + 1 y 1. Halla el ánglo qe foman la ecta : = = z 3 1 y : y - z + 5 x = = 1 (Solc: 6 ) y + 1. Detemina m paa qe la ecta : x 1= = z y : x + y z + = = 7 3 m ean pependiclae. (Solc: m=-1) 3. Halla el ánglo qe foman lo plano x+y-z=3 y x-y+3z= (Solc: 71º) 4. Dado lo plano 3x-y+5z-= y kx+7y+z=, halla el valo de k paa qe ean pependiclae. (Solc: k=3) x 1 5. Halla el ánglo fomado po el plano : x+y-z-3= y la ecta : = y = z + 1 (Solc: 3º) 6. (S) Halla el ánglo fomado po el plano : x+3z= y la ecta : x-y+3z= (Solc: 8º) x+9y+8= 7. (S) Halla el ánglo fomado po la ecta : 3x+y-z= y el plano : x+3y-z+5= (Solc: º) x-y+z= d(p,): 8. Halla la ditancia del pnto A(1,,5) al plano : x+y-z-5= (Solc: 4/3) 9. Halla la ditancia del plano : x+y-z-3= al plano ': 4x+y-z-7= (Solc: 6/1) 1. (S) Demota qe el pnto A(-1,1,) no e coplanaio con lo pnto B(,,), C(,1,) y D(1,,1) y halla la mínima ditancia del pnto A al plano deteminado po B, C y D. (Solc: /) x 1 y 1 z 11. (S) Dada la ecta : = = 3 1 y : x y z + 1 = = 3 3 a) Halla la ecación geneal del plano qe contiene a y e paalelo a. (Solc: 9x-y+15z-8=) b) Detemina la ditancia de al plano. (Solc: 5/ 37) 1. (S) Calcla el valo de c paa qe la ecta : 3x-y+z+3= ea paalela al plano : x-y+cz-= 4x-3y+4z+1= Paa el valo de c obtenido, calcla la ditancia ente y. (Solc: c=-; 7/3) 13. (S) Dado el plano : x-y+z-3=, halla n pnto P de la ecta : x=3+t de manea qe la ditancia de P al plano ea 1. y=--3t (Solc: hay do olcione: P(8/3,-1,-4/3) y P'(,1,-)) z=-1+t Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

10 x y + 1 z 14. (S) Calcla la coodenada de n pnto de la ecta : = = qe eqidite de lo plano : 3 3x+4z-1= y ': 4x-3z-1= (Solc: hay do olcione: (,-4,) y (1/4,-9/8,1/4)) 15. (S) Halla la ecación del plano paalelo al de ecación x-y+z-8= y qe dite ei nidade del mimo. (Solc: hay do olcione: x-y+z+1= y x-y+z-6=) 16. (S) Enconta la ecación del plano paalelo al de ecación x+y+z=1, deteminado po la condición de qe el pnto A(3,,1) eqidite de ambo. (Solc: x+y+z=11) d(p,): 17. Halla la ditancia pnto-ecta en lo igiente cao: a) (S) P(3,4,5) b) (S) P(1,3,-1) y + z + 5 : x + 1= = : x-y= 1 x+y-z= (Solc: 146 ) (Solc: 31 3 ) 18. (S) Calcla la ditancia del pnto P(1,-3,1) a la ecta x+y-z+3= (Solc: 6/3) 3x+y+z-1= 19. (S) Se conidean la ecta : x= y el pnto P(3,4,1). Halla el plano qe contiene a la ecta y=4z y al pnto P. Calcla la ditancia de P a. (Solc: y-4z=; 3). (S) Se conidea la ecta : x-= y el pnto P(,1,3). Se pide: y+3= a) Halla la ditancia de P a. (Solc: 5) b) Detemina el plano qe paa po el pnto P y contiene a la ecta. (Solc: x+y-1=) 1. (S) Dado en el epacio lo pnto A(1,1,), B(,1,1), C(1,,1), D(,1,1), calcla: a) El áea del tiánglo ABC (Solc: 3/ ) b) La ditancia del pnto A a la ecta CD (Solc: 6/ ). (S) Dado el tiánglo de vétice A(1,1,1), B(,3,5) y C(4,,), halla áea y la longitde de te alta. (Solc: áea= 3 ; h A= , h B= 3 11, h C= 3 1 ) Ditancia ente ecta qe e czan. Pependicla común: 3. Halla la ditancia ente la ecta : x + 3 y 9 z = = 8 3 y : x - 3 z 1 = y = (Solc: 3) 4. (S) Ecibi la ecacione de la pependicla común a la ecta : x=y=z y : x=y=3z-1 Solc: x+y-z= x+y-6z+= Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

