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1 ESTADÍSTICA BÁSICA PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS Javier Gorgas García Nicolás Cardiel López Jaime Zamorano Calvo Departamento de Astrofísica y Ciencias de la Atmósfera Facultad de Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid

2 Capítulo 1 Introducción 1.1. La Estadística como ciencia La Ciencia es más una forma de pensar que una rama del conocimiento. Carl Sagan ( ) La Estadística es la ciencia que se encarga de recoger, organizar e interpretar los datos. Es la ciencia de los datos. En la vida diaria somos bombardeados continuamente por datos estadísticos: encuestas electorales, economía, deportes, datos meteorológicos, calidad de los productos, audiencias de TV. Necesitamos una formación básica en Estadística para evaluar toda esta información. Pero la utilidad de la Estadística va mucho más allá de estos ejemplos. La Estadística es fundamental para muchas ramas de la ciencia desde la medicina a la economía. Pero sobre todo, y en lo que a nosotros importa, es esencial para interpretar los datos que se obtienen de la investigación científica. Es necesario leer e interpretar datos, producirlos, extraer conclusiones, en resumen saber el significado de los datos. Es por lo tanto una herramienta de trabajo profesional. Se recomienda leer la Introducción de Estadística: modelos y métodos de Daniel Peña, para conocer el desarrollo histórico de la Estadística. La Estadística (del latín, Status o ciencia del estado) se ocupaba sobre todo de la descripción de los datos fundamentalmente sociológicos: datos demográficos y económicos ( censos de población, producciones agrícolas, riquezas, etc.), principalmente por razones fiscales. En el siglo XVII el cálculo de probabilidades se consolida como disciplina independiente aplicándose sobre todo a los juegos de azar. Posteriormente (s. XVIII) su uso se extiende a problemas físicos (principalmente de Astronomía) y actuariales (seguros marítimos). Posteriormente se hace imprescindible en la investigación científica y es ésta la que la hace avanzar. Finalmente, en el siglo XIX, nace la Estadística como ciencia que une ambas disciplinas. El objetivo fundamental de la estadística es obtener conclusiones de la investigación empírica usando modelos matemáticos. A partir de los datos reales se construye un modelo que se confronta con estos datos por medio de la Estadística. Esta proporciona los métodos de evaluación de las discrepancias entre ambos. Por eso es necesaria para toda ciencia que requiere análisis de datos y diseño de experimentos. 3

3 4 Introducción 1.2. Para qué sirve la Estadística Ya hemos visto que la Estadística se encuentra ligada a nuestras actividades cotidianas. Sirve tanto para pronosticar el resultado de unas elecciones, como para determinar el número de ballenas que viven en nuestros océanos, para descubrir leyes fundamentales de la Física o para estudiar cómo ganar a la ruleta. La Estadística resuelve multitud de problemas que se plantean en ciencia: Análisis de muestras. Se elige una muestra de una población para hacer inferencias respecto a esa población a partir de lo observado en la muestra (sondeos de opinión, control de calidad, etc). Descripción de datos. Procedimientos para resumir la información contenida en un conjunto (amplio) de datos. Contraste de hipótesis. Metodología estadística para diseñar experimentos que garanticen que las conclusiones que se extraigan sean válidas. Sirve para comparar las predicciones resultantes de las hipótesis con los datos observados (medicina eficaz, diferencias entre poblaciones, etc). Medición de relaciones entre variables estadísticas (contenido de gas hidrógeno neutro en galaxias y la tasa de formación de estrellas, etc) Predicción. Prever la evolución de una variable estudiando su historia y/o relación con otras variables El método científico Citando a Martin Gardner: La ciencia es una búsqueda de conocimientos fidedignos acerca del mundo: cómo se estructura y cómo funciona el universo (incluyendo los seres vivos). La informacion que maneja la ciencia es amplia, al ser amplio su ámbito. Pero se suele reunir en tres apartados: los hechos, las leyes y las teorías. No es una partición estanca, aunque podemos entender aquí nos referimos con algún ejemplo. Los hechos se refiere a casos específicos y/o únicos. Por ejemplo la Tierra tiene una luna (satélite natural). La primera ley de Kepler (ya que estamos con planetas) es un buen ejemplo de ley: los planetas describen orbitas elípticas en torno al Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse. Como se ve, frente al hecho, concreto y único, la ley se refiere a muchos casos, como lo son los planetas que orbitan en torno al Sol. La generalización de la ley de Kepler permite aplicarla a cualquier par de cuerpos ligados por la gravedad. Una teoría es una abstracción, con entidades inobservables, que explica hechos y leyes. Por ejemplo la teoría newtoniana de la gravitación. En ella se habla de fuerzas (o de campos gravitatorios) que no son entes observables, pero esta teoría explica hechos y leyes. Sucede que el conocimiento científico no es completamente seguro en ninguna de las precedentes categorías. Podría existir otra luna en torno a la Tierra. O, como sabemos, la teoría newtoniana de la gravitación no es completa, porque no da cuenta de algunos fenómenos. De ahí vino su evolución a nuevas teorías de la gravitación. No hay así un conocimiento completamente seguro: los enunciados absolutamente ciertos sólo existen en el ámbito de las matemáticas o la lógica. Pero la ciencia usa una correspondencia con estas dos disciplinas. La matemática y la lógica aplicadas a las ciencias facilitan poder establecer hechos, leyes y teorías con coherencia interna y con un alto grado de certeza. Y la Estadística proporciona una herramienta para poder evaluar esta certeza, o proporcionar pautas para realizar inferencias a partir de lo que se conoce.

