Tema 1.1: El cuerpo de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo

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1 Tema 1.1: El cuerpo de los úmeros complejos. Módulo y argumeto de u úmero complejo Facultad de Ciecias Experimetales, Curso Erique de Amo, Uiversidad de Almería Notació. N deotará el cojuto de todos los úmeros aturales f1; 2; :::; ; + 1; :::g : Es decir, se trata del cojuto de úmeros reales iductivo más pequeño coteiedo la uidad 1. Co Z estaremos desigado el cojuto de todos los eteros: Z := N [ f0g [ ( N) ; dode N desiga al cojuto de los elemetos opuestos de cada atural. Así, atural y etero positivo será equivaletes. Por Q deotaremos al cojuto de todos los racioales: p q : p 2 Z; q 2 N : Los tres cojutos uméricos ateriores so cojutos umerables, y está relacioados por las iclusioes: N Z Q: El símbolo R deotará al cojuto de todos los úmeros reales: cuerpo comutativo totalmete ordeado y veri cado el axioma del supremo. Estamos ya ate u cojuto o umerable. Se trata de u espacio completo: toda sucesió de Cauchy de úmeros reales es covergete. Esto o pasaba e Q: existe sucesioes de racioales que coverge a úmeros o racioales; por ejemplo, x 1 := 1; x +1 := 1 x + 1! p 2 =2 Q: 2 x E él dispodremos de subcojutos destacados: R : = fx 2 R : x < 0g R + : = fx 2 R : x > 0g R 0 : = fx 2 R : x 0g R + 0 : = fx 2 R : x 0g 1

2 que so, respectivamete, los cojutos de todos los reales egativos, positivos, o positivos y o egativos. Al cojuto RQ lo llamaremos de los irracioales. Elemetos destacados e él, so p 2; p 3; e y : Tato Q como RQ so cojutos desos e R: 8x 2 R; 8" > 0 9r 2 Q; 9 2 RQ : jx rj < "; jx j < " }~ }~ }~ }~ }~ }~ }~ Cosideremos el cojuto R 2 de los pares ordeados de úmeros reales, del cual sabemos que, co las operacioes (para x; y; u; v; 2 R) F adició : (x; y) + (u; v) := (x + u; y + v) F producto extero : (x; y) := (x; y) es u espacio vectorial real de dimesió 2. Ahora, e el grupo aditivo R 2 ; +, vamos a de ir otro producto (ahora, itero) de la siguiete maera: (x; y) (u; v) := (xu yv; xv + yu) : Resulta de fácil comprobació que ahora R 2 ; +; es u cuerpo comutativo, dode (1; 0) es el eutro o uidad para el producto y cada elemeto (x; y) co x o y o cero admite u iverso (u; v) de la forma u := x x 2 + y 2 ; v := y x 2 + y 2 : A este cuerpo comutativo lo llamaremos cuerpo de los úmeros complejos, pues a sus elemetos los llamaremos (úmeros) complejos, y lo deotaremos por C. Observemos que la aplicació a! (a; 0) ; de R e C, es u moomor smo de cuerpos y, por ello, podemos ideti car R co ua parte de C y escribir R C, haciedo la ideti cació a (a; 0). Co ello, podemos ver que o hay cofusió posible etre las expresioes a (x; y) y (a; 0) (x; y):? a (x; y) := (ax; ay), visto C como R-espacio;? (a; 0) (x; y) := (ax 0y; ay + 0x) = (ax; ay), visto C como cuerpo. Este hecho os permite ua primera represetació de los complejos vistos como elemetos de u R-espacio: (x; y) = (x; 0) + (0; y) = x (1; 0) + y (0; 1) ; y, deotado por i := (0; 1), a la vez que usamos la ideti cació aterior de R co ua parte de C, tedremos la llamada forma biómica del úmero complejo (x; y): x + iy; mietras que a la otra, a (x; y), se le suele llamar forma cartesiaa. Observemos que estas expresioes viee dadas de maera úica. 2

