Además podemos considerar diferentes tipos de medidas de resumen. Entre ellas tenemos:

Transcripción

1 MEDIDAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN Estadístca En la clase anteror vmos como resumr la nformacón contenda en un conjunto de datos medante tablas y gráfcos. En esta clase vamos a ver como resumrlos medante meddas numércas. Estos números se denomnan meddas estadístcas de resumen y los podemos calcular a partr de los datos de una muestra o de una poblacón. Para dstngurlos entre sí tenemos las sguentes defncones: 1. Una medda descrptva calculada a partr de los datos de una muestra se llama estadístco.. Una medda descrptva calculada a partr de los datos de una poblacón se llama parámetro. En esta clase sólo vamos a trabajar con las prmeras. Además podemos consderar dferentes tpos de meddas de resumen. Entre ellas tenemos: De poscón: s la nformacón que proveen se refere a la ubcacón del conjunto de datos. De varabldad o dspersón: es el caso en el que se trata de proporconar una dea acerca de la dstrbucón de los datos. MEDIDAS DE POSICIÓN Dentro de ellas se encuentran las meddas de tendenca central que las denomnamos así porque ndcan la ubcacón del centro del conjunto de datos. De acuerdo al crtero usado para determnar el centro, las tres meddas de tendenca central de uso más frecuente son: la meda artmétca, la medana y el modo. A contnuacón desarrollaremos el concepto, característcas y forma de cálculo de cada una de ellas. Meda artmétca ( x ) Es la medda de tendenca central más conocda. La mayoría de la gente tene en mente esta medda cuando hablamos de promedo. La obtenemos sumando todos los valores de la muestra y dvdendo el valor obtendo por el número de valores sumados. Su fórmula es: x n 1 x n Donde: Σ (letra grega sgma mayúscula): sgnfca que todos los valores para la varable se suman desde el prmero (1) hasta el últmo (n). x es cada dato, el subíndce varía de 1 a n, cantdad de datos de la muestra. Ejemplo: Tenemos una muestra de n 10 edades de pacentes que ngresan a una sala de emergenca. Entonces, la meda artmétca o promedo es: X Valor x 1 10 x 0 x 3 4 x 4 1 x 5 5 x 6 3 x 7 14 x 8 15 x 9 18 x 10 9 Notas de clase

2 x 10 x Estadístca años La meda artmétca tene, entre otras, las sguentes propedades: * Para un conjunto de datos hay una y sólo una meda artmétca. * Su cálculo es sencllo. * Es sensble a los valores extremos porque en su cálculo se utlzan todos los valores de la muestra. Ejercco 7 Retomemos el problema 5 de las superfces de las lesones al nco y a los 5 días de tratamento. Este últmo consstó en curas daras con el polvo de colágeno. Pacente Superfce ncal (cm ) Superfce a 5 días (cm ) a) Calcular la superfce ncal promedo de la lesón en estos 10 pacentes. b) Calcular la superfce promedo de la lesón a los 5 días en estos 10 pacentes. Ejercco 8 En el Ejercco 1 calcular el % de desnutrcón promedo de los nños allí estudados. Medana ( x ~ ) Es aquel valor de la varable que dvde al conjunto de datos, ordenado en forma crecente, en dos partes guales. De manera tal que el número de datos mayor o gual a la medana es gual al número de datos menores o guales a ésta. - S el número de valores es mpar, la medana es el valor ubcado en el centro. - S el número de valores es par, entonces la medana corresponde a la meda artmétca de los dos valores centrales. Ejemplo (n mpar) Calcular la medana en la sguente sere de datos que corresponde a años de antgüedad de 7 empleados 3, 1, 14, 1, 7, 9, 4 En prmer térmno se ordenan de manera crecente los datos de la sere 7, 1, 14, 1, 3, 4, 9 Entonces la medana que se denota ( x ~ ) es: Ejemplo (n par) Calcular la medana en la sguente sere de datos que corresponde a años de antgüedad de 6 empleados 3, 1, 14,, 7, 6 En prmer térmno se ordenan de manera crecente los datos de la sere 7, 1, 14,, 3, 6 Entonces la medana en este caso va a ser el promedo entre los dos valores centrales (.. y ). Notas de clase - 011