11 5. (S) Se conidean la ecta : x-= y : x-z=1 Se pide: y+3= y+z=3 a) Etdia la poición elativa de y (Solc: e czan) b) Halla la mínima ditancia ente amba (Solc: 11 5/5) x 4 y 4 6. (S) Dada la ecta : = = z y : x=-1-t halla la ecacione de la ecta qe la 4 y=3+t. cota pependiclamente z=1+t Solc: x+y-= 3x-y-z-4= 7. (S) Dada la ecta : x 1 y + z = = 1 y : x + y 3 z = = a) Etdia poición elativa en el epacio. (Solc: e czan) b) Halla la ditancia ente ella. (Solc: 51/ 37) x 4 8. (S) Dada la ecta : = y 4 = z y : x=-+3t y=3 z=1+t a) Compoba qe la do ecta e czan b) Detemina n pnto A de la ecta y n pnto B de la ecta de manea qe el vecto qe ne A y B ea pependicla a la ecta y. (Solc: A(4/11,43/11,-1/11) y B(3/11,3,9/11)) Ditancia ente do pnto: 9. (S) Enconta lo pnto itado a ditancia cinco del oigen y peteneciente a la ecta qe paa po A(1,,5) y B(6,5,6). (Solc: (3/7,9/7,4/7) y (,7/5,4/5)) 3. (S) La ditancia del pnto P(1,,3) a oto A del eje de abcia e 7. Halla la coodenada del pnto A (Solc: hay do olcione: A(7,,) y A (-5,,)) 31. (S) Halla el pnto del plano x+y+z=1 qe eqidita de lo pnto A(1,-1,), B(3,1,), C(1,1,) (Solc: (4,-,-1)) 3. (S) Enconta en la ecta qe paa po lo pnto A(-1,,1) y B(1,,3) n pnto tal qe ditancia al pnto C(,-1,1) ea de te nidade. (Solc: hay do olcione: (,1,) y (-/3,1/3,4/3)) Texto bajo licencia Cative Common: e pemite tilización didáctica aí como epodcción impea o digital iempe y cando e epete la mención de atoía, y ea in ánimo de lco. En oto cao e eqiee el pemio del ato (alfonogonzalopez@yahoo.e)

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS

ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS ÁNGULOS y DISTANCIAS ente RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática 1. PROBLEMAS DE ÁNGULOS 1 1.1 ÁNGULO DE DOS RECTAS: Si la do ecta on paalela

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II 2º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática Supongamo, po ejemplo, que queemo etudia la poición elativa de una ecta que

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa calcla la ecación de la ecta debo conoce n pnto A(a, a 2, a 3 ) y n vecto en la diección de la ecta llamado vecto diecto. v=(v,v 2,v 3) OP=OA+AP

Más detalles

Geometría euclídea MATEMÁTICAS II 1

Geometría euclídea MATEMÁTICAS II 1 Geometía euclídea MATEMÁTICAS II EL ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL En lo do anteioe tema, e han etudiado poblema que e efeían a incidencia, inteección y paalelimo de punto, ecta o plano, peo no poblema

Más detalles

Ecuaciones de una recta

Ecuaciones de una recta Ecacione de na ecta Matemática I º Bachilleato Ecación vectoial de la ecta Una ecta qeda deteminada vectoialmente dando n pnto A La ecta: geometía analítica Página de la ecta (lo qe pone da el vecto de

Más detalles

TEMA12: ESPACIO MÉTRICO

TEMA12: ESPACIO MÉTRICO TEMA1: ESPACIO MÉTRICO 1. PERPEDICULARIDAD A) RECTA-RECTA: Do ecta on pependiculae i u vectoe diectoe on otogonale: V. W = 0. ota que eta condición no implica que la ecta e coten, pueden tene dieccione

Más detalles

2x y 2z. Entonces Rang A = 4 > Rang A Sistema incompatible r y s no se cortan y el problema no tiene solución. = =

2x y 2z. Entonces Rang A = 4 > Rang A Sistema incompatible r y s no se cortan y el problema no tiene solución. = = Geometía analítica del epacio. Matemática II Mazo 04 Opción A Ejecicio. (untuación máxima: punto) z Calcula la ecuación de una efea que tiene u cento en la ecta x 3 y, y e tangente al plano x y z 4 0,,.

Más detalles

Ecuaciones de una recta

Ecuaciones de una recta Unidad 9 Geometía analítica lamatematica.e Pedo Cato Otega mateiale de matemática Ecacione de na ecta Matemática I º Bachilleato Ecación ectoial de la ecta Una ecta qeda deteminada ectoialmente dando n

Más detalles

La mediatriz del segmento AB, que está contenida en el plano π, es una recta perpendicular al segmento y al vector normal. respecto de dicha recta.