3 De ició. Dado u úmero complejo z 2 C, a los úmeros reales x e y, que existe de maera úica para tal z, veri cado z = x + iy, se les llama, respectivamete partes real e imagiaria del complejo z; y se escribe Re z = x; Im z = y: Es claro que si z; w 2 C, etoces Re z = Re w z = w, Im z = Im w E el cuerpo C o es posible itroducir igú orde (total) que lo haga cuerpo comutativo totalmete ordeado; es decir, o podemos de ir igú orde total compatible co las propiedades de cuerpo comutativo. E efecto: si por el cotrario así fuese, tedríamos que ii = i 2 > 0, siedo i 2 = 1: Por otro lado, sabemos que ha de ser 1 < 0 (pues 1 = 1 2 > 0). Luego o es posible de ir u orde total e C compatible co su estructura de cuerpo. E C tambié existe u automor smo, llamado cojugació, que otaremos por z! z, y que viee dado por z := Re z i Im z: Podemos pesar e la cojugació, evidetemete, como ua iversió de C; visto como plao, respecto de su eje "real". Esta propiedad de la cojugació, juto a otras, de demostració imediata todas ellas, la eucia mos e la Proposició. Para z; w 2 C, se tiee: i. z + w = z + w: ii. zw = z w: iii. z = z (el automor smo es ivolutivo). iv. Re z = z+z 2 ; Im z = z z i2 : v. z = z, z 2 R, Im z = 0: Si R es ua fució racioal e las variables reales x e y; co coe cietes reales, se observa que R (z; z) = R (z; z). Luego R (z; z) 2 R; 8z 2 C, R(x; y) = R(y; x): Otra fució que cosideraremos, importatísima a la postre, es el módulo o valor absoluto de u úmero complejo. Represeta la distacia del complejo z al orige: De ició. Para cada z 2 C, se de e su módulo o valor absoluto como q jzj := (Re z) 2 + (Im z) 2 = p zz: 3

4 Ua vez más, la otació es coherete co la empleada e R, pues si z 2 R C: q q? jzj = (Re z) 2 + (Im z) 2 = (Re z) 2 = p z 2 (por ser z 2 C);? jzj = p z 2 (por ser z 2 R). Proposició. Para z; w 2 C, se tiee: i. jzj = 0, z = 0: ii. jzj = jzj = j zj : iii. jzwj = jzj jwj : iv. jz wj 2 = jzj 2 + jwj 2 2 Re (zw) : v. max fjre zj ; jim zjg jzj jre zj + jim zj : La propiedad iv. se sigue del hecho de que Re = 1 2 ( + ): jz wj 2 = (z w) (z w) = = zz + ww zw wz = = jzj 2 + jwj 2 2 Re (zw) De iv. tambié se desprede la coocida como Idetidad del Paralelogramo: Corolario. Para z; w 2 C, se tiee: jz + wj 2 + jz wj 2 = 2 jzj 2 + jwj 2 : Su demostració es evidete: cosiste e sumar las expresioes de iv. para los correspodietes sigos "+" y "-". Lo realmete complicado lo ecotramos e la seguda desigualdad e v., que precisa del siguiete resultado, (ya coocido e el cotexto real y) clave e todo lo que sigue: Desigualdades triagulares. Para z; w 2 C, se tiee: i. jz + wj jzj + jwj : ii. jjzj jwjj jz wj : Demostració. Hacemos cálculos para z; w complejos arbitrarios: jz + wj 2 = jzj 2 + jwj Re (zw) jzj 2 + jwj jre (zw)j jzj 2 + jwj jzwj (jzj + jwj) 2 ; de dode, al extraer raíces cuadradas e ambos miembros, se deduce i. Para probar ii., basta observar que jzj = j(z w) + wj jz wj + jwj =) jzj jwj jz wj ; 4

5 dode hemos aplicado i. Alterado ahora los papeles de z y w, se tiee que jwj jzj jw zj = jz wj ; y, por tato, se cocluye la prueba. A cotiuació itroducimos u cocepto clave e variable compleja y que está e la base de su "distaciamieto" del aálisis real co el que estamos familiarizados hasta ahora. Nos referimos al iicialmete "iocete" argumeto de u úmero complejo: el cocepto de multifució y, por ede, el de ramas de ua fució, lo tedrá e su base. Del aálisis real tomamos el siguiete Lema. Para cualesquiera a; b 2 R tales que a 2 + b 2 = 1, existe u úico 2 ] ; ] tal que a = cos ; b = si : Y, dado z 2 Cf0g, podemos elegir coveietes > 0 y 2 ] ; ], tales que se puede represetar z = (cos + i si ) =: e i ; q de maera úica (e el setido de que = (Re z) 2 + (Im z) 2 y 2 ] ; ]). Notació. Deotaremos por T a la circuferecia uidad C(0; 1). Así, el lema aterior os provee de ua biyecció etre el itervalo ] ; ] y la circuferecia uidad. Observemos que podremos hacer uso de otacioes del estilo + rt = C(; r): De ició. Diremos que el úmero real es u argumeto del complejo o ulo z, si z = jzj e i ; y escribiremos Arg(z) := 2 R : z = jzj e i : Observamos, imediatamete, que si 1 y 2 so argumetos de z etoces existe u (úico) k 2 Z tal que 1 2 = 2k: Su recíproco es tambié, trivialmete, cierto. (Observemos, igualmete, que el lema aterior es quie garatiza que Arg(z) 6= ;.) Por esta razó, uo de ellos va a jugar u papel importate: De ició. Llamamos argumeto pricipal del complejo o ulo z al úico de sus argumetos 0 tal que 0 2 ] ; ]. Lo deotaremos por arg (z), y se acostumbra a escribir Arg (z) = farg (z) + 2k : k 2 Zg : Para el cálculo del argumeto pricipal es muy cómoda la fórmula que os proporcioa la siguiete 5