3 Por lo tanto la medana es:.. Estadístca Modo (Mo o xˆ ) Es aquel valor de la varable que ocurre con mayor frecuenca. S todos los valores son dferentes, decmos que la sere no tene modo. Por otro lado, puede ocurrr que haya más de un modo. Ejemplo: Calcular el modo en la sguente sere de datos que corresponde a edades de 9 pacentes x : 3, 1, 14, 1, 7, 3, 4, 1, 1 En este caso el Modo es 1 años ya que su frecuenca es 3. Mo 1 años Ejercco 9 Calcular la medana y el modo de las sguentes varables: a) Superfce ncal de la lesón b) Superfce de la lesón a los 5 días c) Reduccón porcentual de la lesón d) Porcentaje de desnutrcón Que corresponden al problema 5 (a, b y c) y al ejercco 1 (d) que desarrollamos en la prmer clase. OTRAS MEDIDAS DE POSICIÓN Otras meddas de poscón pero no necesaramente de tendenca central lo consttuyen los cuartles, decles y percentles. Los cuartles son tres valores: Q 1 : prmer cuartl, Q : segundo cuartl, Q 3 : tercer cuartl, Estos valores dvden al conjunto de datos, después de haber sdo ordenados de forma crecente, en 4 partes guales de manera tal que: Por debajo de Q 1 se encuentra el 5 % de los datos y por arrba del msmo el 75 % de la sere. Por debajo de Q se encuentra el 50 % de los datos y por arrba del msmo el otro 50 % de la sere. Es decr Q concde con la medana. Q 3 deja por debajo del msmo el 75 % de los datos y por arrba de él queda el 5 % de la sere. Cuando queremos calcular los cuartles de una sere de datos prmero tenemos que calcular sus poscones o ubcacones. Prmero ordenamos los datos de manera crecente y utlzamos las sguentes fórmulas: n + 1 Poscón de Q1 : ésma observacón ordenada 4 ( n + 1) n + 1 Poscón de Q : ésma observacón ordenada 4 3( n + 1) Poscón de Q3 : ésma observacón ordenada 4 Luego, dentfcamos en la sere de datos ordenados qué valor le corresponde a cada uno de ellos. Para entenderlo mejor hagamos los sguentes ejemplos. Notas de clase

4 Ejemplo: A contnuacón presentamos las edades de 5 pacentes que ngresan en una sala de espera a una determnada hora: 4, 4, 35,, 8, 17, 19, 7, 1, 33, 14, 37, 7, 14, 18, 31, 8, 18, 6, 36, 41, 9, 7, 7, 30 Prmero debemos ordenar los datos de manera crecente:, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 1, 14, 14, 17, 18, 18, 19, 4, 7, 8, 30, 31, 33, 35, 36, 37, 41 A contnuacón aplcamos las fórmulas establecdas prevamente para calcular las poscones o ubcacones n Poscón de Q : ( n + 1) n Poscón de Q : ( n + 1) 3(5 + 1) Poscón de Q : Cuando la ubcacón del cuartl no corresponde a un valor exacto realzamos el promedo de los dos valores entre los cuales se encontraría el cuartl que estamos calculando. En el ejemplo que estamos analzando, la poscón del prmer cuartl, Q 1, nos do 6.5. Esto sgnfca que Q 1 se encuentra ubcado entre la sexta y la séptma observacón, entonces Q 1 resulta de hacer el promedo de estas dos observacones Q años De la msma manera procedemos para el tercer cuartl, Q 3, en este caso consderamos el promedo entre la decmonovena y vgésma observacón Q años Como la poscón de Q do un valor exacto, 13, buscamos en la sere de datos ordenados el valor que le corresponde al dato que está en esta ubcacón. En el ejemplo que estamos analzando corresponde al valor 18 años, por lo tanto: Q 18 años Ejercco 10 a) Calcular los cuartles para las varables Reduccón porcentual de la lesón y Porcentaje de desnutrcón del ejercco 9. En cada uno de los casos nterprete los valores obtendos Los decles son nueve valores y dvden a la sere de datos en 10 partes guales. Los denota como Los nterpretamos de la sguente manera: D 1, D, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 D 1 es un valor que la varable que deja por debajo de él el 10 % de los datos y por encma el 90 % de la sere. D es un valor de la varable que deja por debajo de él el 0 % de los datos y por encma el 80 % de la sere. y así sucesvamente con los sguentes decles. De esta forma el D 5 concde con la medana. Los percentles son 99 y dvden a la sere de datos en 100 partes guales. Se los denota como P, con 1,,3,,,,,99. Notas de clase

