INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA"

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN L GEOMETRÍ GEOMETRÍ: Es un rm de ls mtemátics que se ocup del estudio de propieddes de puntos, rects. polígonos, etc.proviene del Griego GEO (tierr) METROS (medid). Podemos clsificr l Geometrí den dos clses: - GEOMETRÍ PLN: Estudi ls porpieddes de elementos con un o dos dimensiones. Es decir, solo se ocup de todo lo que puede pude suceder en un plno. - GEOMETRÍ ESPCIL: Tmbién se llm geometrí descriptiv y estudi ls figurs y todo lo que puede suceder en ls tres dimensiones. undmentlmente se ocup de l representción de objetos o figurs tridimensionles sobre un plno (el ppel) que tiene únicmente dos dimensiones. PUNTO, RECT, SEMIRECT Y SEGMENTO PUNTO: Geométricmente podemos definir un punto de tres forms: - Interseccion de dos rects o rcos. - Intersección de un rect con un plno. - Circunferenci de rdio 0. RECT: Un rect es un suceción de puntos en un mism dirección. Según est definición un rect es infinit y solo l podemos concebir virtulmente y no relmente, y que todos los soportes (ppeles, lienzos, l pizrr de clse) son finitos. Un rect puede ser definid geométricmente por dos plnos que se cortn (geometrí descriptiv) o por dos puntos (geometrí pln). SEMIRECT: Un semirect es un porción de rect delimitd por un punto SEGMENTO: Un segmento es un porción de rect delimitd por dos puntos. Por tnto un segmento tiene un principio y un fin y es finito y se puede medir. Relmente tods ls rects que dibujmos son segmentos, pues empiezn y cbn en lgun sitio. Por eso pr dibujr un segmento se suelen mrcr clrmente lso puntos de principio y fin. RELCIONES ENTRE RECTS O SEGMENTOS Dos rects o segmentos pueden gurdr tres tipos diferentes de relciones: - PRLELS: Todos los puntos de ls dos rects están siempre l mism distnci. Es decir, dos rects prlels nunc se cortn. - PERPENDICULRES: Dos rects son perpendiculres cundo se cortn formndo cutro ángulos rectos. Este concepto est relciondo con un djetivo importnte, ortogonl, decimos que dos rects son son ortogonles cundo formán ángulos de 90º,son rectos o perpendiculres. - OLICUS: dos rects oblicus se cortn sin formr ángulos rects TRES PUNTOS determinn en el plno un circunferenci. Ddos tres puntos siempre podremos trzr un circunferenci. En términos tridimensionles tres puntos definen un plno. Un sill con tres pts nunc estrá coj. L CIRCUNERENCI Un circunferenci es un conjunto de puntos que están l mism distnci de otro punto llmdo centro. Es un curv cerrd y pln cuyos puntos EQUIDISTN (están l mism distnci) del centro. Llmmos RDIO l distnci entre el centro y culquier de los puntos d el circunferenci. CIRCULO: Es l porción de plno comprendid dentro de l circunferenci RELCIONES CIRCUNERENCI - CIRCUNERENCI / CIRCUNERENCI - RECT SECNTES: Se cortn. Cundo dos circunferencis o un rect y un circunferenci se cortn producen dos puntos de intersección. Pr un circunferenci y un segmento secntes encontrmos: - Cuerd: Es l porción de rect que qued dentro de l circunferenci siempre y cundo no pse por el centro. - Diámetro: Es un segmento que cort l circunferenci en dos puntos psndo por el centro. - rco: Es l porción de circunferenci que qued entre los dos puntos de intersección con otr circunferenci o rect. - lech: se llm sí l rdio perpendiculr un cuerd de circunferenci. TNGENTES: Un rect y un circunferenci son tngentes cundo se tocn pero no se cortn. En esos cso mbos elementos comprten en común un punto llmdo punto de tngenci. EXTERIORES: Se llm sí dos circunferencis o un circunferenci y un rect que no se tocn ni se cortn. INTERIORES: Se llmn circunferenci "interior otr" cundo está dentro de otr myor y ni se tocn ni se cortn. CONCENTRICS: Se llmn sí ls circunferencis que comprten el mismo centro. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos DEINICIONES IMPORTNTES

2 Meditriz de un segmento: Ddo un segmento, hllr l meditriz. L meditriz de un segmento es un rect perpendiculr este por su punto medio. Procedimiento: º- Se trzn dos rcos de igul rádio con centro en mbos extremos y. Se obtienen sí los puntos y donde mbos rcos se cortn. º- Se unen los puntos y pr obtener l meditriz. º- Se ps el resultdo tint. Perpendiculr un segmento o semirect por un extremo: Ddo un segmento, trzr l perpendiculr por el punto. º-Con centro en se trz un rco (csi un semicircunferenci) que cort l segmento en el punto. º-Con centro en el punto se trz otro rco con el mismo rdio que cort l nterior rco en el punto. º-Con centro en el punto y mismo rdio se trz otro rco que cort l primero en el punto. º-Con centro en el punto trzmos otro rco, de mismo rdio, que cort l último en el punto. 5º-Se une el punto con el punto. Psmos tint l rect. 5 Perpendiculr un rect por un punto exterior ell: º-Con centro en P se trz un rco de circunferenci que corte l rect en dos puntos: y. º-Con centro en los puntos y, se trzn dos rcos de rdio myor l mitd de l distnci entre ellos.donde mbos rcos se cortn obtenemos el punto. º-Se une el punto y el punto P. P P P P Prlel un rect por un punto exterior: º- Se elige un punto X centrdo en l rect como centro y se trz un semicircunfenernci de rdio XP que l cort en dos puntos: y. º- Con centro en el punto se tom el rdio P y desde el punto se trz un rco que cort l primero en el punto. º- Se une el punto con P. P P P X X X EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Prlelismo y Perpendiculridd con regl y compás

3 Prlel un rect un distnci dd (d) : d L distnci entre un rect y otr es l medid que se tom sobre un rect perpendiculr mbs. Si tenemos un rect (r), y un rect prependiculr (s), culquier rect perpendiculr (p) (s) será prlel (r). p p' s r Por lo tnto podemos empler culquier de los metodos de "perpendiculridd" pr resolver este problem. l derech te mostrmos dos de ellos. d d DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN n (7) prtes igules: El procedimiento es el mismo unque vrie el númenro de prtes en ls que quermos dividir el segmento. º- Desde un extremodel segmento ddo trzmos un rect uxilir. No import l bertur del ángulo que est forme con el segmento ddo. º- Tommos un rdio de compás ( no import l bertur del compás, solo que quep tnts veces como divisiones nos pide el problem sobre l rect uxilir) y con centro en el vértice del ángulo trzmos un mrc sobre l rect uxilir. º- Con centro en es primer mrc, y con el mismo rdio de compás repetimos l opercion hst tener tnts prtes como nos pide el problem en l rect uxilir. 5º- Trzmos prlels l últim rect psd. ests psn por ls divisiones que hemos trzdo sobre l rct uxilir y cortn l segmento ddo den el enuncido del problem. º- Trzmos un segmento que une l ÚLTIM DIVISIÓN de l rect uxilir con EL EXTREMO del segmento ddo º- Los puntos de corte de ls prlels con el segmento ddo son l solución, ls divisiones del segmento en el nº de prtes que pedí el enuncido. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos División de un segmento en prtes igules

4 COPI DE ÁNGULOS CON COMPÁS Y REGL: ddo un ángulo () trzr otro ángulo (') igul. º- Se trz un segmento o semirect y se indic v' que será el vertice del nuevo ángulo copido. º- Con centro en el punto v se trz un rco de rdio culquier que cort los ldos de este en los puntos y. Con centro en v' se trz un rco de igul rádio que cortrá l ldo y dibujdo en el punto '. º- Desde el punto del ángulo ddo, se mide con el comps l distnci desde hst. En el nuevo ángulo copido con centro en ' se trz un rco que corte l nterior obteniendo ' º- Se une v' con '. v v v v ' ' v' ' v' ' ' v' ' ' v' ' ' SUM DE ÁNGULOS CON COMPÁS Y REGL: ddos los ángulos () y (b) trzr otro ángulo (c) = (+b) Se trt de copir un ángulo encim del otro, comprtiendo mbos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semirect y se indic v' que será el vertice del nuevo ángulo resultdo +b. º- Con centros en los puntos (v) y (vb), se trz un rco de rdio culquier pero igul, que cort mbos ldos de los ángulos en los ptos y b. Con centro en v' se trz un rco de igul rádio que cortrá l ldo y dibujdo en el punto '. º- Desde el punto, se mide con el compás l distnci desde -, colocándol en el resultdo desde ', obteniendo sí el pto. '. º- Se mide, con compás, l distnci b-b.desde ' trzmos un rco de rdio b-b pr obtener '. 5º- Se une v' con '. b 5 b v vb b b v vb b b v vb b b ' ' ' ' c v' ' c v' ' c v' ' REST DE ÁNGULOS CON COMPÁS Y REGL: ddos los ángulos () y (b) trzr otro ángulo (c) = (-b) Se trt de copir el ángulo menor dento del myor, comprtiendo mbos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semirect y se indic v' que será el vertice del nuevo ángulo resultdo -b. º- Con centros en los puntos (v) y (vb), se trz un rco de rdio culquier pero igul, que cort mbos ldos de los ángulos en los ptos. Con centro en v' se trz un rco de igul rádio que cortrá l ldo y dibujdo en el punto '. º- Desde el punto, se mide con el compás l distnci desde -, colocándol en el resultdo desde ', obteniendo sí el pto. '. º- Se mide, con compás, l distnci b-b.desde ' trzmos un rco, situdo entre ' y ', de rdio b-b pr obtener '. 5º- Se une v' con '. 5 v vb b b c v' ' b v vb ' ' c v' ' b b b v vb ' ' c v' ' b b b EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Operciones básics con Ángulos: COPI SUM Y REST

