GEOMETRÍA. Matemática - EL MAESTRO EN CASA PIRÁMIDE. Pirámide cuadrangular: su base es un cuadrado (4 lados), al igual que sus caras

Transcripción

1 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA PIRÁMIDE Una pirámide es un poliedro cuya superficie esá formada por una base que es un polígono cualquiera y caras laerales riangulares que confluyen en un vérice que se denomina ápice (o vérice de la pirámide). Las pirámides ienen anos riángulos en las caras laerales como lados iene la base. Pirámide cuadrangular: su base es un cuadrado ( lados), al igual que sus caras laerales. Pirámide penagonal: su base es un penágono (5 lados), al igual que sus caras laerales. Pirámide exagonal: su base es un exágono (6 lados), al igual que sus caras laerales. ::::. Las pirámides, según su base, pueden ser regulares o irregulares. Tipos de pirámides Las pirámides se pueden clasificar de acuerdo a cuaro crierios: 1. Las pirámides se denominan en función del polígono que engan como base. Pirámide regular: la base es un polígono regular y las caras laerales son riángulos isósceles. Pirámide irregular: cuando iene por base un polígono irregular. Pirámide regular Pirámide irregular Pirámide riangular Pirámide penagonal Pirámide cuadrangular Pirámide exágonal 3. Pirámide reca u oblicua Pirámide reca: cuando su alura o eje cae en el puno medio de su base, además las caras laerales son riángulos isósceles. El eje es perpendicular al polígono base. De esa manera enemos: Pirámide riangular: su base es un riángulo (3 lados), al igual que sus caras laerales. 175

2 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Pirámide regular reca: La base es un polígono regular y el eje es perpendicular a un polígono base.. Pirámide convexa o cóncava Pirámide convexa: cuando la base es un polígono convexo. Pirámide oblicua: cuando su alura o eje no cae en el puno medio de su base, además alguna de las caras laerales no es un riángulo isósceles. Pirámide convexa Pirámide cóncava: cuando la base es un polígono cóncavo. El eje no es perpendicular a un polígono base. Pirámide cóncava Pirámide regular oblicua: La base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base. Elemenos de la pirámide En una pirámide se pueden diferenciar los siguienes elemenos: Apoema de la pirámide V Alura Cara a Apoema de la base b B Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no oca al vérice de la pirámide. 176

3 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Caras (C): los riángulos de los laerales y la base. El área de la base (A b ) se calcula según el polígono que sea la base. Arisas (a): segmenos donde se encuenran dos caras de la pirámide. Podemos disinguir: arisas laerales, que son las que llegan al vérice (o ápice) y arisas básicas, que esán en la base. El área de las caras laerales (A l ) es la suma del área de los riángulos de las caras laerales. La pirámide iene anos riángulos como arisas iene la base. Alura (): disancia del plano de la base al vérice de la pirámide. Vérice de la pirámide (V): puno donde confluyen las caras laerales riangulares. También se llama ápice. Apoema de la pirámide (): disancia del vérice a un lado de la base. Solo exise en las pirámides regulares. Pueso que en ese caso las caras laerales son isósceles, la oema de la pirámide es ambién la alura de las caras laerales. Área laeral y oal de algunas pirámides A. UNA PIRÁMIDE TRIANGULAR Una pirámide riangular es un poliedro cuya superficie esá formada por una base que es un riángulo y res caras laerales que son riángulos isósceles y congruenes que confluyen en un vérice que se denomina ápice (o vérice de la pirámide). En las pirámides riangulares regulares, la alura (), la oema de la base ( b ) y la oema de la pirámide () forman un riángulo recángulo. Apoema de la base ( b ): disancia de un lado de la base al cenro de ésa. Solo exise en las pirámides regulares. Área de la pirámide El área oal de la pirámide se calcula mediane la suma del área de la base (A b ) y el área de los riángulos de las caras laerales (A l ). b Por el eorema de Piágoras, conociendo la alura () y la oema de la base ( b ) podemos calcular la oema de la pirámide (): A l Área = A b + A l siendo A b el área de la base y A l el área de las caras laerales = + b siendo la alura, b la oema de la base y la oema de la pirámide A b 177

