Ángulos, distancias. Observación: La mayoría de los problemas resueltos a continuación se han propuesto en los exámenes de Selectividad.

Transcripción

1 Geomeía del espacio Ángulos, disancias Obseación: La maoía de los poblemas esuelos a coninuación se han popueso en los eámenes de Seleciidad.. Calcúlese la disancia del oigen al plano que pasa po A(,, ) coniene a la eca ( ) / ( ) /. Las ecuaciones paaméicas de la eca son: : Un puno P de la eca es P(,, ) El plano iene deeminado po la eca po el eco PA (,, ) (,, ) (,, ). Sus ecuaciones son: h : h : La disancia pedida, d(o, ), es: d(o, ) ( ) a) Halla la ecuación del plano que coniene a la eca b) Calcula la disancia desde el plano obenido al puno Q(,, ). al puno P(,, ). a) El plano pedido iene deeminado po el puno P, los ecoes (,, ) AP, siendo A (,, ) un puno de la eca; eso es, AP (,, ) (,, ) (, 4, ). El plano seá: h 4h 4 h 4 b) d(q(,, ), ) José Maía Maíne Mediano

2 Geomeía del espacio. a) Qué condición deben cumpli los coeficienes de las ecuaciones geneales de dos planos paa que sean pependiculaes? b) Halle el ángulo que foman los planos : 7 σ:. a) Dos planos son pependiculaes cuando sus ecoes caaceísicos (nomales) son pependiculaes. Po ano, si esos ecoes son σ su poduco escala debe se : σ. b) Los ecoes caaceísicos son: (,, ) σ (,, ). El coseno del ángulo que foman es σ cos(, σ ) el ángulo 6º. 4 σ 4. Encuena los dos punos de la eca plano 5. que esán a disancia del La disancia de un puno a un plano iene dada po la epesión: a b c d d( P (,, ), : a b c d ) a b c Como la eca iene po ecuaciones: :, un puno genéico de es P (,, ). Se desea que d(p, ). Eso es: ( ) ( ) ( ) 5 d( P, ) ± 4 4 de donde,. ± Paa : P (,, ) Paa : P (,, 4) José Maía Maíne Mediano

3 Geomeía del espacio 5. Dado el puno P(,, ): a) Deemina la ecuación que deben eifica los punos X(,, ) cua disancia a P sea igual a. λ b) Calcula los punos de la eca λ, cua disancia a P es igual a. 4λ a) La disancia ene los punos P X iene dada po la epesión: d ( P, X ) ( ) ( ) ( ) Si esa disancia ale se endá: ( ) ( ) ( ) Se aa de una esfea con ceno en P(,, ) adio. ( ) ( ) ( ) b) Un puno genéico de la eca es X(λ, λ, 4λ). Si se desea que d(x, P), se endá: ( λ ) ( λ ) ( 4λ ) 9λ 6λ λ 4λ 4 4 6λ 6λ 9 6λ 6λ λ, λ. Los punos seán: Q(,, ) R(,, ). 6. a) Ángulo que foman dos ecas. Condición de pependiculaidad. a) Deemina el ángulo que foma la eca que pasa po los punos A (,, ) B (,, ) la eca de ecuación: : a) El ángulo que foman dos ecas es el deeminado po sus especios ecoes de diección. Si los ecoes de diección de las ecas s son s, especiamene, enonces el coseno del ángulo (, s) es: s cos (, s) cos(, s ) s Las ecas seán pependiculaes cuando lo sean sus especios ecoes de diección; en consecuencia, cuando s. b) El eco de diección de la eca que pasa po los punos A B es: (,, ) (,, ) (,, ) s mienas (,, ). Po ano, (,, ) (,, ) cos(, s). 6 8 En consecuencia, el ángulo (, s) accos 6,87º. José Maía Maíne Mediano