5 La nterpretacón es semejante a la de los decles. Por ejemplo P 1 es un valor de la varable que debajo de él se encuentra el 1 % de los datos y por encma el 99 % de la sere. P 50 es un valor de la varable que debajo de él se encuentra el 50 % de los datos y por encma el 50 % de la sere. Este valor concde con Q, que como vmos es tambén la medana. MEDIDAS DE DISPERSIÓN La dspersón de un conjunto de observacones se refere a la varabldad que muestran estos valores. La magntud de la dspersón es pequeña cuando los valores son cercanos entre sí. Por el contraro, s los valores están amplamente esparcdos, decmos que la dspersón es grande. Como meddas de dspersón tenemos: la ampltud o rango, la varanza y la desvacón estándar. Que son meddas de varabldad absoluta. Como medda de varabldad relatva está el coefcente de varacón. Rango o ampltud (R). A esta medda la calculamos como la dferenca entre el valor más grande y el valor más pequeño de una sere de datos. R x max x mn Donde: xmax es el valor máxmo o más grande de los datos. x es el valor mínmo o más pequeño de los datos. mn Su utldad es lmtada ya que solamente depende de los valores extremos y, puedemos tener dos seres de datos con el msmo rango pero dferente varabldad ya que en el centro de la sere los datos se comportan de dferente manera. Su ventaja resde en la smplcdad de su cálculo. Ejemplo: Tenemos dsponble una muestra compuesta emergenca. por n 10 edades de pacentes que ngresan a una sala de 1, 8, 74, 15, 3, 16, 7, 58, 8, 45 Los datos ordenados son: 3, 7, 8, 1, 15, 16, 8, 45, 58, 74 Por lo tanto el rango está dado por: R xmax xmn años Varanza (s ) Cuando los valores de un grupo de datos se encuentran ubcados cerca de la meda, la dspersón es menor que cuando están más alejados de la meda. Esta dea permte consderar una medda de dspersón que tenga en cuenta la varabldad alrededor de la meda. Esta medda se conoce como varanza o varanca. Para calcularla se resta la meda de cada uno de los valores ndvduales y a estas dferencas se elevan al cuadrado y se suman. Luego a esta suma se la dvde por la cantdad de datos menos 1. Su fórmula es: s n 1 ( x n 1 Por suerte, a la varanza la podemos calcular con una calculadora centífca, pero, para entender cómo se la calcula, hagamos el sguente ejemplo: Ejemplo: Consderemos el msmo ejemplo donde calculamos la meda. Recordemos que en él vamos a calcular la varanza a mano, construyamos la sguente tabla: x 17 años. Como Notas de clase

6 x ( x ( x Estadístca Entonces: s n 1 ( x n años Desvacón estándar (s) Es la raíz cuadrada de la varanca, s s n 1 ( x n 1 Para la sere de datos del ejemplo que usamos para calcular la varanca tenemos: ( x s n años Observacón: las undades en las que se expresa la desvacón estándar son las undades orgnales de la varable (años, en este caso en partcular). Coefcente de varacón (CV) Cuando queremos comparar la varabldad de dos conjuntos de datos, la comparacón drecta de las dos desvacones estándar puede dar resultados equvocados. Esto ocurre s las dos varables nvolucradas tenen meddas en dferentes undades (por ejemplo s comparamos estatura y peso) o s utlzando las msmas undades de medcón, las dos medas pueden ser dferentes (por ejemplo s comparamos pesos de nños y de adultos). En estos casos necestamos una medda que exprese la desvacón estándar como porcentaje de la meda. S La expresón es: C.V. 100 x La desvacón estándar y la meda se expresan en las msmas undades y por lo tanto obtenemos una medda admensonal que al multplcarla por cen da el valor en porcentaje. Veamos el sguente ejemplo: Muestra I Muestra II Edad meda 3 1 Peso medo Desvacón estándar de los pesos 7 7 Notas de clase

