Jorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada

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1 Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas II E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación I.T. Telecomunicación Esp. Telemática y Sistemas de Telecomunicación Curso Tema 6: Introducción a las ecuaciones diferenciales Jorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada

2 Tema 6 Introducción a las ecuaciones diferenciales 6.1. Introducción a las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los instrumentos más importantes de que dispone el científico para modelizar matemáticamente fenómenos que varían a lo largo del tiempo, ya sean estos de la naturaleza, de la técnica, o de cualquier otro origen. Hablando de manera general, un ecuación diferencial es aquella en la que intervienen una o varias funciones incógnitas y sus derivadas. El objetivo es hallar qué funciones verifican la ecuación. Podemos clasificar, en primer lugar, las ecuaciones diferenciales en dos categorías: Ecuaciones diferenciales ordinarias: En ellas las funciones incógnita lo son de una misma variable t, respecto a la que se toman las derivadas. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: Las funciones incógnitas son funciones de varias variables, y las derivadas son parciales respecto a alguna(s) de las variables. El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas que en ella aparecen. Ello nos proporciona una nueva caracterización de las ecuaciones diferenciales. Hablamos también de ecuaciones diferenciales explícitas (en ellas la derivada de orden más alto se encuentra despejada) e implícitas. Ejemplo La tasa de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia que queda por desintegrar. Si x(t) es dicha cantidad en el instante t, la ecuación diferencial x (t) = k x(t) modeliza este fenómeno. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. 2. Según la ley de Newton, al aplicar una fuerza F sobre un cuerpo, se le imprime una aceleración a regida por la expresión F = m a, siendo m la masa del cuerpo. Si x(t) es la posición del móvil en el instante t, y la fuerza que se imprime depende de la posición y la velocidad en cada instante, tendremos una ecuación diferencial de segundo orden mx (t) = f(t, x(t), x (t)). 6-1

3 6-2 TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 3. En el estudio de la distribución de la temperatura en una barra, si T (t, x) denota la temperatura en el instante t, en el punto de abscisa x, hallamos la ecuación k T t = 2 T x 2, el cual constituye un ejemplo de ecuación en derivadas parciales, llamada ecuación del calor. Nos vamos a ocupar en este tema de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo que hemos dicho, una ecuación diferencial ordinaria adopta la forma F (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = 0, donde F (t, x 0, x 1,..., x n ) es una función F : U R, siendo U un abierto de R n+2. El número n es el orden de la ecuación. Más generalmente, si x(t) = (x 1 (t)...., x r (t)), y x (k) (t) = (x (k) 1 (t),..., x(k) r (t)), un sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias con r incógnitas es F 1 (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = 0.. F m (t, x(t), x (t),..., x (n) (t)) = 0, donde F i : U R están definidas en un abierto U de R 1+r(n+1). Al igual que nos planteábamos, con respecto a las ecuaciones (algebraicas) lineales, problemas relativos a la existencia y unicidad de soluciones, dado un sistema de ecuaciones diferenciales como el anterior, los problemas que hemos de tratar son los siguientes: 1. Existencia de soluciones. 2. En el caso de que haya solución, es única?, o bajo qué condiciones es única? 3. Calcular las soluciones, si las hay. Una ecuación diferencial, planteada con toda generalidad, no tiene necesariamente soluciones. Ejemplo La ecuación diferencial implícita x (t) = 0 no tiene soluciones reales. 2. El sistema de ecuaciones diferenciales { x (t) +y (t) = sen t 2x (t) +2y (t) = 5 no tiene soluciones ( por qué?). Asimismo el número de soluciones de una ecuación diferencial puede ser arbitrariamente alto.

