PLE: Ramificación y Acotamiento

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1 PLE: Ramificación y Acotamiento CCIR / Depto Matemáticas TC3001 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

2 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: Objetivo: Restricciones: CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

3 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: x 1 = número de mesas a fabricar y x 2 = número de sillas a fabricar. Objetivo: Restricciones: CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

4 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: x 1 = número de mesas a fabricar y x 2 = número de sillas a fabricar. Objetivo: Maximizar la utilidad: Max z = 8 x x 2 Restricciones: CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

5 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: x 1 = número de mesas a fabricar y x 2 = número de sillas a fabricar. Objetivo: Maximizar la utilidad: Max z = 8 x x 2 Restricciones: x 1 + x 2 6 (Horas de trabajo) CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

6 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: x 1 = número de mesas a fabricar y x 2 = número de sillas a fabricar. Objetivo: Maximizar la utilidad: Max z = 8 x x 2 Restricciones: x 1 + x 2 6 (Horas de trabajo) 9 x x 2 45 (Madera) CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

7 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: x 1 = número de mesas a fabricar y x 2 = número de sillas a fabricar. Objetivo: Maximizar la utilidad: Max z = 8 x x 2 Restricciones: x 1 + x 2 6 (Horas de trabajo) 9 x x 2 45 (Madera) x 1, x 2 0 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

8 La compañía TELFA fabrica mesa y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera, y una silla requiere 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dólares de utilidad y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un modelo lineal entero (PLE ó PE) para maximizar la utilidad de TELFA. Modelo Variables de Decisión: x 1 = número de mesas a fabricar y x 2 = número de sillas a fabricar. Objetivo: Maximizar la utilidad: Max z = 8 x x 2 Restricciones: x 1 + x 2 6 (Horas de trabajo) 9 x x 2 45 (Madera) x 1, x 2 0 y x 1, x 2 enteros. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

9 El Problema Lineal que se obtiene de omitir todas las restricciones enteras o del tipo 0-1 para todas las variables de un modelo de Programación Lineal Entera PLE se llama relajación PL del PLE. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

10 El Problema Lineal que se obtiene de omitir todas las restricciones enteras o del tipo 0-1 para todas las variables de un modelo de Programación Lineal Entera PLE se llama relajación PL del PLE. Hecho 1: La región factible de la relajación PL de un PLE contiene la región factible del PLE. Esto se deduce por que cada restricción que se quita (en este caso la restricción de que las variables sean enteras) hace que la región factible en el peor caso quede igual: Quitar restricciones no puede hacer más pequeña la región factible. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

11 El Problema Lineal que se obtiene de omitir todas las restricciones enteras o del tipo 0-1 para todas las variables de un modelo de Programación Lineal Entera PLE se llama relajación PL del PLE. Hecho 1: La región factible de la relajación PL de un PLE contiene la región factible del PLE. Esto se deduce por que cada restricción que se quita (en este caso la restricción de que las variables sean enteras) hace que la región factible en el peor caso quede igual: Quitar restricciones no puede hacer más pequeña la región factible. Por lo tanto: Si la región factible para la relajación PL es vacía, entonces la región factible para el PLE también es vacía. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

12 El Problema Lineal que se obtiene de omitir todas las restricciones enteras o del tipo 0-1 para todas las variables de un modelo de Programación Lineal Entera PLE se llama relajación PL del PLE. Hecho 1: La región factible de la relajación PL de un PLE contiene la región factible del PLE. Esto se deduce por que cada restricción que se quita (en este caso la restricción de que las variables sean enteras) hace que la región factible en el peor caso quede igual: Quitar restricciones no puede hacer más pequeña la región factible. Por lo tanto: Si la región factible para la relajación PL es vacía, entonces la región factible para el PLE también es vacía. Hecho 2: El valor óptimo de z para la relajación PL el valor óptimo de z para el PLE. Esto se deduce por la contención de las regiones factibles: El PL relajado tiene un espacio adicional de búsqueda que el PL y no puede empeorar. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

13 El Problema Lineal que se obtiene de omitir todas las restricciones enteras o del tipo 0-1 para todas las variables de un modelo de Programación Lineal Entera PLE se llama relajación PL del PLE. Hecho 1: La región factible de la relajación PL de un PLE contiene la región factible del PLE. Esto se deduce por que cada restricción que se quita (en este caso la restricción de que las variables sean enteras) hace que la región factible en el peor caso quede igual: Quitar restricciones no puede hacer más pequeña la región factible. Por lo tanto: Si la región factible para la relajación PL es vacía, entonces la región factible para el PLE también es vacía. Hecho 2: El valor óptimo de z para la relajación PL el valor óptimo de z para el PLE. Esto se deduce por la contención de las regiones factibles: El PL relajado tiene un espacio adicional de búsqueda que el PL y no puede empeorar. Por lo tanto, Si el óptimo de z para la relajación PL está en la región factible del PLE, entonces tal punto es el óptimo del PLE. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

