Problemas sobre números complejos -1-

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1 Problemas sobre números complejos --.- Representa gráfcamente los sguentes números complejos y d cuáles son reales, cuáles magnaros y, de estos, cuáles magnaros puros: Obtén las solucones de las sguentes ecuacones y represéntalas: (a) + 4 = 0 (c) + 7 = 0 (b) = 0 (d) 7 = 0.- Representa gráfcamente el opuesto y el conjugado de: (a) -5 (c)-- (e) 5 (g) (b) 5+ (d)-+ (f) 0 (h) (a) Calcula las potencas sucesvas de, desde hasta 0 (b) Calcula,, y (c) Avergua un crtero para smplfcar potencas de de exponente natural 5.- Efectúa las sguentes operacones y smplfca el resultado: + 4 (a) ( 6 5) + ( ) ( 5 + 6) = (f) = 4 4 (b) ( ) ( 5 + 4) + ( 6 4) = (g) = + (c) ( + )( 4 ) = (h) = + 5 (d) ( )( 5 + 6) = 5 + () = (e) ( + )( )( + ) = + 5 (j) = Obtén polnomos cuyas raíces sean: 4 (k) = (l) ( ) ( ) (m) + 7 ( ) (n) (o) ( )( ) (a) + y (b)- y (c) + y -4 Escrbe, en cada caso, la ecuacón cuyas solucones son las ndcadas. (Observa que solo cuando las dos solucones son conjugadas, la ecuacón tene coefcentes reales) 7.- Calcula: (b) + ( + ) ( 4 ) 5 = (e) ( ) = + (c) ( 4 + )( 4 ) ( 4 ) = (f) + = + (a) ( + )( ) ( )( ) = (d) = ( )( )

2 Problemas sobre números complejos Dados los números complejos =-, =-+, t=-, calcula: (a) t= + t (c) t = (e) = (b) t ( t + ) = t t (d) = (f) = 9.- Calcula: 7 (a) (b) 6 (c) 0.- Dado el número complejo = +, prueba que: (a) + + = 0 (b) = 7 (d).- Calcula m y n para que se verfque la gualdad (+m) + (n+5) = (e) 6.- Determna k para que el cocente k + sea gual a Calcula a y b de modo que se verfque ( a b) = Dados los números complejos -a y -b, halla a y b para que su producto sea gual a Calcula el valor de a y b para que se verfque a = + b Halla el valor de b para que el producto (-6)(4+b) sea: (a) Imagnaro puro. (b) Real. 7.- Determna a para que ( a ) sea un número magnaro puro. 8.- Calcula x para que el resultado del producto (x++x)(x-) sea un número real. 9.- Cuánto debe valer x, real, para que (a) Real? ( 5 x ) sea: (b) Imagnaro puro? + x 0.- Halla el valor que debe tener x para que el cocente 4 (a) Imagnaro puro. (b) Real. sea:.- Para qué valores de x es magnaro puro el cocente x 4? x +.- Escrbe una ecuacón de segundo grado que tenga por solucones: (a) + y - (b) 5 y -5 (c) -- y -+

3 Problemas sobre números complejos --.- Escrbe en forma polar los sguentes números complejos: (a) (b) (c) = + (d) = (g) = + (j) = 7 = (e) = + (h) = 8 (k) = 5 = (f) = () = (l) = 4.- Escrbe en forma bnómca los sguentes números complejos: (a) π 5 (d) rd 6 70 (b) 65 (e) 495 (g) 40 (h) ( ) (j) 400 π 80 (k) rd (c) 5 (f) 870 () 50 (l) Escrbe en forma bnómca y en forma polar el sguente número complejo: 8( cos 0 + sen0 ) =. 6.- Sean los números complejos = 460 (a) Expresa y (b) Halla y y =. 0 en forma bnómco., y pasa los resultados a forma polar. (c) Compara los módulos y los argumentos de y con los de y. Qué observas? 7.- Efectúa estas operacones y da el resultado en forma polar y en forma bnómca: (a) 5 (c) (e) ( ) 5 70 (b) 6 : (d) π : (f) ( + ) + ( + ) rd Dados los complejos = 545, =, t = 4, obtén en forma polar: 5 (a) t (b) (c) t (d) t 9.- Dados los complejos =, = 4, 0 =, calcula: 5 (a) (d) (b) (e) (c) (f) (g) (h) () 4 (j) 5 + (k) 4 (l) 0.- Expresa en forma polar, su opuesto y su conjugado en cada uno de estos casos: (a) = (b) = (c) = +

4 Problemas sobre números complejos Resuelve la ecuacón +7=0. Representa sus solucones..- Calcula: (a) 5 (b) (d) + + (e) ( ) 5 (h) (g) ( + ) 6 6 (j) ( ) ( ) + 8 (k) ( ) 5 (c) 5 (f) 4 () 4 + (l) 49.- Calcula las sguentes raíces y representa gráfcamente sus solucones: (a) 9 (c) (e) 5 (b) 7 (d) + (g) 4 4 (f) 5 (h) Resuelve las ecuacones: (a) 5 +=0 (c) -7=0 (e) 4 +4=0 (b) ++4=0 (d) +8=0 (f) 4-8=0 5.- Representa los polígonos regulares que tenen por vértces los afjos de las sguentes raíces: (a) 5 (b) 6 (c) Calcula m para que el número complejo -m tenga el msmo módulo que Halla dos números complejos tales que su cocente sea, la suma de sus argumentos π, y la suma de sus módulos Para qué valores de x es magnaro puro el cocente x 4? x Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dvdr x+ entre 4- esté representado en la bsectr del prmer cuadrante Representa gráfcamente los resultados que obtengas al hallar se forma al unr esos tres puntos. y calcula el lado del trángulo que 4.- Pueden ser las raíces de un número complejo, los números, 8, 00, 7 44 afrmatvo, halla. 4.- El número complejo 40 cuyas raíces quntas son esos vértces. y? En caso 6 es vértce de un pentágono regular. Halla los otros vértces y el número complejo

5 Problemas sobre números complejos Una de las raíces cúbcas de un número complejo es +. Halla y las otras raíces cúbcas Halla los números complejos que corresponden a los vértces de estos hexágonos (s consderamos que están nscrtos en una crcunferenca de rado y centro en el orgen de coordenadas) 45.- Halla los vértces (en forma polar) de un cuadrado de centro el orgen de coordenadas, sabendo que uno de los vértces es el punto (0,-) 46.- Calcula el valor de 7 7, y representa los afjos de sus raíces cúbcas Halla x para que el módulo del número complejo x + sea Halla el perímetro del cuadrado formado por los afjos de los números complejos que se obtenen al calcular Calcula: + + a Determna a y b para que el cocente + b sea gual a ( ) 5

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