Números complejos. .a C ib/ C.c C id/ D a C c C i.b C d/.a C ib/.c C id/ D ac bd C i.ad C bc/
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- Lorena Prado Cortés
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1 Númers cmplejs El cjut frmad pr tds ls úmers de la frma acib, dde a y b s úmers reales, c las peracies de adició y prduct defiidas pr: 1/100.a C ib/ C.c C id/ D a C c C i.b C d/.a C ib/.c C id/ D ac bd C i.ad C bc/ se llama cuerp de ls úmers cmplejs y se represeta pr C. Se dice que a es la parte real y b la parte imagiaria del úmer cmplej aci b. Ds úmers cmplejs s iguales cuad tiee igual parte real e igual parte imagiaria. Ls úmers cmplejs c parte imagiaria cer, a D a C i0, s úmers reales. Ls úmers cmplejs c parte real cer, ib D 0 C ib, se llama imagiaris purs.
2 Es muy fácil cmprbar las prpiedades asciativa, cmutativa y distributiva de las peracies así defiidas. El elemet eutr de la suma es 0 y la uidad del prduct es 1. Además, a ib es el puest de a C ib, y td úmer a C ib 0 tiee ivers: a b.a C ib/ i D 1: a 2 C b 2 a 2 C b 2 r la defiició del prduct de úmers cmplejs, se tiee que: i 2 D 1: El úmer cmplej i se llama uidad imagiaria". 2/100
3 Es ciert que 1 D 1? Acabams de ver que i 2 D 1 per es s permite escribir así, si más i más, que i D p 1. Fíjate l que curre si pems i D p 1 y maejams ese símbl c las reglas a las que estams acstumbrads: 3/100 1 D i 2 D i i D p 1 p 1 D p. 1/. 1/ D p 1 D 1 Lueg 1 D 1. r tat, las matemáticas s ctradictrias y aquí hems acabad. Dóde está el errr?
4 N hay u rde e C cmpatible c la estructura algebraica Al ampliar R a C gaams much per perdems la relació de 4/100 rde. N se puede defiir u ccept de úmer cmplej psitiv de frma que la suma y el prduct de cmplejs psitivs sea psitiv. r ell se defie e C igú rde. Así que ya sabes: uca escribas desigualdades etre úmers cmplejs! Naturalmete, puedes escribir desigualdades etre las partes reales imagiarias de úmers cmplejs, prque tat la parte real cm la parte imagiaria de u úmer cmplej s úmers reales.
5 Represetació gráfica cmplej cjugad y módul Se represeta z D x C iy cm el vectr del pla.x; y/ y, e ese setid, se habla del pla cmplej. El eje hriztal recibe el mbre de eje real, y el eje vertical recibe el mbre de eje imagiari. 5/100 Si z D x C iy es u úmer cmplej (c x e y reales), etces el cjugad de z se defie cm: z D x iy y el módul valr abslut de z, se defie cm: jzj D p x 2 C y 2
6 6/100 y Y z z = x + iy x z = x iy X ÊÔÖ ÒØÒ Ö ÙÒ ÒÑÖÓ ÓÑÔÐÓ
7 7/100 Y z + w z w x u x + u ËÙÑ ÒÑÖÓ ÓÑÔÐÓ X
8 rpiedades de la cjugació El cjugad de ua suma es la suma de ls cjugads y el cjugad de u prduct es el prduct de ls cjugads. z D z; z C w D z C w; zw D zw rpiedades del módul 8/100 Cualesquiera sea ls úmers cmplejs z; w 2 C se verifica que: a) mkaxfjre zj; jim zjg 6 jzj 6 jre zj C jim zj b) El módul de u prduct es igual al prduct de ls móduls. jzwj D jzjjwj c) El módul de ua suma es mer igual que la suma de ls móduls. jz C wj 6 jzj C jwj (desigualdad triagular) La desigualdad triagular es ua igualdad si, y slamete si u de ells es u múltipl psitiv del tr; equivaletemete, está e ua misma semirrecta a partir del rige.