5 ISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es l semirect que divide un ángulo en dos prtes igules psndo por el vértice. Todos los puntos de l bisectriz equidistn (están l mism distnci)de los ldos del ángulo. L bisectriz es el lugr geométrico de los puntos de un plno que equidistn de los ldos de un ángulo. TRZDO DE L ISECTRIZ: Ddo un ngulo, trzr su bisectriz. º- Con centro en el vértice y un rdio culquier (suficientemente mplio) se trz un rco que cort mbos ldos del ángulo en los puntos y. º- Con centros en los puntos y dos se trzn dos rcos de igul rdio (myor l mitd de l distnci entre y ) que se cortán en el punto. º- Se une el punto con el vértice del ángulo ddo. TRZDO DE L ISECTRIZ DE UN ÁNGULO DEL QUE SE DESCONOCE EL VÉRTICE: Dds dos rects, no prlels: r y s, trzr su bisectriz. Existen dos métodos pr resolver este problem. METODO : Rect que cort mbos ldos del ángulo. º- Se trz un rect que cort mbos ldos del ángulo en los puntos y. De este modo, y se convierten en vértices de ángulos: b, c y d º- Se trzn ls bisectrices de los ngulos, b, c y d. Ls bisectrices se cortn en dos puntos: y º- Se une el punto con el. r b c d s EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Operciones básics con Ángulos: ISECTRIZ

6 LOS POLIGONOS Un polígono es l porción de plno encerrd por vrios segmentos llmdos ldos. El término "polígono" procede del griego ntiguo y signific "muchos" (poli) ángulos (gono). CLSIICCIÓNES Polígono convexo: Es quel polígono que l ser trvesdo por un rect únicmente tiene o puede tener un punto de l rect de entrd y otro de slid. Si l pollrse en uno de sus ldos sobre un rect el polígono qued en su totlidd un ldo de est. Polígono concvo: Es quel que l ser trvesdo por un rect tiene ms de un punto de entrd y slid en l tryectori de l rect. Tmbién es convexo cundo es posible poyr el poligóno sobre lguno de sus ldos en un rect quedándo prte un ldo de est y prte l otro. Equiángulo: Un polígono es equiángulo cundo tiene todos sus ángulos igules. Equilátero: Un polígono es equilátero cundo todos sus ldos soon igules. Regulr: Un polígono es regulr cundo todos sus ldos y ángulos son igules. Irregulr: Es el polígono que tiene ldos y ángulos desigules PRTES DE UN POLÍGONO LDO: Cd uno de los segmentos que componen el polígono. VÉRTICE:Es el punto en el que se unen dos ldos consecutivos. DIGONL: Segmento que une dos vértices no consecutivos. lgunos polígonos tienen digonl myor y digonl menor. PERÍMETRO: Es l sum de todos los ldos. En un polígono regulr demás encontrmos: VÉRTICE LDO DIGONL MYOR CENTRO POTEM DIGONL MENOR CENTRO: Es el punto equidistnte de todos los vértices y ldos. En el se encuentr el centro de ls circunferencis inscrit y circunscrit. POTEM: Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de los ldos perpendiculrmente. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Polígonos: Introducción-Definiciones

7 Ddo el ldo, construcción de polígonos regulres: Triángulo equilátero º Desde un extremo del ldo ddo trzr un rco de igul rdio l ldo º Desde el otro extremo repetir l operción º El punto donde se curzn mbos rcos es el tercer vértice del triángulo. Unir este con los extremos dle segmento Cudrdo º Con compás, en el vértice, trzmos rcos del mismo rdio que definirán puntos º Se une el punto con el vértice º Con el compás: rdio igul l ldo y centro en el vértice trzmos un rco que nos d el vértice º Con rdio igul l ldo ddo trzmos dos rcos desde el vertice y el obteniendo el º vértice 5º Se unen los vértices y con Pentágono 5 6 N 5 5 M D D º Se trz l meditriz del ldo. Por el extremo derecho: se levnt un perpendiculr y se prolong el ldo º Desde el extremo derecho, con rdio igul l ldo trzmos un rco que cort l perpendiculr que hemos levntdo ntes º Con centro en el punto medio del ldo ddo y rdio MN trzmos un rco que cort l prolongcion del segmento en D º Con centro en el vértice, con rdio D trzmos un rco que cort l meditriz en el punto 5º Con rdio igul l ldo ddo trzmos rcos desde, y pr obtener los vértices y 5 6º Unimos los 5 vértices pr obtener el pentágono Hexágono 5 O 6 O º Con Rdio igul l ldo ddo se trzn dos rcos pr obtener O º Con centro en O y briendo el compás hst un extremo del ldo ddo trzmos un circunferenci º Desde y 6 con rdio igul l ldo ddo trzmos dos rcos que sobre l circunferenci nos drán los puntos y 5 º Unimos los 6 puntos Heptágono º Trzmos l meditriz de ldo ddo y por un extremo levntmos un perpendiculr º por el otro extremo trzmos un rect 0º º Desde el punto con rdio trzmos un rco que cort l meditriz en el punto O Octógono 5 6 º Con centro en O y rdio O Trzmos l circunferenci que encerrrá (circunscribe) l Heptágono 5º Tommos el rdio igul l ldo ddo y desde y trzmos rcos que nos drn los vértices,,5,6 y 7 6º Unimos los 7 puntos O O º Se trz l meditriz del ldo ddo y desde un extremo trzmos un rect 5º pr obtener º Con centro en y rdio trzmos un rco que cort l meditriz en el punto O º Con centro en O y rdio O trzmos un circunferenci º Tomndo como rdio el ldo ddo trzmos rcos sobre l circunferenci que nos drán los 6 vertices restntes 5º Unimos los 6 puntos con el segmento. 5 O EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Construcción de polígonos regulres ddo el ldo

8 Construcción de un polígono regulres de n (9) ldos ddo su ldo: º Trzmos l meditriz del segmento º Desde un extremo del segmento y con rdio igul este. trzmos un rco que cort l meditriz º Desde el punto obtenido en l meditriz con el rco hcemos centro de compás briendolo hst no de los extremos del segmento y trzmos un circunerenci que debe de psr por mbos extremos del segmento Nos segurremos de que l meditriz corte l circunferenci por l prte superior. De este modo l meditriz hor es un diámetro de l circunferenci. continución dividiremos el rdio superior de este diámetro en seis prtes igules medinte Thles de Mileto º Trzmos un segmento uxilir desde el extremo superior del diámetro 5º dividimos el segmento uxilir en seis prtes igules (con compás) 6º Unimos el último extremo del seg. ux. con el centro de l circunferenci que será l prte nº 6, siendo el extremo superior del diámetro l prte nº 7º Trzmos prlels por ls mrcs hechs sobre el segmento uxilir obteniendo sí ls 6 divisiones buscds. En este cso buscmos un eneágono. Por ello hremos centro de compás en l división nº 9 Si buscrmos un polígono de nº distinto de ldos hrimos centro en l división del rdio de igul numero 8 9 8º Hcemos centro en l división correspondiente con el numero de ldos que buscmos. brimos el compás hst uno de los extremos del segmento ddo en el enuncido y trzmos un circunferenci. L circunferenci debe de psr tmbien por el otro extremo del segmento 9 0 9º Con yud del compás repetimos l medid del segmento ddo en el enuncido sobre l circunferenci. 0º inlmente podemos trzr el poligono de nueve ldos que pide el enuncido. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Construcción de polígonos de n ldos ddo el ldo

9 Ddo el rdio de circunferenci : construir un polígono regulr de n () ldos: º Trzmos un circunferenci con el rdio que nos hn indicdo y trzmos un diámetro verticl DIVIDIMOS EL DIMETRO EN TNTS PRTES COMOLDOS QUEREMOS QUE TENG EL POLIGONO º Desde el extremo superior trzmos un semirect uxilir y l dividimos en tnts prtes com queremos dividir el diámetro (podemos hcerlo con el compás o con l regl grdud) º unimos el último extremo con el extremo opuesto del diámetro º Trzmos prlels por ls divisiones del segmento uxilir obteniendo l división del diámetro en n prtes igules 5º con rdio igul l diámetro de l circunferenci y desde los extremos de este trzmos dos rcos que nos drn un foco 6º desde el foco trzmos rects por ls divisiones pres. en los extremos contrris de l circunferenci obtendremos l mitd de los vertices de l solución. el punto 0 del diámetro tmbien lo incluimos, unque dd su situción no hemos necesitdo trzr un rect puesto que este y se encuentr sobre l circunferenci 5 6 7º Repetimos l últim opercion desde el ldo contrrio 7 8º Unimos todos los puntos obtenidos sobre l circunferenci, recordndo contr con el punto 0 del diámetro 8 EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Inscripción de polígonos de n () ldos