14 Geometría del Problema x x x 2 = x 1 La región en amarillo corresponde a la región factible del problema relajado. Los puntos en verde corresponde a la región factible del problema con x 1 y x 2 enteros. El punto en rojo corresponde al óptimo del problema relajado: z = 41.25, x 1 = 3.75, x 2 = x 1 + x 2 = 6 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

15 Problema Nuestro problema consiste en encontrar el punto de región factible del PLE que tenga la mejor evaluación. No uno donde aproximadamente se obtenga el mejor. En general, este punto no se obtiene redondeando o truncando la solución al problema relajado. El problema consistirá en hacer una búsqueda sistemática de toda la región factible del PLE. El método de ramificación y acotamiento consiste en dividir la región factible del PLE utilizando como referencia divisiones a la región factible del problema relajado. CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

16 Geometría del Problema x x x 2 = 45 x 1 + x 2 = x x x x 2 = 45 x 1 + x 2 = x 1 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

17 Geometría del Problema x x 2 = 45 6 Subproblema 2: 5 x 2 Max z = 8 x x 2 4 x 1 + x 2 6 x 1 = 4 9 x x 2 45 x 1, x x 1 4 x 1 + x 2 = 6 1 Óptimo: x 1 z = 41, x 1 = 4, x 2 = 1.8 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

18 Geometría del Problema 9 8 x 1 + x 2 = x x 2 = Subproblema 3: x 2 4 Max z = 8 x x 2 x 1 = 4 x 1 + x x x 2 45 x 1, x x 2 = 2 x x x 1 Región Factible: Vacía CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

19 Geometría del Problema 9 8 x 1 + x 2 = x x x 2 = 45 x 1 = 4 x 2 = x 1 Subproblema 4: Max z = 8 x x 2 x 1 + x x x 2 45 x 1, x 2 0 x 1 4 x 2 1 Óptimo: z = 40.55, x 1 = 4.44, x 2 = 1 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

20 Geometría del Problema 9 8 x 1 + x 2 = x x x 2 = 45 x 1 = 4 x 1 = 5 x 2 = x 1 Subproblema 5: Max z = 8 x x 2 x 1 + x x x 2 45 x 1, x 2 0 x 1 4 x 2 1 x 1 5 Óptimo: z = 40, x 1 = 5, x 2 = 0 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

21 Geometría del Problema 9 8 x 1 + x 2 = x x x 2 = 45 x 1 = 4 x 2 = x 1 Subproblema 6: Max z = 8 x x 2 x 1 + x x x 2 45 x 1, x 2 0 x 1 4 x 2 1 x 1 4 Óptimo: z = 37, x 1 = 4, x 2 = 1 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

22 Geometría del Problema x x 2 = 45 6 x 1 = 3 Subproblema 7: 5 x 2 Max z = 8 x x 2 4 x 1 + x x x 2 45 x 1, x x 1 3 x 1 + x 2 = 6 1 Óptimo: x 1 z = 39, x 1 = 3, x 2 = 3 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

23 Algoritmo de Ramificación y Acotamiento 1. Inicializar el criterio de mejora b y la pila P = {R o }. 2. Mientras la pila P no esté vacía hacer: 2.1 Sea p = Pop(P) y sea R el conjunto de restricciones de p; 2.2 Sea s la solución al problema PL p; 2.3 Si la s tiene región factible vacía, entonces continuar (Acotar); 2.4 Si s tiene una evaluación menor o igual que b, entonces continuar (Acotar); 2.5 Si s tiene la forma de la solución buscada, entonces cambiar el criterio de mejora y la solución a reportar y continuar (Acotar); 2.6 Sea x i = c i la primer variable que no es entera es s y que lo debería serlo. 2.7 Añada (R {x i c i }) a P (Ramificar); 2.8 Añada (R {x i c i }) a P (Ramificar); CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

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52 Ejemplo 2 sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 1 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado) CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

53 Ejemplo 2 sujeto a max z = x + 2 y p 2 x 4 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 1 z : x 3 p 3 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

54 Ejemplo 2 sujeto a max z = x + 2 y p 2 x 4 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 1 z : x 3 p 3 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

55 Ejemplo 2 max z = x + 2 y p 4 y 3 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 x 4 y 2 p 1 z : p 5 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

56 Ejemplo 2 max z = x + 2 y p 4 y 3 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 x 4 y 2 p 1 z : p 5 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

57 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 x 4 y 2 p 1 z : p 5 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

58 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 x 4 y 2 p 1 z : p 5 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

59 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

60 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

61 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 y 1 p 9 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

62 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 y 1 p 9 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

63 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 y 1 p 9 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

64 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 y 1 p 9 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

65 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 x 5 p 11 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

66 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 x 5 p 11 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

67 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 x 5 p 11 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

68 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 x 5 p 11 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

69 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 x 5 p 11 z : 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

70 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 x 5 p 11 z : 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

71 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 z : 8 x 5 p 11 z : 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

72 Ejemplo 2 max z = x + 2 y Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. x 3 p 3 x 4 p 7 z : 8 x 5 p 11 z : 7 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