4 Geomeía del espacio José Maía Maíne Mediano 4 7. Halla el ángulo que foma la eca inesección de los planos con el plano 4. El ángulo que foman es el complemenaio del ángulo deeminado po el eco de diección de la eca,, el caaceísico del plano,. Po ano, el seno del ángulo (, ), sen (, ) ), cos( Epesamos la ecuación de la eca en foma paaméica: : : 9 : Como (,, ) (,, ), se endá: sen (, ) 4 4 El ángulo (, ) acsen(/) 5º º. 8. Sea el pisma iangula (iángulos iguales paalelos) de la figua, con A(,, ), B(,, ), C(,, ) A (,, α). Calcula: a) La ecuación del plano que pasa po los punos A, B C. b) El alo de α paa que el plano, que coniene a los punos A, B C, dise una unidad del plano. c) Paa α, el plano el olumen del pisma. a) El plano esá deeminado po el puno A po los ecoes AB AC. AB (,, ) (,, ) (,, ); AC (,, ) (,, ) (,, ) Po ano: : : b) Debe cumplise que d(a, ), luego: 6 ) ( α c) Paa α, el puno A (,, ) : ( ) ( ) ( ), de donde: :. El olumen del pisma es un medio del poduco mio de los es ecoes que lo deeminan. En ese caso, los ecoes: AB, AC AA : V.

5 Geomeía del espacio 5 9. Considea la eca el plano siguienes. 5 : : a) Jusifica po qué la eca el plano son paalelos. b) Calcula la disancia ene el plano la eca. c) Calcula la ecuación implícia del plano que es pependicula a coniene a. a) El eco de diección de la eca es: (, 5, 4); El eco caaceísico del plano: (, 4, 4). Ambos ecoes son pependiculaes, pues (, 5, 4) (, 4, 4). Además, el puno P (, 5, ), de la eca, no peenece al plano, pues: 4 (5) 4 () 5. En consecuencia, la eca es paalela al plano. b) La disancia de a es igual a la disancia del puno P de al plano. 5 5 d( P, ). d( P (, 5, ), : ) c) El plano pedido iene deeminado po el puno P los ecoes Su ecuación seá: λ µ 5 5λ 4µ λ 4µ 4 4. José Maía Maíne Mediano

6 Geomeía del espacio 6. a) Obene el plano que pasa po el puno P(, 4, ) es pependicula a la eca : (,. ) (,,) (,,) b) Calcula la disancia ene el puno P la eca. a) El eco caaceísico del plano seá el de diección de la eca, (,, ). Po ano, el plano pedido es: ( ) ( 4) ( ) b) Calculamos el puno de coe de la eca dada el plano hallado. Las ecuaciones paaméicas de son: Susiuendo en la ecuación del plano: ( ) 6 5/. La eca coa al plano cuando 5/, eso es en Q (/, 6/, 5/). La disancia ene el puno P del plano la eca es la misma que la disancia ene P Q, luego: d(p, ) d(p, Q) Halla la disancia del plano 4 al plano λ µ λ µ λ µ Veamos que los planos son paalelos. Paa ello sus ecoes caaceísicos deben se popocionales. El eco caaceísico de es (4,, ). El eco caaceísico de iene deeminado po el poduco ecoial de los ecoes (,, ) w (,, ), que son los que deeminan. u u u w (, 5, ) Como los planos son paalelos. Po ano, la disancia ene ellos es igual a la disancia de un puno cualquiea de, po ejemplo P (,, ), al plano : Eso es: d(, ) d(p(,, ), 4 ) 4 ( ) José Maía Maíne Mediano

