Números reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.

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1 Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es ecesaria la itroducció de u uevo cojuto umérico. Los úmeros complejos aparece co la itroducció de los úmeros imagiarios, I; éstos lleva implícita la operació x = a, cuya solució se represeta como x = ± ai; i es el úmero imagiario más coocido y fue cocebido por el matemático suizo Leohard Euler, quie lo defiió como i = 1. La figura.1 muestra la costrucció de los cojutos uméricos coocidos. Números imagiarios Números aturales Números complejos Números racioales Números eteros Números egativos Números reales Números fraccioarios Números irracioales Figura.1. Costrucció del cojuto de los úmeros complejos. Forma biómica U úmero imagiario queda defiido como todo aquél que tega la forma bi, dode b es u úmero real cualquiera. Para obteer ese úmero se utiliza las mismas reglas de operació de los úmeros reales. x = b 2 = ( 1)(b 2 ) = 1 b 2 = bi Co base e esta defiició, se puede obteer úmeros imagiarios como 2i, 7i, 2 i, 2i, [ ], y verificar que la propiedad de completitud tambié está presete e el cojuto de úmeros imagiarios. Cuado se desea ecotrar las solucioes de ecuacioes como x 2 + 4x + 1 = 0, se obtiee raíces que o so úmeros imagiarios; utilizado la ecuació geeral de segudo grado se obtiee x = 4 ± Ig. Aldo Jiméez Arteaga

2 = 2 ± 6 2 = 2 ± i Lo cual se podría iterpretar como la suma de u úmero real y u úmero imagiario. Pero e realidad, este tipo de úmeros es ua extesió de los reales y los imagiarios, coocidos como los úmeros complejos (C). U úmero complejo es ua expresió de la forma z = a + bi, dode a y b so reales, e i es la uidad imagiaria i = 1. De maera formal se tiee que: C = {z z = a + bi; a, b R, i 2 = 1} Detro del úmero complejo se distigue dos partes idepedietes etre sí: la parte determiada por a, coocida como parte real; y la parte deotada por bi, llamada parte imagiaria. Si se cosidera el caso e el cual a = 0, etoces el úmero complejo será coocido como úmero imagiario puro; por otra parte, si b = 0, etoces se coocerá como úmero real puro. Igualdad La igualdad etre úmeros complejos es equivalete a probar la igualdad etre dos pares de úmeros reales. Si se tiee dos úmeros complejos z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i, etoces z 1 = z 2 a 1 = a 2, b 1 = b 2 Es decir, las partes reales debe ser iguales etre sí, y las imagiarias tambié debe ser iguales etre sí. Si algua de las dos igualdades o se cumple, etoces o existirá igualdad etre ambos úmeros. Cojugado E Álgebra, se defie al cojugado de u biomio como x + a = x a. Si se toma e cueta que u úmero complejo es u biomio, etoces su cojugado estará dado por: a + bı = a bi E este caso, la parte imagiaria será la úica afectada al mometo de obteer el cojugado de u úmero complejo. EJEMPLO.1. Los úmeros complejos z 1 = 1 + 2i y z 2 = 1 2i o so iguales; se verifica que 1 = 1 para la parte real, pero 2 2 e la parte imagiaria. Eso sigifica que z 1 z 2. Si embargo si se verifica que Por lo tato 1 + 2ı = 1 2i z 1 = z 2 2 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