6 Proposició. Si z 2 Cf0g, etoces 2 arcta arg (z) = :::; Im z jzj+re z :::; z =2 R z 2 R Demostració. Para z 2 R, etoces z = jzj = jzj ( 1 + i0) = jzj (cos + i si ) = jzj e i ; de modo que 2 Arg(z) ; siedo, obviamete, 2 ] ; ]. Cosideremos ahora z =2 R, y tomemos (a quié elegir si o al cadidato atural!): Im z 0 := 2 arcta jzj + Re z : Así, co se sigue que Pero esto colleva que 0 := 2 arcta 8 >< >: Im z jzj 1 + Re z jzj =: 2 arcta ta 0 2 = b 1 + a : si 0 = 2 ta ta cos 0 = 1 ta ta de dode (por ser jzj + Re z > 0 =) arcta co 0 2 ] = b = a Im z jzj+re z 2 z = jzj (cos 0 + isi 0 ) = jzj e i0 ; ; ]; luego 0 = arg (z) : Q.E.D. b 1 + a ; 2 ; 2 ) se tiee Proposició. La aplicació z! Arg(z), de Cf0g e R=2Z, es u homomor smo del grupo multiplicativo Cf0g e el aditivo R=2Z; es decir, si z; w 2 Cf0g etoces, se tiee: Arg (zw) = Arg (z) + Arg (w) : Demostració. Sea ' 2 Arg(zw) : Sea (tambié arbitrario) 2 2 Arg(w). Escribimos ' = (' 2 ) + 2 y hacemos cálculos: zw = jzwj e i' = jzwj (cos ' + isi') = jzwj fcos [(' 2 ) + 2 ] + isi [(' 2 ) + 2 ]g = jzwj fcos (' 2 ) cos 2 si (' 2 ) si 2 + +i [si (' 2 ) cos 2 + si 2 cos (' 2 )]g = jzj fcos (' 2 ) + isi (' 2 )g jwj fcos 2 + isi 2 g = jzj e i(' 2) jwj e i2 ; 6

7 de dode 1 := ' 2 2 Arg(z) y, por tato, ' = (' 2 ) Arg(z) + Arg(w) : Recíprocamete, sea dados 1 2 Arg(z) y 2 2 Arg(w). Por aálogos cálculos a los recié realizados: luego Arg(zw) : Q.E.D. zw = jzwj e i(1+2) ; Proposició. Destacamos las siguietes propiedades: i. z 2 Cf0g =) Arg z 1 = Arg(z) ii. z 2 Cf0g =) Arg(z) = Arg(z) iii. z; w 2 Cf0g =) Arg z w = Arg(z) Arg(w) iv. (fórmula de de Moivre) Para cada atural ; (cos + isi) = cos () + isi () : Sólo la última propiedad precisa de algua explicació. Si z = cos + i si ; etoces Arg (z ) = arg (z) + 2Z = + 2Z; de dode z = cos () + i si () : Q.E.D. A cotiuació vamos a itroducir las potecias de base z compleja y expoete p q racioal. Para ello, comezamos dado ua de ició, la de raíces -ésimas de z, y u resultado relativo a ellas que os garatiza su existecia y e qué úmero. De ició. Dados z 2 C y 2 N, llamamos raíz -ésima de z a cualquier complejo w tal que w = z. Teorema. Si z 2 C y 2 N, etoces: i. z = 0 =) 9!w : w = 0; a saber, w = 0: ii. z 6= 0 =) 9w 1 ; :::; w : wk = z, si k = 1; :::; : Demostració. La primera de las a rmacioes es evidete si más que observar que 0 = 0 y que w 6= 0 colleva w 6= 0 para 2 N. Sea ahora z 2 Cf0g y w (que tambié será o ulo) tal que w = z. La fórmula de de Moivre os dice que w = jwj (cos [ arg (w)] + i si [ arg (w)]) z = jzj (cos [arg (z)] + i si [arg (z)]) ; luego: jwj = jzj Arg (w) = Arg (z) ; 7