7 Geomeía del espacio 7. Se considea la eca el plano. Se pide: 4 5 a) Compueba que son paalelos. b) Calcula la disancia ene. c) Deemina dos ecas disinas que esén conenidas en sean paalelas a. a) despejando e en función de, haciendo, se obienen las 4 5 ecuaciones paaméicas de : 5 4 Paa que la eca sea paalela al plano es necesaio que los ecoes nomal al plano el de diección de la eca sean pependiculaes, además, cualquie puno de la eca no peeneca al plano. Como (,, ) ( 4, ), su poduco escala es: (,, ) ( 4, ) 6 4. Po ano, los ecoes son pependiculaes. Como el puno (, 5, ) de no es del plano, pues 5 4, la eca el plano son paalelos. b) d(, ) d(p (, 5, ), ) 5 ( ) c) Tomamos dos punos de, po ejemplo A (,, ) B (,, ). Paa que sean paalelas, las ecas pedidas deben ene la misma diección. Po ano son: 4 4 José Maía Maíne Mediano

8 Geomeía del espacio 8. Halla la disancia del puno P(,, ) al plano que coniene a la eca pasa po el puno (,, ). l : El plano iene deeminado po el puno B (,, ) po los ecoes (,, ) AB (,, ) (,, ) (,, ). Su ecuación seá, ( ) ( ) La disancia de un puno a un plano iene dada po la epesión: a b c d d( P (,, ), : a b c d ) a b c Luego, d((,,); : ) 4. Sea el puno A(,, ) el plano :. Halla: a) La ecuación de la eca que pasa po A es pependicula a. b) La ecuación del plano que pasa po A no coa a. c) La disancia ene los dos planos. a) El eco de diección de la eca seá el nomal al plano: (,, ). Po ano, su ecuación es: : b) El eco nomal del plano es el mismo que el del plano : (,, ). Luego su ecuación seá: : ( ) : c) La disancia ene ambos planos, d(, ) d(a, ) ( ) 6 Noa: Ha que ene la pecaución de epesa en la foma :. José Maía Maíne Mediano

9 Geomeía del espacio 9 5. a) Encona las ecuaciones paaméicas de la eca l dada po la inesección de los planos: : : b) Encona la disancia del puno (,, ) a dicha eca. a) Resolemos el sisema: Sumando ambas ecuaciones se iene: Susiuendo en la pimea ecuación: Llamando, se ienen las ecuaciones paaméicas de la eca: b) La ecuación de la disancia de un puno P a una eca es: AP d( P, ), siendo A. En ese caso: A (/, /, ), P (,, ), AP (/, /, ), (,, ) El poduco ecoial, AP u u u / / ( 5 /, /, /) Luego, 5 / 9 4 / 9 4 / 9 d ( P, ) 8 José Maía Maíne Mediano

10 Geomeía del espacio 6. Se considean la eca los planos siguienes: λ λ ; ;. 4 λ Se pide: a) Deemina la posición elaia de la eca con especo a cada uno de los planos. b) Deemina la posición elaia de los dos planos. c) Calcula la disancia de a. a) El eco de diección de la eca los caaceísicos de los planos son, especiamene, (,, ), (,, ), (,, ). Como, la eca es pependicula al plano. Paa deemina el puno de coe, aunque no se pide en el ejecicio, susiuimos las ecuaciones de la eca en la del plano; se obiene: ( λ) ( λ) (4 λ) 4λ 6 λ /7. El puno de coe es: P (5/7, /7, 5/7) Como (,, ) (,, ), la eca es paalela al plano o esá conenida en él. Paa deemina la posición pecisa susiuimos las ecuaciones de la eca en la del plano; se obiene: ( λ) ( λ) (4 λ) λ que es absudo (no ha solución). Luego la eca el plano son paalelos. b) Como (,, ) (,, ), los planos son pependiculaes. Se coan en una eca, cuas ecuaciones ienen dadas po la solución del sisema c) Al se paalela a, la disancia de a es la de cualquiea de los punos de, po ejemplo A (,, 4), al plano. Po ano: d(, ) d(a (,, 4), ) 4 8 ( ) 6 José Maía Maíne Mediano