10 Los polígonos estrelldos se obtienen uniendo de form constnte y no consecutiv los vértices de los polígonos regulres. Según el número de vértices que teng el polígono no estrelldo podremos obtener ninguno, uno o vrios polígonos estrelldos: nº de nº de form de unir vértices estrells los vértices L estrell de Dvid. Pr ilustrr el cudro de l izquierd tommos el ejemplo del eneágono, del cul podemos obtener hst cutro estrells dependiendo del número de vértices que sltemos. Uniendo vértices sltndo l segundo. Uniendo vértices sltndo l tercero. Uniendo vértices sltndo l curto. / / / LSS ESTRELLS lso Octógono estrelldo. Uniendo vértices sltndo l quinto. Se definen por N/M siendo N el numero de vértices polígono del regulr convexo y M el slto entre vértices. N/M h de ser frcción irreducible, de lo contrrio no se gener el polígono estrelldo que indic l frcción. En lgunos csos l unir los vértices de form ltern podemos encontrrnos con que en relidd inscribimos otros polígonos convexos dentro del polígono inicil. En esos csos no obtendremos verdderos polígonos estrelldos sino LSS ESTRELLS. ESTRELLR POLÍGONOS Estrellr un polígono consiste en prolongr sus ldos pr que se corten nuevmente entre sí, sí se obtiene un nuevo polígono con form de estrell. ldo del polígono estrelldo l izquierd podemos ver el proceso de estrellr un pentágono. Pr este polígono solo podemos estrellrlo un vez, pues el pentágono únicmente gener un polígono estrelldo. l pentágono estrelldo tmbién se le llm generlmente PENTGRM o pentáculo y es un figur muy significtiv simbólicmente, sobre todo por contener l proporción divin ocult en sus medids /5 polígono generdor Estrellr un polígono consiste en prolongr sus ldos pr que se corten nuevmente entre sí, sí se obtiene un nuevo polígono con form de estrell. Si estrellmos un polígono convexo observmos que l primer estrell que se gener es l que se produce l sltr el menor número de vértices. Si continumos estrellándol conseguiremos l segund estrell. Y sí sucesivmente podremos dibujr, uns dentro de otrs, tods ls estrells posibles que dicho polígono nos ofrece. Lo mismo ocurre si inscribimos l estrell empezndo por el máximo slto de vértices (procedimiento inverso). EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Polígonos Estrelldos.

11 Trzdo de un espirl de dos centros: Sobre un rect situmos los dos centros l distnci desed. º- Con centro en y rdio - trzmos un semi-circunferenci que nos d el punto. º- Con centro en y rdio - trzmos un semi-circunferenci, en el ldo opuesto l primer. Obtenemos el punto. º- Con centro en, de nuevo, trzmos un semicircunferenci de rdio -, obteniendo el punto 5. Se trt de lternr los centros uno y dos, trzndo semi-circunferencis, siempre en el mismo ldo pr cd centro y briendo el compás el rdio máximo posible en cd pso. Trzdo de un espirl de tres centros ddo el pso Trzdo de un espirl de tres centros situdos en los vertices de un triángulo equiltero: Trzmos un triángulo equilátero (el pso de l espirl es l mgnitud del ldo del triángulo) Prolongmos cd ldo por uno de sus extremos. º- Con centro en uno y rdio - trzmos un rco que cort l rect - en el punto º- Con centro en y rdio, trzmos un rco que cort l rect - en el punto. º- Con centro en y rdio - trzmos un rco que cort l rect - en el punto. º- Con centro en, de nuevo, y rdio -, trzmos El rco que sobre l rect - nos d el punto b. b prtir de hí trzremos los rcos sguiguiendo los psos º, º y º, pero con rdios hst los puntos xb, xc, xd... Observr, en mbs espirles, como cd sector de rcos siempre tiene el mismo centro, es decir, pr formr l espirl trzmos rcos concéntrricos. El dimetro o rádio de cd rco v incrementndose sucesivmente en función del pso y del nº de centros. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Espirles

12 Óvlo ddo el eje myor (metodo ) º- Dividimos el eje myor ddo en tres prtes igules. Los dos puntos que lo dividen serán dos de los centros º- Trzmos dos circunferencis desde O y O y rdio hst los extremos del eje, los dos puntos de intersección serán los otros dos centros del óvlo. º- Unimos O y O con O y O, los puntos en que ls rects cortn ls dos circunferencis trzds serán los puntos de tngenci. º- Desde O y O trzmos los rcos que completn el óvlo. O t t 0 O O O O Óvlo ddo el eje myor (metodo ) O t t º- Trzmos l meditriz del eje obteniendo O.Trzmos meditrices los dos semi-ejes obteniendo O y O º- Trzmos dos circunferencis desde O y O briendo el comás hst O. Desde y trzmos dos rcos briendo el compás hst O los dos puntos de intersección con l primer meditriz serán los otros dos centros del óvlo. º- Unimos O y O con O y O, los puntos en que ls rects cortn ls dos circunferencis trzds serán los puntos de tngenci. º- Desde O y O trzmos los rcos que completn el óvlo. O O O t t O O O O O O O O O O O t t O O O Óvlo ddo el eje menor º- Colocndo el eje ddo en posición verticl, trzmos su meditriz y desde su punto medio (O) trzmos un circunferenci con diámetro igul l eje ddo, obteniendo sí los cutro centros del óvlo. º- Desde los extremos del eje menor trzmos dos rcos de rdio igul l totlidd del mismo. º- Unimos O y O con O y O obteniendo sobre mbos rcos los puntos de tngenci. º- Con centro en O y O trzmos los rcos necesrios pr completr el óvlo briendo el compás hst los puntos de tngenci. O O O O O t t O O t t El óvlo es un curv cerrd y pln que está compuest por cutro, o más, rcos de circunferénci simétricos entre sí. Suele venir definido por dos ejes que mrcn sus dimensiones y sirven de ejes de simetrí de los rcos. Se emple frecuentemente en perspectivs xonométrics pr representr l circunferenci vist en perspectiv. El ovoide es un cso prticulr de óvlo, se define por dos ejes perpendiculres entre sí: el myor que ctu de eje de simetrí y el menor menor, perpendiculr l primero. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Óvlo ddo uno de los ejes

13 Ls Tngencis Dos elementos son tngentes cundo tienen un punto en común denomindo punto de tngenci. Estos elementos son circunferencis (o rcos de circunferenci, en lgunos csos curvs conics tmbién) y rects. Un enlce es l unión rmónic de curvs con curvs o curvs con rects. Los enlces son l plicción práctic de ls tngencis. Propieddes fundmentles de ls tngencis - Los centros de dos circunferencis tngentes entre sí están linedos con el punto de tngenci. - Un rect tngente un circunferenci es siempre perpendiculr l rdio correspondiente l punto de tngenci. - El centro de culquier circunferenci que ps por dos puntos se encuentr en l meditriz del segmento que definen los dos puntos.todo rdio perpendiculr un cuerd de circunferenci divide est en dos mitdes igules. - El centro de culquier circunferenci tngente dos rects se encuentr en l bisectriz del ángulo que ests producen. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Ls tngencis: definición y propieddes

14 TNGENCIS DDOS DOS ELEMENTOS (rects o circunferencis) y el rdio de l circunferenci solución. Dds dos rects, trzr l circunferenci de rdio r tngente mbs. r r r r º- Trzmos un prlel un distnci r de un rect. º- Hcemos lo mismo con l otr rect. Donde ls prlels se cortn es el centro de l solución. º- Desde el centro trzmos perpendiculres ls rects del enuncido pr hllr los ptos. de tg. Trzmos l cir. Dd un rect y un circunferenci, trzr l circunferenci de rdioddo r (menor l rdio de l dd) tngente mbs. r r r r +r º- Trzmos un prlel un distnci r de l rect. º- Trzmos un rco conc'entrico l dd de rdio (+r). Conseguimos esto trzndo un rdio rbitrrio y prtir del punto de corte con l circunferenci trnsportr l medid (r). Los puntos de intersección con l rect prlel serán los centros de ls circunferencis soluciones. (coincidenci de sos lugres geométricos) º- Hllmos los puntos de tngenci: prtir de los centros perpendiculres ls rects y segmentos con el otro extremo en l circunferenci de l dd. Trzmos ls circunferencis que solucionn el problem. ENLCES DE PUNTOS MEDINTE RCOS DE CIRCUNERENCIS TNGENTES º- El primer rco nos lo dn con su centro o lo trzmos nosotros sobre l meditriz del segmento que une los dos puntos. LOS CENTROS DE RCOS QUE PSN POR LOS EXTREMOS DE SEGMENTOS SIEMPRE ESTÁN SORE L MEDITRIZ. º- Podemos unir los puntos con segmentos medid hcemos los rcos o unirlos todos l principio. º- cd segmento le trzremos su meditriz. Uniremos el último punto de cd rco con su centro y en l prolongción de es rect, SORE L MEDITRIZ, encontrremos el siguiente rco. º- Procederemos del mismo modo hst cbr los puntos. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Cicunferencis TNGENTES dos elementos Y ENLCES DE RCOS PRTIR DE PUNTOS

