Práctica N 6 Modelos de Programación Lineal Entera

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1 Práctica N 6 Modelos de Programación Lineal Entera 6.1 Una empresa textil fabrica 3 tipos de ropa: camisas, pantalones y shorts. Las máquinas necesarias para la confección deben ser alquiladas a los siguientes costos: 00$ por semana la máquina de camisas 150$ por semana la máquina de shorts 100$ por semana la máquina de pantalones Se dispone de 150 horas hombre y 160 m de tela. Los requerimientos, costos y precio de venta de cada tipo de ropa son los siguientes Horas Hombre m de tela Costo Precio de Venta Camisas Shorts Pantalones Formular un modelo que maximice las ganancias. 6. Una compañía usa 5 máquinas (M i ) para fabricar 3 productos (P i ). El proceso de cada uno es el siguiente: P 1 : M (horas) M 1 (1 1 hora) M 4 (1hora) M 5 (3horas) P : M 1 (1hora) M 3 (1hora) M 4 (horas) P 3 : M 3 (horas) M (3horas) M 5 (1hora) La producción está sujeta a las siguientes restricciones: Dos máquinas no pueden trabajar simultáneamente en un producto Cada máquina debe finalizar el proceso en un producto antes de empezar otro Se requiere formular un modelo que determine el proceso de producción que minimice el tiempo necesario para procesar todos los productos. 6.3 Una empresa produce 3 tipos de autos: E 1, E, E 3. E 1 y E difieren en muy poco y sólo se requieren pequeï 1 os cambios en el proceso de ensamblado para hacer un modelo u otro. E 3 requiere grandes ajustes en el proceso. Es política de la empresa, (para evitar continuos cambios en el proceso de ensamblado) en el caso de producir E 1 y/o E hacerlo en cantidades superiores a 100. Los recursos necesarios y el beneficio de cada auto son los siguientes: Acero(t) Horas hombre Beneficio ($) E E E Si se dispone de 8000 toneladas de acero y horas hombre, formular un modelo que maximice las ganancias. 6.4 Una destilería produce dos tipos de gasolina a partir de dos tipos de petroleo crudo. Cada galón de GAS 1 debe contener al menos 50 % del primer tipo de petroleo y cada galón de GAS debe contener 60 % del mismo. Cada galón de GAS 1 puede ser vendido a 1 centavos y cada galón del GAS a 14 ctvs. En la planta hay 500 galones de pretóleo 1 y 1000 de petróleo. Se pueden comprar 1500 galones de petroleo 1 a los siguientes precios: los primeros 500 galones a 5ctvs, los siguientes 500 a 0ctvs por galón, los siguientes 500 a 15ctvs por galón. Formular un problema de P E que sirva para maximizar el beneficio de la empresa. 1

2 6.5 Un estudiante debe cursar al menos dos materias (M i ) de cada una de las tres áreas (A i ) de su carrera. Las áreas son: A 1 : M 1, M, M 3, M 4, M 5 A : M, M 4, M 5, M 6 A 3 : M 3, M 6, M 7 Existen prerrequisitos para cursar las materias: M 1 correlativa de M 4 M 7 correlativa de M 6 y M 3 M 4 correlativa de M 5 Formular un modelo para minimizar el número de materias necesarias para cumplir con los requisitos. 6.6 Se desea acceder a 5 archivos (A i ) que se encuentran guardados en 10 discos (D j )(X significa que el A i se encuentra en D j ): D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D 10 A 1 X X X X X X A X X A 3 X X X A 4 X X X A 5 X X X X X X X Costo 3$ 5$ 1$ $ 1$ 4$ 3$ 1$ $ $ a) Formular un modelo que minimice costos. b) Modificar el modelo si existe la obligación de comprar D si se compra D 3 y D 4. c) Modificar el modelo si hay una promoción que al comprar D 3 y D 5, D viene de regalo. 6.7 Una fábrica de impresoras abastece a 6 ciudades (C i ). Como una mejora del servicio al cliente proyecta establecer talleres de reparaciones. Por las leyes impositivas vigentes sólo las primeras 4 ciudades son candidatas a ser cede de los talleres. Según estudios de mercado que ha realizado la empresa, en cada ciudad las ventas aumentan si existe un taller de reparaciones en un radio de 150 km de la misma. Actualmente, ninguna de las ciudades tiene un taller a menos de 150 km. Cada impresora tiene un costo de 500ysevendea1000. En las tabla A se muestran las distancias entre las ciudades y en la tabla B los estimados de venta. Formular un modelo para maximizar ganancias. Tabla A C 1 C C 3 C 4 C C C C C C Tabla B Existe taller en radio 150 km? C 1 C C 3 C 4 C 5 C 6 Si No Se quieren grabar canciones en un cassette. Cada lado tiene una longitud entre 14 y 16 minutos. La duración de las canciones esta dada en la tabla. Existen ciertas restricciones: a) Cada lado debe tener exactamente baladas