4 1.4 El proceso experimental 5 Lo que distingue a una teoría científica es que ésta, a diferencia de la que no lo es, puede ser refutada: puede existir un conjunto de circunstancias que si son observadas demuestran que la teoría está equivocada. A continuación se ofrece una visión simplificada del método científico. Hacemos observaciones en la naturaleza y a través de un proceso creativo generamos una hipótesis de cómo funciona cierto aspecto de la naturaleza (modelos). Basándonos en esa hipótesis diseñamos un experimento que consiste en que un conjunto de observaciones deben tener lugar, bajo ciertas condiciones, si la hipótesis es cierta. En el caso de que estas observaciones no ocurran nos enfrentamos a varias posibilidades: nuestras hipótesis necesitan ser revisadas, el experimento se llevó a cabo de forma incorrecta, o nos hemos equivocado en el análisis de los resultados del experimento. Hace algunos cientos de años se estableció un método para encontrar respuestas a los interrogantes que nos planteamos al contemplar la naturaleza. Este método, conocido como método científico, sebasaentrespilaresfundamentales: observación, razonamiento y experimentación. El método científico no es una simple receta, sino que es un proceso exigente que requiere, entre otros ingredientes, juicio crítico. De forma resumida, el método científico incorpora las siguientes facetas: Observación: aplicación atenta de los sentidos a un objeto o a un fenómeno, para estudiarlos tal como se presentan en realidad. Descripción: las mediciones deben ser fiables, es decir, deben poder repetirse. Las observaciones únicas e irrepetibles no permiten predecir futuros resultados. En este sentido la Cosmología se enfrenta, a priori, a un grave problema. El Universo es único y no podemos volver a repetirlo modificando lascondicionesiniciales. Predicción: las predicciones de cualquier fenómeno deben ser válidas tanto para observaciones pasadas, como presentes y futuras. Control: capacidad de modificar las condiciones del experimento para estudiar el impacto de los diferentes parámetros participantes. Esto se opone a la aceptación pasiva de datos, que puede conducir a un importante sesgo (bias) empírico. Falsabilidad o eliminación de alternativas plausibles: Este es un procesogradualquerequierelarepeticióndelosexperimentos (preferiblemente por investigadores independientes, quienes deben ser capaces de replicar los resultados iniciales con la intención de corroborarlos). Todas las hipótesis y teorías deben estar sujetas a la posibilidad de ser refutadas. En este sentido, a medida que un área de conocimiento crece y las hipótesis o teorías sobre la que se sustenta van realizando predicciones comprobables, aumenta la confianza en dichas hipótesis o teorías (uno de los defensores fundamentales del criterio de falsabilidad es Karl Popper ( ); ver, por ejemplo, La lógica de la investigación científica en Popper 1935). Explicación causal: los siguientes requisitos son normalmente exigibles para admitir una explicación como científica: Identificación de las causas. Las causas identificadas deben correlacionarse con los observables. Las causas deben preceder temporalmente a los efectos medidos El proceso experimental La experimentación está lejos de estar carente de dificultades. Algunas técnicas experimentales exigen un aprendizaje largo y, en muchas ocasiones, el volumen de datos a manejar puede ser tan grande que sea necesario un trabajo de análisis intenso. La paciencia y la perseverancia son grandes aliadas en este sentido. Las razones para realizar un experimento son diversas y de alcance muy variable. Preguntas típicas son, por ejemplo: Cómo de aplicable es una teoría particular? Es posible mejorar una técnica de medida? A qué temperatura debe fundir una nueva aleación? Qué ocurre con las propiedades magnéticas de un material al someterlo a temperaturas de trabajo muy bajas? Se ven alteradas las propiedades de un semiconductor debido al bombardeo por radiación nuclear? De una forma esquemática, el proceso experimental suele desarrollarse siguiendo el siguiente esquema: 1. Definir la pregunta o problema a resolver. Cuanto más claro y definido sea el objetivo del experimento, mucho más fácil será realizar su planificación y ejecución.