15 En el enuncido se present un circunferenci con su centro y un punto exterior ell. Se piden ls rects tngentes l circunferenci que psn por el punto exterior ENUNCIDO SOLUCIÓN Pr resolverlo necesitmos trzr ciertos trzdos uxilires que se pueden explicr cutro psos º- Unimos el centro de l circunferenci con el punto exterior ell trzndo un segmento. º-Trzmos l meditriz del semento obteniendo el punto medio de este. º- Con centro en el punto medio y rdio hst el punto exterior o el centro (lo cul es lo mismo), trzmos un circunferenci que cort l dd en dos puntos, los Puntos de tngenci. º Trzmos rdios hst los puntos de tngenci 5º Desde el punto exterior hst los puntos de tngenci trzmos ls rects que son solución 5 EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Rects tngentes: circunferenci-punto

16 Tngentes exteriores e interiores dos circunferencis ENUNCIDO SOLUCIÓN tngentes exteriores SOLUCIÓN tngentes interiores Pr resolver estos dos problems necesitmos reducirlos l problem pto-circunferenci. tendremos que hcer el esfuerzo de "olvidrnos" (ignorr visulmente) el enuncido originl y resolver el problem ptocircunferenci. un vez conseguido el resultdo del problem originl no tre ms dificultd que llevr ls rects y los rdios su sitio trzndo prlels con escudr y crtbón Tngentes exteriores dos circunferencis º Trzmos el segmento que une los dos centros º Sobre el segmento, l circunferenci grnde, con el compás, le restmos el rdio de l circunferenci pequeñ. r DE ESTE MODO HEMOS REDUCIDO EL PROLEM RECTS TNGENTES PUNTO-CIRCUNERENCI º- Resolvemos el problem reducido, trzmos los rdios que vn (t) y (t) lo suficientemente lrgos pr que corten l circunferenci grnde originl. º- prtir del centro de l circunferenci pequeñ originl trzmos rdios con l mism inclinción (escudr y crtbón). sí,con los cutro rdios trzdos obtenemos t yt sobre l grnde y t' yt' sobre l pequeñ 5º- Unimos t con t' y t con t' (t ) 5 t ' t r -r r-r (t ) t ' t Tngentes interiores dos circunferencis º Trzmos el segmento que une los dos centros º Sobre el segmento, l circunferenci grnde, con el compás, le summos el rdio de l circunferenci pequeñ. r r +r r+r DE ESTE MODO HEMOS REDUCIDO EL PROLEM RECTS TNGENTES PUNTO-CIRCUNERENCI º- Resolvemos el problem reducido,obteniendo sí (t) y (t), pero est vez no trzmos ls rects tngentes pr no contminr con demsids lines el dibujo. º- Trzmos rdios prlelos los de l circunferenci grnde en l circunferenci pequeñ, pero invirtiendo su posicion (el rdio de rrib en l grnde, bjo en l pequeñ y vicevers). Los puntos de tngenci del problem originl se encuentrn en ls intersecciones de los rdios. 5º- Unimos t' con t y t' con t 5 EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos Rects tngentes dos circunferencis

17 L ELIPSE: "l elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de rdio vectores (distncis desde l elpise los dos focos) es constnte e igul l eje myor". C Elementos prmétricos: son ls tres mgnitudes que crcterizn l elipse.. Eje myor : llmdo rel o principl. Es eje de simetrí.. Eje menor CD: llmdo imginrio o secundrio. Tmbién es eje de simetrí mbos son perpendiculres entre sí cortándose en sus puntos medios.. ocos, : Puntos fijos sobre el eje myor, de referenci de distncis Trzdo de l elipse por puntos x z x+y= z+v= y v ' ' ' ' ' ' ' ' 5 6 ' ' ' ' ' ' º- Mrcmos un punto rbitrrio () sobre el eje myor. Con centro en y rdio trzmos un rco en el primer cudrnte de l elipse y con centro en ' y rdio ' trzmos otro rco tmbien en el primer cudrnte. El punto dónde se cortn mbos rcos pertenece l elipse y que se cumple +'=' º- Con los mismos rdios y los mismos centros podemos obtener el punto simetríco en el tercer cudrnte. º- Con los mismos rdios pero invirtiendo los centros hllmos los puntos simétricos respecto eje menor los otros dos. º- Mrcmos otro punto () sobre el eje myor y repetimos l operción de los psos º y º, sí obtenemos otros cutro puntos de l elipse 5º- Mrcmos un tercer punto y repetimos de nuevo l operción de los psos º y º. Con puntos podemos intuir el recorrido de l elipse, unque podemos repetir l operción pr conseguir más puntos. 6º- Unimos lospuntos mno lzd. EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos CURCS CÓNICS: L Elipse

18 d L PRÁOL: "l prábol es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo foco y un rect llmd directriz. Elementos prmétricos: Llmmos sí los tres elementos que intervienen directmente en l determinción de su prámetro: elemento ddo, en mgnitud y posición, con el que qued determind un prábol. oco. oco : punto de tngenci de l esfer (tngente l cono) con el plno secnte.. Directriz d: rect intersección del plno X con el plno secnte. Perpendiculr l eje de simetrí. Vértice Prámetro. Vértice : Vértice extremo del eje, y por tnto de l curv. Se encuentr en el punto medio entre el foco y l diectriz. Directriz Trzdo de l prábol ddo el foco y l directriz: º- Trzmos un prlel l directriz un distnci d. Con centro en trzmos un rco de rdio d que cort l prlel en dos puntos pertenecientes l prábol. º- Repetimos este procedimiento tnts veces como pres de puntos simétricos deseemos obtener. º- Por último unimos los puntos obtenidos pr obtener l prábol. d Eje d d d d L HIPÉROL: "l hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte e igul l distnci entre ellos". Elementos prmétricos: son ls tres mgnitudes que crcterizn l hipérbol.. Eje rel : o principl. Se represent por.. Eje imginrio CD: o secundrio. Se represent por b. mbos son perpendiculres entre sí.. ocos: puntos fijos sobre el eje, de referenci de distncis. Trzdo de l hipérbol ddos los focos y y Los vértices y : º- Tommos un punto sobre el eje. Con centro en y rdio trzmos un rco y con centro en y rdio trzmos otro rco, los dos puntos de intersección de los rcos son puntos de l hipérbol. º- Repetimos este procedimiento tnts veces como pres de puntos simétricos deseemos obtener. y x z v y-x= z-v= º- Si tomndo los mismos rdios invertimos los centros (rdio con centro en y rdio con centro en, etc obtendremos los puntos simétricos de l otr rm. 5 5 EPV º ESO: Trzdos Geométricos ásicos CURCS CÓNICS: L Hipérbol y l Prábol

19 TRNSORMCIONES GEOMÉTRICS EN EL PLNO: GIROS, TRSLCIONES, HOMOTECI E INVERSIÓN ISOMÉTRICS (= medid) ISOMÓRICS (= form) NMÓRICS Entre l figur originl y l trnsformd se mntienen ls mgnitudes lineles y los ángulos Mntienen l mism form pero no el tmño. Cmbi el tmño y el vlor ngulr. GIROS TRSLCIÓN SIMETRÍ HOMOTECI INVERSIÓN HOMOLOGÍ INIDD SIMETRÍ SIMETRI:Es un trnsformción geometric en l que todo punto y su simétrico (relción biuníboc) se encuentrn distinto ldo de un centro o un eje y igul distnci de este. Existen dos tipos de simetrí: SIMETRÍ XIL (eje): Los puntos simétricos se encuentrn sobre un perpendiculr l eje de simetrí, igul distnci y en distintos ldos del eje. 5 5' ' ' ' SIMETRÍ CENTRL (centro-punto): Los puntos simétricos se encuentrn linedos con el centro, igul distnci y en distinto ldo. 5' ' ' ' ' Los pres de rects simétricos (xiles) tienen su intersección sobre el eje de simetrí. Cundo el eje de simetrí cort un rect, l rect simétric cortrá l primer sobre el eje de simetrí y el punto de intersección será un PUNTO DOLE. culquier punto que esté sobre el eje de simetrí tiene su simétrico en el mismo punto, estos les llmmos PUNTOS DOLES. Trzr el triángulo simétrico respecto un eje. 5 L simetrí centrl equivle un giro de 80º con el mismo centro. L rects o segmentos simétricos respecto un centro son prlels. Trzr el triángulo simétrico respecto un centro. ' º- ptrir de un vértice trzmos un perpendiculr l eje. En el punto de intersección hcemos centro de compás y trsldmos l distnci del eje l punto l otro ldo pr obtener el punto simétrico del vértice. º- Repetimos l operción con los demás vértices. º- Unimos los vértices simétricos º- ptrir de un vértice trzmos un rect que pse por el centro de simetrí. En el centro hcemos centro de compás y trsldmos l distnci del centro l punto l otro ldo pr obtener el punto simétrico del vértice. º- Repetimos l operción con los demás vértices. º- Unimos los vértices simétricos Se llm ORDEN de SIMETRÍ (n) l número de veces que hy que rotr el ángulo menor ( ) pr dr un vuelt complet ( n = 60º/ ) o, l número de figurs idéntics que formn l figur complet. sí pues los polígonos regulres cumplen con un simetrí rdil de orden igul su número de ldos. Simetrí de orden Simetrí de orden 5 Simetrí de orden 7 TRNSORMCIONES GEOMÉTRICS EN EL PLNO Introducción Y SIMETRÍ

20 GIRO O ROTCIÓN Es un trnsformción geométric en l que intervienen: un centro, un mgnitud ngulr y un sentido de giro. El sentido puede ser HORRIO (dextrógiro), en cuyo cso l mgnitud ngulr será positiv o NTI-HORRIO (levógiro) siendo l mgnitud ngulr negtiv. C' ' NTI-HORRIO o LEVÓGIRO -80º o HORRIO o DEXTRÓGIRO C '' '' 80º ' C'' GIRO DE UN PUNTO (p) RESPECTO UN CENTRO (o): - Girr el punto p 0 º respecto l centro o. p p º- Trzmos el segmento op. p' º- Con vértice en o, yudndonos del crtbón o trnsportdor de p p p ángulos trzmos otro segmento que determin un ángulo de 0º. 0º 0º 0º º- Con centro en o y rdio op trzmos un ángulo que cort l segmento nterior. o º- En l intersección del rco con el segundo segmento tenemos o o o o el punto p', resultdo degirr p 0º. GIRO DE UN SEGMENTO () RESPECTO UN CENTRO (o): - Girr el punto 5 º respecto l centro o. Por puntos: ' ' ' º- Emplendo el procedimiento nterior, girmos el punto. º- Igulmente girmos. º- Unimos ' con '. o o o o ' ' p p p p p' p' 5 o o o o ' p' ' Trzndo perpendiculr l segmento: º-Desde el cento o trzmos un perpendiculr l segmento obteniendo p. º-Girmos p, obteniendo p' º-Trzmos por p' un perpendiculr su rdio. º- Sobre est perpendiculr, desde p,copimos ls distncis p y p. Trzmos el segmento ''. TRSLCIÓN Es un trnsformción geométric o movimiento en el plno que viene determind por un vector. Un vector está determindo por un mgnitud (distnci), dirección y sentido dirección mgnitud sentido Un trslción puede venir definid por: - Un figur y un vector de trslción. - Un pr de puntos (originl y trslddo. v w Es tán sencillo como hcer prlels l dirección del vector y en el sentido indicdo por l flech desde los vértices de l figur, copindo l mgnitud con el compás, pr obtener l figur trnsformd. GIRO O ROTCIÓN, TRSLCIÓN

21 TEOREM DE THLES DE MILETO Tod rect prlel un ldo de un triángulo que cort los otros dos ldos, determin otro triángulo semejnte l triángulo inicil. C/C''=C/C'=/' ' Si se cortn dos rects concurrentes con un hz de rects prlels, l rzón de dos segmentos culesquier de un de ells es igul l rzón de los correspondientes de l otr. SEGMENTO MEDIO PROPORCIONL (x) OTROS DOS (,) Result como derivción del teorem de pitágors.ddos los segmentos () y (b) buscmos otro (x) que cumpl: b=x. Teorem del cteto C' C b x x Teorem de l ltur b b SECCIÓN URE DE UN SEGMENTO: C L sección ure de un segmento es un punto que lo divide en dos prtes de tl modo que: tiene relción direct con el ls medids del pentágono regulr y estrelldo, si como con l suceción de fiboncci: C / = / C = = '680...,,,,5,8,... SEGMENTO UREO (C) de otro(), RECTÁNGULO UREO:,68 /D E/E D E G C C C º- Trzmos l meditriz del segmento y levntmos un perpendiculr por uno de sus extremos. º- Con centro en y rdio trsldmos l medid del segmento sobre l perpendiculr levntd. º- Con centro en el punto medio del segmento y rdio hst el extremo superior de l perpendiculr girmos l distnci sobre l prolongción del segmento hyndo C. º- Pr trzr el rectángulo ureo construimos el rectángulo de ldo menor y ldo myor C. DIVISIÓN URE (C) DE UN SEGMENTO o o x m C º- Trzmos l meditriz del segmento y levntmos un perpendiculr por uno de sus extremos. º- Con centro en y rdio l mitd de m trsldmos l medid m sobre l perpendiculr levntd. º- Con centro en el punto (o) y rdio o girmos l distnci sobre el segmento o, obtenemos x. º- Con centro en y rdio x girmos l medid sobre el segmento obteniendo C. Teorem de Thles de Mileto y su plicción práctic

22 IGULDD Dos figurs son igules cundo mntienen l mism form y el mismo tmño. Dos figurs sigules siempre tendrán el mismo re. Pr los polígonos l iguldd implic: mims mgnitudes ángulres en los vértices, mism mgnitudes de los ldos y por lo tnto igul superficie. DDO EL CUDRILTERO CD, COPIRLO PRTIR DE ': Por tringulción Culquier polígono de más de tres ldos puede ser descompuesto en triángulos. Por esto, podemos descomponer el polígono que queremos copir en los triángulos que proced y copir el polígono copindo los triángulos uno uno. De este modo evitmos empler el procedimiento de copi de ángulos que es lgo impreciso si no somos muy cuiddosos y podemos copir el polígono emplendo unicmente l copi de los ldos de los triángulos. C Primero copimos el triángulo D prtir de ' C' '. Un vez hecho esto copiremos el triángulo CD sobre el ldo 'C' D ' D' DDO EL CUDRILÁTERO CD, COPIRLO PRTIR DE ': Por copi de ángulos y segmentos Simplemente debemos empler los procedimientos de copi de ángulos y copi de segmentos pr copir el polígono prtir del punto ddo. C D ' ' C' D' DDO EL HEXGONO IRREGULR CDE, COPIRLO PRTIR DE ': Por rdición C O D E En este cso se trt de situr un centro prtir del cul se trzn rádios hst los vértices del polígono. Con ello trzremos otro centro y copiremos ls mgnitudes ngulres entre los rdios pr despues copir ls distncis entre el centro y los vértices. NOTESE como solo se trz un circungerenci pr copir ls mgnitudes ngulres, est debe tener igul rdio en el enuncido y en el resultdo. ' ' C' O ' D' E' DDO EL CUDRILTERO CDE, COPIRLO PRTIR DE O':Por Coordends C y D y y Y C D Consiste en trzr dos ejes de coordends. D Estos deben de formr un ángulo de 90º y si D y los hcemos coincidir con dos vértices del polígono horrremos lgún pso. Proyectremos los vértices del polígono y ortognlmente sobre cd eje de coordends pr después copir ls mgnitudes de los segmentos pr construir de nuevo el polígono. O X O X x C x x D x x C x x D x C y Y C COPI DE POLÍGONOS: Por tringulción y por copi de ángulos y segmentos, por rdición y por coordends.

23 SEMEJNZ: Dos figurs son semejntes cundo mntienen l mism form pero tienen distinto tmño y por lo tnto distint re. HOMOTECI L Homoteci es un trnformción geométric, un correspondenci biunívoc entre dos figurs en l que se cumple que ls prejs de puntos homotéticos están linedos con el centro de homoteci y los segmentos homotéticos son prlelos. HOMOTECI DIRECT HOMOTECI INVERS e 5 ' b' ' d ' ' ' '' c' '' '' o ' b c' c b' b'' c'' c ' o d' ' '' b ' 5' e' Cundo los puntos homotéticos se encuentrn linedos con el centro pero en extremos opuestos de ls rdiciones l homoteci es INVERS. Cundo los dos puntos homotéticos se encuentrn l mismo ldo respecto l centro l homoteci es DIRECT. HOMOTECI DIRECT: Ls figurs homotétics directs son semejntes y nunc son equivlentes. El fctor de proporcionlidd entre figurs homotetics directs es siempre positiv. HOMOTECI INVERS: Ls figurs homotétics inverss responden un fctor de proporcionlidd negtivo, son equivlentes si el fctor de proporcionlidd es -. En este cso l figur no es semejnte es el producto de dos simetrís xiles cuyos ejes, uno verticl y otro horizontl psn por el centro de homoteci. ELEMENTOS EN PROLEMS: Un homoteci qued definid l conocer lgunos de los siguientes dtos: - El centrro de homoteci y un pr de puntos homotéticos. - El centro y l rzón de semejnz o fctor de proporcionlidd. - Dos figurs homotétics. EN L HOMOTECI SIEMPRE SE CUMPLE - LOS PUNTOS homotéticos siempre están linedos con el centro de homoteci, mientrs que ls RECTS homotétics siempre son prlels. - Dos CIRCUNERENCIS siempre son homotétics y tienen el centro de homoteci linedo con los centros. El centro está en el punto donde se cortn ls tngentes exteriores pr homoteci direct y en el punto donde se cortn ls tngentes interiores pr l homoteci invers. Los rdios que vn prr puntos homotéticos de ls circunferencis son prlelos. CTOR DE PROPORCIONLIDD EN L HOMOTECI (Rzón de semejnz) El fctor de proporcionlidd en l homoteci viene mrcdo por l distnci entre el centro y los puntos homotéticos de l figur dd. rzón de semejnz=/ ''''' ' rzón de semejnz= -/ rzón de semejnz= -/ '''' '' ''' ' '' '' o ''' ''' '''' ''''' '''' rzón de semejnz=/ ' rzón de semejnz=/ rzón de semejnz= -/ / ''''' Tmbién podemos encontrr en rzones de semejnz frccionds. Ests vienen determinds por l división en prtes igules de l distnci entre los puntos homoteticos o uno de ellos con el centro. o / / / SEMEJNZ Y HOMOTECI