11 Geomeía del espacio 7. Sean los punos A(,, ), B(,, ). Deemina: a) Las ecuaciones paaméicas de la eca que une los punos. b) La ecuación del plano que pasa po A es pependicula a la eca. c) La disancia del puno B al plano. a) La eca iene deeminada po el puno A po el eco AB: AB (,, ) (,, ) (,, ) Sus ecuaciones paaméicas son: : b) El eco nomal al plano es el mismo AB, luego : ( ()) ( ) ( ) : c) La disancia de un puno P al plano iene dada po: a b c d d( P (,, ), : a b c d ) a b c En nueso caso: d(b (,, ), : ) 8. Calcula la disancia ene las ecas de ecuaciones: 4 : s : 7 4, s, PQ La disancia ene las ecas s iene dada po: d(, s), siendo s los ecoes de diección especios, PQ un eco que a de a s, donde P Q s. En ese caso: (,, 7), s (,, 4); P (,, 4), Q (,, ), luego PQ (,, ). Con eso: 7, s, PQ 4 5 ; u u u 7 ( 9,, ) ( 9) 9 s 5 Luego: d (, s). 4 s s José Maía Maíne Mediano

12 Geomeía del espacio 9. Halla la disancia del puno P (,, ) a la eca L La ecuación de la disancia de un puno P a una eca es: AP d( P, ), siendo A. En ese caso: A (,, ), P (,, ), AP (,, ), (,, ) El poduco ecoial, AP u u u (,, ) Luego d ( P, ). Calcula los punos de la eca 4. que equidisen de los planos 4 La disancia de un puno a un plano iene dada po la epesión: a b c d d( P (,, ), : a b c d ) a b c Como la eca iene po ecuaciones, :, el puno genéico P(,, ) de debe cumpli que d(p, ) d(p, ), siendo : 4 : 4. Po ano, ( ) 4( ) 4( ) () d( P, ) d( P, ) 9 6 ± de donde,. 5 ± 5 Paa 5: /6 P,, Paa 5: /4 P,, José Maía Maíne Mediano

13 Geomeía del espacio. Encuena la ecuación coninua de la eca que es pependicula a las ecas: (,, ) (,,) (,, ) Tomamos un puno genéico de cada una de las ecas: P : P ( h, h, ); Q : Q (,, ) Esos punos definen el eco PQ ( h, h, ). Si PQ es el eco de diección de la eca buscada debe se pependicula a los ecoes de diección de cada una de las ecas, (,, ) (,, ). En consecuencia: PQ PQ PQ 4h h 5h PQ h h h Las igualdades aneioes se cumplen cuando h /. Po ano: P (,, ); Q (/, /, 5/); PQ (/, /, /) (,, ). Luego, la eca pedida seá:. Encona la ecuación de la eca que coa pependiculamene a las ecas. Las ecuaciones caesianas de esas ecas son: p : s : p p Tomamos un puno genéico de cada una de las ecas: R (,, ), S (p, p, p) Luego, RS (p, p, p ). Si ese eco es de la eca buscada debe se pependicula a los ecoes de diección de s, (,, ) s (,, ). Paa ello: RS, RS s. RS (p, p, p ) (,, ) 5p RS s (p, p, p ) (,, ) 9p 5 5 p 5 Eso es, :, p 9 p Con eso: R,,, S,, PQ,, 5 / h La eca pependicula común es: 5 / h 5 / (,, ) José Maía Maíne Mediano

14 Geomeía del espacio 4. Dadas las ecas: λ µ λ s µ λ a) Esudia la posición elaia de las ecas s. b) Halla la ecuación de una eca que se pependicula simuláneamene a s. a) Ha que esudia la dependencia lineal de los ecoes: (,, ), s (,, ) RS (,, ) (,, ) (,, ) siendo R un puno de S un puno de s. Como 4, los ecoes son linealmene independienes. En consecuencia, las ecas s se cuan. b) La diección de odas las eas pependiculaes a las dadas es la del eco s u u u s (,,) Una eca puede se: Noa: Del enunciado no se de deduce que se pida la pependicula común. José Maía Maíne Mediano