UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)

Transcripción

1 PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato UCLM - Pruebas e Acceso a Enseñanzas Universitarias Oiciales e Grao (PAEG) Matemáticas aplicaas a las Ciencias Sociales II Junio 03 Propuesta B PROPUESTA B. EJERCICIO Daas las matrices: A 3 y 0 a) Calcula la matriz M 3 I A B : 5 0, one I es la matriz ientia e oren 3. b) Calcula la matriz X tal que X B I one I es la matriz ientia e oren. a) b) M 3 I A X B I X B B I B X I I B X I B X B. En realia no haría alta espejar naa, pues la matriz X que multiplicaa por B a como resultao la matriz ientia, es la matriz inversa e B. Calculemos pues la inversa e la matriz B. Determinante e B : B Ajunta e la matriz B : B 0 5. Traspuesta e la ajunta e la matriz B : B t Inversa e la matriz B : B B t B Por tanto: 0 5 X B. 5 PAEG Junio 03 Propuesta B Página

2 PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato PROPUESTA B. EJERCICIO Una empresa prouce tres tipos e bicicletas: e montaña, e paseo y estáticas. Para su abricación caa bicicleta necesita piezas e acero, aluminio y ibra e carbono en las cantiaes que se inican en la tabla siguiente: Bicicleta e montaña Bicicleta e paseo Bicicleta estática Piezas e acero 3 Piezas e aluminio Piezas e ibra e carbono Si se ispone e 9 piezas e acero, 8 piezas e aluminio y 34 piezas e ibra e carbono: a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número e bicicletas e caa tipo que se porán abricar utilizano toas las piezas. b) Resuelve el sistema planteao en el apartao anterior. a) Llamemos x al número e bicicletas e montaña, y al número e bicicletas e paseo y z al número e bicicletas estáticas. Las piezas e acero que en total hacen alta son, según la tabla, por caa bicicleta e montaña, 3 por caa bicicleta e pase y por caa bicicleta estática, es ecir, x 3y z. Como se ispone e 9 piezas e acero se tiene que x 3y z 9. Del mismo moo, las piezas e aluminio que en total hacen alta son: 6x 4y 6z 8. Y, inalmente, las piezas e ibra e carbono que hacen alta son: 8x 6y 6z 34. Entonces el sistema que permite obtener el número e bicicletas e caa tipo es: x 3y z 9 6x 4y 6z 8 8x 6y 6z 34 b) Apliquemos el métoo e Gauss para resolver el sistema anterior. Para ello lo vamos a escribir en orma e matriz y llamaremos a la primera ila, a la seguna y 3 a la tercera Obsérvese que se han especiicao las operaciones entre ilas para obtener caa una e las matrices anteriores. x 3y z 9 6 El sistema asociao a la última matriz es escalonao: 5y 3z. Sus soluciones son z z, 8 8z 6 5y 3 5y 6 5 y 5 y, x 3 9 x 3 9 x 4 x. PAEG Junio 03 Propuesta B Página

3 PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato PROPUESTA B. EJERCICIO 3 Se consiera la unción x x t si x x 3 si x a) Para qué valor e t la unción x es continua en x? b) Calcula los extremos relativos e la unción x en el intervalo,. c) Calcula los intervalos e crecimiento y ecrecimiento e la unción x en a) lim x lim x t t ; x x x x x x,. lim lim 3 0. Una e las coniciones para que sea continua en x es que exista el límite en icho punto, es ecir, que el límite por la izquiera e x sea igual al límite por la erecha e x. En este caso, se ebe e cumplir que t 0 t 0 t. La unción quea entonces el siguiente moo: x lim x lim x 0 x si x. Por lo anterior se tiene que x 3 si x x x lim x 0 y es continua en x lim x lim x 3 0 x x Así, para que sea continua en x, ebe ser t. x. b) En el intervalo,, la erivaa es ' x x 3 x 6. Si la igualamos a cero obtenemos los posibles extremos relativos e la unción: ' x 0 x 6 0 x 3. Como la seguna erivaa es '' x, que siempre es mayor que cero, sea quien sea x, se euce que x 3 es un mínimo relativo. Como 3 33, el mínimo relativo es el punto 3,. Aemás no hay máximos relativos. c) ' x 0 x 6 0 x 6 x 3. Entonces es estrictamente creciente en 3,.. Entonces es estrictamente ecreciente en ' x 0 x 6 0 x 6 x 3 Los apartaos b) y c) anteriores se poían haber resuelto conjuntamente hacieno una tabla: De la tabla se esprene que en el intervalo, 3 3 3, ' 0 mínimo, 3., 3 la unción es estrictamente ecreciente, en el intervalo 3, estrictamente creciente y en 3 x hay un mínimo relativo porque justamente en ese punto la unción cambia e ser ecreciente a creciente. PAEG Junio 03 Propuesta B Página 3