3 Represetació gráfica Ua propiedad iteresate de los úmeros complejos es que puede represetarse como ua pareja ordeada de úmeros reales, y se puede dibujar como putos detro de u plao coordeado XY. Esta forma es coocida como represetació gráfica de u úmero complejo, y está defiida por el siguiete isomorfismo: z = a + bi (a, b) Para esta represetació se ha coveido e respetar el orde detro de la forma biómica: la primera compoete del úmero complejo será la parte real y la seguda la parte imagiaria. De esta forma, se deduce que el eje destiado para situar la parte real es el eje de las abscisas, e tato, que el eje de las ordeadas represetará al eje imagiario; a este caso especial de plao coordeado se le cooce como plao complejo o plao de Argad, el cual puede visualizarse e la figura.2. I 2 + 2i i (4, 0) (,.5) (4, 1) R 5i Figura.2. Plao de Argad. Así, a cada úmero complejo le correspode uo y sólo u puto detro del plao, y viceversa, cada puto represeta uo y solamete u úmero complejo. E la figura.2 se observa represetados seis putos, los cuales puede escribirse e su forma de biomio o e forma de pareja ordeada. z 1 = 2 + 2i ( 2, 2) z 2 = i 10 2, 9 2 z = 4 ( 4, 0) z 4 = 4 i (4, 1) z 5 =.5i (,.5) z 6 = 5i (0, 5) Ig. Aldo Jiméez Arteaga

4 Operacioes y sus propiedades: adició, sustracció, multiplicació y divisió. Propiedades del cojugado Las operacioes detro de los úmeros complejos debe ivolucrar tato a la parte real como a la imagiaria. E este caso, las operacioes como la adició y la sustracció o cotempla la combiació de ambas partes, e tato que el producto y el cociete sí lo hace. Adició y sustracció La adició y la sustracció de úmeros complejos se realiza de maera idética que e los úmeros reales; la diferecia radica e que se opera parte real co parte real y parte imagiaria co parte imagiaria. Sea z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i dos úmeros complejos cualesquiera; las operacioes de suma y resta se defie como: 1. z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i 2. z 1 z 2 = (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 )i La adició de úmeros complejos (y la sustracció, siedo u caso especial de la adició) cumple las siguietes propiedades: Cerradura z 1 + z 2 C Comutativa z 1 + z 2 = z 2 + z 1 Asociativa z 1 + (z 2 + z ) = (z 1 + z 2 ) + z Elemeto eutro z 1 + (0 + 0i) = z 1 Elemeto iverso z 1 + ( z 1 ) = 0 + 0i EJEMPLO.2. Se desea obteer la suma y la resta de los úmeros z 1 = 5 + 4i y z 2 = 9 i. Para la suma: Para la resta: z 1 + z 2 = ( 5 + 4i) + (9 i) = ( 5 + 9) + (4 )i = 4 + i z 1 z 2 = ( 5 + 4i) (9 i) = ( 5 9) + (4 + )i = i Multiplicació y divisió Las operacioes de multiplicació y divisió preseta cierta diferecia co respecto a sus homólogas e los úmeros reales. E estos casos, las partes real e imagiaria debe iteractuar etre sí para obteer el resultado de la operació. Es ecesario recalcar la importacia de la defiició de la uidad imagiaria i 2 = 1, ya que al mezclarse ambas partes el producto de térmios imagiarios se vuelve real. 4 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

5 E la multiplicació se opera como si se tratase de u biomio ordiario; es decir, se opera térmio a térmio y al fial se reduce los térmios semejates. (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 a 2 i + b 1 b 2 i 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i El cociete de dos úmeros complejos debe realizarse utilizado el cojugado de úmero complejo: se debe multiplicar tato el dividedo como el divisor por el cojugado del divisor, y realizado las reduccioes algebraicas ecesarias. a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i = a 1 + b 1 i a 2 + b 2 i a 2 b 2 i a 2 b 2 i = a 1a 2 a 1 b 2 i + a 2 b 1 i b 1 b 2 i 2 a 2 2 a 2 b 2 i + a 2 b 2 i b 2 2 i 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 a 1 b 2 )i a b 2 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) a (a 2b 1 a 1 b 2 ) 2 + b 2 a 2 2 i 2 + b 2 La multiplicació (y la divisió como caso especial) cumple co las siguietes propiedades: Cerradura z 1 z 2 C Comutativa z 1 z 2 = z 2 z 1 Asociativa z 1 (z 2 z ) = (z 1 z 2 )z Elemeto eutro z 1 (1 + 0i) = z 1 Elemeto iverso z 1 z 1 1 = 1 + 0i Distributiva co respecto de la suma z 1 (z 2 + z ) = z 1 z 2 + z 1 z EJEMPLO.. El producto de los úmeros z! = 2 i y z 2 = 1 i se calcula como La divisió de los mismos úmeros sería z 1 z 2 = (2 i)(1 i) = (2)(1) + (2)( i) + ( i)(1) + ( i)( i) = 2 2i i + i 2 = 1 5i z 1 = 2 i z 2 1 i = 2 i 1 i 1 + i 1 + i 2 + 2i i i2 = = i 5 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