9 9/100 ara expresar u cciete de cmplejs e frma cartesiaa se multiplica umeradr y demiadr pr el cjugad del demiadr: u C iv x C iy.u C iv/.x D iy/ x 2 C y 2 D ux C vy x 2 C y C i vx uy 2 x 2 C y : 2
10 10/100 Ejercici Realiza las peracies idicadas y expresa el resultad e la frma a C i b. i).7 2i/.5 C 3i/ ii).i 1/ 3 iii).1 C i/.2 C i/.3 C i/ iv) v).4 i/.1 3i/ 1 C 2i vi).1 C i/ 2 vii) 1 C 2i 2 i 3 C i 2 C i viii) i 2.1 C i/ 3
11 11/100 Ejercici Supuest que z D x C iy es u úmer cmplej, calcula la parte real e imagiaria de las fucies: a) f 1.z/ D z 2 b) f 2.z/ D z 3 c) f 3.z/ D 1 z d) f.z/ D 1 1 C z 2 e) f 4.z/ D z C i z i
12 12/100 Ejercici Calcula las siguietes catidades. a) j.1 C i/.2 i/j b) 4 3i ˇ 2 i p ˇ c) j.1 C i/ 20 j d) j p 2 C i. p 2 C 1/j 5
13 13/100 Ejercici Calcula ls úmers cmplejs zdxciy tales que 1 C z 1 z es: a) U úmer real; b) U úmer imagiari pur.
14 Frma plar y argumets de u úmer cmplej 14/100 U úmer cmplej x D x C iy distit de 0 puede escribirse e la frma: z D jzj.cs # C i se #/ Dde debems elegir # pr las cdicies: cs # D x jzj ; se # D y jzj Cualquier úmer # 2R que cumpla estas cdicies se llama u argumet de z. El cjut de tds ls argumets de z es: Arg.z/ D ft2r W z D jzj.cs t C i se t/g Este cjut queda determiad cuad se cce algu de sus elemets: Si t 0 2Arg.z/ cualquier tr es de la frma t 0 C 2k para algú k 2Z.
15 15/100 Y y x = z cs ϑ z = x + iy z ϑ y = z se ϑ X x ÓÖÑ ÔÓÐÖ ÙÒ ÒÑÖÓ ÓÑÔÐÓ
16 16/100 De etre tds ls argumets de u úmer cmplej z 0 hay u úic que se ecuetra e el iterval ;, se represeta pr arg.z/ y se le llama argumet pricipal de z. El argumet pricipal de z D x C iy 0 viee dad pr: 8 arc tg.y=x/ si y 0, x 0 =2 si y 0, x D 0 ˆ arg.z/ D arc tg.y=x/ si x 0 =2 si y 0, x D 0 ˆ: arc tg.y=x/ C si y 0, x 0
17 arg(z) = arc tg(y/x) + π π 2 17/100 w = x + iv π π arg(z) = arc tg(y/x) z = x + iy arg(z) = arc tg(y/x) π π 2 ÖÙÑÒØÓ ÔÖÒÔÐ
18 La frma plar es muy útil para realizar prducts de úmers cmplejs. Sea z D jzj.cs # C i se #/; w D jwj.cs ' C i se '/ Teems que: 18/100 zw D jzjjwj.cs # C i se #/.cs ' C i se '/D D jzwjœ.cs # cs ' se # se '/ C i.se # cs ' C cs # se '/D D jzwj.cs.# C '/ C i se.# C '// ara multiplicar ds úmers cmplejs se multiplica sus móduls y se suma sus argumets. Así pues, el prduct de ds úmers cmplejs es gemétricamete u gir seguid de ua hmtecia.
19 # 2 Arg.z/; ' 2 Arg.w/ # C ' 2 Arg.zw/ 19/100 E particular: arg z C arg w 2 Arg.zw/. r tat: arg z C arg w D arg.zw/ arg z C arg w 6 Fórmula de De Mivre Si z 0, # 2Arg.z/ y 2Z, se verifica que # 2Arg.z /. Es decir: z D jzj.cs # C i se #/ D jzj cs.#/ C i se.#/
20 20/100 Ejercici Expresa ls siguietes úmers e frma cartesiaa: a). 1 C i p 3/ 11 b) 1 C i 1 i 5 c) 1 C i p! 6 3 d). p 3 C i/ 13 1 i
21 21/100 Calcula arg.zw/ y arg arg w. Ejercici z supuests ccids arg z y w
22 22/100 Ejercici Sea z D x C i y. Supuest que jzj D 1, z 1, z i, prueba que 8 z 1 =4 si 1 x C y 0 arg D z C i : 3=4 si 1 x C y 0
23 23/100 Ejercici Demuestra la llamada igualdad del paralelgram : jz C wj 2 C jz wj 2 D 2.jzj 2 C jwj 2 /.z; w 2 C/ y explica su sigificad gemétric.