24 ESCLS GRÁICS L escl es l relción, normlmente expresd en frcción, entre ls dimensiones del gráfico o dibujo (D) y ls dimensiones reles del objeto (R). D/R: medids del dibujo dividido por ls medids de l relidd. Escls de Reducción: / ( cm del dibujo se corresponden con cm l relidd. "L mitd de..."), /5 (un quint prte de...). Se plicn principlmente en geodesi, topogrfí y rquitectur. Escls de mplición: / ( cm del dibujo se corresponden con cm de l relidd). "El doble de...", / (cm del dibujo se corresponden con cm de l relidd). Se plicn principlmente en plnos de diseño industril, por ejemplo un tuerc. Escl Nturl: / (el dibujo y el objeto rel miden lo mismo). Siempre que se posible eligiremos est escl pr el dibujo. En culquier cso l escl idone trt siempre de encontrr un solución equilibrd donde se pued observr con clridd culquier detlle del dibujo. L escl elegid siempre estrá condiciond por los tmños del objeto y ls dimensiones del fromto ( o son los más estndrizdos) empledo pr el dibujo. PROCEDIMIENTO GRÁICO Un vez determind l escl podrímos puntr sobre l figur del croquis o del plno ls medids que vmos empler pr el posterior dibujo plicndo un multipliccion y/o división. Pero este método no es relmente práctico. Sobre todo pr piezs o dibujos en los que vmos brjr grn cntidd de medids diferentes. L cosntrucción de l escl nos permitirá leer directmente, en ls longitudes de l escl, ls mgnitudes que necesitmos. E= / cm del dibujo son cm reles. 0mm E= / 7/.6 /,6 0/6,6 / 7/6 8/ 6/, 5/, /8,6 5/6,6 5/6,6 6/8 5,5/7, 0/, mm CONTR ESCL ESCL CONSTRUCCIÓN DE L ESCL VOLNTE L escl volnte es el método más práctico, rápido y limpio pr hcer dibujos escl. Relmente no es más que un dptción de l escl gráfic (ilustrción superior) modo de regl-cint métric pr copir medids sobre el dibujo. Es importnte tener en cuent y elegir correctmente ls expresiones de ls mgnitudes (mm. cm. m. Km...) y tmbién l medid más lt que v precer en el dibujo. L contr escl tiene un ppel vitl pr representr medids no enters. Como ejemplo mostrmos un escl de /. E= / 5/6,6 0mm 0mm 8/0, 5,5/7, 0/, 5/6,6 PROCEDIMIENTO: º- Trzmos un horizontl sobre l cul medimos cm. Trzmos prtir del origen un oblicu sobre l que medimos cm. Trzmos prlels pr dividr el cm inicl en dos. º- prtir de hi repetimos tnts medids sobre l oblicu como necesitemos y trzmos ls prlels sobre l horizontl. º- Llevmos sobre l oblicu l otro ldo del origen l medid de l unidd y dividimos est en diez prtes pr dibujr l contrescl. º- Mrcmos ls mgnitudes (en este cso son centímetros), prolongmos ls secciones y recortmos ESCLS: escl gráfic y escl volnte

25 Redes Modulres: Son estructurs, generlmente geometrics en ls que un figur se repite pr formr un composición. Ests figurs suelen ser polígonos o figurs equivlentes. ls redes modulres compuests por figurs que rellenn el plno sin dejr huecos se les llm teselciones. Sólmente existen tres teselciones regulres (relizds repitiendo polígonos regulres. El módulo es l figur básic que se repite en ls composiciones de ls redes modulres. Como se ve en los dibujos superiores sólo hy tres polígonos regulres que teseln el plno. El supermódulo es un figur compuest por vrios módulos básicos que ctu como módulo tmbién en l composición. MÓDULO SUPERMÓDULO Los árbes fueron especilists en desrrollr este tipo de decorción. En l cultur musulmn, debido ls doctrins del Corán, los rtists y rtesnos no deben representr figurs humns o nimles en los templos, objetos o libros religiosos. Por eso eligieron este modo de decorción, en el que no precen figurs reconocibles de persons o nimles. Pero l cultur Musulmn no h sido l únic que h desrrolldo l prtición del plno. Mtemáticos, rtists y diseñdores tmbién se hn cercdo estudir este hecho tn interesnte. Escher o Vssrelly son dos muy buenos ejemplos. Red simple de cudrdos Red compuest por superposición Red simple de Polígonos Redes modulres simples: Estn compuests por l repetición de un sol figur Redes modulres compuests: Son quells formds por dos o más figurs que se repiten. Cundo ests son teselciones ls figurs deben de ser polígonos que, unque tengn distinto numero de ldos, tienen los ldos igules. Tmbien existen redes modulres o módulos compuests por superposición de redes o módulos simples. L nomlí es un recurso plástico que consiste en lterr el orden, l posición o l form de los módulos pr trer l tención crndo efectos de movimiento, tridimensionlidd o distorsión del plno. ridget Riley y otros rtists del Op rt ern expertos plicndo este recurso visul. Ls circunferencis son tmbién muy comunes en l composición modulr. Pero l no tener ldos en sus contorno Seprción Tngenci Unión no pueden rellenr el plno en un teselción. l izquierd vemos L smners en ls que ls circunferencis se pueden disponer pr rlizr un composición con ells como módulo. Solpmiento Trnsprenci Intersección l derech vemos dos forms distints de disponer ls circunferencis en el plno. Ests dos forms ern l bses que los musulmnes emplebn pr prtir de ells, uniendo ls intersecciones conseguir distints teselciones semiregulres. Un teselción semiregulr es quell que con polígonos regulres (todos con el ldo de l mim medid) rellen el plno sin dejr hueco. LS REDES MODULRES

26 Movimientos en el plno: Geometrí dinámic: ISOMETRÍS Un movimiento es l trnsformción de l posición de un figur en el plno, en este cso nuestros módulos o tesels. Concretmente, cundo plicmos un movimiento, l tesel mntendrá su form (sus ldos, su tmño, su áre y sus ángulos serán igules: Isometrí) pero cmbirá su situción en el plno. Existen tres tipos de Isometrí: TRSLCIÓN O DESLIZMIENTO dirección mgnitud ROTCIÓN O GIRO sentido Pr girr un figur se necesit un centro de giro, un sentido y un mgnitud ngulr. El centro de giro se puede situr dentro,en los bordes o fuer de l figur SIMETRÍ O RELEXIÓN Centro de giro fuer de l figur. 5º 90º Centro de giro en un vértice, rotmos y repetimos 5 veces. L simetrí es un operción o trnsformción geométric que está presente en muchos objetos nturles y credos por el hombre. Consiste en reflejr l figur con respecto un eje de simetrí. Todos los puntos simétricos se encuentrn en un perpendiculr l eje, l otro ldo y l mism distnci. Trsldr un figur es desplzrl, empujrl. Tods ls trslciones vienen determinds por un vector. Un vector está determindo por un mgnitud (distnci), dirección y sentido Trnsformciones del módulo en teselciones: EQUIVLENCIS Y hemos visto que existen tres teselciones regulres (triángulos, cudrdos y hexágonos) y semiregulres (existen ocho), en ls que prece más de un polígono regulr. Tmbién podemos encontrrnos con multitud de teselciones cuyos módulos son polígonos iregulres y repetidos pueden rellenr el plno (triángulos irregulres, rombos o rectngulos por ejemplo). Existe l posibilidd de lterr l form del módulo (principlmente en teselciones que únicmente emplen un tesel, figur o módulo) de modo que l form lterd rellene el plno de igul modo. Se trt de empler un figur equivlente. L equivlenci es un relción entre figurs (culquier figur pln) en l que el originl y l figur equivlente tienen l mism re o superficie. Como podemos ver en ls ilustrciones rrib hemos obtenido un figur equivlente del triángulo (llmd pjrit nzrí) y otr figur equivlente del cudrdo (hueso nzrí). Hemos conseguido ls nuevs figurs recortndo y pegndo los recortes en distinto lugr. Estos recortes siguen ls leyes de ls isometrís (trslción, giro y simetrís). Existen diversos procedimientos o métodos pr obtener figurs equivlentes, plicndo isometrís, que tmbién teseln el plno como ls figurs originles. Los árbes y M.C. Escher fueron expertos en este tem. GEOMETRÍ DINMIC Y EQUIVLENCI

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA INTRODUCCIÓN L GEOMETRÍ GEOMETRÍ: Es un rm de ls mtemátics que se ocup del estudio de propieddes de puntos, rects. polígonos, etc.proviene del Griego GEO (tierr) METROS (medid). Podemos clsificr l Geometrí

Más detalles

DADO EL CUADRILÁTERO ABCD, COPIARLO A PARTIR DE A': Por copia de ángulos y segmentos

DADO EL CUADRILÁTERO ABCD, COPIARLO A PARTIR DE A': Por copia de ángulos y segmentos EL PLÍGN, PIRL PRTIR E ': Por tringulción E ' EL URILÁTER, PIRL PRTIR E ': Por copi de ángulos y segmentos ' EL HEXGN IRREGULR EF, PIRL PRTIR E ', N LS ENTRS y ' S: Por rdición ' F E EL URILTER E, PIRL

Más detalles

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).