6 Propiedades del cojugado Los úmeros complejos preseta propiedades iteresates co respecto al cojugado. E esecia, so las mismas propiedades que los biomios cojugados ordiarios. Sea los úmeros z 1, z 2 C, etoces, se tiee que: z = z z 1 = z 1 z 1 R z 1 + z 1 R z 1 z 1 R z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1z 2 EJEMPLO.4. Demuéstrese las propiedades z 1 + z 2 = z 1 + z 2 y z 1 2 = z 1z 2 del cojugado. Sea los úmeros z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i. La propiedad de suma de cojugados se verifica de la siguiete maera: (a 1 + b 1 ı ) + (a2 + b 2 ı ) = (a1 + a 2 ) (b 1 + b 2 )i (a 1 b 1 i) + (a 2 b 2 i) = a 1 + a 2 b 1 i b 2 i = (a 1 + a 2 ) (b 1 + b 2 )i = Co respecto a la multiplicació de cojugados se demuestra que Y ambas propiedades se comprueba so ciertas. (a 1 + b 1 ı ) (a2 + b 2 ı ) = (a1 a 2 b 1 b 2 ) (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i (a 1 b 1 i) (a 2 b 2 i) = a 1 a 2 a 2 b 1 i a 1 b 2 i + b 1 b 2 i 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) (a 2 b 1 + a 1 b 2 )i = Forma trigoométrica Como se ha visto, u úmero complejo puede represetarse como u puto detro de u plao coordeado. E la figura., se puede observar que el puto Z(a, b) deota al úmero complejo z = a + bi; tambié se destaca que el trazo del orige al puto Z tiee ua magitud costate y forma u águlo φ co respecto al eje real. b z = a + bi r φ a Figura.. Magitud y águlo de u puto e el plao de Argad. 6 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

7 Trasformació de la forma biómica a la trigoométrica La trasformació etre la forma trigoométrica y la biómica de los úmeros complejos es importate al mometo de realizar las operacioes básicas, y alguas otras que se mecioará más adelate. Tomado como referecia la figura. y utilizado trigoometría básica, se destaca que cos φ = si φ = Al realizar ua igualació co la forma biómica se tiee que cateto adyacete hipoteusa = a a = r cos φ r cateto opuesto hipoteusa = b b = r si φ r a + bi = r cos φ + ri si φ = r(cos φ + i si φ) Esta otació es coocida como la forma trigoométrica de u úmero complejo; tambié puede escribirse de forma compacta como z = r cis φ. EJEMPLO.5. Ecuétrese la forma de biomio del úmero z = 5(cos 0 + i si 0 ). Por lo tato, se obtiee que z = i. a + bi = 5 cos 0 + 5i si 0 = i 1 2 EJEMPLO.6. Cuál es la represetació e forma biómica de z = cos i si 225? El úmero buscado es z = i. a + bi = cos i si 225 = i Defiició de módulo, de argumeto y de igualdad de úmeros complejos e forma trigoométrica Módulo y argumeto E las ecuacioes del apartado aterior, se itrodujero dos parámetros uevos: r y φ, que so las variables utilizadas detro del sistema trigoométrica de coordeadas. 7 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

