ALGEBRA. Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal

Transcripción

1 ALGEBRA La importancia del álgebra radica en que constituye el cimiento de casi todas las ramas de la matemática; es una poderosa herramienta para desarrollar el pensamiento analítico. Con la ayuda del álgebra podemos ser capaces de modelar situaciones de índole práctico como teórico. Establezcamos algunos conceptos algebraicos básicos que nos ayudarán en la comprensión y desarrollo del tema. Término Algebraico, Grado: Se denomina término algebraico al producto de un factor numérico por una o mas variables literales. En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes) y la factor literal (que incluye las variables). El grado de un término algebraico es la suma de los exponentes de las variables que componen cada factor literal. Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal 3 7 b2x y Grado a 5 bc 1 a 5 bc = b 2x y = b2 xy ( 1) = 2 2,7xy 2,7 xy 1+1 = πr3 3 4 π r m 4 n a m 4 n 5 4+a Expresiones Algebraicas: Una expresión algebraica es la suma de términos algebraicos. De acuerdo con el número de términos que componen la expresión algebraica, estas se clasifican en: Monomio: Expresión algebraica de un término. Binomio: Expresión algebraica de dos términos. Trinomio: Expresión algebraica de tres términos. Polinomio: Expresión algebraica que puede tener uno o más términos y donde los exponentes de la parte literal son todos enteros positivos. Grado de una expresión algebraica: El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados de los términos que la componen. Los términos de la expresión 4x 5 y 6 z 8 2x 2 y 2 z 7 + 3x10 y 2z 3 z 6 +10x 3 y 2 z 8 tienen grados 19,11,8,6 y 13 respectivamente. Luego el grado de la expresión algebraica anterior es 19. Algunos conceptos importantes para la operatoria algebráica son: 1. Evaluación de expresiones algebraicas (valoración): Valorar una expresión algebraicas, consiste en asignar un valor numérico a cada variable que aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondan para obtener el valor numérico final de la expresión. Dados los valores de x = 2, y = 1 y z = 3, el valor numérico de 5xy 2 z 2, es 5 2 ( 1) 2 ( 3) 2 = = 1

2 2. Términos semejantes: Son aquellos términos que tienen idéntico factor literal, solo pueden diferir en el coeficiente numérico. En 2a 2 b ab 3a 2 b, los términos 2a 2 b y 3a 2 b son semejantes. En 0,2m 3 n 0,1mn 2 6mn 2 +m 3 n, hay dos pares de términos semejantes: 0,2m 3 n con m 3 n y 0,1mn 2 con 6mn 2 3. Reducción de términos semejantes: Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener el factor literal. 5xy +x+y 3xy +2x 3y = 3x 2y +2xy 4. Uso de paréntesis: El uso de paréntesis es frecuente en matemática y en especial en álgebra. Sirve para separar expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo a las siguientes reglas. Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio. Si esta precedido de un se elimina después de cambiar todos los signos de los términos del interior del paréntesis. Es importante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina el signo que lo antecede. Si se tienen paréntesis dentro de paréntesis se pueden eliminar de adentro hacia afuera o viceversa, aunque lo mas utilizado es el primer caso. (a+b c) ( a b+c)+(a b+c) = a b+c+a+b c+a b+c = a b+c 2ab [3a ( 2ab+3a) ab] = 2ab [3a+2ab 3a ab] = 2ab [ab] = 2ab ab = ab. Operatoria algebraica Adición de polinomios Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. Multiplicación de polinomios 1. Monomio por monomio: Usando la propiedad conmutativa se multiplican los coeficientes numéricos entre si y sus factores literales utilizando las propiedades de potencias. 5xy 2 6xy 3 z = (5 6)(xy 2 xy 3 z) Propiedad Conmutativa = 30x 2 y 5 z