4 6.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 6-3 Ejemplo La ecuación en derivadas parciales x f x y f y = 0 admite como solución f(x, y) = h(x y), donde h es cualquier función derivable de una variable. Es decir, el conjunto de soluciones es un espacio vectorial de dimensión infinita. 2. Las soluciones de x (t) = kx(t) son de la forma x(t) = C e kt, donde C R es una constante cualquiera. El conjunto de soluciones forma, pues, un espacio vectorial de dimensión uno. Consideremos una ecuación diferencial definida explícitamente, de primer orden, es decir, x (t) = f(t, x(t)). Interpretémosla geométricamente. Se busca una función x : I R, I intervalo de R, derivable, tal que en cada punto (t 0, x 0 ) R 2 por el que pasa la gráfica de la función, la pendiente de x(t) en dicho punto es f(t 0, x 0 ). Es decir, estamos fijando en cada punto (t 0, x 0 ) del dominio de f una pendiente f(t 0, x 0 ), y buscando curvas que en cada punto tengan una pendiente prefijada. Esta asignación se denomina campo de direcciones. Una imagen simple sería la siguiente: imaginemos un paseante que a cada paso encontrase una señal que le indica la dirección a seguir. Parece claro que, si las señales están puestas de manera coherente, la trayectoria de nuestro caminante estaría determinada sin más que fijar el punto de inicio. Esto, enunciado de manera precisa, constituye el teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias, que mencionaremos a continuación. Para ello, consideramos un sistema de n ecuaciones diferenciales y n incógnitas, como sigue: x 1(t) = f 1 (t, x 1 (t),..., x n (t)).. x n(t) = f n (t, x 1 (t),..., x n (t)). Escribiremos x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) t, y F (t, x(t)) = (f 1 (t, x(t)),..., f n (t, x(t))) t. Teorema 6.4 Consideremos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias x (t) = F (t, x(t)), (E) donde F : U R n es una función continua, de clase C 1 en las variables x 1,..., x n, siendo U un abierto de R n+1. Sea (t 0, x 01,..., x 0n ) U. Entonces existen entornos abiertos I de t 0, y V de (x 01,..., x 0n ) en R n, con I V U, y una solución x : I V de (E), con x(t 0 ) = (x 01,..., x 0n ) t. Además, dicha solución es única en las condiciones anteriores, es decir, si x(t) e y(t) son dos soluciones, coinciden en la intersección de sus dominios de definición. Resumiendo, bajo condiciones de regularidad adecuadas sobre F, el resultado anterior garantiza la existencia y unicidad de soluciones, una vez fijadas unas condiciones iniciales. El problema consistente en buscar funciones x(t) tales que { x (t) = F (t, x(t)) x(t 0 ) = x 0, (x 0 = (x 01,..., x 0n ) t ) tiene solución única. Dicho problema se denomina problema de valores iniciales o problema de Cauchy.

5 6-4 TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo La ecuación x = kx tiene solución x(t) = C e kt. El problema de valor inicial { x (t) = kx(t) x(0) = x 0 admite como solución x(t) = x 0 e kt, que será la única. 2. Si la función F no es de clase C 1 en las variables x, no puede garantizarse la unicidad, aunque frecuentemente sí la existencia de soluciones. Por ejemplo, si consideramos el problema de Cauchy { x = x 2/3 x(0) = 0, las funciones x 1 (t) = 0, y x 2 (t) = t3 27 son soluciones, y x 1(0) = x 2 (0) = 0. Ocurre que x 2/3 es continua en el origen, pero no derivable. 3. El problema de valor inicial { x = x 2 x(0) = 1 admite como solución la función x(t) = 1. Observemos que, aunque el sistema está definido 1 t para todos los valores (t, x) R 2, no ocurre lo mismo con sus soluciones. Las solución anterior, que en 0 toma el valor 1, está definida en (, 1). El teorema anterior nos garantiza la existencia de soluciones, pero no nos proporciona un método de cálculo de las mismas. Ocurre que, para la inmensa mayoría de ecuaciones diferenciales, sus soluciones no pueden expresarse de forma explícita en términos de las funciones de partida, y de las funciones y operaciones elementales que todos conocemos. Ello es así incluso con ecuaciones diferenciales extraordinariamente simples. Ejemplo Si f(t) es una función continua en un intervalo abierto (a, b) R, el teorema fundamental del cálculo afirma que la ecuación diferencial x (t) = f(t) admite soluciones, es decir, que f(t) admite primitivas. Pero estas no pueden expresarse en la mayoría de los casos en términos de funciones elementales. Por ejemplo, si f(x) = e x2, la función x no admite expresión explícita de dicha manera En ocasiones, la solución de una ecuación diferencial no puede expresarse ni siquiera en términos de primitivas. Es el caso, por ejemplo, de la ecuación de Airy x (t) tx(t) = 0. Decimos que dicha ecuación no puede resolverse por cuadraturas. e t2 dt En este tema daremos una introducción sencilla a algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden ser resueltas de forma explícita. En el siguiente nos ocuparemos de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, y posteriormente de las ecuaciones lineales de orden superior a 1.