La mediatriz del segmento AB, que está contenida en el plano π, es una recta perpendicular al segmento y al vector normal. respecto de dicha recta. Geometía analítica del epacio. Matemática II Febeo 04 Opción A Ejecicio. (untuación máxima: punto),,,, petenecen al plano x y + 3z + 5 = 0. Halla la ecuacione Lo punto A = ( 0 ) y B = ( 5 0 0) de la ecta

Más detalles

Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio.

Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio. Unidad 12: Poicione y Mética en el epacio. 1) Poicione elativa en el epacio: a) De un punto con ecta y plano: a1) Un punto A petenece a una ecta i cumple u ecuacione geneale, en cao contaio e dice que

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 2017

ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 2017 GEOMETRÍA (Selectividad 017) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EBAU EvAU PEBAU O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 017 1 Andalucía, junio 17 Ejecicio 4B Sean lo vectoe u = (1,

Más detalles

ÁREAS Y VOLÚMENES I. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- a) determinen un paralelepípedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes.

ÁREAS Y VOLÚMENES I. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- a) determinen un paralelepípedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes. Ejecicio nº.- Halla elvalo de m y v, m, sea. ÁREAS Y VOLÚMENES I paa qe el áea del paalelogamo deteminado po,, Ejecicio nº.- Dados los vectoes,,, v,, y w,, 5 ; halla elvalo de paa qe: a) deteminen n paalelepípedo

Más detalles

= = u r y v s son l.d. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Ecuaciones generales RECTAS COINCIDENTES RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS

= = u r y v s son l.d. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Ecuaciones generales RECTAS COINCIDENTES RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Ecuacione geneale : Ax + By + C = : Ax + By + C = A B A B RECTAS SECANTES \ Un punto en común A B C = A B C RECTAS PARALELAS Ningún punto en común A B C = = A B C RECTAS

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS

POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS POSICIONES RELATIVAS de RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II 2º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática Supongamo, po ejemplo, que queemo etudia la poición elativa de una ecta que

Más detalles

ÁNGULOS. Tema 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r 1,r 2 ) = cos ( v 1, v 2 ) =

ÁNGULOS. Tema 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r 1,r 2 ) = cos ( v 1, v 2 ) = Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato ÁNGULOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS Co (, ) co (, ).. ANGULO ENTRE DOS PLANOS Co (Π, Π ) co( n, n ) n n.n. n ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (,

Más detalles

I.E.S PADRE SUAREZ Geometría 1 TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R 3

I.E.S PADRE SUAREZ Geometría 1 TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R 3 I.E.S PADRE SUAREZ Geometía TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R. El epacio ectoial de lo ectoe libe del epacio V.. Podcto ecala de ectoe en V. Popiedade. Epacio eclídeo... 6. Podcto ectoial..

Más detalles

TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS

TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS 4.1.D Ditancia ente do punto Teniendo en cuenta la elacione mética que e etablecen ente la poyeccione otogonale obe un plano de un egmento AB e puede obtene la ditancia

Más detalles

TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS

TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS Depatamento e Matemática º Bachilleato TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS 1- HAZ DE PLANOS PARALELOS Too lo plano paalelo a un plano Ax + By + Cz + D tenán el mimo vecto nomal que el e : n A, Po lo tanto, too

Más detalles

I.E.S PADRE SUAREZ Curso Geometría 1 TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R 3

I.E.S PADRE SUAREZ Curso Geometría 1 TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R 3 I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R. El epacio ectoial de lo ectoe libe del epacio V.. Podcto ecala de ectoe en V. Popiedade. Epacio eclídeo... 6. Podcto ectoial..

Más detalles

TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO

TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO TEMA 3: EL ESACIO MÉTRICO. DISTANCIA ENTRE DOS UNTOS. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 3. VECTOR NORMAL CARACTERÍSTICO O ASOCIADO AL LANO 4. ANGULO ENTRE DOS LANOS 5. ANGULO ENTRE RECTA Y LANO 6. DISTANCIA DE UN

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO DP. - S - 59 7 Matemáticas ISSN: 988-79X a b = a b cos(a, b) a b = a b + a b + a b GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PRODUTO ESLR ando sabemos el ánglo qe foman a y b ando sabemos las coodenadas de a y b a =

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. 2º Bachillerato ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. u v. u v.

PROBLEMAS MÉTRICOS. 2º Bachillerato ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS. u v. u v. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS ROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESACIO 2º Bachilleato Ángulo ente do vectoe. u v = u v co(u, v) u u v α co(u, v) = v u v co α = u v u v ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y LANOS Ángulo ente do

Más detalles

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas.

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas. º-Halla a y b paa que las ectas siguientes sean paalelas: x+ay - z s 4x y +6 z a ; b- x+y +bz º-Dadas las ectas de ecuaciones x z - y - (x, y,z) (,0,)+ (,,-) a) Estudia su posición elativa en el espacio.