4 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Tipos de pirámide riangular Exisen dos ipos de pirámide riangular: Pirámide riangular regular: la base es un riángulo equiláero y es reca (la reca perpendicular a la base que pasa por el vérice de la pirámide cora a la base por su cenro). Las caras laerales son riángulos isósceles y congruenes. Pirámide riangular irregular: es aquella cuya base es un riángulo no equiláero (isósceles, escaleno o bien recángulo). Área de la pirámide riangular La fórmula del área de la pirámide riangular cambia según si la pirámide es regular o irregular. Área de la pirámide riangular regular n Caso 1 Para calcular el área oal de un eraedro regular debemos conocer previamene los siguienes daos: La alura del riángulo equiláero = 3. El área de una de las caras de la pirámide (un riángulo equiláero), se obiene mediane la fórmula: A = 3. A = A = 3 A = 3 Cuando la oalidad de las caras de la pirámide son riángulos equiláeros (es decir, riángulos que ienen los res lados iguales), se le denomina eraedro regular. El área oal del eraedro regular se obiene muliplicando por cuaro la medida de la superficie de una de las caras de la pirámide = 3. a a a = A = 3 = 3 178

5 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos: 1) El siguiene poliedro corresponde a un eraedro regular. 10 cm a) Cuáno mide la alura de una cara laeral (oema de la pirámide)? b) Cuál es el área laeral A de una de sus caras? c) El área oal del eraedro regular es la suma de las áreas de riángulos (base + 3 laerales): = = 5 3 = cm = 173,0 cm También, podemos resolver: = l = 10 cm. = 3 = ( 10 cm) 3 = 100 cm 3 = cm = 173,0 cm 3 para ) Calcule el área oal de un eraedro regular de cm de arisa. c) Cuáno es el área oal del eraedro regular. a) allamos la alura de una cara (oema de la pirámide). = 3 = 10 cm 3 = 5 3 cm = 8,66 cm b) allamos el área de una cara laeral mediane la fórmula para obener el área de un riángulo equiláero, A = 3. A = 3 10 cm A = ( ) 100 cm A = A = 5 3 cm = 3,30 cm 3 3 = 3 = ( cm) 3 = 16 cm 3 = 7,7 cm n Caso La base es un riángulo equiláero y las caras laerales son riángulos isósceles e iguales enre sí. Ejemplos: cm 1. Deermine el área oal de una pirámide riangular reca con arisas laerales de 6 cm, y con base un riángulo equiláero de cm de lado. 179

6 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Daos: A1 A 6 cm A3 Cálculo del área basal (B) de la pirámide de base riangular equiláero. El área de un riángulo equiláero se obiene mediane A = 3. Cálculo de un área laeral de la pirámide de base riangular equiláero. Primero, debemos allar la oema de la pirámide que correponde a la alura de una de las caras de la pirámide Por el eorema de Piágoras calculamos la oema de la pirámide a p A b cm 6 cm cm (6 cm) = (a p ) + ( cm) 36 cm cm = (a p ) 6 cm cm cm A = 3 ( ) A = cm 3 16 cm A = 3 A = cm 3 = 3 cm = 6,93 cm Cálculo del área oal: de la pirámide de base riangular equiláero. = A L + A B = 33,96 cm + 6,93 cm = 0,88 cm Respuesa: El área oal de la pirámide es de 0,88 cm. 3 cm = a p 5,66 cm = a p Segundo, el área de las caras laerales. A = cm ( base x alura ) cm x 5,66 cm = =,6 = 11,3 cm Son res las caras laerales.. En una pirámide riangular, su arisa básica mide cm y el área de la región de una de sus caras laerales es cm. Hallar el área de la superficie oal ( ) de la pirámide. cm² A = 3 caras x 11,3 cm A = 3 caras x 11,3 cm A = 33,96 cm cm cm 180

7 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA = A + B = (cm + cm + cm ) + 3 = 6 cm + ( cm) 3 = 6 cm + cm 3 = 6 cm + 3 cm = (6 + 3) cm Respuesa: El área de la superficie oal de la pirámide es (6 + 3) cm. 3. En una pirámide riángular regular su arisa básica mide 6 cm, la oema de la pirámide mide 7 cm. Hallar el área de la superficie oal ( ) de la pirámide. Recordando que el área de un riángulo equiláero se obiene con A = 3. ( ) + 3 = 1 cm + 1 cm + 1 cm ( ) + 3 = 1 cm + 1 cm + 1 cm = 63 cm cm = 63 cm cm A T = ( )cm TRABAJO INDIVIDUAL ( ) 6 cm 1. En una pirámide regular riangular, el lado de base es 8 m, la oema de la pirámide es 5 m y cuya alura es,3 cm. Calcular la oema de la base de la pirámide y la superficie oal. 7 cm Respuesa: 6 cm 6 cm 6 cm. Calcular la arisa laeral de una pirámide riangular; sabiendo que su lado de base es de 1 m, la oema de la pirámide es 10,58 m y su alura es 10 m. También averiguar la superficie oal. Desconocemos el área laeral A l de la pirámide base x alura 6 cm x 7 cm A = = = cm = 1 cm Fala obener el área del riángulo equiláero que corresponde a la base B. Respuesa: 3. Obenga el área de una cara y el área oal de un eraedro regular cuya arisa mide cm. Respuesa: 181