3 2. Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a(b+c+d) = ab+ac+ad 3x 3 (4xy x 4 +2y 3 ) = 3x 3 4xy 3x 3 x 4 +3x 3 2y 3 Propiedad Distributiva = 3x 7 +12x 4 y +6x 3 y 3 Propiedad Conmutativa 3. Polinomio por polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. (2x+3y)(x 2 3xy +y 3 ) = 2x (x 2 3xy +y 3 )+3y(x 2 3xy +y 3 ) = 2x x 2 2x 3xy +2x y 3 +3y x 2 3y 3xy +3y y 3 = 2x 3 6x 2 y +2xy 3 +3yx 2 9xy 2 +3y 4 = 2x 3 3x 2 y 9xy 2 +2xy 3 +3y 4 Productos Notables 1. Cuadrado de binomio (a±b) 2 = a 2 ±2ab+b 2 2. Suma por su diferencia (a+b)(a b) = a 2 b 2 3. Producto de binomios con un término en común (x+a)(x+b) = x 2 +(a+b)x+ab 4. Cubo de binomio (a±b) 3 = a 3 ±3a 2 b+3ab 2 ±b 3 5. Cuadrado de trinomio (a±b±c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 ±2ab+2bc±2ac 6. Suma de cubos (a+b)(a 2 ab+b 2 ) = a 3 +b 3 7. Diferencia de cubos (a b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 b 3 Factorización. La factorización de una expresión algebraica consiste en convertirla en producto de expresiones más simples. Para llevarla a cabo se debe buscar un factor común, pues la factorización es el proceso inverso de aplicar el axioma de distributividad y los productos notables. Factor común (monomio y polinomio) En este caso todos los términos de la expresión algebraica presentan un factor común, que puede ser un monomio o polinomio, por el cual se factoriza. Factoricemos 3xy 2 15x 3 y 5 +24x 4 y 4 = 3xy 2 (1 5x 2 y 3 +8x 3 y 2 ), donde el factor común es 3xy 2 x 2 (a 2 b 2 ) y(a b) = x 2 (a+b)(a b) y(a b) = (a b)(x 2 (a+b) y), en este caso el factor común es el binomio a b Factorización por agrupación-factor común compuesto En este caso todos los términos de la expresión algebraica no presentan un único factor común, pero se pueden factorizar por grupos.

4 Factorice: ax+ay bx by = a(x+y) b(x+y) = (x+y)(a b) x 3 3x 2 y +3xy 2 9y 3 = 6x 2 (x 3y)+3y 2 (x 3y) = (x 3y)(x 2 +3y 2 ) En el caso que la expresión algebraica corresponda al desarrollo de un producto notable para factorizar se utilizan las mismas fórmulas pero de manera inversa. Completación de Cuadrados La completación de cuadrado es una técnica en la cual se utilizan operaciones algebraicas para expresar un trinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c R, a 0 en una expresión equivalente con un cuadrado de binomio más otros términos. Ejemplos: Escribir la expresión x 2 + 4x de tal manera que aparezca un cuadrado de binomio: Sumando 0 a la expresión original: x 2 +4x+0 Como debe aparecer una expresión de la forma a 2 +2 a b+b 2 se tiene x 2 +4x+0 = x 2 +2 x 2 +0 Nos damos cuenta que el término que falta es 4, luego la expresión anterior puede ser escrita en la forma: x 2 +2 x 2+0 = x 2 +4x Finalmente la expresión original queda escrita como:. x 2 +4x = (x+2) 2 4 4x 2 +24x+3y 2 +24y. En este caso podemos factorizar por 2 los dos primeros términos y por 3 los dos últimos términos. 4(x 2 +6x)+3(y 2 +8y), sumamos nuestro cero conveniente en ambas expresiones pero eso sí, dentro de los paréntesis respectivos. 4(x 2 +6x+9 9)+3(y 2 +8y ) = 4((x+3) 2 9)+3((y +4) 2 16), que finalmente queda,. 4(x+3) 2 +3(y +4) 2 84