Más detalles

Geometría afín en el espacio. Rectas y planos

Geometría afín en el espacio. Rectas y planos Geometía afín en el epacio. Recta plano Matemática Geometía afín en el epacio. Recta plano. Ecacione de la ecta La ecación de na ecta iene deteminada po n pnto X ( )R n ecto V o po do pnto ( ) ( ) R qe

Más detalles

Geometría euclídea en el espacio. Ángulos y distancias

Geometría euclídea en el espacio. Ángulos y distancias Geometía eclídea e el epacio. Áglo y ditacia Matemática Geometía eclídea e el epacio. Áglo y ditacia. Ditacia ete do pto Sea (x,y, z ) y B(x,y,z ), la ditacia ete ambo e igal al módlo del vecto B x x,

Más detalles

Matemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio

Matemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio Pofeso: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachilleato) Matemáticas II Hoja 6: Puntos, ectas y planos en el espacio Ejecicio : a) Halla el punto de cote ente el plano 6x y + z y la ecta que pasa po el punto P

Más detalles

Elementos de geometría en el espacio

Elementos de geometría en el espacio Elemento de geometía en el epacio 1 Elemento de geometía en el epacio Elemento báico del epacio Lo elemento báico del epacio on: punto, denominado con leta mayúcula, po ejemplo P. ecta, denominado con

Más detalles

Preguntas 1 y 2: Vectores y operaciones con vectores. v w, queremos indicar que v r y w son dos vectores paralelos.

Preguntas 1 y 2: Vectores y operaciones con vectores. v w, queremos indicar que v r y w son dos vectores paralelos. Resmen Unidad 5: Vectoes en el espacio. Pegntas : Vectoes opeaciones con ectoes. En n ecto tenemos qe distingi: Módlo: es la longitd del ecto se epesenta po La flecha indica el sentido del ecto Diección:

Más detalles

Apuntes de Geometría Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra

Apuntes de Geometría Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra Apntes de Geometía Cso 07/08 Esthe Madea Lasta BLOQUE DE GEOMETRÍA. VECTORES EN EL ESPACIO. Un ecto fijo es n segmento oientado. Se epesenta po AB. El pnto A es el oigen, y el pnto B, el extemo. a El módlo:

Más detalles

6: PROBLEMAS METRICOS

6: PROBLEMAS METRICOS Unidad 6: PROBLEMAS METRICOS 6.1.- DIRECCIONES DE RECTAS Y PLANOS Los poblemas afines tatan de incidencias (ve si un punto está contenido en una ecta o en un plano y ve si una ecta está contenida en un

Más detalles

Autoevaluación. Bloque II. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas II. Página 200

Autoevaluación. Bloque II. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas II. Página 200 Boque II. Geometía Autoevauación Página Detemina todo o vectoe de móduo que on otogonae a o vectoe u(,, ) y v (,, ). Lo vectoe pependicuae a o do vectoe a a vez on popocionae a poducto vectoia de ambo.

Más detalles

. Dos vectores AB, CD son equivalentes ( AB = CD) si tienen

. Dos vectores AB, CD son equivalentes ( AB = CD) si tienen Geometía. Pntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio. Coodenadas o componentes de n ecto Sean dos pntos a, a, a y ecto son: b a, b a, b a b, b, b del espacio. Entonces las coodenadas

Más detalles

UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I.E.S. Ciudad de Ajona Depatamento de Matemática. º BAC UNIDAD Nº 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. VECTORES. DEFINICIÓN Y OPERACIONES Definición: Un ecto fijo AB e un egmento oientado ue tiene u oigen en

Más detalles

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS I.E.S. Ramón Gialdo OSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS x av x v' v v' Sean y a v y y v' do ecta y llamemo M v v' y z a v z v' v v' v v' a M v v' a. Se pueden peenta la iguiente poicione elativa: v v' a

Más detalles

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y ectas en el espacio Poblemas de ángulos, paalelismo y pependiculaidad, simetías y distancias Ángulos ente

Más detalles

UNIDAD 11: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

UNIDAD 11: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO I.E.. Isabel Peillán y Quiós Matemáticas Depatamento de Matemáticas UNIDAD : Puntos, ectas y planos en el espacio UNIDAD : PUNTO, RECTA Y PLANO EN EL EPACIO Ecuaciones de la ecta Ecuaciones del plano Posiciones

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA MATERIA: MATEMÁTICAS II OPCIÓN A Examen de Evaluación. Geometía. Matemática II. Cuo 009-00 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN. TERCERA EVALUACIÓN. GEOMETRÍA Cuo 009-00 -V-00 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

1. (JUN 04) Se consideran la recta y los planos siguientes: 4

1. (JUN 04) Se consideran la recta y los planos siguientes: 4 Matemáticas II Cuso.. (JUN ) Se considean la ecta los planos siguientes ; ;. Se pide (a) Detemina la posición elativa de la ecta con especto a cada uno de los planos. (b) Detemina la posición elativa de

