El cuerpo de los números complejos

Transcripción

1 Capítulo 1 El cuerpo de los números complejos En este primer capítulo se revisan los conceptos elementales relativos a los números complejos. El capítulo comienza con una breve nota histórica y después se estudia el concepto de número complejo, las operaciones elementales, y la representación en forma binómica y forma polar. Para finalizar se estudian las potencias y raíces Nota histórica Los números complejos aparecen en las Matemáticas a mediados del siglo XVI como respuesta a la búsqueda de soluciones de ecuaciones cuadráticas que no tenían solución en el campo de los números reales. En 1545, Cardano, en su obra Ars Magnam, plantea y resuelve el problema de buscar dos números cuya suma sea 10 y cuyo producto sea 40. La ecuación resultante es x(10 x) = 40 y Cardano obtuvo como solución y A la vista de este resultado proclamó: Dejando aparte torturas mentales los números son y Posteriormente otros matemáticos (Bombelli, Girad, Descartes,...) trabajaron con números complejos sin encontrarle más utilidad que la de ser soluciones de ecuaciones algebraicas. En 1777, con Euler, los números complejos se incorporan a la matemática. Introduce el símbolo i para 1, los escribió en la forma a + bi y operó con ellos algebraicamente aplicando que i 2 = 1. Demostró que son cerrados para las operaciones básicas y llegó a la ecuación e iπ + 1 = 0 que relaciona los números más importantes de las Matemáticas. A principios del siglo XIX, Argand representó los números complejos en el plano y en 1827, Gauss los escribió en la forma (a, b) considerándolos así como elementos de R 2. En

2 2 Hamilton presentó una teoría de los números complejos sin utilizar los símbolos i y 1 y así es como se introducen en la actualidad Los números complejos Definición 1.1 Se considera el conjunto R 2 y sobre él se definen las operaciones suma y producto como sigue (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (a c b d, a d + b c) Habitualmente se denota por C el conjunto R 2 cuando le consideramos dotado de estas dos operaciones. Los elementos de C se denominan números complejos y son pares de números reales. Teorema 1.1 El conjunto C con las operaciones anteriores verifica las propiedades siguientes: 1. Asociativa de la suma: z 1, z 2, z 3 C, (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ). 2. Conmutativa de la suma: z 1, z 2 C, z 1 + z 2 = z 2 + z Elemento neutro de la suma: z C, z + (0, 0) = z. 4. Elemento simétrico de la suma: z = (a, b) C, (a, b) + ( a, b) = (0, 0). El simétrico de la suma suele denominarse elemento opuesto y se denota por z. Estas cuatro propiedades dotan al conjunto C con la operación suma de estructura de grupo abeliano. 5. Asociativa del producto: z 1, z 2, z 3 C, (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ). 6. Conmutativa del producto: z 1, z 2 C, z 1 z 2 = z 2 z Elemento neutro del producto: z C, z (1, 0) = z. 8. Elemento simétrico del producto: z = (a, b) C, z (0, 0), (a, b) ( ) a a 2 + b, b = (1, 0). 2 a 2 + b 2 El simétrico del producto suele escribirse como 1 z o también z 1. Estas cuatro propiedades dotan al conjunto C {(0, 0)} con la operación producto de estructura de grupo abeliano.

3 3 9. Distributiva: z 1, z 2, z 3 C, (z 1 + z 2 ) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3. La demostración de estas propiedades se reduce a una simple comprobación. Se tiene entonces que el conjunto C = (l - R 2, +, ) tiene estructura de cuerpo conmutativo. Es habitual denotar por i al número complejo (0, 1) y se denomina unidad imaginaria. También se denota por j, generalmente en textos de electricidad donde la letra i se utiliza para representar la intensidad de corriente. En Matlab son válidas ambas formas. Es un ejercicio sencillo comprobar que la aplicación que asigna a cada número real a el número complejo (a, 0) es un isomorfismo entre el cuerpo de los números reales y el subcuerpo de C formado por los complejos de la forma (a, 0). Este isomorfismo permite identificar cada número real a con el número complejo (a, 0). En la notación escribiremos indistintamente a o (a, 0). Teniendo en cuenta esta identificación y la fórmula (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1), podemos escribir z = (a, b) = a + b i. Esta es la forma clásica para denotar los números complejos y suele denominarse forma binómica. Resulta cómoda para realizar operaciones elementales, simplemente debemos tener en cuenta que i 2 = 1. Así, por ejemplo, para multiplicar dos números complejos, podemos proceder como sigue: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bdi + bci 2 = = (ac bd) + (ad + bc)i Dado z = a + bi C, se llama parte real de z a Re(z) = a y parte imaginaria de z a Im(z) = b. El eje de abscisas se llama eje real y el de ordenadas eje imaginario. Se llama conjugado de z a z = a bi. Eje imaginario y z=(x,y) Eje real x -y z=(x,-y) Figura 1.1: Representación de un número complejo Ejemplo 1.1 Exprese en forma binómica (1 2i)(1 i).

4 4 Proposición 1.1 Para cualesquiera z, z 1 y z 2 elementos de C se verifica que: 1. z 1 + z 2 = z 1 + z z 1 z 2 = z 1 z z = z. Ejemplo 1.2 Exprese en forma binómica 5 i 1 i. Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador 5 i 1 i (5 i)(1 + i) = (1 i)(1 + i) = 6 + 4i 2 = 3 + 2i. Ejercicio 1.1 Exprese en la forma a + ib: a) (1 + i)(2 i), b) 1 i 2 + i, c) 1 + i 1 i. Ejercicio 1.2 Si z = x + iy, x, y l - R, z 1, halle la parte real y la parte imaginaria de 1 + z 1 z. Ejercicio 1.3 Si z = x + iy, x, y l - R, halle: a) Re(z 2 ), b) Im(z 2 ), c) Re(z i), d) Im(z i). Ejercicio 1.4 Sean z, w C. Estudie si son ciertas las relaciones: a) Re(z w) = Re(z) Re(w), b) Re(z i) = Im(z), c) Im(z/w) = Im(z)/ Im(w), ( w 0). Ejercicio 1.5 Represente en el plano los conjuntos siguientes: a) {z C : Re(z) > 1}, b) {z C : Im(z) < 1}, c) {z C : Re(z) = 2} Módulo y argumento. Forma polar Dado z = a + bi C, se llama módulo de z a z = a 2 + b 2. Es la distancia del punto (a, b) al origen de coordenadas. Proposición 1.2 Sean z 1 y z 2 elementos de C, se verifica que:

5 5 b z = a+bi ò a Figura 1.2: Módulo y argumento 1. z 1 z 2 = z 1 z z 1 = z 1 z 2 si z 2 0,. z 2 3. z 1 z 1 = z z 1 + z 2 z 1 + z 2 (desigualdad triangular). Ejemplo 1.3 Represente gráficamente y halle el módulo de: a) 2 + i, b) 2, c) 3i. Ejemplo 1.4 Represente en el plano complejo los conjuntos: a) {z C : z 2}, b) {z C : z i 1}, c) {z C : z i 1}. Dado z C, z 0, se dice que θ l - R es un argumento de z si se verifica que z = z (cos(θ) + i sen(θ)). Si z = 0 no tiene sentido asignarle un argumento pues para cualquier valor de θ se cumple que z = z (cos(θ) + i sen(θ)). Observamos que un número complejo está determinado si conocemos su módulo y uno de sus argumentos. Si r es el módulo de un número complejo z y θ es un argumento se tiene z = r (cos(θ) + i sen(θ)) (1.1) A la representación de un complejo mediante su módulo y un argumento se le denomina forma polar y suele denotarse z = r θ o también z = r θ. Como veremos posteriormente, esta representación resulta muy útil para realizar determinadas operaciones como, por ejemplo, el cálculo potencias y raíces. Dado un número complejo en forma polar z = r θ, su conjugado es z = r θ.

6 6 Otra representación habitual, conocida como forma de Euler, se obtiene al escribir e iθ = cos(θ) + i sen(θ). Esta expresión la entenderemos simplemente como una notación, no debe interpretarse como una exponencial compleja La exponenciación compleja se estudiará posteriormente. Utilizando esta notación se obtiene otra forma de representar números complejos: si z = r y θ es un argumento de z, se puede escribir z = r e iθ Ejemplo 1.5 Exprese en forma polar y represente en el plano los números complejos: a) 1 i, b) 1, c) i, d) 1 + 3i. Observemos que, debido a la periodicidad de las funciones sen y cos, cada número complejo posee infinitos argumentos. Si θ es un argumento de z C, θ + 2kπ, con k Z, también son argumentos del número z y no hay más. Si quiere asignarse a cada número complejo un argumento único basta fijar un intervalo de amplitud 2π para elegir argumentos. Suele denominarse argumento principal a aquel que pertenece al intervalo ( π, π]. De modo más general, dado α l - R, se denota por arg α (z) la función que a un número complejo z le asocia el único argumento de z que pertenece al intervalo (α π, α + π). El dominio de definición de esta función es C \ H α, donde H α = {z = ρe iα+π : ρ 0}. ë H ë Figura 1.3: Rama del argumento Algunos autores consideran el intervalo (α π, α + π] en vez de (α π, α + π). Como se verá posteriormente, eligiendo argumentos en (α π, α + π) la función arg α es continua en su dominio de definición mientras que si se eligen en (α π, α + π] la función es discontinua para los números cuyo argumento es α + π. Ejemplo 1.6 Halle: a) arg 0 (2), b) arg 0 (i), c) arg π ( 1), d) arg 3π (2).

7 7 Proposición 1.3 Sean z 1 = r 1 e iθ 1 y z 2 = r 2 e iθ 2 dos números complejos. Se verifica entonces que z 1 z 2 = (r 1 r 2 )e i(θ 1+θ 2 ). Si además z 2 0, z 1 = r 1 e i(θ 1 θ 2 ). z 2 r 2 Como consecuencia se tiene que si z = r e iθ 0, entonces 1 z = 1 r e iθ. Esta proposición nos permite interpretar geométricamente la multiplicación de números complejos. Multiplicar por z = r e iθ representa una homotecia de razón r y un giro de ángulo α, en sentido antihorario, ambos respecto al origen de coordenadas. Por ejemplo, multiplicar por el número i = 1 π/2 representa un giro de π/2, centrado en el origen, en sentido antihorario. z i z ù 2 Figura 1.4: Interpretación geométrica de la multiplicación Ejemplo 1.7 Usando la forma polar calcule: a) (1 + i) 2, b) 3 + i 1 + i. Ejemplo 1.8 Obtenga las coordenadas de los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con uno de sus vértices en el punto (1, 0). Ejemplo 1.9 Sea T el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1). Halle las coordenadas del triángulo obtenido aplicar a T un giro centrado en el origen de ángulo π/4 en sentido antihorario. Ejemplo 1.10 Halle la imagen del conjunto A = {z = r θ C : 0 < r < 1, 0 < θ < π/4} mediante la aplicación f(z) = 2z 2 + i. Ejercicio 1.6 Exprese en forma polar: a) i, b) i, c) 3 + i, d) 2 2i. Ejercicio 1.7 Usando la forma polar calcule: a) ( 3 + i)(1 + 3i), b) (1 i) 2, c) ( 3 + i)/( i). Ejercicio 1.8 Pruebe que ρ θ = r φ si, y sólo si, ρ = r y θ = φ + 2kπ con k Z.

8 8 Ejercicio 1.9 Pruebe que z, w C se verifica z w z w. (Escriba z = (z w) + w y aplique la desigualdad triangular). Ejercicio 1.10 Halle la imagen del conjunto A = {z C : z < 1, Im(z) > 0} mediante la aplicación f(z) = 2z 2. Ejercicio 1.11 Halle una función f que transforme el conjunto A = {z C : z 1 < 1, Re(z) 1} en B = {z C : z 1 < 1} Potencias y raíces Proposición 1.4 Sea z = r e iθ 0 y m Z, se verifica entonces que z m = r m e imθ. Como consecuencia de esta proposición se obtiene la siguiente igualdad, conocida como fórmula de Möivre: (cos(θ) + i sen(θ)) n = cos(nθ) + i sen(nθ) (1.2) Ejemplo 1.11 Calcule: a) (1 + i) 3, b) (1 + 3i) 4, c) (1 3i) 2, (d) i 3, (e) i 4. Ejercicio 1.12 Calcule: a) (1 + i) 9, b) ( 1 + i) 17, c) (1 3i) 15, d) i Proposición 1.5 Sean z = r e iθ 0 y n ln; se verifica que z tiene exactamente n distintas que son w n = n r e i θ+2kπ n para k {0,..., n 1}. (1.3) El conjunto formado por todas las raíces n- ésimas de z está constituido por n números que dividen a la circunferencia centrada en el origen de radio n r en n partes iguales. Este conjunto se denota por n z y al utilizar esta notación debemos tener en cuenta que ciertas operaciones habituales en el caso de raíces de números reales, como por ejemplo n xy = n x n y, no son válidas en el campo de los números complejos. w 2 2ù n 2ù n w 1 2ù n w 0 Figura 1.5: Raíz n-ésima. w n-1 Ejemplo 1.12 Halle y represente gráficamente las raíces siguientes: a) 4 i, b) 3 1, c) 3 2i.

9 9 Ejemplo 1.13 Determine un polinomio en C cuyas raíces sean los vértices de un hexágono regular que está centrado en el origen y que tiene uno de sus vértices en (1, 0). Ejemplo 1.14 Obtenga las coordenadas de un hexágono regular centrado en el punto (0, 1) que tiene uno de sus vértices en (2, 1). Ejercicio 1.13 Halle las soluciones de las ecuaciones siguientes: a) z 2 = i, b) z 4 = 1, c) z 3 = 1 + i, d) z 5 = 1 + 3i. Ejercicio 1.14 Obtenga un polinomio en C cuyas raíces sean los vértices de un pentágono regular que está centrado en el origen y que tiene uno de sus vértices en (1, 0). Halle los otros dos vértices. Ejercicio 1.15 Obtenga las coordenadas de un triángulo equilátero centrado en el punto (1, 1) que tiene uno de sus vértices en (1, 3). Ejercicio 1.16 Sean a, b, c C, a 0. Completando cuadrados, demuestre que las soluciones de la ecuación az 2 + bz + c = 0 son z = b + b 2 4ac. 2a Ejercicio 1.17 Halle las soluciones de la ecuación z 2 4z + 8 = 0. Ejercicio 1.18 Demuestre que, para n ln, z n = ( z) n z C. Ejercicio 1.19 Para z C se considera un polinomio p(z) = a 0 + a 1 z + + a n z n donde a 0,, a n l - R. Demuestre que p(z 1 ) = 0 si, y sólo si, p(z 1 ) = 0.