Unidad Temática 1 Estadística descriptiva y análisis de datos

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1 Autoevaluación UT1 Unidad Temática 1 Estadística descriptiva y análisis de datos Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Definiciones preliminares, tipos de datos y variables 1. Desde el punto de vista estadístico, las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. 2. Si se ha recopilado la información deseada para los elementos de un subconjunto que representa a una población objeto de estudio, se está en presencia de un censo. 3. Si el Ministro de Educación está interesado en el rendimiento de los estudiantes argentinos, medido por el promedio de calificaciones, las unidad de análisis son los establecimientos educativos del país. 4. La rama de la estadística que se ocupa de utilizar datos de una muestra para hacer inferencias acerca de la población en estudio, se conoce con el nombre de estadística descriptiva. 5. El nivel de estudios o escolaridad de los empleados de una empresa es una variable cuantitativa. 6. El número de hijos de los trabajadores de una fábrica es una variable cuantitativa continua. 7. El color de ojos de las personas es una variable cualitativa que se mide en una escala nominal. 8. Una escala nominal consiste en categorías mutuamente excluyentes que no implican un orden jerárquico entre ellas. 9. El cargo que ocupa un empleado en la empresa, es una variable cualitativa y se mide en escala ordinal. 10. La antigüedad de un empleado en una institución pública es una variable numérica que se mide en una escala nominal. 11. La escala de intervalo es una forma de medida más completa que la escala ordinal, ya que permite discernir no sólo qué valor observado es el más grande, sino también por cuánto. 12. Los datos primarios son siempre de mejor calidad que los datos secundarios. 13. Los censos, en general, resultan muy costosos, difíciles de realizar e incluso en algunos casos pueden resultar imposibles de llevar a cabo. 14. El número del piso desde el que es llamado un ascensor de un edificio en altura, es una variable numérica continua. 15. El promedio de los resultados obtenidos al lanzar dos dados, es una variable numérica continua. 16. Cuando el conjunto de valores que puede tomar una variable es finito, es decir, se puede contar, se dice que la variable es discreta. Estadística descriptiva y análisis de datos 1

2 Autoevaluación UT1 17. Las variables continuas son aquellas en que los datos resultantes de las mediciones, pueden tomar cualquiera de los valores de una escala continua, en el rango para el cual está definida la variable. De otro modo, pueden tomar el continuo de valores entre el mínimo y el máximo observado. 18. Las gráficas circulares y gráficas de barras, son herramientas útiles para descripción gráfica de conjuntos de datos cuantitativos. 19. Las gráficas circulares también se las conoce con el nombre de gráficas de pastel, gráficas de torta o gráficas de sectores. 20. Las gráficas de barras pueden representarse tanto con barras verticales como horizontales. 21. En el diagrama de Pareto, las categorías de la variable cualitativa deben disponerse en orden decreciente por altura (o frecuencia) y se muestra una poligonal acumulativa superpuesta a las barras. 22. Para representar las gráficas de barras o las circulares, se pueden emplear tanto frecuencias absolutas como relativas. 23. La representaciones de las gráficas de barras y gráficas circulares en escala relativa (proporción o porcentaje), tienen la ventaja de independizarse del tamaño de la muestra a partir de la cual se obtuvo la información. 24. Las gráficas de sectores resultan más apropiadas, es decir, más cómodas de leer, cuando se tiene variables cualitativas con una gran cantidad de categorías, por ejemplo Cuando se tiene una variable cualitativa, las categorías en que se agrupan los datos para representarlos mediante una gráfica de barras, son mutuamente excluyentes. 26. En las gráficas de barras, las barras no deben pegarse una a otras. 27. Si la población estudiantil de una Universidad es de alumnos, para representar gráficamente el turno en que cursan los estudiantes (mañana, tarde o noche), se puede utilizar tanto una gráfica de sectores como una gráfica de barras. 28. La gráfica de puntos encuentra su mejor aplicación en el caso de conjuntos de datos pequeños. 29. Las distribuciones de frecuencias sacrifican algunos detalles, pero ofrecen información acerca del patrón de comportamiento de los datos. 30. El histograma es una representación gráfica que se utiliza para representar variables numéricas; no se utiliza para variables cualitativas. 31. Al agrupar los datos en tablas de frecuencias, un dato particular del conjunto de datos, debe pertenecer a una y sólo una clase o categoría, por lo que se dice que las clases son completamente inclusivas. 32. La organización de los datos por categorías o clases permite identificar patrones de comportamientos evidentes de los mismos. 33. A partir de una distribución de frecuencias, se puede reconstruir una lista con la totalidad de los datos observados a partir de la cual se construyó dicha tabla. Estadística descriptiva y análisis de datos 2