Más detalles

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será:

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será: xyz0. Dados la ecta : y el punto P(, 0, ) exteio a : x y z a) Halla la ecuación en foma geneal del plano que contiene a y a P b) Halla la ecuación (como intesección de dos planos) de la ecta s que pasa

Más detalles

Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos

Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos Bloque 3. Geometía y Tigonometía Tema 3 La ecta en el plano Ejecicio euelto 3.3-1 Halla la ecuación vectoial, en paamética, continua y geneal de la ecta que paa po el punto indicado y tiene po vecto dieccional

Más detalles

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será:

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con vectores AB (2,1,0) y AP (2,0,0) será: xyz0 1. Dados la ecta : y el punto P(1, 0, 1) exteio a : x y z a) Halla la ecuación en foma geneal del plano que contiene a y a P b) Halla la ecuación (como intesección de dos planos) de la ecta s que

Más detalles

GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia

GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia Puebas de Acceso a la Univesidad GEOMETRÍA Junio 94.. Sin esolve el sistema detemina si la ecta x y + = 0 es exteio secante ó tangente a la cicunfeencia (x ) + (y ) =. Razónalo. [5 puntos]. Dadas las ecuaciones

Más detalles

81 BAC CNyS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO 3. ECUACIONES DE LA RECTA 4.

81 BAC CNyS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ÍNDICE 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO 3. ECUACIONES DE LA RECTA 4. GEOMETRÍ NLÍTIC LN 81 C CNyS ÍNDICE 1. RESENTCIÓN DEL TEM 2. UNTOS Y VECTORES EN EL LNO 3. ECUCIONES DE L RECT 4. HZ DE RECTS 5. RLELISMO Y ERENDICULRIDD 6. OSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS 7. NGULO QUE

Más detalles

RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial

RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial RECTAS EN EL PLANO Ecuación de la ecta La ecuación de una ecta puede dase de difeentes fomas, que veemos a continuación. Conocidos un punto P(p 1, p ) y un vecto de diección d = (d 1, d ) (o sea, un vecto

Más detalles

Tema 7 Geometría en el espacio Matemáticas II 2º Bachillerato 1

Tema 7 Geometría en el espacio Matemáticas II 2º Bachillerato 1 Tema Geometía en el espacio Matemáticas II º Bachilleato ÁNGULOS EJERCICIO 5 : λ Dados las ectas : λ, s : λ calcula el ángulo que foman: a) s b) s π el plano π : ; i j k a) Hallamos el vecto diecto de

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO Detemina la posición elativa de las siguientes paejas de planos a) 8 ' 4 6 6 b) 6 7 ' 4 c) ' 6 7 d) 4 7 Dado el plano que contenga al punto A(-,, 4), detemina

Más detalles

GEOMETRIA 3D VECTORES EN EL ESPACIO

GEOMETRIA 3D VECTORES EN EL ESPACIO GEOMETRIA D VECTORES EN EL ESPACIO Ofimega Geometía D - Caacteísticas de n ecto Módlo Diección Sentido Base Vectoes coplanaios Si al toma epesentantes con el mismo oigen, qedan todos sitados en el mismo

Más detalles

Tema 7 Problemas métricos

Tema 7 Problemas métricos Tema 7 Poblemas méticos. Plano pependicula. Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A (- -) B ( -) es pependicula al plano. Los vectoes AB n (vecto nomal del plano ) uno de los puntos A o

Más detalles

Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio

Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio Tema 6 Puntos, ectas planos en el espacio. Punto medio. Los puntos A (,, ) B (-,, -) son vétices de un paalelogamo cuo cento es el punto M (,, ). Halla Los otos dos vétices las ecuaciones del lado AB.

Más detalles

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos

Más detalles

3) (1p) Estudia la posición relativa de recta y plano.

3) (1p) Estudia la posición relativa de recta y plano. CURSO 007-008. 16 de mayo de 008. 1) (1p) Si A(x 1,y 1,z 1 ) y B(x,y,z ) son dos puntos del espacio, demuesta que [AB ]=(x -x 1,y -y 1,z -z 1 ). ) (1p) Deduce la ecuación vectoial de la ecta. ) (1p) Estudia

Más detalles

EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES

EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES EXÁMENES DE CURSOS NTERIORES CURSO 8 LOQUE. GEOMETRÍ EXMEN. Geoetía afín euclídea en el epacio tidienional. RECUPERIÓN EXMEN. Geoetía afín euclídea en el epacio tidienional. º CT. MTEMÁTICS II. LOQUE.

Más detalles

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos

Más detalles

IV. Geometría plana. v v2 2. u v = u v cos α

IV. Geometría plana. v v2 2. u v = u v cos α Talle de Matemáticas 16 IV. Geometía plana IR 2 = {(x, y)/x, y IR} puede identificase con el espacio de vectoes libes del plano utilizando la base canónica: v =(v 1,v 2 )=v 1 (1, 0) + v 2 (0, 1) = v 1

Más detalles

TANGENCIAS Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión TEMA5. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.