7 S comparamos las desvacones estándar de las dos muestras referda a los pesos, parecería ndcar que presentan ambas muestras la msma varabldad. Pero calculamos los CV para ambas muestras obtenemos: Coefcente de Varacón Muestra I Muestra II 7 7 C.V % C.V % S observamos los valores obtendos entonces la conclusón es dferente. La muestra I presenta menor varabldad que la muestra II. Ejercco 11 a) Interprete las sguentes expresones que leímos en el artículo Estudo comparatvo de dos protocolos de control de glucema en el postoperatoro de crugía cardaca (Enfermería en Cardología Nº 37/006) en la prmera clase: el número de glucemas en el PE fue de 11.80±3.3 y de 6.50±.85 en el PS La meda de glucema (laboratoro) en el PE fue de 108.0±1.96 y de 135.9±34. b) Calcule los coefcentes de varacón (CV) en cada uno de los casos e nterprételos. c) Más adelante el artículo dce: Nuestro estudo demuestra que tenemos un mejor control de la glucema de nuestros pacentes, con una menor dspersón de los resultados (fg 6) Con lo que hemos vsto hasta ahora, está de acuerdo con esta afrmacón. Cómo serán las desvacones estándar de cada grupo? Problema 9 En un artículo sobre el Conocmento que poseen las enfermeras ntensvstas sobre el cudado al pacente poltraumatzado con soporte ventlatoro antes y después de partcpar en un programa educatvo teórco práctco ( los autores presentan la sguente tabla sobre los valores medos y desvacón estándar del puntaje obtendo por el Personal de Enfermería en el Manejo del Equpo de Ventlacón Mecánca (VM) Antes y Después del Programa. Grupo x ± s Manejo del Equpo de VM (Máxmo Posble: 68 Puntos) Antes 38.7 ± 9.3 Después 55.0 ± 5.3 El puntaje promedo aumentó después de la aplcacón del Programa? Qué efecto pudo haber producdo el Programa sobre la varabldad de los puntajes obtendos? Una forma de resumr los datos del cuadro es a través de gráfcos de barra de error. Gráfco de barra de error Estos gráfcos nos permten dentfcar la varabldad de los datos. La estructura del msmo se basa en una línea con un punto central que dentfca el valor de la meda artmétca o promedo. Sendo la longtud de esta línea (barra de error) la que ndca el número específco de desvacones estándares (s, s ó 3 s). Cómo lo construmos? 1. Calculamos la meda y la desvacón estándar de un conjunto de datos.. Dbujamos una línea, vertcal u horzontal, en ella ubcamos un punto. Éste representa el valor de la meda. A ambos lados del punto, a una separacón de un desvío estándar, por ejemplo, hacemos un guón perpendcular a la línea, y ya está termnado. Podemos usarlos para comparar la varabldad de varos conjuntos de datos. Notas de clase

8 Una aplcacón de la desvacón estándar Cuando los datos se concentran de manera que sea posble suponer que provenen de una dstrbucón con la sguente forma de campana (conocda como dstrbucón normal) es posble utlzar una regla que ndca el porcentaje de observacones aproxmado que caen en un determnado ntervalo de valores. Esta forma de dstrbucón de datos con forma de campana se presenta frecuentemente en la naturaleza y es por eso que la aplcacón de la regla resulta muchas veces práctca. Regla empírca S la dstrbucón de medcones tene una forma aproxmada de campana: El ntervalo x ± s contene aproxmadamente 68% de las medcones El ntervalo x ± s contene aproxmadamente 95% de las medcones El ntervalo x ± 3 s contene a todas o cas todas las medcones (99%) Así, s supésemos que los puntajes en la Prueba de Manejo del Equpo de VM antes y después del Programa tenen una dstrbucón con forma de campana, la nformacón que nos brnda el cuadro va más allá de la nformacón de la meda y el desvío estándar calculados para los puntajes obtendos. Por ejemplo, suponendo que los puntajes en la Prueba de Manejo del Equpo de VM antes del Programa tenen dstrbucón acampanada, podemos afrmar que (a partr solo del cálculo de x y s) aproxmadamente el 95% de los puntajes obtendos son valores del ntervalo ( , ) (0.1, 57.3). Ejercco 1 En relacón al Problema 9 responda las sguentes preguntas: a) Cuál es el ntervalo que contene aproxmadamente todos los puntajes obtendos por los enfermeros antes del Programa? b) Cuál es el ntervalo que contene aproxmadamente el 68% de los puntajes obtendos por los enfermeros después del Programa? Ejercco 13 Notas de clase

9 Como sabemos, los hstogramas nos permten obtener a través de los datos una aproxmacón de la dstrbucón de la varable en estudo. El hstograma que mostramos a contnuacón corresponde a los días que llevaba cada uno de 15 pacentes de Asstenca Respratora Mecánca a los que se les realzó una broncoendoscopía. Es adecuado aplcar para este conjunto de datos la regla empírca? Por qué? Rango ntercuartílco (RI) Es una medda de dspersón, que mde la ampltud exstente entre el 50 % de los datos centrados en la medana. Numércamente es la dferenca entre los valores del tercer y prmer cuartl dando una dea de la dstanca entre estos cuartles. Su mplementacón ha sdo de gran utldad, dado que refleja claramente cuan concentrada está la mtad de los datos respecto del valor del segundo cuartl. Su fórmula es: RI Q 3 - Q 1 Con esta dstanca quedan dos colas una a la zquerda del prmer cuartl y otra a la derecha del tercer cuartl y ambas contenen el 5 % de los datos. Gráfco de cajas Este gráfco srve para representar datos numércos se basa en los cuartles. Sumnstra nformacón sobre los valores mínmo y máxmo, los cuartles (Q 1, Q o medana y Q 3), sobre la exstenca de valores atípcos y la smetría de la dstrbucón. Es especalmente útl para comparar dstrbucones de varos conjuntos de observacones. Para construr un dagrama de caja segumos los sguentes pasos: 1. Construmos una escala de referenca (horzontal o vertcal).. Calculamos los cuartles (Q 1, Q y Q 3) y el rango ntercuartílco (RI Q 3 - Q 1). 3. Calculamos dos valores f 1 y f 3 que llamaremos barreras nterores, de la sguente manera: f 1 Q 1 1,5 RI y f 3 Q 3 + 1,5 RI 4. Identfcamos en el conjunto de datos los valores a 1 y a 3 que llamaremos valores adyacentes. El punto a 1es el dato más cercano a f 1 sn menor que él. El punto a 3 es el dato más cercano a f 3 sn ser mayor que él. Notas de clase

10 5. Localzamos todos los puntos (Q 1, Q y Q 3, f 1, f, a 1 y a 3) en la escala horzontal o vertcal, según hayamos elegdo. 6. Dbujamos una caja con los extremos en el prmer y tercer cuartl. Marcamos la medana (Q ) con una línea nteror en el lugar adecuado. 7. Unmos los valores adyacentes a la caja por medo de líneas, generando así los bgotes de la caja. 8. S exsten datos que queden fuera de las barreras nterores, los dbujamos con círculos abertos. A estos datos los conocemos como datos atípcos. Ejemplo. Los sguentes datos (ordenados de menor a mayor) corresponden a los tempos de hosptalzacón, en días, después de una crugía de cráneo. 8, 9, 9, 1, 13, 15, 15, 17, 3, 4, 1, 8, 33, 36, 37, 6, 38, 1, 45, 44, 78 Calculamos los cuartles, que para estos datos son: El rango ntercuatílco es RI Q 3 Q Las barreras nterores son: f () -19, f () 69 En este caso a 1 8 y a 3 44 Q 114, Q 3, Q 3 36; Solamente tenemos un dato que cae fuera las barreras nterores, en el lado derecho, que es el 78. Ahora podemos construr el dagrama que nos queda: Volvamos ahora al ejemplo de los días de ARM de pacentes a los que se les realza una Broncoendoscopía. Los msmos datos que están representados en el hstograma anteror ahora los muestramos en el sguente gráfco. Qué observamos en él? Notas de clase

11 - En el eje vertcal está ndcada la escala de medcón utlzada para los datos, en este caso, los días de ARM. - La caja central (el rectángulo más grande) representa a la mtad de las observacones centrales, está delmtada por el cuartl 1 y el cuartel 3. - La línea del centro representa a la medana de los datos. - Las líneas y los puntos por fuera de la caja representan la otra mtad de los datos. La línea nferor, el cuarto de los datos más chcos. La línea superor y los puntos (en este caso), el cuarto de los datos más grandes. - Los puntos representan datos que están alejados de la mayoría y son dentfcados como datos atípcos. Qué característcas de la dstrbucón de los datos encontramos en un dagrama de caja? - Muestra los cnco números resúmenes: mínmo, cuartl nferor, medana, cuartl superor, máxmo. - Permte estudar la smetría de la dstrbucón. - Nos da un crtero de deteccón de datos atípcos. Como ya djmos, estos gráfcos son muy útles para comparar varas dstrbucones. Los sguentes gráfcos corresponde a la msma varable de antes (Día ARM) pero según el tratamento que recben al momento de realzar la broncoendoscopía (Con Antbótco (C/A) o Sn Antbótco (S/A)). Ejercco 14 Descrbr ambos gráfcos y compararlos. Notas de clase