8 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA. Hallar el área oal de una pirámide riángular reca con arisas laerales de 8 cm y con base, un riángulo equiláero de 7 cm de lado. Respuesa: Área de la pirámide cuadrangular La formula de la pirámide cuadrangular cambia según si la pirámide es regular o irregular. La fórmula de su área es: Área = A b + A l siendo A b el área de la base y A l el área de las caras laerales. Si la pirámide cuadrangular es regular se iene que: = A b + A l = l ( + l) donde l es una arisa de la base y la oema de la pirámide. B. PIRÁMIDE CUADRANGULAR Una pirámide cuadrangular es un poliedro cuya superficie esá formada por una base que es un cuadriláero y caras laerales riangulares que confluyen en un vérice que se denomina ápice (o vérice de la pirámide). Esá compuesa por 5 caras, la base cuadrangular y cuaro riángulos laerales que confluyen en el vérice. Ejemplos 1. La oema de una pirámide cuadrangular regular mide 1 cm y su arisa básica 10 cm. Cuáno mide la alura de la pirámide? Daos: Tipos de pirámide cuadrangular Exisen dos ipos de pirámide cuadrangular: =1 cm Pirámide cuadrangular regular: la base es un cuadrado y es reca (la reca perpendicular a la base que pasa por el vérice de la pirámide cora a la base por su cenro). Las caras laerales son riángulos isósceles y congruenes enre sí. Pirámide cuadrangular irregular: es aquella cuya base es un cuadriláero (sin ser un cuadrado). 18 Por el eorema de Piágoras allamos la medida de la alura mediane la expresión siguiene: ( ) = ( ) + ( 1 cm) 10 cm = + = 1 cm 5 cm =10 cm = 119 cm = 119 cm = 10,90 cm ( ) = 1 cm 10 cm Respuesa: La alura de la pirámide mide 10,90 cm.

9 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA. Hallar la oema de la pirámide regular cuadrangular, cuya arisa laeral mide 8 dm y el perímero de la base dm. Cuáno mide el área de la superficie de la pirámide? Daos: 8 dm 3 dm Imporane: La arisa laeral de la pirámide cuadrangular de una cara y la miad de la arisa básica forman un riángulo recángulo, siendo la ipoenusa la arisa laeral. 6 dm 6 dm 6 dm 6 dm = A b + A l = l ( + l) Por el eorema de Piágoras allamos ( 8 dm) = ( ) + ( 3 dm) ( 8 dm) = ( 3 dm) = ( ) 6 dm 9 dm = 55 dm = 55 dm = 7,1 dm = La alura de la pirámide cuadrangular, la oema de la pirámide y la miad de la arisa básica forman un riángulo recángulo, siendo la ipoenusa la alura de una cara. La alura de la pirámide, la arisa laeral y la miad de la diagonal de la base forman un riángulo recángulo, siendo la ipoenusa la arisa laeral. Para allar el área de la superficie de la pirámide. ( ) = A b + A = 6 dm 7,1 dm + 6 dm = 6 dm ( 1,8 dm + 6 dm) = 6 dm 0,8 dm = 1,9 dm Respuesa: La oema de la pirámide regular cuadrangular mide 7,1 dm, y el área de la superficie de la pirámide es de 1,9 dm Calcular la alura y la superficie oal de una pirámide de base cuadrangular de arisa basal 1 cm y de arisa laeral 0 cm. Daos: 1 cm 0 cm 1 cm