5 6 Introducción 2. Obtener información y recursos. Una vez definido el objetivo del experimento, es necesario elaborar un plan de trabajo para poder alcanzarlo. Hay que identificar qué equipos son necesarios, qué cantidades hay que medir, y de qué manera se va a realizar el experimento. 3. Formular hipótesis, acerca de los resultados de nuestro experimento. Hacerlo antes de su ejecución evita el sesgo personal de identificar los resultados que ya se conocen como objetivos iniciales (no debemos engañarnos a nosotros mismos). 4. Realizar el experimento y obtener las medidas. Esta tarea se subdivide en varios pasos: Preparación: el equipo debe ser puesto a punto para su utilización. Si el experimento requiere la utilización de aparatos con los que no estamos familiarizados, es necesario leer atentamente los manuales de utilización, e incluso consultar a experimentadores con experiencia previa en su manejo. Todo ello evita perder tiempo y cometer errores de bulto, a la vez que preserva la integridad del equipo ( y la nuestra!). Experimentación preliminar: suele ser muy aconsejable realizar una pequeña experimentación de prueba antes de iniciar la toma definitiva de medidas. Esto facilita el uso correcto del equipo instrumental, permitiendo identificar los aspectos más difíciles o en los que resulta más fácil cometer errores. Toma de datos: el trabajo cuidadoso y detallado son fundamentales en todo proceso experimental. Ejecutar dicha labor siguiendo un plan de trabajo bien definido resulta básico. No hay nada más frustrante que descubir, tras largas horas de medidas, que hemos olvidado anotar algún parámetro esencial o sus unidades. En este sentido resulta imprescindible tener presentes varias cuestiones Cuáles son las unidades asociadas a cada medida? Cuál es la incertidumbre asociada? Qué variabilidad presentan las medidas? Cómo puedo tener una idea del orden de magnitud de una medida antes de realizarla y saber así que los resultados que se van obteniendo son razonables? Qué información debe ser incluida en la tabla de datos? Comprobación de la repitibilidad: siempre que sea posible, todo experimento debería repetirse varias veces para comprobar que los resultados obtenidos son repetibles y representativos. Y aunque, obviamente, la repetición de un experimento no proporciona exactamente los mismos números, discrepancias muy grandes deben alertarnos acerca de la existencia de efectos sistemáticos que pueden estar distorsionando el experimento. 5. Analizar los datos: una vez obtenidas las medidas es necesario su tratamiento estadístico para poder obtener magnitudes (e incertidumbres asociadas) representativas del objeto de nuestro estudio. 6. Interpretar los datos y extraer conclusiones que sirvan como punto de partida para nuevas hipótesis. El éxito de esta interpretación dependerá, básicamente, de la calidad de las medidas y de su análisis. Las herramientas estadísticas que se describen en este libro nos permitirán tomar decisiones de manera objetiva. 7. Publicar los resultados. Los resultados de cualquier proceso experimental deben ser comunicados de manera clara y concisa. Esto incluye desde un sencillo informe de laboratorio, como el que se exigirá en los diversos laboratorios en los que se trabajará durante la licenciatura de Físicas, hasta la publicación de un artículo científico en una revista reconocida.

6 1.5 Bibliografía complementaria 7 No es extraño que, aunque la pregunta inicial a responder haya sido establecida de una forma clara, tras el desarrollo del experimento y el análisis de los resultados, se descubran fenómenos no previstos que obliguen a modificar y repetir el proceso descrito. De hecho, si el resultado de un experimento fuera completamente predecible, tendría poco sentido llevarlo a cabo. Por ello, de forma práctica el esquema anterior se ejecuta siguiendo un proceso iterativo entre los puntos 3 y 6. Una vez obtenido un conocimiento significativo, éste ha de ser explicado en una publicación, permitiendo a nuevos investigadores corroborar o refutar las conclusiones Bibliografía complementaria La consulta de libros es necesaria para conocer diferentes enfoques y, desde luego, se hace imprescindible para ampliar la colección de ejemplos y ejercicios, ya que la Estadística es una disciplina eminentemente práctica. A continuación se enumeran algunos de los textos en castellano más frecuentes en las bibliotecas de las Facultades de Ciencias, con una pequeña descripción en relación a los contenidos cubiertos por este libro: Curso y ejercicios de estadística, Quesada, Isidoro & Lopez, Alhambra Cubre casi todos los temas. Buen formalismo matemático. Amplia colección de problemas. Probabilidad y Estadística, Walpole & Myers, McGraw-Hill Muy bien explicado. Con multitud de ejemplos. Es más amplio. De carácter práctico. Válido para todos los temas excepto el primero. Probabilidad y Estadística, Spiegel, McGraw-Hill Con muchos problemas. La teoría se encuentra muy resumida. Vale para todos los temas excepto el primero. Este tema se desarrola en otro libro de Spiegel: Estadística (Teoría y Problemas). Métodos Estadísticos, Viedma, Ediciones del Castillo Muy sencillo. Cubre todos los temas, aunque algunos no de forma completa.