TANGENCIAS Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión TEMA5. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1. ANGNIAS angencia como aplicación de lo concepto de potencia e inveión A5 DIBUJ GÉI bjetivo y oientacione metodológica l objetivo de ete tema e hace aplicación de lo concepto de potencia e inveión en la

Más detalles

4.- (1 punto) Como ya sabéis, el campo eléctrico creado por una carga en un punto P, es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión E K u

4.- (1 punto) Como ya sabéis, el campo eléctrico creado por una carga en un punto P, es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión E K u Nombe: Cuso: º Bachilleato B Examen I Fecha: 5 de febeo de 08 Segunda Evaluación Atención: La no explicación claa y concisa de cada ejecicio implica una penalización del 5% de la nota.- (,5 puntos) Halla

Más detalles

Matemáticas 4º ESO Fernando Barroso Lorenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA. r r

Matemáticas 4º ESO Fernando Barroso Lorenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA. r r Fenando Baoso Loenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Dados los vectoes cuyas coodenadas son u = ( 10, 2) y v = (13, 2), calcula el módulo u 43 u 298621 del vecto esultante de la siguiente combinación lineal w =

Más detalles

2λ λ. La ecuación del plano que buscamos es p: 5x 2y + 2z

2λ λ. La ecuación del plano que buscamos es p: 5x 2y + 2z Poducto escala 060 Halla la ecuación de la ecta que cota a y s pependiculamente. x = 1 x = 6 µ : y = 11+ s: y = + µ z = 1+ z = + µ Hallamos un punto P y un punto Q s de modo que el vecto PQ sea pependicula

Más detalles

Si solo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V

Si solo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V IES Pae Poea (Guaix) UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si olo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto, ecta y plano

Más detalles

3 y un vector director Supongamos también que P x, y,

3 y un vector director Supongamos también que P x, y, . Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos a, a2, a y, 2, vecto son: b a, b a, b a b b b del espacio. Entonces las coodenadas o componentes del. Dos vectoes, CD son equivalentes ( CD ) si tienen

Más detalles

de perfil, y se halla la tercera proyección tanto del punto P como de la recta r. La proyección r corta a los planos de proyección en H r

de perfil, y se halla la tercera proyección tanto del punto P como de la recta r. La proyección r corta a los planos de proyección en H r Actividad SISTEMA IÉRICO II TEMA 9 Paa eolve eta actividad, emo de tene en cuenta lo iguiente: o ecta on paalela en el epacio, i u poyeccione obe lo do plano de poyección también lo on.. Sea el punto P(-P

Más detalles

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS 1 RECA Y CIRCUNFERENCIA ANGENES. Una ecta y una cicunfeencia on tangente cuano tienen un único punto en común, llamao punto e tangencia. Ente una ecta y una cicunfeencia

Más detalles

Si sólo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V

Si sólo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V IES Pae Poea (Guaix) Matemática II UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si ólo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto,

Más detalles

VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES

VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un vecto es un segmento oientado. Un vecto AB queda deteminado po dos puntos, oigen A y extemo B. Elementos de un vecto: Módulo de un vecto es la

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A MADRID / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Intccione: El eaen peenta do opcione A y B; el alno debeá elegi na y ólo na de ella y eole lo cato ejecicio de qe conta. No e

Más detalles

TEMA 10: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS. . Para poder operar con sus coordenadas se introduce su vector de posición, que se define como a OA.

TEMA 10: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS. . Para poder operar con sus coordenadas se introduce su vector de posición, que se define como a OA. lonso Fenánde Galián TEM ECUCIONES DE RECTS Y PLNOS La Geometía nalítica en el espacio se ocpa fndamentalmente del estdio de ectas planos po medio de ecaciones. En paticla, en este tema estdiaemos las

Más detalles

z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u

z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu uuu vecto son: = ( b a, b a, b a

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA

ÁLGEBRA LINEAL GEOMETRÍA ÁLGER LINEL GEOMETRÍ ESPCIO VECTORIL DE LOS VECTORES LIRES: V 3 Se llama vecto fijo de oigen y extemo al egmento oientado. Si el oigen y el extemo coinciden, hablamo del vecto nulo : = 0. Un vecto fijo

Más detalles

( ) λ λ. λ = λ = 1. + λ y = 1, se pide: S. C. D. (solución única) S. C. I. (infinitas soluciones) A. 3. Estudiaremos cada caso 1-1

( ) λ λ. λ = λ = 1. + λ y = 1, se pide: S. C. D. (solución única) S. C. I. (infinitas soluciones) A. 3. Estudiaremos cada caso 1-1 OPCIÓN A y + z = E.-Dado el itema de ecuacione lineale, x + λ y =, e pide: x + λz = a) Dicuti el itema (exitencia y númeo de olucione) egún lo valoe del paámeto eal λ (,75 punto) b) Reolve el itema paa