3 Autoevaluación UT1 34. Una distribución de frecuencias es una tabla en la que organizamos los datos en clases y se muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases. 35. Las clases en que se agrupan los datos en una tabla de frecuencias, deben ser completamente inclusivas, esto significa que, los datos que más se repiten deben incluirse en una misma clase. 36. Las clases de una distribución de frecuencias deben ser mutuamente excluyentes y completamente inclusivas. 37. De ser posible, conviene que todas las clases de una distribución de frecuencias tengan el mismo ancho; de lo contrario, tendríamos una distribución mucho más difícil de interpretar. 38. Para construir las distribuciones de frecuencias, como regla general, los estadísticos aconsejan utilizar entre 20 y 25 clases. 39. El número de clases que se utiliza para construir la distribución de frecuencias es independiente de la cantidad de datos disponibles. 40. La fórmula de Sturges, da el número de clases de una distribución de frecuencias y puede utilizarse para iniciar la exploración a partir de la misma: k = 1 + 3,3 log n. 41. Sea cual sea el conjunto de datos que se desea representar gráficamente, para determinar el número de clases, es indistinto emplear la fórmula de Sturges o la fórmula n. 42. Las gráficas de distribuciones de frecuencias simples y de distribuciones de frecuencias relativas resaltan y aclaran los patrones que no se pueden distinguir fácilmente en las tablas. 43. Los histogramas se pueden construir utilizando tanto las frecuencias absolutas como las frecuencias relativas. 44. La frecuencia relativa simple de cualquier clase particular, se obtiene calculando el cociente entre el número de observaciones que entran en la clase y el número total de observaciones realizadas. 45. En una distribución de frecuencias, la suma de todas las frecuencias relativas de todas las clases, es igual al número total de observaciones realizadas. 46. Cuando el histograma se construye utilizando frecuencias relativas, resulta fácil comparar los datos de muestras de tamaños diferentes. 47. La marca de clase de una distribución de frecuencias se calcula haciendo la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la clase correspondiente. 48. Los polígonos de frecuencias sólo se pueden utilizar para representar las distribuciones de frecuencias relativas. 49. El polígono de frecuencias construido con las frecuencias simples absolutas, tiene la misma forma que el polígono de frecuencias simples relativas construido a partir del mismo conjunto de datos, pero con una escala diferente en los valores del eje vertical. 50. La representación gráfica de la distribución de frecuencias acumuladas mediante una poligonal, se conoce con el nombre de ojiva. Estadística descriptiva y análisis de datos 3

4 Autoevaluación UT1 51. La ojiva es una representación gráfica que se puede construir utilizando frecuencias acumuladas absolutas o relativas, indistintamente. 52. La ojiva se construye uniendo los puntos dados por los pares ordenados (punto medio de clase; frecuencias acumuladas de clase), con trazos rectos que dan lugar a una poligonal. 53. En una distribución de frecuencias, la notación Fri se refiere a las frecuencias de clase relativas acumuladas. 54. Dada la representación gráfica de una ojiva, a partir de la misma es posible reconstruir los datos originales exactos con los que se construyó la misma. 55. Si la lectura de la ojiva para la variable en estudio en la clase (12 ; 14] de una tabla de frecuencias arroja el valor 30%, debe interpretarse que el 30% de los datos están comprendidos en el intervalo (12 y 14]. 56. Si la lectura de la ojiva para la variable en estudio en la clase (2,5 ; 3,5] de una tabla de frecuencias arroja el valor 60%, debe interpretarse que el 40% de los datos son mayores que 3, Para describir en palabras el patrón de comportamiento de los datos, se puede hacer referencia a la simetría o asimetría de la distribución, a la presencia o no de modas en la distribución, así como al lugar en que tienden a agruparse los datos en la escala de la variable. En la Tabla 1 se presenta la distribución de frecuencias para el peso, en gramos, de 35 monedas de diez centavos. Tabla 1. Distribución de frecuencias para el peso de 35 monedas de diez centavos. Límites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias Acumuladas Clase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa... 1 (2,13 2,16] 2, , , (2,16 2,19] 2, , , (2,19 2,22] 2, , , (2,22 2,25] 2, , , (2,25 2,28] 2, , , (2,28 2,31] 2, , , (2,31 2,34] 2, , , El 14,29% de las monedas de la muestra pesó más de 2,19 gramos, pero no superó los 2, El 71,43% de las monedas de la muestra tiene un peso que no pasa de 2,25 gramos. 60. Hay 10 monedas en la muestra cuyo peso está por encima de los 2,25 gramos. 61. Ocho monedas de la muestra tienen un peso que en la distribución de frecuencias queda representado por el valor 2,265 gramos. 62. Las frecuencias de clase simples relativas de la Tabla 1 están expresadas en porcentaje. Estadística descriptiva y análisis de datos 4

5 Autoevaluación UT1 63. De acuerdo a la información de la Tabla 1, la moneda más liviana de la muestra pesa 2,13 gramos. 64. El número de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuesto por la fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log n. 65. El número de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuesto por la fórmula n. 66. Uno de los puntos de la representación gráfica de la ojiva correspondería al par ordenado (x ; F ): (2,25 ; 33). 67. En la muestra se observaron 8 monedas con un peso igual a 2,265 gramos. 2. Descripción de un conjunto de datos: Métodos numéricos. 68. La media aritmética de un conjunto de datos siempre coincide con alguno de los valores centrales del conjunto de valores observados. 69. La media aritmética siempre está comprendida entre los valores máximo y mínimo observados. 70. La media aritmética resulta siempre la mejor medida de tendencia central de un conjunto de datos numéricos. 71. En todo conjunto de datos numéricos, la media es un valor mayor o igual que cero. 72. La media aritmética es la mejor medida de tendencia central de un conjunto de datos categóricos. 73. Si la media o promedio de las calificaciones de un examen de Estadística, en la escala del cero al diez, resulta exactamente igual a diez puntos, el rango de tales calificaciones debe ser igual a cero. 74. Doce alumnos rinden un examen de Estadística, son calificados en la escala del cero al diez y la mediana de las calificaciones es igual a seis. En tales condiciones, podría ocurrir que más de cinco alumnos obtuvieran una calificación de siete puntos o más. 75. La suma de las desviaciones respecto de la media aritmética es siempre igual a cero. 76. Dado un conjunto numérico de datos de tamaño n > 1, la mediana puede o no existir. 77. La mediana es una medida de tendencia central sensible a los datos apartados de la muestra. 78. La mediana del siguiente conjunto de datos {2, 5, 7, 1, 3} es igual a La moda puede no existir y cuando existe no necesariamente es única. 80. Dado un conjunto de mediciones resultantes de un experimento, la moda puede no coincidir con alguno de los valores observados. 81. La moda del siguiente conjunto de datos {3, 3, 3, 3, 3} es igual a El valor de la media aritmética de un conjunto de datos categóricos es siempre menor que la moda de los mismos. Estadística descriptiva y análisis de datos 5