10 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Cálculo de la alura. Debemos allar la diagonal de la base de la pirámide, mediane el eorema de Piágoras. d = (1 cm) + (1 cm) d = 1 cm +1 cm d = 88 cm d = 88 cm d = 16,97 cm Aplicando nuevamene el eorema de Piágoras podemos allar la alura de la pirámide. TRABAJO Trabajo indivudual INDIVIDUAL 3 1. Anabelle y su ija quieren consruir una ienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular. Qué canidad de lona iene que comprar si la oema de la pirámide es de 3 m y un lado de la base mide,5 m? Respuesa: d 0 cm (0 cm) = + d donde d = 16,97 cm = 8,9. Calcule el área oal de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 6,0 dm, la alura de la pirámide mide 5,0 dm. Respuesa: Cálculo de la superficie oal. 3. La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 dm de lado. Su alura es de dm. Halle su área oal. = A b + A = ( 1 cm) + A T = 578,6 cm 1 cm x 18,11 cm ( ) = 1 cm + 108,66 cm = 1 cm + 3,6 cm Respuesa: La alura de la pirámide es 18,11 cm y la superficie oal 578,6 cm. Respuesa: 6 dm dm 18

11 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA. Halla el área oal de la siguiene pirámide cuadrangular. C. UNA PIRÁMIDE RECTANGULAR Una pirámide recangular es un poliedro cuya superficie esá formada por una base que es un recángulo y caras laerales riangulares que confluyen en un vérice que se denomina ápice (o vérice de la pirámide). 3 dm 6 dm 3 dm Una pirámide recangular esá compuesa, por ano, por 5 caras, la base recangular y cuaro riángulos laerales que confluyen en el vérice. Respuesa: 5. Calcule el área laeral y oal de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arisa básica y 1 cm de alura. Elemenos de la pirámide recangular 1 cm En una pirámide recangular se pueden diferenciar los siguienes elemenos: V Respuesa: 10 cm 5 cm C 6. En una pirámide cuadrangular regular cada arisa laeral mide 15 cm y la arisa de la base mide 18 cm. Calcule el área oal de la pirámide. Respuesa: a B Base (B): es un recángulo. Es la única cara que no oca al vérice de la pirámide. Caras (C): los riángulos de los laerales y la base. Los riángulos laerales son iguales dos a dos en las pirámides recangulares recas. Arisas (a): segmenos donde se encuenran dos caras de la pirámide. Podemos disinguir: 185

12 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA arisas laerales, que son las que llegan al vérice (o ápice) y arisas básicas, que esán en la base. Las arisas básicas, al ser la base un recángulo, son iguales dos a dos. Alura (): disancia del plano de la base al vérice de la pirámide. Vérice de la pirámide (V): puno donde confluyen las caras laerales riangulares. También se llama ápice. Área de la pirámide recangular reca El cálculo del área de la pirámide recangular puede calcularse sabiendo los lados diferenes de la base (a y b) y la alura de la pirámide (). Su fórmula es: Tipos de pirámide recangular Exisen dos ipos de pirámide recangular: a b Pirámide recangular reca: la pirámide es reca cuando odas sus caras laerales son riángulos isósceles. En ese caso, la alura o reca perpendicular al plano de la base que pasa por el vérice (o ápice) de la pirámide cora a la base por el cenro del recángulo. Pirámide recangular oblicua: la pirámide es oblicua cuando no odos los riángulos laerales son isósceles y la alura o reca perpendicular al plano de la base no cora por el cenro del recángulo. Área = a b + a + b + Área = a b + a + b + b + a b + a Donde a y b son las dos arisas diferenes de la base y la alura de la pirámide. Ejemplos: 1. Calcule el área oal de una pirámide cuya base es un recángulo de lados 5 cm y 11 cm y cuya alura de la pirámide es de 8 cm. Daos: 8 cm 5 cm 11 cm Área oal = A b + A L 186