Más detalles

ALGEBRA Y GEOMETRÍA I

ALGEBRA Y GEOMETRÍA I FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA Y GEOMETRÍA I El Plano Ricado Sagistá EL PLANO - Definición del plano como luga geomético

Más detalles

RECTAS EN EL ESPACIO

RECTAS EN EL ESPACIO IES Pade Poeda (Guadi UNIDAD 9 GEOMETRÍA AFÍN RETAS EN EL ESPAIO. EUAIONES DE LA RETA Una ecta queda deteminada po Un punto A ( a a a Un ecto de diección ( A ( A; se le llama deteminación lineal de la

Más detalles

Problemas de la Unidad 1

Problemas de la Unidad 1 Poblemas de la Unidad.- Dado el vecto a = i + 5 j - k, calcula: a) Sus componentes catesianas, b) Módulo de las componentes catesianas, c) Módulo del vecto a, d) Los cosenos diectoes, e) Ángulo que foma

Más detalles

( ) TEMA V. 1. Ecuaciones del plano. Tema 5 : Rectas y planos en el espacio

( ) TEMA V. 1. Ecuaciones del plano. Tema 5 : Rectas y planos en el espacio TEMA V. Ecuaciones del plano. Ecuaciones de la ecta. Haz de planos 4. Incidencia de planos y ectas 5. Ángulos en el espacio 6. Condiciones de pependiculaidad 7. Distancias en el espacio. Ecuaciones del

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la ecta Un punto y un vecto Dos puntos Un punto y la pendiente,,,,,, Coodenadas del vecto diecto ECUCION VECTORIL (x, y) (p, p ) + τ (v, v ) ECUCION PRMETRIC x p + τ

Más detalles

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009 Selectividad Septiembe 9 OPCIÓN A PROBLEMAS SEPTIEMBRE 9 1.- Sea la función f () =. + 1 a) Halla el dominio, intevalos de cecimiento y dececimiento, etemos elativos, intevalos de concavidad y conveidad,

Más detalles

9 COMPRENDER LOS CONCEPTOS DE RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO.

9 COMPRENDER LOS CONCEPTOS DE RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO. REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 9 COMPRENDER LOS CONCEPTOS DE RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO. ESTUDIAR LAS POSICIONES RELATIVAS RECTA ecta G A A y B A B A ACTIVIDADES 1 Dibuja un punto P y taza cuato ecta que

Más detalles

6 Propiedades métricas

6 Propiedades métricas Solcionaio Popiedades méticas ACTIVIDADES INICIALES.I Dados los pntos P( ) Q( ) la ecta : calcla: a) d(p Q) b) d(p ) c) d(q ) a) b) c).ii Se tienen las ectas : s : t :. Halla: a) d( s) b) d( t) c) ( s)

Más detalles

Geometría plana. Rectas

Geometría plana. Rectas Gemetía plana Matemática. Ecacine e la ecta. Gemetía plana. Recta P p O La ecación e na ecta viene eteminaa p n pnt P(,, )R n vect, V p pnt P(, ) R Q(, ) R qe viene a e l mim. l vect llamaem vect iect

Más detalles

Resumen de Geometría. Matemáticas II GEOMETRÍA. w y los números a, b, c,, g, la expresión

Resumen de Geometría. Matemáticas II GEOMETRÍA. w y los números a, b, c,, g, la expresión Resmen e Geometía Matemáticas II GEOMETRÍA - BASE EN lr Daos los ectoes x,, z,, w los númeos a, b, c,, g, la expesión a x+ b + c z + + gw se llama combinación lineal e esos ectoes Dos ectoes son linealmente

Más detalles

I = de orden 2. Hallar la relación entre los parámetros a, b c, a 4 ab 2a ac ab ac + + ac = 0

I = de orden 2. Hallar la relación entre los parámetros a, b c, a 4 ab 2a ac ab ac + + ac = 0 Puebas de Aptitud paa el Acceso a la Univesidad SEPTIEMBRE 9 Matemáticas II ÁLGEBRA a [,5 puntos] Sean las matices A = b c, I = de oden Halla la elación ente los paámetos a, b y c paa que se veifique que

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º Bach Tema 5: Vectores José Ramón BLOQUE 2: GEOMETRÍA DEL ESPCACIO. Tema 5: Vectores

MATEMÁTICAS 2º Bach Tema 5: Vectores José Ramón BLOQUE 2: GEOMETRÍA DEL ESPCACIO. Tema 5: Vectores MATEMÁTICAS º Bach Tema 5: Vectoes José Ramón BLOQUE : GEOMETRÍA DEL ESPCACIO Tema 5: Vectoes MATEMÁTICAS º Bach Tema 5: Vectoes José Ramón Definición de vecto Un sistema de ejes tidimensional se constuye