6 Autoevaluación UT1 83. En todo conjunto de datos numéricos, la moda es un valor mayor o igual que cero. 84. Si un conjunto de datos no tiene moda, debe interpretarse que el valor numérico de la moda es igual a cero. 85. La moda es una medida de tendencia central que puede calcularse tanto para datos numéricos como para datos categóricos. 86. Si se tiene un conjunto de datos resultantes de medir la temperatura en el Parque General San Martín a la hora 8, podría suceder que se observe más de una moda. 87. La mediana es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos numéricos. 88. La media aritmética es la medida que mejor describe la posición central del siguiente conjunto de datos {1; 2; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 312}. 89. En el siguiente conjunto de datos{ 2, 1, 0, 1, x}, x podría asumir un valor tal que la media sea menor que la mediana. 90. Es suficiente calcular las medidas de tendencia central de una muestra, para proporcionar un resumen apropiado y acabado del conjunto de datos del cual proviene. 91. El rango del conjunto de datos siguiente { 6, 2, 0, 2, 6} es igual a cero. 92. El rango de un conjunto de datos, siempre y sin restricción alguna, es un valor mayor o igual que cero. 93. Si el rango del conjunto de datos siguiente {1, 2, 3, x, 3, 2, 1} es igual a tres, el valor de x sólo podría asumir el valor cero. 94. El rango es una medida pobre de la variabilidad, en particular si el tamaño de la muestra es grande; considera sólo los valores extremos y no nos dice nada acerca de la distribución de los valores intermedios. 95. La varianza del siguiente conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1} es igual a Cuando la desviación estándar de un conjunto de datos numérico es menor que cero, debe interpretarse que todos los datos son menores que la media aritmética. 97. La desviación estándar de un conjunto de datos, nunca puede resultar mayor que la media del mismo conjunto de datos. 98. Si la desviación estándar de la estatura de los alumnos de la Universidad es igual a 9 centímetros y la desviación estándar del promedio de calificaciones de los mismos alumnos es de 3 puntos, se debe concluir que la dispersión de las calificaciones es menor que la dispersión de las estaturas. 99. Si el rendimiento de un grupo de alumnos que es evaluado en Estadística resulta óptimo, digamos que todos obtienen por lo menos ocho puntos sobre diez, nada impide que la desviación estándar de las calificaciones resulte igual a 4 puntos Si la unidad de medida de la desviación estándar de una variable se expresa en metros, la varianza lo estará en metros cuadrados El coeficiente de variación permite comparar la dispersión o variabilidad de conjuntos de datos diferentes, incluso medidos en unidades diferentes El coeficiente de variación de cualquier conjunto de datos numéricos, expresado en porcentaje, está comprendido entre cero y cien. Estadística descriptiva y análisis de datos 6

7 Autoevaluación UT Si la desviación estándar del caudal del Río X es de 45 m³/s y la desviación estándar del caudal del Río Y es de 240 m³/s, se debe concluir que los caudales del Río Y están más dispersos que los del Río X Si una distribución tiene sesgo positivo, es asimétrica a derecha En cualquier conjunto de datos numéricos distribuidos simétricamente, media, mediana y moda son coincidentes Si una distribución de frecuencias de clase relativas resulta simétrica, la distribución de frecuencias acumuladas también lo será Si el tercer cuartil de un conjunto de datos observados es igual a 35, el 25% de los datos del conjunto es mayor que Si el valor del sexto decil de un conjunto de datos es igual a 8, significa que la sexta parte de los datos son iguales o inferiores a El percentil cincuenta de un conjunto de datos siempre coincide con el segundo cuartil Dado el conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 5, 5, 5} se cumple que el segundo decil es menor que el tercer cuartil Si se sabe que el percentil diez de un conjunto de datos es igual a 10, el primer decil será igual a En algunos conjuntos de datos, podría encontrarse que el percentil 22 resulte mayor que el cuartil inferior Si un fabricante de puertas para viviendas debe decidir qué altura darle a las mismas para una producción estándar, se le debe sugerir que adopte para las puertas, una altura igual a la estatura media de las personas adultas del mercado en el que se venderán dichas puertas Las estadísticas obtenidas de las muestras nos proporcionan información acerca de la tendencia central de los datos y de su dispersión, mientras que la presentación gráfica de los datos agrega información adicional en términos de imagen El gráfico de caja y extensión es una representación que muestra, para muestras razonablemente grandes, el centro de la localización, la variabilidad y el grado de asimetría de los datos Los gráficos de caja y extensión no permiten realizar comparaciones visuales entre muestras Los datos apartados (valores extremos) se deben identificar específicamente tanto en los gráficos de caja y extensión como los histogramas de frecuencias Tres de los datos necesarios para construir un gráfico de caja y extensión son: el primer cuartil, la mediana y el percentil setenta y cinco Datos apartados son aquellos que se encuentran por encima del tercer cuartil y por debajo del primer cuartil, más allá de 1,5 veces el rango intercuartil Los gráficos de caja y extensión NO proporcionan información sobre la variabilidad de los datos. Estadística descriptiva y análisis de datos 7