73 Ejemplo 2 Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 x 3 x 4 x 5 p 3 z : p 7 z : 8 p 11 z : 7 y 5 y 4 p 12 p 13 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

74 Ejemplo 2 Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 x 3 x 4 x 5 p 3 z : p 7 z : 8 p 11 z : 7 y 5 y 4 p 12 p 13 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5} 13 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

75 Ejemplo 2 Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 x 3 x 4 x 5 p 3 z : p 7 z : 8 p 11 z : 7 y 5 y 4 Vacía p 12 p 13 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5}, Simplex: RF Vacía,#(P) = [p 13 ] 13 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

76 Ejemplo 2 Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 x 3 x 4 x 5 p 3 z : p 7 z : 8 p 11 z : 7 y 5 y 4 Vacía p 12 p 13 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5}, Simplex: RF Vacía,#(P) = [p 13 ] 13 p 13 = {R o, X 3, Y 4} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

77 Ejemplo 2 Vacía p 4 y 3 Vacía p 8 y 2 sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. p 2 z : 9.81 p 6 z : 7.72 x 4 x 5 y 2 p 1 z : p 5 z : 8.58 Vacía p 10 x 6 y 1 p 9 z : 7.23 x 3 x 4 x 5 p 3 z : p 7 z : 8 p 11 z : 7 y 5 y 4 Vacía p 12 p 13 z : 11 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5}, Simplex: RF Vacía,#(P) = [p 13 ] 13 p 13 = {R o, X 3, Y 4}, Simplex: Z=11, X=3, Y=4:b = 11,P = [] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

78 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado) CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

79 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 (3.17, 4, 18) con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

80 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

81 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 (4, 2.9) con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

82 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

83 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

84 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

85 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía (4.58, 2) con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

86 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

87 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía (5, 1.36) 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

88 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

89 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

90 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

91 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía Vacía (5.23, 1) 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

92 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

93 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

94 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

95 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

96 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

97 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

98 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

99 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

100 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5} 13 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

101 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y Vacía sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5}, Simplex: RF Vacía,#(P) = [p 13 ] 13 CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

102 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas max z = x + 2 y Vacía sujeto a 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5}, Simplex: RF Vacía,#(P) = [p 13 ] 13 p 13 = {R o, X 3, Y 4} CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

103 Ejemplo 2: Desde el punto de vista de las zonas sujeto a max z = x + 2 y 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100 Vacía (3, 4) Vacía Vacía con x y y enteros y mayores o iguales que cero. Vacía 1 p 1 = {R o }(Problema relajado),simplex: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18,b =,P = [p 2, p 3 ] 2 p 2 = {R o, X 4}, Simplex: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9,b =,P = [p 4, p 5, p 3 ] 3 p 4 = {R o, X 4, Y 3},Simplex: Región Factible vacía,p = [p 5, p 3 ] 4 p 5 = {R o, X 4, Y 2}, Simplex: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0,P = [p 6, p 7, p 3 ] 5 p 6 = {R o, X 4, Y 2, X 5}, Simplex: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36,P = [p 8, p 9, p 7, p 3 ] 6 p 8 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 2}, Simplex: RF vacía,p = [p 9, p 7, p 3 ] 7 p 9 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1}, Simplex: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0,P = [p 10, p 11, p 7, p 3 ] 8 p 10 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6}, Simplex: RF Vacía,P = [p 11, p 7, p 3 ] 9 p 11 = {R o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5}, Simplex: Z=7,X=5,Y=1:b = 7,P = [p 7, p 3 ] 10 p 7 = {R o, X 4, Y 2, X 4}, Simplex: Z=8 con X=4 y Y =2:b = 8,P = [p 3 ] 11 p 3 = {R o, X 3}, Simplex: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13,P = [p 12, p 13 ] 12 p 12 = {R o, X 3, Y 5}, Simplex: RF Vacía,#(P) = [p 13 ] 13 p 13 = {R o, X 3, Y 4}, Simplex: Z=11, X=3, Y=4:b = 11,P = [] CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

104 Ejemplo 3 Suponga que la empresa ABS produce 3 tipos de productos: El producto X se vende en forma unitaria y produce una utilidad de 50 dólares la pieza; el producto Y se vende en forma unitaria y produce una utilidad de 60 dólares la pieza; y el producto Z se vende a granel produce una utilidad de 20 dólares el kilogramo. Los tres productos requieren un mismo tipo de materia prima y horas de mano de obra. Se disponen de 30 kilogramos de materia prima y 40 horas de mano de obra a la semana. Determine el plan de producción óptimo que permita maximizar las utilidades. Los requerimiendos de materia prima y mano de obra se dan en la siguiente tabla: Recurso 1 pieza X 1 pieza Y 1 kg Z Materia Prima 1.9 kg 2.2 kg 1 kg Mano obra 2.4 horas 2.8 horas 1 hora CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

105 Ejemplo 3: Árbol de búsqueda de Ramificación y Acotamiento CCIR / Depto Matemáticas PLE: Ramificación y Acotamiento TC / 45

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