4 PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato PROPUESTA B. EJERCICIO 4 En un tramo e una montaña rusa, la altura alcanzaa por el vagón, meia en metros, se ajusta a la unción 3 t t 9t 5t 38, sieno t el tiempo meio en segunos, 0t 6. a) En qué instante t, el vagón alcanza la altura máxima en ese tramo, y cuál es icha altura? b) En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en el tramo mencionao, y cuánto vale icha altura? La erivaa e la unción es ' t 3t 8t 5. Si la igualamos a cero obtenemos los posibles extremos relativos e la unción: ' t 0 3t 8t 5 0 t 6t 5 0 t t t t 5 t La seguna erivaa e la unción es a) '' t 6t 8. Entonces: ' 0 t es un máximo relativo. Esto quiere ecir que la altura máxima se alcanza en el instante t seguno. 3 Dicha altura máxima es metros. b) ' 5 0 t 5 es un mínimo relativo (y absoluto por lo visto anteriormente). Esto quiere ecir que la altura mínima se alcanza en el instante t 5 segunos. 3 Dicha altura mínima es metros. Se poría alcanzar también el máximo o el mínimo en los extremos el intervalo, pero ecir que la montaña rusa sale ya a una altura e 38 metros), y 0 38 (lo que quiere 6 0. Ninguno e estos os valores es, o bien mayor que 45, o bien menor que 3 con lo que ninguno e los os a lugar ni a la máxima ni a la mínima altura. PROPUESTA B. EJERCICIO 5 En un colegio el 30% e los alumnos juegan al baloncesto, el 40% juegan al útbol, y el 50% juegan al útbol o al baloncesto o a ambos eportes. a) Se elige un alumno al azar, cuál es la probabilia e que juegue al útbol y juegue al baloncesto? b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, cuál es la probabilia e que juegue al útbol? Llamemos B al suceso jugar al baloncesto y F al suceso jugar al útbol. Entonces los porcentajes el enunciao se pueen escribir, en términos e probabilia, el siguiente moo: PB 0,3, PF 0,4, PF B 0,5 a) La probabilia e que un alumno elegio al azar juegue al útbol y juegue al baloncesto es PF B PF B PF PB PF B PF B PF B PF B 0,... Luego: 0,5 0,3 0, 4 0,3 0, 4 0,5 PAEG Junio 03 Propuesta B Página 4

5 PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato b) En este caso se trata e un probabilia conicionaa por el suceso jugar al baloncesto, es ecir, por el suceso B. Hemos e calcular pues PF / PF B 0, PF / B 0,67 PB 0,3 PROPUESTA B. EJERCICIO 6. B. Utilizano la órmula e la probabilia conicionaa: Una ábrica prouce cables e acero, cuya resiliencia sigue una istribución normal e meia esconocia y 3 esviación típica 0 KJ / m. Se tomó una muestra e 00 piezas y meiante un estuio estaístico se obtuvo un intervalo e conianza 898,04, 90,96 para la resiliencia meia e los cables e acero proucios en la ábrica. a) Calcula el valor e la resiliencia meia e las 00 piezas e la muestra. b) Calcula el nivel e conianza con el que se ha obtenio icho intervalo. z a) Sabemos que el intervalo e conianza para la meia es x z/, x z/ n x z x z / / 898, 04 n x 800 x ,96 n. Entonces se tiene que n b) Del apartao anterior se euce que z/,96. Como 0 y n 00, entonces: n 0 z/,96 z/, Lo anterior inica que, en la istribución normal estánar, el valor que eja por ebajo una probabilia es,96. Es ecir, PZ,96. Mirano en la tabla: 0,9750 0,05 0,05. Se sabe que el nivel e conianza viene ao por la expresión 00 %. Por tanto, en este caso, el nivel e conianza es el 0,05 00 % 95 %. PAEG Junio 03 Propuesta B Página 5