24 24/100 Ejercici Dads ds úmers cmplejs y ˇ, calcula el míim valr para z 2 C de la catidad jz j 2 C jz ˇj 2 : Sugerecia: La igualdad del paralelgram puede ser útil.
25 25/100 Ejercici rueba que ˇ z a ˇ 1 si jzj 1 y jaj 1 y tambié si 1 a z jzj 1 y jaj 1. Sugerecia: Ua estrategia básica para prbar desigualdades etre móduls de úmers cmplejs csiste e elevar al cuadrad ambs miembrs de la desigualdad.
26 Raíces de u úmer cmplej Dad u úmer atural 2, td úmer cmplej z 0 tiee raíces cmplejas distitas que viee dadas pr: z k D jzj 1= cs arg z C 2k C i se arg z C 2k k D 0; 1; 2; : : : ; 1 26/100 Gemétricamete, s ls vértices de u plíg regular de lads cetrad e el rige. Se defie la raíz -ésima pricipal de z que se represeta pr p z cm: p z D jzj 1= cs arg z arg z C i se Observa que arg p z D arg z y, pr tat: arg p z 6. La raíz -ésima pricipal de z es la úica de las raíces -ésimas de z cuy argumet pricipal está e el iterval =; =.
27 27/100 Ê ÒÓÚÒ Ð ÙÒ
28 Terema 28/100 El úmer cmplej i es la raíz cuadrada pricipal del úmer cmplej 1. i D p 1 Demstració. Se tiee que arg. 1/ D. r tat: p 1 D cs.=2/ C i se.=2/ D i
29 p z p w D p zw? 29/100 E geeral NO p z p w, es ua raíz -ésima de zw per tiee pr qué ser la pricipal. Se verifica que: p z p w D p zw arg.z/ C arg.w/ 6
30 ara D 2, z D w D 1, teems arg. 1/ C arg. 1/ D 2, y 30/100 se cumple la cdició aterir. E este cas: p 1 p 1 D 1 1 D p 1 D p. 1/. 1/ es decir p 1 p 1 D 1 es ua raíz cuadrada de 1 D. 1/. 1/ per es la raíz cuadrada pricipal de 1. Ahra ya sabes dóde está el errr e l que sigue: 1 D i 2 D i i D p 1 p 1 D p. 1/. 1/ D p 1 D 1
31 31/100 Ejercici Calcula tdas las slucies de las ecuacies: z 7 D 1; z 9 D 1 2 C i p 3 2
32 32/100 Ejercici rueba que si ua ecuació pliómica c ceficietes reales admite ua raíz cmpleja, z, etces tambié admite cm raíz a z. Da u ejempl de ua ecuació pliómica de grad mayr que 1 que tega cm raíz cmpleja 1 C i per admita cm raíz a 1 i.
33 33/100 Ejercici Calcula las slucies de la ecuació: z 4 i p 3z 2 1 D 0
34 La fució expecial e xci y D exp.x C i y/ D e x cs y C i se y Es ua extesió de la expecial real a td C. Observa que: 34/100 j e z j D e Re z ; Im z 2Arg.e z / E particular, bteems la llamada fórmula de Euler: e i t D cs t C i se t.para td t 2 R/ De la fórmula de Euler se deduce las Ecuacies de Euler: cs t D ei t C e i t ; se t D ei t e i t.t 2R/ 2 2i La expecial cmpleja trasfrma sumas e prducts. e zcw D e z e w para tds z; w 2C La expecial cmpleja es ua fució periódica c períd 2i. e z D e zc2ki para td k 2Z
35 35/100 Ejercici Sea w u úmer cmplej de módul 1. Expresa ls úmers w 1 y w C 1 e frma plar.
36 Ejercici Sea x u úmer real que es múltipl eter de 2. rueba las igualdades C 1 se x a) 1 C cs x C cs 2x C C cs x D cs 2 x 2 x se 2 C 1 se x b) se x C se 2x C C se x D se 2 x 2 x se 2 Sugerecia: Si llamams A a la primera suma y B a la seguda, calcula A C ib hacied us de la fórmula de De Mivre. 36/100
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