8 Para calcular r y φ es ecesario recurrir a los coceptos de distacia etre dos putos y tagete de u águlo. El parámetro r es coocido como módulo o valor absoluto del úmero complejo; su obteció es equivalete a obteer ua distacia etre el orige y el puto Z, es decir: r = (a 0) 2 + (b 0) 2 = a 2 + b 2 Co respecto al valor φ, éste es llamado argumeto o amplitud del úmero complejo; de la figura. se puede deducir que ta φ = cateto opuesto cateto adyacete = b a φ = arcta b a EJEMPLO.7. Ecuétrese la forma trigoométrica del úmero z = 4 i. Por lo tato, se tiee que z = 5 cis 2.1. r = (4) 2 + ( ) 2 = 5 φ = arcta 4 = 2.1 EJEMPLO.8. Ecuétrese la forma trigoométrica del úmero z = 4 + 4i. r = (4) 2 + (4) 2 = 4 2 Por lo tato, se tiee que z = 4 2 cis Ig. Aldo Jiméez Arteaga φ = arcta 4 4 = 45 Igualdad e forma trigoométrica Detro de la forma trigoométrica de los úmeros complejos se preseta ua peculiaridad. Sea dos úmeros z 1 = r 1 cis φ 1 y z 2 = r 2 cis φ 2 ; si los módulos so iguales y los argumetos difiere e u múltiplo de 60, etoces ambos estará represetados por el mismo puto detro del plao complejo; e cosecuecia, al trasformarlos e su forma biómica tedrá la misma parte real y la misma parte imagiaria, por lo que establecerá ua igualdad. Dos úmeros complejos e forma trigoométrica z 1 = r 1 cis φ 1 y z 2 = r 2 cis φ 2 so iguales si y solo si r 1 = r 2, φ 1 = φ 2 + 2πk, k = 0, 1, 2,,

9 EJEMPLO.9. Sea los úmeros complejos z 1 = 4 cis 0 y z 2 = 4 cis 90. Ambos úmeros so iguales? Para verificarlo se obtedrá se forma biómica. Para z 1 : Para z 2 : z 1 = 4 cos 0 + 4i si 0 = 2 + 2i z 1 = 4 cos i si 90 = 2 + 2i Se corrobora que los úmeros so iguales; además, e forma trigoométrica se puede comprobar que dode k = = 0 + k60 Operacioes e forma trigoométrica: multiplicació, divisió, poteciació y radicació Las operacioes básicas que se puede realizar detro de la forma trigoométrica cotempla, aalíticamete, sólo al producto y al cociete; la suma y resta detro de la forma trigoométrica ecesita realizar ua coversió de los úmeros a su forma de biomio; e el plao de Argad, se debe utilizar el método gráfico del paralelogramo para realizar la suma o la resta. La figura.4 muestra la suma de dos úmero complejos por medio del método del paralelogramo. z 1 + z 2 = 1 + i I z 2 = 2 + 2i z 1 = + i R Figura.4. Suma por medio del paralelogramo. Multiplicació y divisió Para realizar la multiplicació e forma trigoométrica solo basta realizar el producto de sus módulos y la suma de sus argumetos; al tratarse de dos úmeros reales, el resultado de las operacioes es imediato. Sea z 1 = r 1 cis φ 1 y z 2 = r 2 cis φ 2. Su producto estará dado por: z 1 z 2 = r 1 r 2 cis(φ 1 + φ 2 ) EJEMPLO.10. La multiplicació de z 1 = 1 + i y z 2 = 1 i se iterpreta como 9 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