5 Fracciones Algebraicas(F.A.) Son expresiones racionales donde el numerador y denominador generalmente son polinomios. Para la operatoria asumiremos que estas fracciones están definidas, es decir, sus denominadores son distintos de cero. x+y ab 2, a,b 0 5xy 2 3x+y, x y x y Operatoria de fracciones algebraicas Estas expresiones racionales son las extensiones algebraicas de los números racionales y por lo tanto las reglas fundamentales del manejo de estos números abarcan las F.A. Ejemplos: 1. Simplificación 2. Multiplicación x 2 3x+2 x 2 1 = (x 2)(x 1) (x+1)(x 1) = x 2 x+1, x ±1 x y a xy b c = (x y)xy a(b c) = x2 y xy 2 ab ac, a 0, b c 3. Suma 5 x 2 y 2 4 x+y = 5 (x+y)(x y) 4 x+y x y x y = 5 (x+y)(x y) = 5 (4x 4y) (x+y)(x y) = 5 4x+4y x 2 y 2, x ±y 4x 4y (x+y)(x y)

6 Ejercicios 1. La expresión a 4 b 4 se puede escribir como a) (a b) 4 b) (a+b) 2 (a b) 2 c) (a 3 b 3 )(a+b) d) (a 2 +b 2 )(a 2 b 2 ) e) (a b)(a 3 +b 3 ) 2. La expresión a) 0 a b) xy c) ax y xa(y 1)2 d) y 3 e) xy a xy x y : ay a y 2 es igual a: 3. Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1? a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III I) 3x y y 3x II) x 2 +y 2 (x+y) 2 III) x3 +x 2 x 1 (x+1) 2 (x 1) 4. El ancho de un rectángulo mide 2x + 3y. Si su perímetro mide 12x + 8y, cuánto mide el largo del rectángulo? a) 6x+3y b) 2x+y c) 8x+2y d) 4x+y e) 4x+6y 5. El área de un rectángulo es 2x 2 +2x 24. Si uno de sus lados mide (x 3), el otro lado mide: a) (x+8) b) 2(x+8) c) 2(x 4) d) 2(x 3) e) 2(x+4)

7 6. Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica 3x 2 3x 18? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II I) 3 II) (x 3) III) (x 2) d) Sólo I y III e) I, II y III 7. Si la base de un triángulo mide z y su altura mide z, entonces cuánto mide el lado de un cuadrado 2 que tiene igual área que el triángulo? a) z 4 b) z 2 2 c) z d) z 2 e) z Si x = 2, entonces (3 x)(x 5 +17) = a) 45 b) 75 c) 15 d) 75 e) Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces x y + y x = a) x2 +y 2 xy b) x+y xy c) 1 d) 2x+2y xy e) Si 4(3x+3) = 5(6+2x), entonces 2x es: a) 9 b) 16 c) 18 d) e) Ninguno de los valores anteriores.

8 11. Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k 2 k 6? a) k +1 b) k +3 c) k 6 d) k 3 e) k Si x es un número entero mayor que 3 y el área de un rectángulo se expresa como (x 2 +3x 18), cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados? a) (x 2) y (x 9) b) (x+2) y (x 9) c) (x 3) y (x+6) d) (x+3) y (x 6) e) (x+2) y (x+9) 13. Dada la expresión x 2 y 2 +x 2 y+xy+x, cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de ella? a) Solo I b) Solo II c) Solo III I) xy +1 II) x+1 III) y +1 d) Solo I y III e) Solo II y III 14. Si n es un número natural, una expresión equivalente a (3 n 3 3 n 2 ) 2 es: 15. a) 2 3 2(n 3) b) 2 3 (n 3) c) 4 3 2(n 3) d) (n 3) e) 8 3 2(n 3) 5a+4 3a 6 2a 6 2a 4 = a) 2a+13 3(a 2) 2a 5 b) 3(a 2) 2a+5 c) 3(a 2) 2a 3 d) 3(a 2) e) 3a 2 a 10