Más detalles

Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio

Puntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio 1. Estudia la posición elativa de las ectas y s: x = 2t 1 x + 3y + 4z 6 = 0 : ; s : y = t + 1 2x + y 3z + 2 = 0 z = 3t + 2 Calcula la distancia ente ambas ectas (Junio 1997) Obtengamos un vecto diecto

Más detalles

Sistemas de coordenadas

Sistemas de coordenadas Electicidad Magnetismo - Gpo. Cso / Tema : Intodcción Concepto de campo Repaso de álgeba vectoial Sistemas de coodenadas Catesiano Cvilíneas genealiadas: cilíndico esféico. Opeadoes vectoiales. Gadiente

Más detalles

RECTAS EN EL ESPACIO.

RECTAS EN EL ESPACIO. IES Pade Poeda (Guadi UNI 9 GEOETRÍ FÍN RETS EN EL ESPIO EUIONES E L RET Una ecta queda deteminada po Un punto ( a a a Un ecto de diección ( ( ; se le llama deteminación lineal de la ecta Si X ( es un

Más detalles

200. Hallar la ecuación de la simetría ortogonal respecto de la recta:

200. Hallar la ecuación de la simetría ortogonal respecto de la recta: Hoja de Poblemas Geometía IX 200 Halla la ecuación de la simetía otogonal especto de la ecta: SOLUCIÓN n( x a) Sean: - S la simetía otogonal especto de la ecta n ( x a) - P un punto cualquiea cuyo vecto

Más detalles

SOLUCIONES rectas-planos

SOLUCIONES rectas-planos SOLUCIONES ectas-planos x + y z. Ecuación de la ecta que pasa po A(,, ) y se apoya en las ectas x y + z x z + s y 4 y. Ecuación de la ecta que pasa po (,, ) es paalela al plano π x + y 4z + y está en x

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales, es decir, si el producto escalar es nulo:

PROBLEMAS MÉTRICOS. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales, es decir, si el producto escalar es nulo: CRISTIN ROND HERNÁNDEZ oblema méico ROBLEMS MÉTRICOS ÁNGULO ENTRE RECTS Y LNOS. Ánglo ene o eca. Ánglo ene o plano. Ánglo ene eca plano B DISTNCI ENTRE RECTS Y LNOS B. Diancia e n pno a n plano B. Diancia

Más detalles

RECTAS EN EL ESPACIO.

RECTAS EN EL ESPACIO. IES Pade Poeda (Guadi UNI 9 GEOETRÍ FÍN RETS EN EL ESPIO EUIONES E L RET Una ecta queda deteminada po Un punto ( a a a Un ecto de diección ( ( ; se le llama deteminación lineal de la ecta Si X ( es un

Más detalles

EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES

EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES 1) Considea el vecto w, siguiente: w Dibuja, en cada caso uno de los siguientes casos, un vecto v, que sumado con u dé como esultado w : a) b) c) d) u u u u 2) A la vista de

Más detalles

Espacios Afín y Euclídeo Resumen ESPACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO

Espacios Afín y Euclídeo Resumen ESPACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO ESACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO Nota: Lo pocedimieto expeto o o lo úico qe eele lo poblema Defiició El epacio afí o lo pto coexitiedo jto al epacio ectoial V, co itema de efeecia ( pto fijo O del epacio y a bae,

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE VECTORES

EJERCICIOS SOBRE VECTORES EJERCICIOS SOBRE VECTORES 1) Dados los puntos A = ( 2, 1,4) ( 3,1, 5) uuu vecto AB B =, calcula las componentes del 2) Dados los puntos A = ( 2, 1,4), B = ( 3,1, 5) ( 4,2, 3) C =, detemina las uuu uuu

Más detalles

. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2.

. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2. 1 Sean los vectoes: v 1 ( 1, 1, 1) v (,, ) y v (, 1, ) Compueba que foman una base de V. Halla las coodenadas especto de dicha base de los vectoes u ( 1,, ) y w ( 1,, 1). Paa ve si son linealmente independientes

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO PROUTO ESLR GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO a b a b cosx (uando sepamos el ángulo que foman a y b). a ba b+ a b + a3 b3 ( uando sepamos las coodenadas de a y b ). uando los vectoes son pependiculaes su poducto

Más detalles

Ejercicios resueltos de Geometría Afín Euclídea

Ejercicios resueltos de Geometría Afín Euclídea IES Ramón Gialdo Ejecicios esueltos de Geometía Afín Euclídea Dados los planos xyz0 y yz 0, encuenta azonadamente la ecuación geneal o implícita de la ecta paalela a los planos y que pase po el punto P0,,,

Más detalles