8 Autoevaluación UT El gráfico de caja múltiple se puede utilizar para comparar la misma variable en muestras distintas Si el gráfico de caja es perfectamente simétrico, la varianza del conjunto de datos con que se construyó es igual a cero En el gráfico de caja, la caja siempre encierra exactamente el 50% de las observaciones Si se tiene un conjunto de cuarenta datos numéricos, el diagrama de tallos y hojas ofrece una información más detallada que el histograma de frecuencias Si se tiene un conjunto de cuarenta mil datos numéricos, el diagrama de tronco y hojas resultaría una representación más apropiada que el histograma de frecuencias, ya que da una información más detallada El valor Z debe estar comprendido entre 1 y Si el valor Z que le corresponde a una observación particular de la muestra, x, es negativo, debe interpretarse que el valor de x es menor que cero Si Pedro rindió una prueba de Estadística y obtuvo una calificación tal que el valor Z correspondiente es igual a 2, debe interpretarse que Pedro aprobó el examen Pedro y Juan son estudiantes de la clase de Estadística. Pedro tiene una estatura que coincide con la estatura promedio del grupo, mientras que a la estatura de Juan le corresponde un valor Z igual a 2,95. Debe interpretarse entonces que Juan tiene una estatura apenas por debajo de la de Pedro La media de los valores Z de un conjunto de datos numéricos es siempre igual a La desviación estándar de los valores Z de un conjunto de datos numéricos, puede arrojar un valor comprendido entre 0 y Aspectos éticos 132. Debe distinguirse entre una mala presentación de los datos y una presentación que carece de ética La conducta NO ÉTICA se da cuando el analista oculta hechos a propósito y/o distorsiona tablas o gráficos; también, cuando no incluye los hallazgos pertinentes No entregar un trabajo en término por estar enfermo, es una conducta NO ÉTICA. Estadística descriptiva y análisis de datos 8

9 Autoevaluación UT2 Unidad Temática 2 Probabilidad Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. El experimento que consiste en lanzar un dado legal y observar el resultado obtenido, es un experimento estadístico. 2. El experimento que consiste en seleccionar al azar una semana cualquiera del año calendario y observar el día de la semana que sigue al día lunes, es un experimento estadístico. 3. Se denomina espacio muestral, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico. 4. Dado un experimento estadístico, sólo es posible definir un evento o suceso de interés en el mismo. 5. Dados los resultados de un experimento estadístico, es posible definir un subconjunto del espacio muestral, φ, denominado conjunto vacío y que no contiene elemento alguno. 6. El conjunto vacío, φ, sólo es posible definirlo para algunos experimentos estadísticos. 7. La intersección de dos eventos G y H da por resultado un evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a G, que pertenecen a H, o que pertenecen a ambos. 8. Un evento o suceso, está formado por una colección de puntos muestrales, que constituye un subconjunto del espacio muestral. 9. Dados dos eventos no excluyentes e independientes, A y B, si P(A) = 0,15 y P(B) = 0,40, entonces se cumplirá que P(A B) = 0, Dados dos eventos complementarios, D y E, se cumple siempre que P(D) + P(E) = Si después de lanzar un dado legal diez veces se obtienen los siguientes resultados: {2, 3, 5, 1, 5, 4, 1, 3, 4, 2}, se puede afirmar que la probabilidad de que el resultado de un nuevo lanzamiento sea el 6, es igual a 1/ Si se cumple que: P(M) + P(N) = 1, se debe concluir entonces que los eventos M y N son complementarios. 13. No se puede calcular probabilidades de eventos que consideren datos categóricos. 14. La probabilidad de que al lanzar una moneda legal dos veces se obtenga una cara, es igual a 0, La probabilidad de que al lanzar una moneda legal tres veces se obtenga una cara, es igual a la probabilidad de que al lanzarla tres veces, se obtengan dos caras. 16. En determinadas situaciones particulares, por ejemplo, cuando al realizar un experimento estadístico la ocurrencia de un evento dado es físicamente imposible, el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de tal evento, puede arrojar valores menores que cero. Probabilidad 9

10 Autoevaluación UT2 17. El teorema de la probabilidad total exige que el espacio muestral esté constituido por una partición de subconjuntos mutuamente excluyentes. 18. Se sabe que la probabilidad de que llueva el primer lunes de junio en Mendoza es igual a 0,03. También se sabe que la probabilidad de que promocionen el curso de Estadística más de la mitad de los alumnos inscriptos, es igual a 0,20. Dado que llueve el primer lunes de junio en Mendoza, la probabilidad de que más de la mitad de los alumnos inscriptos promocionen el curso de Estadística, es igual a 0, Dado un experimento estadístico en el que pueden ocurrir los eventos H y K, se puede verificar que: P(K H) = P(K).P(K H). 20. Se sabe que una moneda está cargada y que la P(CARA) = 2/3 y la P(CRUZ) = 1/3. Se puede afirmar entonces que, la probabilidad de que al lanzarla dos veces se obtengan dos caras, es igual a 4/ Si arrojamos un dado legal dos veces, el espacio muestral es finito y está compuesto por 36 eventos simples. 22. La probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos al lanzar dos dados legales sea igual a dos, es igual a 2/ Si dos eventos V y L son complementarios, se cumplirá siempre que P(V L) = Dados dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, si P(A B) = 2/3 y P(A ) = 1/3, entonces los eventos A y B son independientes. 25. Si A y B son dos eventos cualesquiera, definidos en el mismo espacio muestral, entonces se cumple siempre que P(A B) = P(A) + P(B). 26. Se dice que dos eventos definidos en el mismo espacio muestral, A y B, son independientes, si se cumple la siguiente igualdad: P(A B) = P(A) + P(B). 27. Si dos eventos J y K definidos en el mismo espacio muestral son independientes, se cumple que: P (J K) = P(J). P(K). 28. Una regla multiplicativa importante está dada por el teorema que dice que si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los eventos M y N, entonces se cumple que: P(M N) = P(M N). P(N). 29. Si una moneda es insesgada, la probabilidad de que al realizar un lanzamiento se obtenga cara, es igual a la probabilidad de que al realizar un lanzamiento se obtenga una cruz, y vale 0, Para calcular la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado legal, se debe recurrir a la definición de probabilidad frecuencial. 31. Dados dos eventos A y B no excluyentes e independientes, con probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos P(A) = 0,45 y P(B) = 0,35, entonces se cumple que la P(A B) = 0, Dados dos eventos definidos en el mismo espacio muestral, J y K, mutuamente excluyentes, con P(J) = 0,20 y P(K) = 0,10, se cumple que la P(J K) = 0, Dados tres eventos mutuamente excluyentes, A, B y C, definidos en un mismo espacio muestral, se cumple que: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C). Probabilidad 10