3 b) El lado 1 debe tener al menos 3 tangos c) La canción 5 o la 6 debe estar en lado 1 d) Si las canciones y 4 están en lado 1, entonces la canción 5 debe ir al lado Explicar (usando ppl entera) si existe manera de satisfacer las restricciones. Canciones Tipo Duración 1 Balada 4 Tango 5 3 Balada 3 4 Tango 5 Balada 4 6 Tango 3 7 Clásico 5 8 tango/balada Un centro de conferencias tiene tres salones de 50 asientos, dos de 100 y dos de 150. El costo de los salones es de 100 veces la cantidad de horas pedidas. Los pedidos de salones son: Cantidad de asientos Horario Cantidad de salones hs hs hs hs Se debe decidir como asignar los salones teniendo en cuenta que en la tabla se informa en cuanto se multiplica el costo original que debe pagarse por asignar salones más grandes a los pedidos Sea la siguiente red: asientos salón asignado pedidos no no no Formular un PPL entero para encontrar el camino más corto entre 1 y Sea un tablero de ajedrez de 4x4 casillas. Formular un modelo para: a) Maximizar el número de reinas de tal manera que ninguna ataque a otra. b) Minimizar el número de reinas de tal manera que toda casilla quede atacada por lo menos por una reina. 6.1 Supongamos que un PPL tiene las restricciones x 1 + 5x + 8x 3 40 x 1, x, x 3 0 y además x 1 + 3x + 4x 3 1 ó x 1 + x + x 3 3 Formular el problema como un PPL entero. 3

4 6.13 Escribir un ppl entero para el siguiente problema Max 3 x 1 +4x 3x 3 s.a. x 1 + x +4x 3 60 x 1 +x + x 3 1 x 1 + x +3x 3 7 x 1, x, x 3 0 y si x + x 3 > 0 entonces x 1 + x Supongamos que u y v son variables binarias. Deducir desigualdades o igualdades que aseguren que: a) Exactamente una variable vale 1 b) Al menos una variable vale 1 c) Si u = 1 entonces v = 1 d) Si v = 0 entonces u = Los costos de envío de encomiendas entre dos ciudades varían según el peso: Peso Costo menos de 5 kg $ más de 5 kg y a lo sumo 15 kg 5$ más de 15 kg y a lo sumo 5 kg 7.5$ Modelizar una función objetivo que pueda ser usada en un PPL entero Cómo se podría usar programación entera para resolver el siguiente problema: Max 3x +y + xy s.a. x+ y 1 x, y {0, 1} 6.17 Una compañía farmaceutica debe determinar cuantos visitadores médicos debe asignar a cada uno de 4 distritos de ventas. El costo de tener n visitadores en un distrito es 88000$ $ n. La siguiente tabla muestra el tiempo en horas que le lleva a un representante que tiene su base en un distrito dado visitar a un doctor de otro distrito. Distr 1 Distr Distr3 Distr4 Distr Distr Distr Distr Cada visitador trabaja hasta 160 hrs por mes. La siguiente tabla muestra cuantos doctores se deben visitar en cada distrito. Distrito Nro. De Llamadas

5 Determinar cuantos visitadores se deben asignar a cada distrito para minimizar los costos. Resolver con LINDO La compañía QED debe diseñar un programa de producción para las próximas 9 semanas. Cada trabajo dura varias semanas y una vez que se empezó no puede interrumpirse. Cada semana se requiere un cierto número de trabajadores calificados para trabajar full-time en un trabajo. Entonces si el trabajo i dura p i semanas, se requieren l i,u trabajadores en las semanas u con u = u 1,..., u pi. En la semana t hay L t trabajadores disponibles. Abajo se muestra una tabla típica de cómo son los datos que se tienen para planificar. Trabajo Duración Sem1 Sem Sem3 Sem a) Formular el problema de encontrar un programa de producción factible. b) Formular un PLE para minimizar el máximo número de trabajadores usados por semana. c) Agregar la restricción de que el trabajo 1 debe empezar al menos semanas antes que el trabajo 3. d) Agregar la restricción de que el trabajo 4 debe empezar no más de una semana después del trabajo 5. e) Agregar la restricción de que los trabajos 1 y no pueden hacerse al mismo tiempo porque necesitan la misma máquina Formular un modelo de PLE para el siguiente problema de diseño de una red de comunicaciones a costo mínimo. Se tiene un conjunto V de lugares que tienen que estar interconectados por la red y un costo fijo cl asociado a la instalación de un link entre cada par de localidades entre las cuales es posible ponerlo. Hay requerimientos de supervivencia en los nodos de la red expresados de la siguiente forma: para cada par de nodos s y t de V, la red tiene que tener r st = mín{r s, r t } caminos disjuntos en los nodos entre s y t. 6.0 Dadas las siguientes formulaciones para un conjunto X B 4 decidir si hay alguna que sea mejor que las demás. Demostrar. P 1 = {x R 4 /97x 1 + 3x + 5x 3 + 0x 4 139; 0 x 1} P = {x R 4 /x 1 + x + x 3 + x 4 139; 0 x 1} P 3 = {x R 4 /x 1 + x + x 3 ; x 1 + x + x 4 ; x 1 + x 3 + x 4 ; 0 x 1} 6.1 Formular como P E los siguientes problemas: a) Problema de las N reinas. b) Árbol generador mínimo en un grafo conexo (o bosque en un grafo no conexo). 6. Supongamos que una persona está interesada en elegir entre un conjunto de inversiones (I i ) y quiere hacer un modelo 0-1 para tomar la decisión. Modelar las siguientes restricciones: a) No se puede invertir en todas. b) Hay que elegir al menos una de ellas. c) Si se elige I 3 no se puede elegir I 1. d) La inversión I 4 se puede elegir sólo si se elige la I. e) O se eligen las inversiones I y I 5 o ninguna de las dos. f ) Se puede elegir al menos una de las inversiones I 1,I,I 3 o al menos de entre I,I 4,I 5,I 6. 5