6 6.2. LA ECUACIÓN ESCALAR LINEAL La ecuación escalar lineal Comenzamos estudiando el caso de una única ecuación lineal, es decir, x (t) = a(t)x(t) + b(t), donde a(t), b(t) son funciones continuas en un intervalo abierto I R. Mostraremos cómo hallar sus soluciones. Para ello, escribimos la ecuación como x (t) a(t)x(t) = b(t). Tomamos la función ( t ) u(t) = exp a(s)ds C 1 (I), donde la expresión t a(s)ds denota una primitiva de la función a(t). Se verifica que u (t) = a(t)u(t). Multiplicamos por esta función (que nunca se anula) ambos miembros de la ecuación. Obtenemos Integrando, (u(t)x(t)) = u(t)b(t). u(t)x(t) = C + t u(s)b(s)ds, donde C R es una constante cualquiera. Así, ( t ) ( t ) t x(t) = C exp a(s)ds + exp a(s)ds u(s)b(s)ds es la solución general buscada. Si queremos buscar la única solución que verifica x(t 0 ) = x 0, imponemos esta condición en la solución general, para despejar el valor adecuado de la constante t. En el caso de que la ecuación sea homogénea, la solución general adopta la forma más simple ( t ) x(t) = C exp a(s)ds. En este caso, la ecuación escalar lineal puede resolverse completamente por cuadraturas. Además de la importancia de este caso por sí mismo, la tiene porque numerosos otros tipos de ecuaciones (no lineales), pueden reducirse a una lineal, mediante un cambio de variable oportuno, y pueden, por consiguiente, resolverse por cuadraturas Algunas ecuaciones reducibles a lineales Exponemos aquí algunos modelos de ecuaciones diferenciales que pueden ser reducidos a una ecuación lineal mediante algún cambio sencillo de variable, y por tanto ser resueltas sin dificultad Ecuaciones de Bernouilli Llamamos así a las ecuaciones del tipo x (t) = a(t)x(t) + b(t)x(t) n, con n 1. El cambio de variable reduce la ecuación anterior a y(t) = x(t) 1 n y (t) = (1 n)a(t)y(t) + 1 nb(t), la cual es lineal.

7 6-6 TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones de Riccati Se llaman así a las ecuaciones x (t) = a(t)x(t) + b(t)x(t) 2 + c(t). En general no admiten solución por cuadraturas, salvo si se conoce una solución particular x 0 (t). En este caso, el cambio de variables x(t) = y(t) + x 0 (t) reduce la ecuación de Riccati a una de Bernouilli, que puede ser resuelta Ecuaciones en variables separadas Llámase así a una ecuación del tipo x (t) = P (t) Q(x). Reciben este nombre debido a que las variables se pueden separar : Se resuelven de manera implícita por integración. Ejemplo 6.7 Resuélvase la ecuación Podemos escribir Integrando: es decir, siendo k una constante arbitraria. Q(x)x (t) = P (t). x (t) = tan x(t). tan t 1 tan x(t) x (t) = 1 tan t. log sen x(t) = log sen t + C, sen x(t) = k sen t, Ecuaciones homogéneas Son las del tipo x (t) = P (t, x) Q(t, x), donde P, Q son funciones homogéneas del mismo grado n, es decir, P (λt, λx) = λ n P (t, x), Q(λt, λx) = λ n Q(t, x). Para resolverlas, el cambio de variable la convierte en una de variables separadas. Ejemplo 6.8 Resuelve la ecuación diferencial x(t) = ty(t) x (t) = x(t)2 + 2tx(t) t 2.

8 6.4. EJERCICIOS 6-7 Es una ecuación homogénea. El cambio mencionado la convierte en ty (t) = y(t) 2 + y(t), que puede tratarse como una ecuación de variables separadas o bien como una de Bernouilli Ecuaciones exactas Se llaman así a las ecuaciones que pueden escribirse como P (t, x) + Q(t, x)x (t) = 0, y tales que P x = Q t. En esta situación, bajo ciertas condiciones (por ejemplo, que P y Q estén definidas en un entorno de un punto (t 0, x 0 )), puede encontrarse una función F (t, x) tal que F t = P, F x = Q. Si x(t) es una solución de la ecuación diferencial, se tiene que (F (t, x(t))) = 0, de donde F (t, x(t)) = C t es una ecuación implícita que verifican las soluciones. La función F se llama una integral primera de la ecuación. Ejemplo 6.9 (3t 2 + 4tx) + (2t 2 + 2x)x (t) = 0. Como x (3t2 + 4tx) = t (2t2 + 2x) = 4t, la ecuación es exacta. En este caso, la función F (t, x) = t 3 + 2t 2 x + x 2 es una integral primera. Las soluciones verifican que t 3 + 2t 2 x(t) + x(t) 2 = C. Una ecuación del tipo mencionado en este apartado, pero sin la condición de la igualdad de las parciales cruzadas puede convertirse en exacta multiplicando por un factor integrante µ(t, x). Existen diversas técnicas para hallar fantores integrantes en numerosos casos particulares, que pueden verse en distintos libros de texto, y en las que no vamos a entrar aquí con detalle Ejercicios 1. Comprobar que las siguientes ecuaciones implícitas definen soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) t 2 + x 2 = 4 ; x = t x. b) x log x = t ; x = 2tx x 1. c) t 2 sen(t + x) = 1 ; x = 2t sec(t + x) Determinar para qué valores de m la función φ(t) = e mt es solución de la ecuación x +6x +5x = Se considera la ecuación diferencial x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 x + a 0 x = 0