9 16. a a(1 a) = a) 1 a b) a c) 0 d) a 2 e) a Si a b = 10 y a 2 +b 2 = 29, entonces el valor de (a b) 2 es: a) 9 b) 19 c) 29 d) 49 e) No se puede determinar el valor. 18. Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m+n) 2 4mn? a) (m n) 2 b) m 2 2+n 2 c) m 2 4mn+n 2 d) 2m 4mn+2n e) 2m 2mn+2n 19. Sea m 0, al simplificar la expresión m mr 2m resulta: a) 0 b) r 2 c) 1 r 2 d) m r 2 e) 1 mr Al sumar x t con m se obtiene x, entonces cuál es el valor de m? t+2 a) 0 2x b) t(t+2) x c) t+2 2x d) t(t+2) 2 e) t(t+2)

10 21. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b). El primero le costó $a y el segundo $(2a b). Cuánto le costó el tercero? a) $a b) $7a c) $(3a b) d) $(3a+2b) e) $(a+2b) 22. Si a b = (a+b) 2 y a#b = ( a 2 +b 2), a Cuánto equivale la expresión 3(m p) 5(m#p)? 23. a) 2m 2 +8p 2 b) 2m 2 +6mp+8p 2 c) 8m 2 +6mp 2p 2 d) 2m 2 +3mp+8p 2 e) Ninguna de las anteriores ( )( ) x+y 3 x y = a) 4 3 x2 y 2 b) 4 9 x2 y 2 c) 2 9 x2 y 2 d) 4 6 x2 y 2 e) Ninguna de las expresiones anteriores 24. Para que la expresión a) xy < 0 b) x < 0 c) xy > 0 d) y < 0 e) x > y 1 x+y x y 1+ x+y x y sea positiva, se debe cumplir necesariamente que: 25. Sea w = x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x x 10 x 10, si x 1,x 2,x 3,,x 10 son reales distintos de cero, entonces Cuántos valores distintos tiene w? a) 9 b) 10 c) 11 d) 20 e) 21

11 26. Al simplificar (x+3) 2 (x 3) 2 resulta: a) 0 b) 18 c) 12x d) 2x e) 6x 27. La fracción 1+ a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 1 x+ 2 x+3 puede ser expresada como x2 +ax+b x 2, luego a+b+c+d = +cx+d 28. Al resolver la ecuación 6x (8 x) = 7[9 (3+2x 2)], el valor de x es: a) 4 b) 36 7 c) d) e) Si 1 x + 1 y = 4 y 3 x 7 y = 13, entonces x+y = a) 4 b) c) 1 4 d) 19 6 e) En la figura 1, las áreas achuradas corresponden a dos cuadrados iguales más medio cuadrado, el área del rectángulo grande menos la suma de las áreas achuradas es: a) 5a 2 b) 5a2 2 c) 3 2 a2 d) 3a 2 e) 7 2 a2

12 SIMBOLOGIA Algunas maneras de formar algebraicamente una frase son: 1. Número natural cualquiera = n 2. El antecesor de un número = n 1 3. El sucesor de un número = n+1 4. Número natural par = 2n 5. Número natural impar = 2n 1 6. El cuadrado del sucesor de un número = (n+1) 2 7. El sucesor del cuadrado de un número = n El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n 2 9. Dos números naturales impares consecutivos = 2n 1,2n El inverso aditivo u opuesto de un número = n 11. El inverso multiplicativo o recíproco de un número = 1 n 12. El triple de un número = 3n 13. Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d+u 14. Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c+10d+u 15. La razón o cuociente entre p y q = p q 16. El valor absoluto de un número = n 17. p es directamente proporcional a q p q = k(constante) 18. p es inversamente proporcional a q pq = k(constante)