Más detalles

A B C D E F G H I J USOS DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN TB1. Grupo. Apellido Apellido, Nombre. Fecha. Título de la lámina

A B C D E F G H I J USOS DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN TB1. Grupo. Apellido Apellido, Nombre. Fecha. Título de la lámina Emplendo l escudr y el crtbón rellen los tres espcios continución con prlels ls direcciones dds. Procur que l distnci entre ls prlels se l mism que l que te d el ejercicio y preséntlo cbdo tint negr. continución,

Más detalles

y ) = 0; que resulta ser la

y ) = 0; que resulta ser la º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0

Más detalles

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2 UNIDAD 6: GEOMETRIA ANALÍTICA 6. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistem de coordends rectngulres divide l plno en cutro cudrntes por medio de dos rects perpendiculres que se cortn en el punto O.

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"

Más detalles

Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)

Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d) 1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del

Más detalles

. Triángulos: clasificación

. Triángulos: clasificación . Triángulos: clsificción Propieddes básics importntes En todo tringulo se verific: 1.- l sum de los ángulos interiores es 180º 2.- l sum de los ángulos exteriores es 360º 3.-un Angulo exterior es siempre

Más detalles

Introducción: La palabra polígono está formada por el prefijo POLI= mucho y el sufijo GONOS que significa ángulos. Luego polígonos = muchos ángulos.

Introducción: La palabra polígono está formada por el prefijo POLI= mucho y el sufijo GONOS que significa ángulos. Luego polígonos = muchos ángulos. TEMA 2. LOS POLÍGONOS Introducción: L plbr polígono está formd por el prefijo POLI= mucho y el sufijo GONOS que signific ángulos. Luego polígonos = muchos ángulos. 1.- DEFINICIÓN: form pln delimitd por

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIONES RAZÓN: L rzón entre dos números reles y, (0), es el cociente entre y, es decir. Tmién se escrie: /,, :. PROPIEDADES

Más detalles

9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196

9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196 PÁGIN 196 Pág. 1 P RCTIC Ángulos 1 Hll el vlor del ángulo en cd uno de estos csos: ) b) 11 37 48 48 c) d) 35 40 ) 37 b 11 b 180 11 68 180 37 68 75 b) 360 48 8 13 c) 40 b b 180 90 40 50 180 50 130 d) 35

Más detalles

12. Los polígonos y la circunferencia

12. Los polígonos y la circunferencia l: ldo SLUINI 107 1. Los polígonos y l circunferenci 1. PLÍGNS PIENS Y LUL lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos:? l: ldo? 4. ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA INTROUIÓN L GEOMETRÍ GEOMETRÍ: Es un rm de ls mtemátics que se ocup del estudio de propieddes de puntos, rects. polígonos, etc.proviene del Griego GEO (tierr) METROS (medid). Podemos clsificr l Geometrí

Más detalles

GEOMETRÍA 2º DE ESO CURSO

GEOMETRÍA 2º DE ESO CURSO EJERCICIOS DE GEOMETRÍ 2º ESO Profesors: Mónic Mrtínez Espín Inmculd Grcí Ruiz Mónic Mrtínez Espín Lámins GEOMETRÍ 2º DE ESO CURSO 2018-2019 1. CRTÓN. Indic el vlor de los ángulos que formn un crtón. Ángulo

Más detalles

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.

Más detalles

Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1

Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD onceptos generles de triángulos rogrm Entrenmiento Desfío GUIEN023MT22-16V1 Mtemátic En l figur, RQ = 24 cm, RS SQ y RM SN. Si M es el punto medio de SQ y N es el punto medio de RQ,

Más detalles

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE 1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)

Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000) Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir

Más detalles

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd

Más detalles

SISTEMA DIÉDRICO. Perpendicularidad

SISTEMA DIÉDRICO. Perpendicularidad SISEMA DIÉDRICO Perpendiculridd CONCEPOS PREVIOS En el plno bidimensionl, sbemos que 2 rects son perpendiculres entre sí cundo se cortn (tendrán por tnto un punto en común) formndo un ángulo recto. En

Más detalles

TRAZADOS EN EL PLANO. Teoremas del cateto y de la altura. TEMA ti. Trazados fundamentales. Arco capaz Cuadrilátero inscriptible

TRAZADOS EN EL PLANO. Teoremas del cateto y de la altura. TEMA ti. Trazados fundamentales. Arco capaz Cuadrilátero inscriptible TRAZADOS EN EL PLANO en el plno Arco cpz Cudrilátero inscriptile Teorems del cteto y de l ltur Trzdos fundmentles TEMA ti. Ojetivos y orientciones metodológics El ojetivo de este tem es, en primer lugr,

Más detalles

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad?

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad? PÁGIN 164 El director del equipo nliz un plno en el cul 1 cm corresponde 20 m en l relidd. Su mquet de l moto es l décim prte de lrg que l moto rel. L moto de l fotogrfí es l mism que se ve en l mquet.

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 70 EJERCICIOS Áres y perímetros de figurs sencills Hll el áre y el perímetro de ls figurs coloreds de los siguientes ejercicios: 1 ) b) 3 m 3 m 1,8 m 4 m 6 m ) S3 m3 m9 m b) S 6m 1,8 m 5,4

Más detalles

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Hll el punto medio del segmento de extremos P, y Q,. Ls coordends del punto medio, M, son l

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRÍA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SINRI INL GTRÍ 1. n l figur: ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 60 ) 5. n un triángulo se trz l ltur H tl que m < = m < H. Hlle si

Más detalles

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL Mtemátics pendientes de 1º (º prcil) 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES º PARCIAL Fech tope pr entregrlos: 17 de bril de 015 Exmen el 3 de bril de 015

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRIA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRIA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SINRI INL GTRI 01. n l figur: ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 0. n un triángulo se trz l ltur H tl que m = m H. Hlle si

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a L Elipse L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Estos dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Elementos de l Elipse Vértices : A, B,

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR UNIVERSIDD NCIONL DE FRONTER CEPREUNF CICLO REGULR 017-018 CURSO: FISIC Elementos básicos de un vector: SEMN TEM: NÁLISIS VECTORIL Origen Módulo Dirección CLSIFICCION DE LS MGNITUDES FÍSICS POR SU NTURLEZ

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Circunferencia y elipse

Circunferencia y elipse GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn

Más detalles

* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3.

* La letra a representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver la figura 7.3. págin 110 7.1 DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 7.1, los focos están representdos por los puntos

Más detalles

GEOMETRÍA PLANA. VECTORES

GEOMETRÍA PLANA. VECTORES COPIRRI_Julio Césr bd Mrtínez-Los GEOMETRÍ PLN. VECTORES 1.- POLÍGONOS Polígono: Prte del plno limitd por un líne poligonl cerrd. Ldo: Segmento que une dos vértices consecutivos. En un polígono el número

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRIA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEMINARIO FINAL DE GEOMETRIA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SINRI INL GTRI 01. n l figur, ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 0. n un triángulo, se trz l ltur H, tl que m = m H. Hlle,

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución

Más detalles

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2 Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)

Más detalles

BLOQUE 4: GEOMETRÍA. Vectores. La recta en el plano. Cónicas

BLOQUE 4: GEOMETRÍA. Vectores. La recta en el plano. Cónicas BLOQUE 4: GEOMETRÍA Vectores L rect en el plno Cónics 83 4. VECTORES Hy mgnitudes que no quedn bien definids medinte un número; necesitmos conocer demás su dirección y su sentido. A ests mgnitudes se les

Más detalles

Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos

Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos olígonos Un polígono es l región del plno limitd por tres o más segmentos. lementos de un polígono Ldos: on los segmentos que lo limitn. Vértices: on los puntos donde concurren dos ldos. Ángulos interiores

Más detalles

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus

Más detalles

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza. Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

ESPA 2. es limitado longitud. que no lleguen. a tocarse. que son secantes y no se. cortan son. paralelas. origen. perpendiculares.

ESPA 2. es limitado longitud. que no lleguen. a tocarse. que son secantes y no se. cortan son. paralelas. origen. perpendiculares. CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS ESPA 2 Mtemátics y Tecnologí Unidd 4 Línes rects. Ángulos. Polígonos. Teorem de Pitágors RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS Dos puntos A y B determinnn un rect

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

b a a 1 + = si denominamos x al cociente

b a a 1 + = si denominamos x al cociente Número de oro l número de oro es l relción de proporcionlidd entre dos ojetos (líne, plno o volumen) su símolo es φ y su vlor es de 1,61803. L proporción áure se logr l dividir un segmento en dos prtes

Más detalles

, y el plano Π forma un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos:

, y el plano Π forma un ángulo β con el eje del cono, se pueden presentar los siguientes casos: Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 9 Cónics 9. Cónics Se llm cónic culquier de ls secciones plns que se producen l cortr en el espcio un doble cono recto por un plno. Si el doble cono

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL FECHA: 7 de gosto, 0 SOLUCIONARIO NIVEL C ( - ) OLCOMA II Elimintori

Más detalles

ACTIVIDADES DE GEOMETRÍA PARA 4º ESO DE EPV Nombre y apellidos:

ACTIVIDADES DE GEOMETRÍA PARA 4º ESO DE EPV Nombre y apellidos: CTIVIDDES DE GEMETRÍ PR 4º ES DE EPV Nombre y apellidos: Curso: TEM 1: TRZDS BÁSICS. 1. RECTS PRLELS Las rectas paralelas son aquellas que por mucho que las prolongues nunca se van a cortar. 1.1. Trazado

Más detalles

Transformaciones. geométricas

Transformaciones. geométricas GRU NY, S.. temátics. ES. teril fotocopible utorizdo. Trnsformciones geométrics undo visitmos l lhmbr de Grnd, quedmos fscindos por sus jrdines, ptios, fuentes, rcos, estncis... Y, sin dud, tmbién nos

Más detalles

7 ACTIVIDADES DE REFUERZO

7 ACTIVIDADES DE REFUERZO 7 ACTIVIDADES DE REFUERZO Nombre: Curso: Fech: 1. Dibuj un segmento AB de 2 cm de longitud. Trz un circunferenci con centro A y otr con centro B de 2 cm de rdio. Dibuj l rect que ps por los puntos de corte

Más detalles

Retos Matemáticos visuales

Retos Matemáticos visuales Retos Mtemáticos visules Bdjoz, 5 de junio de 207 Dpto. de Mtemátics Univ. de Extremdur Retos Mtemáticos visules Dpto. de Mtemátics Univ. de Extremdur «Retos Mtemáticos visules. 5 de junio de 207 Tem

Más detalles

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina: Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino

Más detalles

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo

Más detalles

Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos

Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos Geometrí El punto El punto es un elemento geométrico dimensionl, no es un objeto físico; describe un posición en el espcio, determind en función de un sistem de coordends prestblecido. L rect L rect, o

Más detalles

NOTA IMPORTANTE. La segunda mitad de las páginas corresponden a las soluciones de la primera mitad.

NOTA IMPORTANTE. La segunda mitad de las páginas corresponden a las soluciones de la primera mitad. NOTA IMPORTANTE L segund mitd de ls págins corresponden ls soluciones de l primer mitd. SEMEJANZAS Mnuel Blcázr Elvir TEOREMA DE THALES Sen ls rects r y t cortds por vris rects prlels según el siguiente

Más detalles

Retos Matemáticos visuales

Retos Matemáticos visuales Retos Mtemáticos visules Bdjoz, 28 de mrzo de 208 Volumen 5 c Retos Mtemáticos visules Volumen 5 Retos Mtemáticos visules. 28 de mrzo de 208 Tem Prolems visules y otros prolems Un cónic es l curv otenid

Más detalles

1. Ejercicios Primera parte. 1. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

1. Ejercicios Primera parte. 1. Clasifique en verdadero (V) o falso (F): PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ Progrm de Perfeccionmiento pr Profesores de Mtemátics del Nivel Secundrio Curso Piloto-Etp distnci 1. Ejercicios 1.1. Primer prte 1. Clsifique en verddero (V) o

Más detalles

TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO. CONICAS

TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO. CONICAS TEM 3 TRZDO GEOMETRICO. CONICS 1. CIRCUNFERENCIS...2 1.1 TNGENCIS...2 2. DIVISION DE CIRCUNFERENCIS...9 2.1 EN TRES Y SEIS PRTES IGULES...9 2.2 EN CUTRO Y OCHO PRTES IGULES...10 2.3 EN CINCO Y DIEZ PRTES

Más detalles

11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO SLUINRI 95 11. Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de

Más detalles

Enunciados y Soluciones

Enunciados y Soluciones L limpid mtemátic Espñol (oncurso Finl) Enuncidos y Soluciones 1. Es posible disponer sobre un circunferenci los números 0, 1, 2,..., 9 de tl mner que l sum de tres números sucesivos culesquier se, como

Más detalles

Lectura: Material de Referencia

Lectura: Material de Referencia Lectur: Figurs geométrics por tods prtes Triángulos Definición. Triángulo. Es l figur geométric formd por l unión de tres segmentos obtenidos por tres puntos no colineles. 1 Elementos de un triángulo i.

Más detalles

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍ (La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre elementos) PUNTO : es una posición y no tiene dimensiones. B

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO. Láminas resueltas del. TEMA 1. Construcciones geométricas básicas. Departamento de Artes Plásticas y Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO. Láminas resueltas del. TEMA 1. Construcciones geométricas básicas. Departamento de Artes Plásticas y Dibujo DIUJO TÉNIO HILLERTO Lámins resuelts del TEM 1. nstruccines gemétrics básics. Deprtment de rtes lástics y Dibuj 75º 60º 30º Nmbre de lumn 45º Deprtment de rtes lástics urs G 01 Títul de lámin RLELS Y ERENDIULRES

Más detalles

AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA

AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA Alonso Fernández Glián 1. EL TEOREMA DEL SENO AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA 1.1. OTRA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO 1.. MEDIDA DE UN ÁNGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 1.3. UN COROLARIO DEL TEOREMA

Más detalles

22 a OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMÁTICAS SOLUCIONES PARA EL EXAMEN FINAL ESTATAL

22 a OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMÁTICAS SOLUCIONES PARA EL EXAMEN FINAL ESTATAL 22 OLIMPIAA MEXIANA E MATEMÁTIAS SOLUIONES PARA EL EXAMEN FINAL ESTATAL 1 Sen A, B y los vértices del triángulo, con AB = c, B = y A = b Primer form Sen h A, h B y h ls lturs desde los vértices A, B y,

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS ASESORÍA FINAL DE GEOMETRIA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS ASESORÍA FINAL DE GEOMETRIA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SSRÍ INL GTRI 01. n l figur, ls rects L y son prlels. Hlle el vlor de x. ) 18 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 0. n un triángulo, se trz l ltur H, tl que m = mh. Hlle, si

Más detalles

4. Geometría. 4.1 Ángulos. Construir un ángulo igual a otro con el auxilio de un compás. Trazado de la bisectriz de un ángulo utilizando compás.

4. Geometría. 4.1 Ángulos. Construir un ángulo igual a otro con el auxilio de un compás. Trazado de la bisectriz de un ángulo utilizando compás. Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI 4. Geometrí 4.1 Ángulos ángulo convexo (< 180 ) ángulo llno = 180 ángulo cóncvo

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRIA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRIA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRI 0. n l figur, G es prlelo y el áre del prlelogrmo es 8 m. Hlle el áre sombred. ) m ) 8 m ) 9 m ) m ) 6m 0. n un trpecio ( // ), se tom punto

Más detalles

11 Perímetros y áreas de figuras planas

11 Perímetros y áreas de figuras planas 86464 _ 0371-0384.qxd 1//07 09:4 Págin 371 Perímetros y áres de figurs plns INTRODUCCIÓN En est unidd repsmos ls uniddes de longitud y superficie. Se introducen tmbién lguns uniddes de medid del sistem

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

La Hipérbola. César Román Martínez García Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005

La Hipérbola. César Román Martínez García  Conalep Aztahuacan. 20 de noviembre de 2005 L Hipérbol Césr Román Mrtínez Grcí cesrom@esfm.ipn.mx, mcrosss666@hotmil.com Conlep Azthucn 20 de noviembre de 2005 Resumen Estudiremos l ecución de l hipérbol 1. Hipérbol Definición 0.1 Un hipébol es

Más detalles

Instituto Tecnológico Metropolitano. Actividad práctica: el triángulo. Geometría integrada. Docente: Carlos A. Ríos Villa

Instituto Tecnológico Metropolitano. Actividad práctica: el triángulo. Geometría integrada. Docente: Carlos A. Ríos Villa Instituto Tecnológico Metropolitno Actividd práctic: el triángulo Geometrí integrd Docente: Crlos A. Ríos Vill Doctrin sine vit rrogntem reddit. Vit sine doctrin inutilem fcit. (Sore l puert del Instituto

Más detalles

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores

Más detalles

Problemas de fases nacionales e internacionales

Problemas de fases nacionales e internacionales Problems de fses ncionles e interncionles 1.- (Chin 1993). Ddo el prlelogrmo ABCD, se considern dos puntos E, F sobre l digonl AC e interiores l prlelogrmo. Demostrr que si existe un circunferenci psndo

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRIA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRIA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRI ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G // y el áre del prlelogrmo es 8. Hlle el áre de l región sombred. ) ) 8 ) 9 ) ) 6 0. n un trpecio ( // ),

Más detalles

Se dedica esta Unidad al conocimiento de los polígonos y al estudio de sus construcciones, y se inicia haciendo tres consideraciones:

Se dedica esta Unidad al conocimiento de los polígonos y al estudio de sus construcciones, y se inicia haciendo tres consideraciones: UNIDD Polígonos unque no semos conscientes de ello, los polígonos están presentes en nuestro entorno. En l nturlez, los rzos de l estrell de mr y los pétlos de lguns flores definen un pentágono, ls celdills

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRÍ ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G es prlelo y el áre del prlelogrmo es m. Hlle el áre sombred. ) m ) m ) 9 m ) m ) 6m G 0. n un trpecio (

Más detalles

LA CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS

LA CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS ISSN 1988-647 DEP. LEGAL: GR 9/7 Nº 14 ENERO DE 8 LA CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS AUTORÍA MARÍA DEL CARMEN GARCÍA JIMÉNEZ TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA BACHILLERATO, UNIVERSITARIA Resumen A prtir de l ide de

Más detalles

SEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

SEPTIEMBRE  ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme. SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS SEXTO SEMINARIO DE GEOMETRÍA UNIVRSI NINL GRRI L LIN NTR STUIS PRUNIVRSITRIS SXT SINRI GTRÍ ÁR RGINS URNGULRS 0. n l figur, G es prlelo y el áre del prlelogrmo es 8. Hlle el áre sombred. ) ) 8 ) 9 ) ) 6 0. n un trpecio ( // ), se

Más detalles