9 6-8 TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES donde a 0, a 1,..., a n 1 son números reales. Probar que x(t) = e mt es solución si y sólo si m es una raíz del polinomio P (X) = X n + a n 1 X n a 1 X + a Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) x + 2tx = 4t. b) x + x cot t = 5e cos t. c) tx = x + t 3 + 3t 2 2t. d) x 2x cot 2t = 1 2t cot 2t 2cosec 2t. e) x x = tx 5. f ) x + 2tx + tx 4 = 0. g) x + x = x 2 (cos t sen t). h) x + t = x 2 e t. i) x t 2 x 2 + tx = 0. j ) (x t)x + 2t + 3x = 0. k) (1 + 2e t/x ) + 2e t/x (1 t x )x = 0. l) tx = t 2 e t + x. 5. Calcular la solución general de la ecuación de Riccati y = 8ty 2 + 4t(4t + 1)y 8t 3 4t sabiendo que tiene una solución que es un polinomio de primer grado. 6. Calcular la solución general de sabiendo que y = sec t es una solución. 2 tan t sec t y 2 sec t = y 7. En un cultivo de bacterias, la velocidad de aumento es proporcional al número de bacterias existentes. Experimentalmente, se observa que se duplica cada 4 horas. Plantear y resolver la ecuación diferencial que nos da el número de bacterias existentes en el instante t, sabiendo que el cultivo se inicia con N bacterias. 8. Una ley física, debida a Newton, nos dice que la velocidad de enfriamiento de un cuerpo al aire libre es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el aire. Sabiendo que un cuerpo ha tardado 20 min en enfriarse de 100 C a 60 C, y que el aire se hallaba a 20 C, hallar la ley de enfriamiento. 9. Una hormona es segregada en la sangre en un ciclo de 24 h. La tasa de cambio del nivel de dicha hormona viene dada por el problema de Cauchy x = α β cos πt 12 kx ; x(0) = x 0 donde x(t) es la cantidad de la hormona en la sangre en tiempo t, α la tasa de secreción media, β la cantidad de variación en la secreción, y k una constante positiva que refleja la tasa en la cual el cuerpo retira la hormona de la sangre. Hallar la solución general de la ecuación, y resolver el problema de Cauchy cuando α = β = 1, k = 2, x 0 = Un barco retrasa su movimiento por la acción de la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. Si su velocidad inicial es 10 m/s, y a los 5 s su velocidad es 8 m/s, cuándo la velocidad será 1 m/s?

10 6.4. EJERCICIOS La población de un país puede estimarse por medio de varios modelos distintos. Si llamamos x(t) a la población en tiempo t, los dos modelos principales más sencillos son: El modelo Malthusiano, que conduce a una ecuación x (t) = kx(t). El modelo logístico, que tiene en cuenta la interacción entre miembros de la misma especie, así como hambre, guerras,.... En él la población viene dada por una ecuación x (t) = ax(t) bx(t) 2. En ambos casos, k, a, b son constantes positivas. En 1790, la población de los Estados Unidos era de 3.93 millones; en 1840, de millones, y en 1890 de millones. Úsense los dos primeros datos para estimar la población de aquel país en 1980 por medio del modelo Malthusiano, y los tres datos para estimarla utilizando el modelo logístico. Sabiendo que la población real en 1980 fue de millones, qué modelo se ajusta más a la realidad? Alguno de los dos modelos da una cota superior para la población? En nuestro caso, cuál es dicha cota?