8 y, por tato, ( jwj = p jzj arg (w) = arg(z) + 2k ; para algú k 2 Z: Pero, cuátos argumetos resulta para w al recorrer k todos lo eteros? Tedremos 1 ; 2 2 Arg (w), 9k 2 Z : 1 2 = 2k: Así, luego arg (z) + 2k arg (z) = + 2k0, k k0 2 Z, k = k 0 (mód ), k 2 f0; 1; 2; :::; 1g ; de modo que z 2 Cf0g posee raíces -ésimas; a saber: ( jw w k : k j = p jzj arg (w k ) = arg(z) + 2k distitas dos a dos y equidistribuidas sobre la circuferecia C cetro 0 y radio p jzj: Q.E.D. 0; p jzj De ició. Sea z 2 C y p q 2 Q (expresió irreducible, co p 2 Z y q 2 N). La potecia de z co expoete p q se de e como z p q := q p z p ; co la salvedad de que ha de ser z 6= 0 cuado p 2 N. Es de secilla comprobació que z p q costa de q elemetos si z 6= 0, y que sólo tiee u elemeto si z = 0. Caso de especial ateció será el que prestemos a las raíces -ésimas de la uidad; es decir, los complejos z tales que z = 1: Es de demostració imediata, a partir del teorema aterior, que la uidad tiee sus raíces equidistribuidas sobre la circuferecia uidad T: Proposició. Para cada atural existe w 1 ; w 2 ; :::; w 2 T, distitos dos a dos, tales que wk = 1, k = 0; 1; :::; 1. Cocretamete: w k = cos 2k + i si2k 2k = ei : de 8

9 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Realice las operacioes idicadas: a. 1 i ; b. 1 i 1+i ; c i ; d. 1 ip 3 3 : 2. Ecuétrese las partes real e imagiaria de 1 + e i 1 : 3. Obtégase: a. (1 + i) 16 ; b. 100 P i k ; c. 2 + i2 p 3 9 : k=0 4. Obtega el módulo y el argumeto de cada uo de los siguietes complejos: a. 3i; b. 2; c. 1 + i; d. 1 i; e i; f. 2 5i; g i; h. 2 5i; j. bi (b 6= 0); k. a + bi (a 6= 0): 5. E este ejercicio se probará que el cuerpo de los úmeros complejos se puede ideti car co ua parte del espacio vectorial real M 2 (R) de las matrices cuadradas de orde dos: sea el cojuto M := a b b a : a; b úmeros reales a cuyos elemetos otaremos, sugerete y simpli cadamete, por M(a; b): (a) Determíese la suma y el producto para cada dos elemetos de M. (b) Pruébese que, e particular, se tiee M(a; 0) + M(b; 0) = M(a + b; 0) M(a; 0)M(b; 0) = M(ab; 0) ; (c) Idetifíquese el cuerpo de los reales co ua parte de M: (d) Pruébese que M(0; 1) 2 = M( 1; 0) (= 1, co la ideti cació de arriba e c.). (e) Hágase M(0; 1) := i, y pruébese que M(a; b) = a + bi: 6. Ecuétrese fórmulas para sumar las expresioes siguietes: (a) 1 + cos + cos 2 + cos cos (b) si + si 2+ si si (c) cos + cos cos 2( + 1) 7. Dados dos úmeros complejos cualesquiera z; w, 9

10 (a) pruébese que jz + wj = jzj + jwj si, y sólo si, zw es u úmero real o egativo; (b) discútase la posibilidad de que se alcace la igualdad e la desigualdad jjzj jwjj jz wj : 8. Obtégase iterpretacioes geométricas para los siguietes cojutos de úmeros complejos: (a) A = fz 2 C : j2z + 3j 1g (b) A = fz 2 C : j2z + 1j jzjg 9. Sea A; B; C; D úmeros reales sujetos a la codició A 2 + B 2 + C 2 > D 2. Pruébese que: (a) La ecuació A (z + z) + ib (z z) + C (zz 1) + D (zz + 1) = 0 represeta: ua recta e el plao, caso de que C + D = 0; ua circuferecia, de cetro y radio a determiar, e el caso de que C + D 6= 0. ("Cicurecta" de parámetros reales A; B; C; D, de ahora e adelate.) (b) Toda circurecta e el plao respode a ua ecuació de la forma dada arriba, para coveietes úmeros reales A; B; C; D. 10. Sea ; complejos y k > 0: Etoces, el cojuto de úmeros complejos fz 2 C : jz j = k jz jg es ua circuferecia si k 6= 1 y es ua líea recta cuado k = 1: 11. Sea z = x + iy u úmero complejo o ulo. Pruébese que el argumeto pricipal de z viee dado por la fórmula 8 arcta y x ; si x < 0; y < 0 >< =2; si x = 0; y < 0 arg(z) = arcta y x ; si x > 0 =2; si x = 0; y > 0 >: arcta y x + ; si x < 0; y 0 10