7 Capítulo 2 Fundamentos de Estadística Descriptiva Se cometen muchos menos errores usando datos inadecuados que cuando no se utilizan datos. Charles Babbage ( ) La aplicación del tratamiento estadístico tiene dos fases fundamentales: 1. Organización y análisis inicial de los datos recogidos. 2. Extracción de conclusiones válidas y toma de decisiones razonables a partir de ellos. Los objetivos de la Estadística Descriptiva son los que se abordan en la primera de estas fases. Es decir, su misión es ordenar, describir y sintetizar la información recogida. En este proceso será necesario establecer medidas cuantitativas que reduzcan a un número manejable de parámetros el conjunto (en general grande) de datos obtenidos. La realización de gráficas (visualización de los datos en diagramas) también forma parte de la Estadística Descriptiva dado que proporciona una manera visual directa de organizar la información. La finalidad de la Estadística Descriptiva no es, entonces, extraer conclusiones generales sobre el fenómeno que ha producido los datos bajo estudio, sino solamente su descripción (de ahí el nombre) Variables estadísticas El concepto de variable estadística es, sin duda, uno de los más importantes en Estadística. Pero antes de abordar su definición, es necesario introducir anteriormente diversos conceptos básicos Población y muestra Se denomina población al conjunto completo de elementos, con alguna característica común, que es el objeto de nuestro estudio. Esta definición incluye, por ejemplo, a todos los sucesos en que podría concretarse un fenómeno o experimento cualesquiera. Una población puede ser finita o infinita. 11

8 12 Fundamentos de Estadística Descriptiva Ejemplo I 1 Ejemplo I 2 Los habitantes de un país, los planetas del Sistema Solar, las estrellas en la Vía Láctea, son elementos de una población finita. Sin embargo, el número de posibles medidas que se puedan hacer de la velocidad de la luz, o de tiradas de un dado, forman poblaciones infinitas. Cuando, aunque la población sea finita, su número de elementos es elevado, es necesario trabajar con solo una parte de dicha población. A un subconjunto de elementos de la población se le conoce como muestra. Si se quiere estudiar las propiedades de las estrellas en nuestra Galaxia, no tendremos la oportunidad de observarlas todas; tendremos que conformarnos con una muestra representativa. Obviamente, elegir de forma representativa los elementos de una muestra es algo muy importante. De hecho existe un grave problema, conocido como efecto de selección, que puede condicionar el resultado de un estudio si uno no realiza una selección correcta de los elementos que forman parte de una muestra. Al número de elementos de la muestra se le llama tamaño de la muestra. Es fácil adelantar que para que los resultados de nuestro estudio estadístico sean fiables es necesario que la muestra tenga un tamaño mínimo. El caso particular de una muestra que incluye a todos los elementos de la población es conocido como censo Caracteres cuantitativos o cualitativos El objeto de nuestra medida pueden ser caracteres de tipos muy diversos. De ahí que normalmente se clasifiquen en: caracteres cuantitativos: aquellos que toman valores numéricos. Por ejemplo la altura o la velocidad de un móvil. caracteres cualitativos: también llamados atributos, son aquellos que no podemos representar numéricamente y describen cualidades. Por ejemplo, un color o el estado civil. Aunque existen algunas diferencias, el tratamiento para ambos casos es similar, pudiéndose asignar, en muchas ocasiones, valores numéricos a los diferentes caracteres cualitativos. Ejemplo I 3 Ejemplo I Variable estadística Se entiende por variable estadística al símbolo que representa al dato o carácter objeto de nuestro estudio de los elementos de la muestra y que puede tomar un conjunto de valores. En el caso de que estemos tratando con caracteres cuantitativos, la variables estadísticas pueden clasificarse en: discretas, cuando solo pueden tomar una cantidad (finita o infinita) numerable de valores, y continuas, cuando pueden tomar teóricamente infinitos valores entre dos valores dados. Es la diferencia básica que existe entre contar y medir. El número de electrones de un átomo es una variable discreta. La velocidad o la altura de un móvil son variables continuas. Por otra parte, las variables se pueden asimismo clasificar en unidimensionales, cuando solo se mida un carácter o dato de los elementos de la muestra, o bidimensionales, tridimensionales, y en general n dimensionales, cuando se estudien simultáneamente varios caracteres de cada elemento. La temperatura o la presión atmosférica (por separado), son variables monodimensionales. La temperatura y la presión atmosférica (estudiadas conjuntamente), o la longitud y el peso de una barra conductora, son ejemplos de variables bidimensionales. La velocidad, carga eléctrica y masa de un ión es tridimensional.

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