13 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA a) Cálculo del área de la base A B = largo anco A B = 11 cm 5 cm A B = 55 cm Cálculo del área laeral con lado 11 cm Con el eorema de Piágoras la oema de la pirámide a p de la cara laeral de arisa básica 11 cm. Cálculo del área laeral con lado 5 cm 8 cm Con el eorema de Piágoras la oema de la pirámide a p1 de la cara laeral de arisa básica 5 cm.,5 cm oema de la pirámide 1 8 cm a p (a p ) = (,5 cm) + (8 cm) (a p ) = 6,5 cm + 6 cm a p = 70,5 cm a p = 8,38 cm 5 cm 11 cm,5 cm 1 8 cm (a p1 ) = (5,5 cm) + (8 cm) (a p1 ) = 30,5 cm + 6 cm a p1 = 9,5cm a p1 = 9,71cm El área de las dos caras con lado 11 cm A = ( base x alura ) 11 cm x 8,38 cm = = 9,18 = 6,09 cm 5,5 cm Son dos caras: x 6,09 cm = 9,18 cm El área de las dos caras con lado 5 cm A = ( base x alura ) 5 cm x 9,71 cm = = 8,55 =,75 cm Son dos caras: x,75 cm = 8, 55 cm b) Cálculo del área laeral de la pirámide recangular A L = caras de los riángulos con lado 5 cm + caras de los riángulos con lado 11 cm A L = 8, 55 cm + 9,18 cm A L = 10,73 cm c) Aora que enemos el área laeral, podemos calcular el área oal 187

14 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA = A L + A B = 10,73 cm + 55 cm = 195,73 cm Respuesa: El área oal de la pirámide es de 195,73 cm.. Calcule el área laeral oal de (un silo para granos) una orre cúbica de 10 m de arisa, que iene un ejado en forma piramidal cuya arisa laeral es 1 m. 1 m (1 m) = () + (5 m) () = (1 m) (5 m) () = 1 m 5 m () = 119 m = 119 m = 10,91m Área laeral = base x alura son cuaro caras de igual medida Área del ejado en forma piramidal = base x alura = 10 m x 10,91 m Área del ejado en forma piramidal 10 m 109,1 m = = 5,55 m = 18, m La figura consa de una pare cúbica de 10 m de arisa y de un prisma cuadrangular de 10 m de arisa básica y 1 m de arisa laeral. Área laeral de la pare cúbica es: A cubo = (10 m) 100 m = 00 m Para allar el área laeral del ejado en forma piramidal, calculamos primero lo que mide la oema de la pirámide de una de sus caras. 1 m 10 m 10 m 1 m =5 m Aora allamos el área laeral oal del silo. Área oal = Área laeral oal del prisma cuadrangular + Área laeral del ejado en forma de pirámide = 00 m + 18, m = 618, m. Respuesa. El área laeral oal de silo es de 618. m. 3. Calcule el área oal de una pirámide cuya base es un recángulo de lados 11 cm y cm y cuya alura de la pirámide es de 17 cm. 17 cm = oema de una de sus caras cm cm

15 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA Área oal = a b + a + b + b + a Área oal = ( 11 cm cm) +11 cm ( 17 cm) + ( cm ) + cm ( 17 cm) + ( 11 cm ) Área oal = 6 cm +11 cm 89 cm cm 11 + cm 89 cm cm + Área oal = 6 cm +11 cm 89 cm +1 cm + cm 89 cm + 30,5 cm Área oal = 6 cm +11 cm 33 cm + cm 319,5 cm Área oal = 6 cm +11 cm 0,81 cm + cm 17,87 cm Área oal = 6 cm + 8,91 cm + 8,88 cm Área oal = 91,79 cm Respuesa: El área oal de la pirámide es 91, 79 cm. TRABAJO INDIVIDUAL 1. Calcule el área oal de cada una de las siguienes pirámides recangulares. a) b) 0 cm 13 cm 6 cm 15 cm Respuesa a) c) 7 cm 19 cm Reppuesa b) d) =13 cm =110 cm d: diagonal=11 cm 5 cm Respuesa c) a=100 cm b=500 cm Respuesa d) 189

16 Maemáica - EL MAESTRO EN CASA. El sólido de la siguiene figura esá formado por un prisma cuadrangular y una pirámide cuadrangular. Cuál es el área oal del sólido? 3 m 5 m 5 m Respuesa: 3. El sólido de la siguiene figura esá formado por un prisma recangular y una pirámide cuadrangular. La alura de la pirámide mide un ercio de la alura del prisma: Cuál es el área oal del sólido? m Respuesa: 1 m 1 m. Calcule la superficie oal de un inmueble formado por un prisma recangular y de una pirámide cuadrangular de,5 m de alura.,5 m = 3 m Respuesa: = 10 m a= 5 m 5. Halle el área oal de las siguienes figuras: a) = 3 cm b) = 3 cm = 15 cm = 15 cm = cm = cm = cm b = 6 cm = cm c = cm a = 5 cm Respuesa a) Respuesa b) 190