10 z 1 z 2 = ( 1 + i)(1 i) = 1 + i + i i 2 = 2i E forma trigoométrica z 1 z 2 = 2(cos 15 + i si 15 ) 2(cos 15 + i si 15 ) = 2[cos( ) + i si( )] = 2(cos i si 450 ) = 2 cis 90 Que es el mismo resultado obteido ateriormete, pero e forma trigoométrica; se comprueba que existe equivalecia etre la multiplicació e forma de biomio y e forma trigoométrica. EJEMPLO.11. Se desea multiplicar los úmeros z 1 = 4(cos 20 + i si 20 ) y z 2 = cis 25. Para efectuarla se lleva a cabo el siguiete proceso: z 1 z 2 = (4)()[cos( ) + i si( )] = 12 cis 45 Detro de la divisió el feómeo es aálogo a la multiplicació. E este caso, el módulo del umerador se dividirá etre el módulo del deomiador; respecto al águlo del cociete, el resultado estará dado por el argumeto del dividedo meos el argumeto del divisor. Para dos úmeros complejos e forma trigoométrica z 1 = r 1 cis φ 1 y z 2 = r 2 cis φ 2, su divisió estará dada por: z 1 = r 1 cis φ 1 z 2 r 2 cis φ 2 = r 1 cis(φ r 1 + φ 2 ) 2 EJEMPLO.12. Divídase z 1 = 2 cis 15 etre z 2 = 2 cis 15. Lo que quiere decir, que el resultado de la divisió es 1. z 1 2 cis 15 = z 2 2 cis 15 = 2 cis(15 15 ) 2 = cis( 180 ) = cis 180 EJEMPLO.1. Cuál es el resultado de dividir 4 2 cis 45 etre 2 cis 15? z 1 z 2 = 4 2 cis 45 2 cis Ig. Aldo Jiméez Arteaga

11 = 4 2 cis(45 15 ) 2 = 2 2 cis( 270 ) = 2 2 cis 90 Poteciació y radicació Detro de la forma trigoométrica se itroduce u par de uevas operacioes: la poteciació y la radicació de úmeros complejos. Para elevar u úmero complejo a ua potecia, es ecesario recurrir a la defiició de multiplicació. Sea z = r cis φ. z = z z z z (r cis φ) = (r cis φ)(r cis φ)(r cis φ) (r cis φ) = (r r r r)r cis(φ + φ + φ + + φ) = r cis φ La ecuació (r cis φ) = r cis φ para toda N, es coocida como el teorema de De Moivre, y es utilizada para obteer las potecias aturales de todo úmero complejo e forma trigoométrica. EJEMPLO.14. Dado el úmero z = 4(cos i si 120 ), calcúlese z. EJEMPLO.15. Calcúlese (cos 0 + i si 0 ) 6. z = [4(cos i si 120 )] = (4) [cos( 120 ) + si( 120 )] = 64(cis 60 ) = 64 (cos 0 + i si 0 ) 6 = 1 6 (cos i si 6 0 ) = cos i si 180 = 1 U caso particular es el de las potecias de la uidad imagiaria, i. Este úmero preseta u ciclo al mometo de elevarlo a potecias cosecutivas: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i = i 2 i ( 1)i = i i 4 = i 2 i 2 ( 1)( 1) = 1 i 5 = i i 2 ( i)( 1) = i Por lo que, para obteer i a ua potecia dada, basta co servirse de las leyes de los expoetes para obteer el resultado. 11 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

12 Para calcular la raíz -ésima de u úmero complejo se debe observar la siguiete aseveració: Sea los úmeros z = r cis φ y w = s cis ω. Si w = z, etoces, se dice que w es la raíz -ésima de z, la cual se deota como w = z. Esto es w = z (s cis ω) = r cis φ s cis ω = r cis φ Por igualdad se obtiee que s = r y ω = φ. Si embargo, para el argumeto se debe aclarar que cuado se multiplica dos úmeros e forma trigoométrica, se obtedrá u resultado co argumeto de la forma φ + k60, dode k = 0, 1, 2,, Por lo que ω = φ + k60 k = 1, 2,, φ + k60 ω = Debido al factor k, se deduce que existe más de ua raíz -ésima para cada úmero complejo. Para determiar cuátas raíces -ésimas existe, es ecesario realizar ua ispecció. Siedo se tiee que para k = 0 Para k = 1 Así sucesivamete hasta que, k = 1 Para k = Para k = + 1 φ + k60 s = r cis k = 0, 1, 2,, s = r cis φ φ + 60 s = r cis φ + ( 1)60 s = r cis φ + 60 s = r cis φ + ( + 1)60 s = r cis s = r cis φ + 60 s = r cis φ Ig. Aldo Jiméez Arteaga