13 Ejercicios 1. El doble del cuadrado de (x 3) se expresa por: a) [2(x 3)] 2 b) 2(x ) c) (2x 6) 2 d) 2(x 3) 2 e) (x ) 2 2. Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4 a) 2x b) 2x 5 +5 x c) x 5 +9 x d) 2x 5 +9 x e) x El enunciado A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe: a) d+2d 3d 2 b) d+2d (3d) 2 c) (d+2d) (3d) 2 d) (d+2d) 3d 2 e) (d+2) (3d) 2 4. Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como: a) (n+ 1 n )2 b) n 2 +( 1 n )2 c) n+( 1 n )2 d) n+( n) 2 e) n 2 +( n) 2

14 5. Si el radio r de un círculo aumenta en ǫ unidades, entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como: a) πr 2 +ǫ b) πr 2 +ǫ 2 c) π(r 2 +ǫ 2 ) d) π(r 2 +ǫ) e) π(r+ǫ) 2 6. Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t, se escribe: a) 5m+m2 t m b) 5 +m2 t c) 5m+ m2 t d) m 5 + m2 t m e) 5 +2m t 7. María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, en cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan? a) M 2 = J 4 b) M 2 = J 4 c) M +2 = J 4 y J +2 = 10 y J 2 = 10 y J 2 = 10 d) M 2 = J 4 y J = 10 e) M +2 = J 4 y J +2 = Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. Cuál será la suma de sus edades en a años más? a) (11+3a) años b) (11+2a) años c) (11+a) años d) (8+3a) años e) (5+3a) años

15 9. La expresión El doble del cuadrado de (3+b) es igual al cuadrado del doble de (3 b), es representa como: a) [2(3+b)] 2 = 2(3 b) 2 b) 4(3+b) 2 = 4(3 b) 2 c) [2(3+b)] 2 = 2(3+b)(3 b) d) 2(3+b) 2 = 2(3 b) 2 e) 2(3+b) 2 = [2(3 b)] La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebráico de este problema? a) [x+(x+1)+(x+2)] 2 = 291 b) x 2 +(x 2 +1)+(x 2 +2) = 291 c) (x 1) 2 +x 2 +(x+1) 2 = 291 d) (x 1) 2 x 2 (x+1) 2 = 291 e) x 2 (x 2 +1) (x 2 +2) = La expresión: Para que el doble de (a + c) sea igual a 18 le faltan 4 unidades, se expresa como: a) 2a+c+4 = 18 b) 2(a+c) 4 = 18 c) 2(a+c)+4 = 18 d) 4 2(a+c) = 18 e) 2a+c 4 = Compré x kg de café en $36000 y compré 40 kg más de té que de café en $ Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x? a) x b) x x c) d) x x x x x e) x El siguiente enunciado: El cuadrado del triple de la diferencia entre dos números es equivalentealdobledelcuadradodelasumadeellosmenoselproductodelosnúmeros corresponde a: a) 3(x y) 2 = 2(x+y) 2 xy b) [3(x y)] 2 = 2(x+y) 2 xy c) 3x 2 y 2 = 2(x 2 +y 2 ) xy d) 3(x y) 2 = 2(x+y) 2 xy e) 3(x 2 y 2 ) = 2(x+y) 2 xy

16 15.- Si r 0; r 1; r 1 entonces A) 1 B) C) D) E) r ` 1 r 1 r 1 r ` 1 r 2 1 r 2 ` 1 r 2 ` 1 r r r r ` 1 r 6.- El inverso aditivo de xyz es: A) 0 B) 1 C) 1 xyz D) xyz E) 1 xyz x 3 y Al simplificar la fracción px 2 y 2 q px 2 ` xy ` y 2 q A) 1 x ` y B) 1 C) x ` y x 2 y 2 D) x ` y x 2 ` 2xy ` y 2 E) Otro valor se obtiene: