2. El conjunto de los números complejos

Transcripción

1 Números complejos 1 Introducción El nacimiento de los números complejos se debió a la necesidad de dar solución a un problema: no todas las ecuaciones polinómicas poseen una solución real El ejemplo más sencillos de esto es la ecuación x = 0, que no posee soluciones en R por que ningún numero real da 1 al elevarlo al cuadrado Al principio se definió la unidad imaginaria como i = 1 para representar la solución de dicha ecuación y se utilizaron expresiones como 2 + 3i, llamados números complejos de un modo puramente formal Fue a principios del siglo XIX cuando Gauss y Hamilton asentaron las bases de la teoría compleja, considerando el número complejo como una pareja de números reales, dotados de unas propiedades especiales 2 El conjunto de los números complejos Se considera el conjunto R R = {(a,b)/a,b R} A los elementos de este conjunto se les llamará números complejos y al conjunto de números complejos se le notará como C Por tanto un número complejo no es más que un par ordenado de números reales Así el numero complejo (2, 5) será distinto del número complejo (5,2) Definición 21 En el conjunto C se definen dos operaciones, llamadas suma y producto de números complejos: (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad + bc) Lema 21 Las suma de números complejos verifica las siguientes propiedades: 1 Conmutativa: (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) (a,b),(c,d) C 2 Asociativa: [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)] (a,b),(c,d),(e,f) C 3 Existencia de elemento neutro: (a,b) + (0,0) = (0,0) + (a,b) = (a,b) (a,b) C 4 Existencia de elemento simétrico: (a,b) C ( a, b) C//(a,b) + ( a, b) = (0,0) 1

2 Departamento de Matemáticas IES Montevives Lema 22 El producto de números complejos verifica las siguientes propiedades: 1 Conmutativa: 2 Asociativa: (a,b) (c,d) = (c,d) (a,b) (a,b),(c,d) C [(a,b) (c,d)] (e,f) = (a,b) [(c,d) (e,f)] (a,b),(c,d),(e,f) C 3 Existencia de elemento neutro: (a,b) (1,0) = (1,0) (a,b) = (a,b) (a,b) C 4 Existencia de elemento inverso para números complejos no nulos: (a,b) (0,0) C (a,b ) C//(a,b) (a,b ) = (a,b ) (a,b) = (1,0) 5 Distributiva: (a,b) [(c,d)+(e,f)] = (a,b) (c,d)+(a,b) (e,f)] (a,b),(c,d),(e,f) C A partir de la definición de producto de números complejos podemos calcular la expresión que tiene el elemento inverso de un número complejo no nulo Si (a,b) es un número complejo no nulo, vamos a tomar (α,β) como el número inverso del anterior Entonces se cumple que (a,b) (α,β) = (1,0) Y utilizando la definición de producto tenemos (aα bβ,aβ + bα) = (1,0) A partir de esa igualdad tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son α y β: } aα bβ = 1 aβ + bα = 0 Resolviendo el sistema tenemos α = a a 2 + b 2 β = b a 2 + b 2 Por tanto el inverso de un número complejo no nulo (a,b) sería: (a,b) 1 = ( ) a a 2 + b 2, b a 2 + b 2 Y este inverso nos permite definir la división de números complejos, siempre que el divisor no sea cero, como el producto del dividendo por el inverso del divisor 2

3 Departamento de Matemáticas IES Montevives 3 Relación entre números reales y números complejos Como se ha definido el conjunto de números complejos a partir del conjunto de números reales debe existir una relación entre ellos La relación es que cualquier número real a puede considerarse como el número complejo (a,0) Se puede comprobar que si realizamos la suma y el producto de números reales en forma compleja, el resultado sigue siendo real: (a,0) + (b,0) = (a + b,0 + 0) = (a + b,0) (a,0) (b,0) = (a b 0 0,a 0 + b 0) = (a b,0) Esta forma de expresión de los números reales nos va a permitir determinar otra expresión para los números complejos Definición 31 Al número complejo (0, 1) se le llama unidad imaginaria y se nota como i Entonces a partir de la unidad imaginaria tenemos una nueva forma de expresar los números complejos: si (a, b) es un número complejo podemos escribir (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) (0,1) = a + bi Esta expresión de los números complejos recibe el nombre de forma binomial del número complejo En esta forma de considerar los números complejos, las operaciones suma y producto se expresan de la siguiente forma: (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i Con esta notación el elemento neutro para la suma es 0, es decir 0 + 0i, el elemento neutro para el producto es 1, es decir 1 + 0i, el elemento opuesto a para la suma es a bi y el elemento inverso para el producto es b a 2 +b 2 a 2 +b i 2 Con la introducción de los números complejos se ha ganado algo más que poder resolver la ecuación x 2 +1 = 0 En 1799 Gauss demostró que toda ecuación algebraica de la forma a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = 0 tiene una solución compleja si n >= 1 Este resultado se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra Definición 32 Sea z = a + bi un número complejo Se define la parte real de z como el número real x y se define la parte imaginaria de z como el número real y Se notará Re(z)=a e Im(z)=b Definición 33 Sea z = a + bi un número complejo Se define el conjugado de z, z, como el número complejo z = a bi Definición 34 Sea z = a + bi un número complejo Se define el módulo de z como z = z z Por ejemplo el módulo del número complejo 3-2i se calcula así: 3 2i = (3 2i) (3 + 2i) = = 13 3

4 Departamento de Matemáticas IES Montevives 4 Interpretación geométrica Módulo y argumento Como un número complejo es un par ordenado de números reales, podemos representarlo geométricamente mediante un punto del plano (x, y) o mediante un vector que une el origen con el punto (x,y) Y 2 1 X Representación del número complejo 1 + 2i Así pues al plano también se le llama plano complejo, al eje X se le llama eje real y al eje Y se le llama eje imaginario La suma y la resta de números complejos tienen una sencilla interpretación geométrica mediante la ley del paralelogramo: Representación de la suma 1 + 2i i = 2 + 3i 41 Coordenadas polares en el plano Ya conocemos que todo punto del plano tiene asociado una pareja ordenada de números que son sus coordenadas cartesianas, denominadas normalmente (x,y) Pero esta no es la única forma de determinar un punto del plano Otra forma es usando sus coordenadas polares: son una pareja ordenada de números (ρ,θ) donde ρ indica la distancia del punto al origen y θ es el ángulo medido en radianes que forma el segmento que une el origen y el punto con la parte positiva del eje X 4

5 Departamento de Matemáticas IES Montevives Y ρ θ X Coordenadas polares de un punto A partir de la definición de las razones trigonométricas obtenemos la relación entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares: Y ρ θ x y X El punto anterior tiene (x, y) como coordenadas cartesianas y (ρ, θ) como coordenadas polares Entonces se cumple: x = ρ cos θ y = ρ sen θ 42 Módulo y argumento de un número complejo Ya conocemos que el número complejo (a,b) se escribe también de la forma a+bi Gracias al uso de las coordenadas polares en el plano tenemos otra forma de escribir ese número complejo: (a,b) = (ρ cos θ,ρ sen θ) El valor de ρ 1 se obtiene mediante el teorema de Pitágoras: ρ = a 2 + b 2 y se le ha llamado antes el módulo del número complejo y al ángulo θ se le llama un argumento del número complejo Hay infinitos argumentos para un número complejo Tomamos siempre el comprendido entre 0 y 360 Podemos escribir también el número complejo en forma binomial: a + bi = ρ cos θ + ρ sen θi = ρ(cos θ + isen θ) 1 Que es la distancia del punto al origen de coordenadas 5

6 Departamento de Matemáticas IES Montevives A la anterior expresión se le llama forma trigonométrica del número complejo y a la expresión: ρ θ se le llama forma polar donde el ángulo viene expresado en radianes o en grados Para calcular la forma polar del número complejo 1 + i procedemos así: 1 Calculamos el módulo del número complejo: ρ = = 2 2 El argumento del número complejo se calcula mediante la definición de tangente: tg θ = 1 1, de donde el argumento de este número complejo es π 4 Por tanto el número complejo 1 + i se escribe en forma polar así: 2 π 4 5 Operaciones con números complejos en forma polar Aplicando fórmulas trigonométricas obtenemos una manera muy sencilla de calcular productos, potencias y divisiones de números complejos en su forma polar Producto El producto de dos números complejos en forma polar se realiza multiplicando los módulos y sumando sus argumentos ρ θ ρ φ = (ρ ρ ) θ+φ División La división de dos números complejos en forma polar se realiza dividiendo los módulos y restando los argumentos ρ θ ρ φ = (ρ ρ ) θ φ Potencia Una potencia de un número complejo en forma polar se realiza elevando el módulo al exponente y multiplicando el argumento por el exponente de la potencia (ρ n θ) = (ρ) n nθ A partir de las propiedades de la potencia de números complejos obtenemos la fórmula de Moivre (cos θ + isen θ) n = cos(nθ) + isen(nθ) que es útil en trigonometría para calcular senos y cosenos de nθ a partir de senos y cosenos de θ Raíces Todo número complejo ρ θ tiene n raíces n-ésimas 2 cuyo módulo es la raíz n-ésima del módulo del número complejo ( n ρ) y sus argumentos son θ n, θ n n, θ n n, θ (n 1) n n Estas raíces n-ésimas forman un n-ágono 3 regular cuyo centro es el origen de coordenadas 2 Es decir, tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas, 4 raíces cuartas y así sucesivamente 3 Polígono de n lados 6