13 E los últimos dos casos se deota que, por el cocepto de igualdad de los úmeros complejos e forma trigoométrica, los úmeros obteidos para k = y k = + 1 so iguales a los obteidos para k = 0 y k = 1, respectivamete. Esto quiere decir, que para u úmero complejo existe raíces -ésimas, cotadas para k = 0, 1, 2,, ( 1). Para todo úmero atural, y para todo úmero complejo z = r cis φ z φ + k60 = r cis, k = 0, 1, 2,, ( 1) EJEMPLO.16. Dado el úmero z = 64, calcúlese las tres raíces cúbicas de z. E este caso, = y k = 0, 1, 2. La primera raíz cúbica es z La seguda raíz cúbica es z La tercera raíz cúbica es z z = 64 cis 0 +(0)60 4 cis 0. = 64 cis 0 = 64 cis 0 +(1)60 4 cis 120. = 64 cis 0 +(2)60 4 cis 240. Al localizar las raíces e el plao de Argad (véase la figura.5) se observa que éstas está colocadas de maera equidistate ua de la otra. E geeral, al mometo de dibujar las raíces de u úmero complejo e el plao se presetará u patró de equidistacia costate etre todas las raíces. I 4 cis cis 0 R 4 cis 240 Figura.5. Localizació de las raíces del ejemplo.16. EJEMPLO.17. Calcúlese y dibújese e el plao de Argad las 4 raíces cuartas del úmero i. 4 z 4 = i 1 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

14 Ahora se tiee que = 4 y k = 0, 1, 2,. Pero primero se debe ecotrar la forma trigoométrica del úmero e cuestió, la cual es Las cuatro raíces so = 4 cis (0)60 w 1 = 4 cis 2 cis (1)60 w 2 = 4 cis 2 cis (2)60 w = 4 cis 2 cis ()60 w 4 = 4 cis 2 cis Cuya represetació e el plao imagiario se dibuja e la figura..6. I 2 cis cis 15 2 cis 195 R 2 cis 285 Figura.6. Las cuatro raíces cuartas obteidas e el ejemplo.17. Forma expoecial o de Euler Leohard Euler, padre de la uidad imagiaria i, estableció que existe ua relació etre las fucioes trigoométricas seo y coseo y la base de los logaritmos aturales; es decir, e puede expresarse de la siguiete maera: e φi = cos φ + i si φ Esta ecuació permite represetar u úmero complejo que se ecuetre escrito e forma trigoométrica; es decir, z = r cis φ puede escribirse como re φi = r cis φ 14 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

15 Esta expresió es la llamada forma de Euler o forma expoecial de u úmero complejo; e este caso, r represeta el módulo del úmero complejo y φ el argumeto expresado e radiaes. Equivalecia etre la forma trigoométrica y la expoecial La equivalecia etre las formas expoecial y trigoométrica se deduce por medio de las series de Maclauri para las fucioes e x, si x y cos x. La fució expoecial puede expresarse como: e x = x0 0! + x1 1! + x2 2! + x! + x4 4! + Mietras que las fucioes seo y coseo se expresa como: = 1 + x + x2 2! + x! + x4 4! + si x = x1 1! x! + x5 5! x7 7! + = x x! + x5 5! x7 7! + cos x = x0 1! x2 2! + x4 4! x6 6! + = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + Los valores de x detro de la fució expoecial puede ser iguales a φi; por lo tato, co base e las potecias de i, se desarrolla y reordea e φi = 1 + φi + (φi)2 2! = 1 + φi φ2 2! φ! + (φi)! = 1 φ2 2! + φ4 4! φ6 6! + (φi)4 4! + i + φ4 4! + φ5 5! i φi φ! i + φ5 5! φ7 i i + 7! La fució seo puede multiplicarse por i a ambos lados de la igualdad, quedado como i si φ = φi φ! φ5 φ7 i + i 5! 7! i + y fialmete, se puede igualar la fució expoecial co la suma de las fucioes seo y coseo, para obteer e φi = 1 φ2 2! + φ4 4! φ6 6! = cos φ + i si φ + + φi φ! i + φ5 5! φ7 i i + 7! que es el desarrollo de la fució e φi que se expuso ateriormete. Por lo tato, se verifica que e φi = cos φ + i si φ. 15 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

