1. Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones.
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- Martín Ayala Rey
- hace 7 años
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1 . Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones. a) + ; b) ; c) + + ; d) = + + ; e) + = 0; f) 5 < + ; g) + > ; h) < < ; i) + < ; j) + <. Soluciones: a) ó > ; b) < ó c) ó < ó > 0 ; d) < ó ; e) = ó = ; f) > ; g) < 0ó > ; h) 5 ó < < < < ; i) < ; j) ó < > +.
2 .Calcular los siguientes límites: a)lim e ; -7 b)lim e ; c)lim( ); d)lim( ) e)lim( ); f)lim( ); g)lim( ) h)lim( ); i)lim( ) ; j)lim k)lim - ; l)lim( ); tg(m) m)limcos( ); n)lim sen( ); o)lim (, m,n son consts.) 0-0 sen(n) cosec p)lim( - cos). 0 Soluciones: a) 0; b) + ; c) e ; d) e ; e) 0; f) + ; g) o eiste h) 0; i) e ; j) ¼; k) ; l) ; m) o eiste; n) 0; o) m/n; p) e /
3 . Encontrar los valores de a y b, de forma que la siguiente función sea continua en. + si < f ( ) = a + b si < si Solución: a=, b=-..obtener los puntos de discontinuidad de la siguiente función y clasificarlos. f ( ) = Solución: =-, evitable; =-, =-, inevitables. 5. Estudiar la continuidad en, de la siguiente función y, clasificar sus puntos de discontinuidad. si 0 f ( ) = si 0 < < si > 5 Solución: es continua en -{,5}. En = hay una discontinuidad evitable. En =5 hay una discontinuidad inevitable.
4 6. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo, obteniendo las derivadas laterales en =. si f ( ) = + si > Solución: es derivable en -{}; f ( ) =, f ( + ) = Dada la siguiente función, obtener los valores de a y b para que sea derivable en cualquier punto. si f ( ) = a + b si > Solución: a=, b=-. 8. Dada la parabola y =, se considera la cuerda que une los puntos de abscisas = y =. Obtener la ecuación de la recta tangente a la parábola y paralela a dicha cuerda. Solución: y = 6
5 9. Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva y = ln( ) +, en el punto de abscisa =. Solución: y = ( ) 0. Obtener las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la curva y = Solución: y = +, y = + 9. Una nave espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y =. Cuando el astronauta que la dirige apague los motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que se encuentre en ese momento. Obtener las coordenadas del punto donde se deben apagar los motores para que la nave alcance el punto (, 5). Solución: (, 9).. Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de la parte superior de la curva y = 7. Una arña espera en el punto (, 0). Determinar la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez. Solución: 5. 5
6 . Obtener las derivadas de las siguientes funciones. a) y = ; b) y = ( + + ) e ; c) d) y = ( sen( ) cos( )) ; e) f) h) a y a arcsen a y = arcsen( ) 6 + y = + sen y = ln ; sen = + ; g) y = arctan ; ; i) y ln(sec tan ) ln = + ; j) y = Soluciones: a) y = ; b) y e = ; c) 8 8 y = ( ) ln( ) 9 9 d) y cos = ; e) y = cos ; f) y = a ; g) y = h) 6 5ln y = ; i) y = sec; j) y = Con un hilo metálico de longitud k, se construye un rectángulo. Obtener las dimensiones del rectángulo de área máima. k k Solución:,. 6
7 5. De entre todos los conos de generatriz k, obtener el de volumen máimo. π Solución: V = k Estudiar si la función f ( ) =, verifica las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange, en el intervalo [, ]. Calcular, en su caso, el punto cuya eistencia se afirma en el teorema. Solución: Si verifica las hipótesis del teorema considerado. c = 9 7. Demostrar que la ecuación e = 0, tiene solo una raiz real y, encontrar un intervalo de longitud donde se encuentre dicha raiz. Solución: Aplicar el teorema de Bolzano a la función f ( ) = e, en el intervalo [, ] y, tener en cuenta que la función es creciente en dicho intervalo. senb sena 8. Demostrar la igualdad: = cotgc, cosa cosb donde c ( a, b) (0, π ). Solución: aplicar el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones f ( ) sen, g( ) cos a, b. = = en el intervalo [ ] 7
8 9. Calcular las siguientes integrales. d a) ; b) 5 d ; c) d ; d) + tg d e) cos( ) d; f) ( a + b ) d ; g) sen cosd h) cos( sen)cosd. Soluciones: a) 5 5 C + ; b) arcsen + C ; c) arctg + + C ; + ; e) ( ) sen + C ; f) ( ) a b C 8a d) tg C + + ; g) sen sen C + ; h) sen ( sen ) + C 0. Dada la curva y =, se pide: a) Las ecuaciones de las rectas a la curva en los puntos de corte con el eje X. b) El área del recinto limitado por la curva y las rectas tangentes. Soluciones: a) y =, y = ( ) ; b) 6.. La curva y = a( ( ) ), con a > 0, limita con el eje de abscisas un recinto de área. Obtener el valor de a. Solución: a = 9. 8
9 . Obtener el área del recinto limitado por las curvas: y e, y e, y e = = =. Solución: ( ) e +..Dadas las funciones: f ( ), g( ) 6 obtener: = + = +, a) Los intervalos de crecimiento, máimos y mínimos de las dos funciones. b) El área del recinto delimitado por ambas. Soluciones: a) para en (, ), máimo en f : crece en (, ) 7 (, ) (, ) +,decrece, mínimo en (, 0); para g: crece en (,), decrece en (, + ), máimo en (, ). b) 7. Calcular el área determinada por la gráfica de la función, y = +,el eje de abscisas y, las rectas = 0, =. Solución: 7. 9
x+3 3. f(x) = x 2 -x-2 x-2 x f(x) = 22. f(x) = tag(x+1) 23. f(x) = cos(x+1) x+2 x+2, x< f(x) =
. Hallar el dominio de la función:. f() = +. f() = - + +. f() = -- + 4. f() = 4 +8 +- 5. f() = + 6. f() = - 7. f() = ++ 8. f() = -- 9. f() = +4 0. f() = + - -. f() = +4+. f() = - -4. f() = - + 6. f() =
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