11 Autoevaluación UT2 34. Dados dos sucesos disjuntos A y B, de un mismo espacio muestral, con P(A) = 0,30 y P(B) = 0,20, entonces se cumplirá que: P(A B) = 0, La probabilidad de ocurrencia de un evento cualquiera A varía entre y +. Opción Múltiple Seleccione con una X la opción que considere correcta. Tenga en cuenta que cada ítem ha sido construido de modo tal que sólo una de las cuatro opciones es correcta. No obstante, podría ocurrir que las tres primeras opciones sean correctas y que la cuarta opción indique Todas las anteriores; en tal caso, debe seleccionar sólo la cuarta opción. 36. Cuál de las siguientes opciones es una afirmación correcta? a) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, se dice también que son incompatibles. b) Si dos eventos son independientes, son también incompatibles. c) Si dos eventos son disjuntos, se dice también que son compatibles. d) Si dos eventos son NO mutuamente excluyentes, se dice también que son disjuntos. 37. Si la probabilidad de ocurrencia de un evento A no se ve afectada por la ocurrencia de otro evento B, se dice que los eventos A y B son: a) Dependientes. b) Independientes. c) Mutuamente excluyentes. d) Complementarios. 38. Dados dos eventos definidos en un mismo espacio muestral, A y B, con P(A) > 0 y P(B) > 0, si la P(A B) = 1, puede suceder que: a) A y B sean mutuamente excluyentes. b) Las áreas en el diagrama de Venn se solapen. c) P(A) = P(B) d) Todas las anteriores. 39. La probabilidad de que un valor escogido al azar de una población determinada sea mayor o igual que la mediana de la población es igual a: a) 0,25 b) 0,50 c) 1,0 d) No se puede responder con la información disponible. 40. Los eventos resultantes de lanzar al aire una moneda insesgada son mutuamente excluyentes porque: a) El resultado de cualquier lanzamiento no se ve afectado por los resultados de los lanzamientos que le anteceden. b) La probabilidad de obtener cara es igual a la probabilidad de obtener cruz. c) No se pueden presentar cara y cruz como resultado del mismo lanzamiento. d) Ninguna las anteriores. Probabilidad 11

12 Autoevaluación UT2 41. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y se representan en un diagrama de Venn: a) Las regiones de A y de B quedan solapadas. b) Las áreas encerradas por las regiones de A y de B son siempre iguales. c) La región de B debe quedar incluida en la región de A. d) Ninguna de las anteriores. 42. Suponga que se lanza un dado legal una vez. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) La probabilidad de obtener un número mayor que uno, es igual a: [ 1 P(obtener uno) ]. b) La probabilidad de obtener un tres es igual a [ 1 P(obtener uno, o dos, o cuatro, o cinco o seis) ]. c) La probabilidad de obtener un cinco o un seis es igual a la probabilidad de obtener un tres o un cuatro. d) Todas las anteriores. 43. Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes, la P(A B) se obtiene de la siguiente manera: a) Calculando P(A) + P(B). b) Restando P(A B) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ]. c) Calculando la diferencia: {1 [ P(A) + P(B) ]} d) Sumando P(A B) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ]. 44. Se lanza un dado no cargado dos veces consecutivas y usted debe trazar el diagrama de árbol de probabilidades que muestre todos los resultados posibles de los dos lanzamientos. Cuántas ramas tendrá su árbol? Tenga en cuenta a todas las ramas del árbol. a) 6 b) 12 c) 36 d) 42 e) Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradas de 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. Cuál es la probabilidad de que una esfera seleccionada al azar de dicha urna sea azul? a) 0,1 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 46. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradas de 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. Cuál de las siguientes afirmaciones resulta verdadera? a) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) = 0,1 b) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) < 0,1 c) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) > 0,1 d) P(la esfera seleccionada sea verde / se saca la esfera #2) = 0,4 Probabilidad 12

13 Autoevaluación UT2 47. Simbólicamente, una probabilidad condicional es: a) P(A B) b) P(A B) c) P(A B) d) P(AxB) 48. Cuáles de las siguientes condiciones de aplicación corresponden al teorema o regla de Bayes? a) Independencia. b) Un evento observado A ocurre con cualquiera de k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos. c) Hay k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos que tienen idéntica probabilidad de ocurrencia. d) Todos los anteriores. 49. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes se cumple que: a) A B = Ø b) P(A B) = 0 c) P(A B) = P(A) + P(B) d) Todas las anteriores. 50. Dado un evento A y su complemento A, entonces se cumple que: a) 0 < [ P(A) + P(A ) ] < 1 b) P(A) = P(A ) c) P(A ) se puede calcular a partir de la P(A) d) Todas las anteriores. 51. Cuál de las condiciones siguientes se debe dar para calcular una probabilidad frecuencial? a) Es suficiente realizar una vez el experimento aleatorio. b) No es necesario realizar previamente el experimento aleatorio. c) Es necesario basarse en la subjetividad. d) Ninguna de las anteriores. 52. Dados dos eventos A y B independientes, con P(A) > 0 y P(B) > 0, se cumple que: a) P(A B) = 0 b) P(A B) = P(B) c) P(A B) = P(A). P(B) d) P(B A) = P(B) 53. Dados los eventos A y B, se cumple que P(A B) = P(A).P(B) cuando: a) A y B son independientes. b) P(A B) = P(A) c) P(B A) = P(B) d) Cualquiera de las anteriores. Probabilidad 13

14 Autoevaluación UT2 54. Se tiene dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral, A y B, con P(A) = 0,6 y P(B) = 0,4. Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? a) A y B son eventos complementarios. b) A y B son eventos compatibles. c) A y B son eventos independientes. d) No hay información suficiente para responder. 55. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Si P(A) = 1 P(B) entonces A y B son eventos complementarios. b) Si P(A/B) = P(B) entonces A y B son eventos independientes. c) Si A y B son eventos incompatibles, entonces P(A B) = Ø d) Ninguna de las anteriores. Probabilidad 14

15 Autoevaluación UT3 Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento estadístico. 2. Por convención, las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula de nuestro alfabeto, por ejemplo X, y los particulares valores de la misma, con su correspondiente letra minúscula, en este ejemplo x. 3. Sólo es posible definir una variable aleatoria para cada espacio muestral. 4. El número de valores que puede tomar una variable aleatoria discreta es contable (ya sea finito o infinito numerable). 5. Una variable aleatoria discreta sólo puede tomar valores enteros. 6. Una variable aleatoria discreta sólo puede asumir valores positivos. 7. El volumen de nafta que se pierde por evaporación durante el llenado del tanque de combustible, es una variable aleatoria discreta. 8. El número de moléculas raras presentes en una muestra de aire es una variable aleatoria continua. 9. Las variables aleatorias continuas representan datos que se obtienen continuamente, mientras que las variables aleatorias discretas representan datos que se obtienen de vez en cuando. 10. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, mientras que las variables aleatorias discretas representan datos contados. 11. El número de artículos defectuosos en una muestra de k artículos es una variable aleatoria discreta. 12. Si se toma el registro de la temperatura ambiente en una estación de mediciones de una localidad determinada en tres momentos del día, la temperatura media diaria es una variable aleatoria discreta. 13. El número de sismos que ocurren por año en un lugar determinado, es una variable aleatoria discreta. 14. El número de conexiones soldadas que no cumplen con ciertos estándares de calidad, de las 800 que tiene un circuito impreso, es una variable aleatoria discreta. 15. El tiempo que tardan los alumnos en resolver su examen final de Estadística, es una variable aleatoria continua. 16. El conjunto de pares ordenados [ x, f(x) ] se llama función de probabilidad, función masa de probabilidad, función de cuantía o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X. Variable aleatoria 15

16 Autoevaluación UT3 17. Algunos autores expresan, que la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta X, es una tabla, gráfica o fórmula que da la probabilidad f(x) asociada a cada posible valor x. 18. La probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores menores o iguales que el particular valor x, está dada por el valor de la función masa de probabilidad f(x). 19. La función de probabilidad f(x) de una variable aleatoria discreta X, siempre y sin restricciones, asume valores iguales o mayores que cero. 20. Tanto en el caso de variables aleatorias discretas como continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria Y tome el particular valor y, está dado por el valor de f(y). 21. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, se define sólo para los valores que toma la variable aleatoria en estudio. 22. La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X, con distribución de probabilidad f(x), toma valores entre y La gráfica de barras para representar una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], uniendo los puntos al eje x, ya sea con una línea punteada perpendicular al eje o con una línea sólida. Las distancias de los puntos al eje están dadas por las probabilidades f(x), medidas en el eje de ordenadas. 24. El histograma de probabilidad para representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], de modo que sus bases, de igual ancho, se centren en cada valor de x, y sus alturas sean iguales a las probabilidades, f(x). 25. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, es una función escalonada que se obtiene graficando los puntos [ x, F(x) ]. 26. Dada una variable aleatoria discreta X con función de probabilidad f(x), se cumple siempre la siguiente igualdad: P (X < x ) = P (X x ). 27. Si la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X toma el valor f(3)=0,15, debe interpretarse que la probabilidad de que dicha variable exceda el valor 3 es 0, Si la función de la distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X toma el valor F(2)=0,4, debemos interpretar que la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 2 es igual a 0, Una de las condiciones que debe cumplir la función de masa de probabilidad, f(x), de la variable aleatoria discreta X, es que 1 f(x) Si se tiene una variable aleatoria discreta X, la función de masa de probabilidad f(x 1 ), nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome el particular valor x La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome exactamente uno de sus valores posibles es igual a cero. 32. Al igual que en el caso de variables aleatorias discretas, la forma tabular [ x, f(x) ], es una de las formas posibles de expresar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X. Variable aleatoria 16

17 Autoevaluación UT3 33. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), se cumple siempre que la P(X < x) = P(X x). 34. En la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X, las probabilidades deben leerse en el eje de ordenadas. 35. La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X, siempre y sin restricciones, toma valores iguales o mayores que cero. 36. La función de densidad de probabilidad f(y) de una variable aleatoria continua Y, no puede tomar valores mayores que uno. 37. Cuando una variable aleatoria continua X toma el particular valor x = mediana, la función de distribución acumulada toma el valor 0, Algunas variables aleatorias continuas, encierran un área total bajo la curva de la función de densidad de probabilidad inferior a uno. 39. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), se cumple que P(X = x) = 0. Esto debe ser interpretado como que es imposible que la variable aleatoria X asuma el particular valor x. 40. Si se tiene una variable aleatoria continua U con función de densidad de probabilidad f(u) y función de distribución acumulada F(u), siempre se cumple lo siguiente: P(u 1 U < u 2 ) = F(u 2 ) F(u 1 ), donde u 2 > u 1 son particulares valores de la variable aleatoria U. 41. Si se tiene una variable aleatoria continua V con función de densidad de probabilidad f(v), siempre se cumple que: P(a V < b) = P(a V b), donde a y b son particulares valores de la variable aleatoria V. 42. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X siempre podrá definirse sólo para los valores positivos de la variable. 43. Si se tiene una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), en la representación gráfica de f(x) en función de x, la probabilidad de que la variable tome el particular valor x 1 se lee en el eje de ordenadas para el particular valor x La función de la distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X no toma valores menores que cero. 45. Dada una variable aleatoria discreta X, si F(7) = F(5), entonces f(7) = f(5). 46. Si X es una variable aleatoria continua que toma valores sólo en el intervalo [2; 4], entonces la función f(x) = 0,5 puede ser la función de densidad de probabilidad de la variable X. 47. El polígono de frecuencias, construido a partir del histograma de frecuencias relativas de una variable aleatoria continua X, resulta muy útil para ajustar una estimación de la función de densidad de probabilidad f(x). 48. La mediana de una variable aleatoria continua X, se puede obtener a partir de la función de distribución acumulada, para el valor particular de x = 0, La variable aleatoria X, definida como el promedio de los resultados obtenidos al lanzar dos dados legales, es una variable aleatoria discreta. 50. Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x) Variable aleatoria 17

18 Autoevaluación UT3 definida en el intervalo [3; 6], se cumplirá siempre que la P(X 3) = Clasificar las variables aleatorias en discretas o continuas Para responder los siguientes ítems escriba, a la izquierda del número del ítem, la letra D si considera que se trata de una variable aleatoria discreta o la letra C si considera que es continua. 51. Resistencia a tracción de las barras de acero del tipo ADM-420 (N), en MN/m². 52. Número de vehículos controlados por día, en el acceso a Mendoza por Desaguadero. 53. Producción diaria de agua potable en la planta de tratamiento Alto Godoy, Mendoza, en miles de m³/día. 54. La sección de una viga de madera puede formarse abulonando dos escuadrías. Se dispone de secciones individuales de (3"x 2"); (3"x 3") y (3"x 4"). Sea X la variable a clasificar, definida como la altura total de la sección obtenida, de base igual a 3". 55. Tiempo de secado de una pintura de secado rápido, observado en el panel de ensayo. 56. Número de permisos de construcción de edificios, por año, otorgados por la municipalidad de Godoy Cruz, en la provincia de Mendoza. 57. Superficie implantada con frutales en la provincia de Mendoza, en Ha, declarada cada año. 58. Consumo de energía eléctrica por tipo de actividad productiva en la provincia de Mendoza, en MWh / año. 59. Cantidad de líneas telefónicas instaladas, por año, en la provincia de Mendoza. 60. Superficie construida por año, en la ciudad Capital de Mendoza, en m² / año. 61. Número de accidentes de tránsito por año, en rutas argentinas. 62. Volumen anual de efluentes cloacales tratados por la planta depuradora de Campo Espejo, en hm³ / año, en la provincia de Mendoza. 63. Número de instalaciones eléctricas inspeccionadas anualmente por la municipalidad de Guaymallén. 64. Gas entregado anualmente en la provincia de Mendoza, por tipo de usuario, en miles de m³ / año. 65. Una empresa comercializa entablonados de madera en espesores de 1/8, 1/4 o 3/8 de pulgada. La variable aleatoria es el espesor del entablonado solicitado en dos pedidos recibidos. Variable aleatoria 18

19 Autoevaluación UT3 2. Esperanza, varianza y combinaciones lineales de variables aleatorias Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 66. Es común entre los estadísticos, referirse a la media como la esperanza matemática o el valor esperado de la variable aleatoria X y denotarla como E(X). 67. La fórmula para calcular el valor esperado de variables aleatorias continuas, es la misma que se utiliza para calcular el valor esperado de las variables aleatorias discretas. 68. El valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3, Si el valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5, debe interpretarse que los resultados que más se repiten son el 3 y el El valor esperado de una variable aleatoria, describe cómo se distribuye la función de probabilidad en su rango. 71. El valor esperado de la variable aleatoria Y = 2X 1, es igual al doble del valor esperado de la variable aleatoria X. 72. La media o valor esperado de una variable aleatoria X resulta de especial importancia en estadística, pues describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad. 73. Si el valor esperado de una variable aleatoria asume un valor menor que cero, debe interpretarse que, físicamente, es imposible que la variable tome ese particular valor. 74. Si una variable aleatoria tiene una varianza pequeña, esperaríamos que la mayor parte de las observaciones se agrupen cerca y alrededor de la media. 75. La varianza de la variable aleatoria Y = 2X 1, es cuatro veces mayor que la varianza de la variable aleatoria X. 76. Sea X la variable aleatoria definida como las calificaciones de los estudiantes de Ingeniería en Estadística; y sea Y la misma variable en Álgebra. Si se cumple que E(X) = E(Y) y que la V(X) > V(Y), dado el valor de la media de X y un intervalo alrededor de la misma, se cumplirá que la probabilidad de que la variable Y tome valores dentro de dicho intervalo, es mayor. 77. Si se tiene un histograma simétrico de una distribución discreta de probabilidad, se debe concluir que la variabilidad en la distribución es nula. 78. La varianza de una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), es el valor esperado del cuadrado de las desviaciones respecto de su media. 79. Una forma de obtener la varianza de una variable aleatoria X es, haciendo la diferencia entre el valor esperado del cuadrado de la variable, y el valor esperado de la variable elevado al cuadrado. 80. El valor esperado de una constante es siempre igual a cero. 81. El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable aleatoria. 82. El valor esperado de la suma algebraica de dos variables aleatorias, es siempre igual a la suma de los valores esperados de las mismas. Variable aleatoria 19

20 Autoevaluación UT3 83. El valor esperado del producto de dos variables aleatorias, es igual al producto de los valores esperados de las mismas, siempre y sin excepción. 84. La varianza de una constante es siempre igual a la constante elevada al cuadrado. 85. La varianza de una constante por una variable aleatoria, es igual al cuadrado de la constante multiplicado por la varianza de la variable aleatoria. 3. Teorema de Chebyshev 86. La proporción de valores que toma una variable aleatoria entre dos valores simétricos alrededor de la media, está relacionada con la desviación estándar de la variable aleatoria. 87. El teorema de Chebyshev, proporciona una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones estándar de su media, para cualquier número real k. 88. El teorema de Chebyshev encuentra su más plena aplicación, cuando la variable en estudio se distribuye normalmente. 89. Según el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que una variable aleatoria cualquiera, tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media, es exactamente igual a: 1 1/k². 90. Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad f(x) es conocida y se desea saber la probabilidad de que la variable asuma valores en el intervalo μ ± 2σ, es el caso más apropiado para utilizar el teorema de Chebyshev. Variable aleatoria 20

21 Autoevaluación UT3-2 Unidad Temática 3 UT3-2: Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Distribución uniforme discreta 1. En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con idéntica probabilidad. 2. El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la inversa de la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. 3. La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al lanzar dos monedas legales sigue una distribución de probabilidad uniforme. 4. La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), siempre coincide con uno de los valores para los cuales está definida la variable. 5. La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), NO está relacionada con el número de valores que puede tomar la variable. 2. Distribución binomial 6. En la distribución binomial las pruebas que se repiten pueden ser dependientes o independientes. 7. El número X de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. 8. La media de la distribución binomial de parámetros n y p, viene dada por el producto np. 9. El rango de valores de una variable aleatoria binomial va de cero a p. 10. Los resultados del experimento que da lugar a la generación de una variable aleatoria binomial, son independientes. 11. La varianza de la distribución binomial puede calcularse en función de la probabilidad con que ocurre cada éxito y del número de veces que se realiza la prueba en el experimento. 12. El espacio muestral de un experimento Bernoulli puede representarse de manera genérica, como {éxito, fracaso}. 13. Dado un valor de n pequeño, para valores pequeños del parámetro p, digamos menores de 0,05 por ejemplo, la distribución binomial será sesgada a la izquierda. 14. Cuando la probabilidad de éxito en un proceso Bernoulli es de 0,20, la gráfica de la distribución binomial resultante al realizar el experimento cinco veces es simétrica. Distribuciones de variables aleatorias discretas 21

22 Autoevaluación UT El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces, sigue una distribución binomial. 16. Se tiene un examen de opción múltiple que contiene diez preguntas; cada pregunta tiene cuatro opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial. 17. Los valores que puede tomar una variable aleatoria que sigue una distribución binomial, siempre están comprendidos entre cero y uno, inclusive. 18. Las distribuciones binomiales para valores del parámetro p = 0,5 tienen una representación gráfica simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media de la distribución. 19. Para un valor fijo de n, la distribución se vuelve más simétrica a medida que el parámetro p aumenta desde 0 hasta 0,5, o disminuye desde 1 hasta 0, Para un valor fijo de p, la distribución binomial se vuelve más simétrica a medida que n aumenta. 21. La media y la varianza de una variable aleatoria binomial, dependen sólo de los parámetros n y p. 22. Si X ~ binomial (x; n, p), para n = 10 y p = 0,98, la representación gráfica de la función masa de probabilidad, resultará sesgada a la izquierda. 23. Si p = 0,4 en un proceso Bernoulli, entonces el cálculo de: 7 C 3. (0,4) 3. (0,6) 4 da la probabilidad de obtener tres o más éxitos en 7 ensayos. 24. Una variable aleatoria binomial asume valores entre el y el El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces sigue una distribución binomial y la representación gráfica de la distribución es simétrica respecto del valor x = Si una máquina que tiene la herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas, el número de piezas defectuosas en las siguientes 25 que produzca, sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 100 y p = 0, Un examen de opción múltiple está formado por 10 preguntas; cada pregunta tiene 5 opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 50 y p = 0, Distribución hipergeométrica 28. La distribución hipergeométrica es de suma utilidad en aplicaciones en el campo del control de calidad, donde el muestreo de aceptación se realiza con ensayos destructivos. 29. La variable aleatoria hipergeométrica NO asume valores negativos. 30. El modo en que se realiza el muestreo (con o sin reposición), genera diferencias entre la distribución binomial y la distribución hipergeométrica. 31. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, se debe repetir el Distribuciones de variables aleatorias discretas 22