16 Operacioes e forma expoecial: multiplicació, divisió, poteciació y radicació Debido a que la forma trigoométrica y expoecial so equivaletes, las operacioes de úmeros complejos que puede realizarse co la forma trigoométrica so las mismas que e la forma expoecial; la diferecia radica e que e esta ocasió se utiliza las leyes de los expoetes para calcular los argumetos, y que es idispesable utilizar radiaes e lugar de grados. Multiplicació y divisió La multiplicació de úmeros complejos e forma expoecial se defie como e tato que la divisió, puede expresarse como z 1 z 2 = r 1 e φ1i r 2 e φ2i = (r 1 r 2 )e φ 1i+φ 2 i = (r 1 r 2 )e (φ 1+φ 2 ) z 1 = r 1e φ1i z 2 r 2 e φ 2i = r 1 r 1 e (φ 1+φ 2 )i Ambas ecuacioes preseta las mismas características de operabilidad que e la forma trigoométrica de los úmeros complejos. EJEMPLO.18. Sea los úmeros complejos z 1 = 6e 1 πi y z 2 = e 5 πi. Calcúlese la multiplicació y la divisió etre ambos úmeros. Multiplicació: Divisió: EJEMPLO.19. Efectúese la operació z 1 z 2 = 6e 1 πi e 5 πi = (6)()e 1 +5 πi = 18e 2πi z 1 = 6e z 2 1 πi e 5 πi = 6 e 1 5 πi = 2e 4 πi = 2e 2 πi 16 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

17 2e 1 9 πi e 1 6 πi 2e 7 18 πi = z Efectuado paso a paso la operació, z = (2)(1)(2)e πi = 4e πi = 4e 2 πi EJEMPLO.20. Calcúlese el resultado de dividir 4 cis 150 etre 2e 1 2 πi. Como 4 cis 150 = 4e 5 6 πi, la operació es z = 4e5 6 πi 2e 1 2 πi = 4 2 e πi = 2e πi = 2e 1 πi Poteciació y radicació E lo que se refiere a la poteciació, la expresió e forma expoecial queda como sigue z = re φi = (r) e φi = r e φi La radicació se realiza co las mismas leyes vistas e el apartado de radicació e forma trigoométrica, tomado e cueta que cada úmero complejo tiee raíces -ésimas. z = re φi = r e φi = r e φ+2kπ i, k = 0, 1, 2,, ( 1) Se debe hacer el recordatorio, de que e el caso de la forma expoecial o es posible utilizar grados para deotar al argumeto, y es ecesario realizar la coversió a radiaes cuado se realice el cambio etre formas trigoométrica y expoecial. EJEMPLO.21. Calcúlese la sexta potecia de z = 2e 1 2 πi y las cico raíces quitas de z = 24e 2 πi. Poteciació: 17 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

18 Radicació: los parámetros so = 5 y k = 0, 1, 2,, 4. z 6 = 2e 1 2 πi 6 = (2) 6 e πi = 64e πi = 64e πi 5 z 5 = 24e 2 πi 5 = 24e π+2kπ i = e +4k 10 πi La primera raíz es z = e 10 πi. La seguda raíz es z = e 7 10 πi. La tercera raíz es z = e πi. La cuarta raíz es z = e πi. La quita raíz es z = e πi. EJEMPLO.22. Calcúlese, e forma expoecial, z 5 para z = cos i si w = z 5 = e 2 πi Por lo tato, las raíces buscadas so 5 = (1) e ()2 πi 5 = e 2πi 5 = 1 = e 2k 5 πi w 1 = 1 w 2 = e 2 5 πi w = e 4 5 πi w 4 = e 6 5 πi 18 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

19 w 5 = e 8 5 πi Co esto queda resuelto el ejemplo. Resolució de ecuacioes co ua icógita que ivolucre úmeros complejos Detro de los úmeros complejos tambié puede platearse problemas que se modela por medio de ecuacioes. E ese setido se puede ecotrar los siguietes tipos de ecuacioes co úmeros complejos: Ecuacioes co ua o varias icógitas. Poliomios. Sistemas de ecuacioes. E sí, la resolució de ecuacioes co úmeros complejos es muy similar a la resolució de ecuacioes algebraicas co úmeros reales. Así por ejemplo, para resolver el poliomio p(x) = x 2 + (5 i)x + (6 i) es ecesario utilizar úmeros complejos debido a que los coeficietes del poliomio so complejos; se puede verificar fácilmete que las raíces so α 1 = y α 2 = 2 + i. E otro tipo de ecuacioes, como por ejemplo z 1 z = z 2 z z 1 + z co z 1, z 2, z coocidos, es ecesario realizar operacioes básicas co los úmeros complejos para ecotrar el valor de z que satisface la ecuació. Resolució de ecuacioes co ua icógita Si se toma la ecuació del apartado aterior, es decir z 1 z = z 2 z z 1 + z se puede observar que la icógita z puede despejarse fácilmete. El camio sería el siguiete: z 1 z z = z 2 z z 1 z(z 1 1) = z 2 z z z z(z 1 1) = z 2 z z 2 = z 2 z z 1 1 z = z 2 z z 1 1 EJEMPLO.22. Si se diese los valores z 1 = i, z 2 = 2e πi y z = (cos 0 + i si 0 ), el resultado de la ecuació plateada al iicio de este apartado sería z = 2eπi (cos 0 + i si 0 ) i 1 E este caso, es coveiete colocar todos los valores e forma trigoométrica o forma expoecial, para que la operació sea uiforme 19 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

20 z = 2eπi e 1 6 πi 2e 1 4 πi = 6e7 6 πi 2e 1 4 πi = 6 2 e11 12 πi Fialmete, se tiee dos solucioes para la raíz cuadrada; esas solucioes so 20 Ig. Aldo Jiméez Arteaga z 1 = 2e πi, z 2 = 2e 5 24 πi E geeral, o existe u método o ua regla que especifique como debe resolverse este tipo de ecuacioes; lo úico recomedado es que cuado se presete ua suma, es ecesario utilizar la forma de biomio del úmero complejo, y e el caso de que se ecesite multiplicar, poteciar o radicalizar se utilice la forma expoecial o la forma trigoométrica. Otro tipo de ecuacioes plateadas co úmeros complejos implica el resolver la parte imagiaria separada de la parte real; es decir, el úmero complejo se maeja como dos etidades diferetes, e lugar de u solo elemeto. EJEMPLO.2. Sea la ecuació Qué valores de k permite que z sea a. u úmero real puro, y b. u úmero imagiario puro? z = 2 ki k i a. Se debe platear la realizació del cociete de maera ormal. z = 2 ki k + i k i k + i = 2k k2 i + 2i ki 2 k 2 ki + ki i 2 = k + (2 k2 )i k = k k k2 k i Para que la última expresió sea u úmero real puro, la parte imagiaria debe ser cero: 2 k 2 k = 0 2 k2 = 0

21 Por lo tato, los valores buscados so k = ± 2. b. E este iciso, la parte real debe ser ula para asegurar que z sea u úmero imagiario. Fialmete, el valor buscado es k = 0. k k = 0 k = 0 EJEMPLO.24. Ecuétrese los valores a, b R que satisface a la ecuació a + 2i + bi = 2e7 4 πi E este caso, el procedimieto a seguir es realizar el cociete establecido. a + 2i + bi = 1 i a + 2i = (1 i)( + bi) a + 2i = + bi i + b a + 2i = ( + b) + (b )i Al utilizar el cocepto de igualdad e los úmeros complejos, se obtiee el siguiete sistema de ecuacioes lieales: de dode se obtiee que b = 5 y a = 8. a = + b 2 = b 21 Ig. Aldo Jiméez Arteaga

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