Grupos y Subgrupos El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G

Transcripción

1 Capítulo 1 Grupos y Subgrupos 001. El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G una operación interna en G para la cual denotaremos a la imagen de un par (x, y) mediante xy. Supongamos que 1) x, y, z G (xy)z = x(yz). 2) e G / ( x G xe = ex = x). 3) x G ( x 1 G / xx 1 = x 1 x = e). En estas condiciones se dice que la pareja (G, G G G) define una estructura de grupo en G para la operación G G G. Más abreviadamente, se suele decir que G es un grupo respecto de la operación G G G. Haciendo abuso de lenguaje, hablaremos simplemente del grupo G suponiendo que en el conjunto G hemos prefijado una cierta operación interna. La primera propiedad se conoce como asociativa. El elemento e aludido en la segunda se nombra como elemento neutro. Para cada x G, el x 1 que aparece en la tercera, se denomina elemento inverso o simétrico de x Grupos abelianos Un grupo G se llama abeliano (por Niels Abel), o conmutativo cuando 4) x, y G xy = yx. Esta propiedad se llama conmutativa, y la cumplen sólo algunos grupos.

2 003.- Notación aditiva Al definir los grupos hemos usado notación multiplicativa. Podría sustituirse por otra cualquiera. En particular, también es usual la notación aditiva. En este caso, el elemento neutro se nombra como elemento nulo o cero, escribiendo 0 en lugar de e; el simétrico de uno dado x se nombra como opuesto de x, escribiendo x donde antes poníamos x 1. La definición de grupo se redactaría así: 1) x, y, z G (x + y) + z = x + (y + z). 2) 0 G / ( x G x + 0 = 0 + x = x). 3) x G ( x G / x + ( x) = ( x) + x = 0), mientras que la propiedad conmutativa, de cumplirse, se escribiría 4) x, y G x + y = y + x. Precisamente en los grupos con esta propiedad, es decir, los grupos abelianos, es donde con más frecuencia se emplea la notación aditiva Primeras propiedades de los grupos 1) Propiedad asociativa generalizada La propiedad asociativa se ha enunciado para tres datos, pero puede extenderse a cuatro o más. Véase, por ejemplo, que con los datos x, y, z, u, aplicando oportunamente la propiedad asociativa para tres, obtendríamos ((xy)z)u = (x(yz))u = x((yz)u) = x(y(zu)) = (xy)(zu), es decir, todas las formas de agruparlos conducen a un mismo resultado. Una vez establecido esto, se pasaría a operaciones con cinco datos y, por recurrencia, a operaciones con una cantidad finita, pero arbitraria, de datos, obteniendo el mismo resultado para todas las agrupaciones posibles. Esta es la generalización de la propiedad asociativa, que una vez comprobada permite prescindir de los paréntesis en que agrupamos el resultado de operar parte de los datos. Así se justifica el nombre de primera regla de supresión de paréntesis, usado por algunos tratadistas. 2) El elemento neutro es único: Si e, f G son dos posibles neutros, consideremos su producto ef. Por ser e neutro, sale ef = f, y por serlo f es ef = e. Por tanto, e = f. 3) Para cada x G, su simétrico es único: Si y, z G son dos posibles simétricos de x, se tiene z = ze = z(xy) = (zx)y = ey = y. 4) El simétrico de un producto es el producto de los simétricos en orden contrario: x, y G (xy) 1 = y 1 x 1. En efecto, (xy)(y 1 x 1 ) = x(yy 1 )x 1 = xex 1 = = xx 1 = e = y 1 y = = y 1 ey = y 1 (x 1 x)y = (y 1 x 1 )(xy) p.2/@becedario

3 Introducción a la Teoría de Grupos Con notación aditiva, tendríamos que habitualmente se escribe en la forma y 1 x 1 = (xy) 1. (x + y) = ( y) + ( x), (x + y) = y x, constituyendo la llamada segunda regla de supresión de paréntesis, usada sobre todo en grupos conmutativos. 5) El simétrico del simétrico de un elemento es el propio elemento: x G (x 1 ) 1 = x. Cambiando el orden de las igualdades en la definición de simétrico, sale x 1 x = xx 1 = e x = (x 1 ) 1. 6) Es válida la propiedad de simplificación (o cancelativa), tanto por la derecha como por la izquierda ( x, y, z G / xz = yz) x = y, ( x, y, z G / zx = zy) x = y. Basta multiplicar ambos miembros por el inverso del elemento a simplificar, por el mismo lado en que esté situado. Por ejemplo, xz = yz (xz)z 1 = (yz)z 1 x(zz 1 ) = y(zz 1 ) xe = ye x = y. 7) Se puede efectuar la operación inversa, tanto por la derecha como por la izquierda x, y G ( u G / x = yu), x, y G ( v G / x = vy). Tomando, en efecto, u = y 1 x, v = xy 1, se comprueba que yu = y(y 1 x) = (y 1 y)x = = ex = x = xe = = x(y 1 y) = (xy 1 )y = vy. El elemento u = y 1 x se conoce como cociente de x por y por la derecha, mientras que v = xy 1 es el cociente de x por y por la izquierda. Si el grupo G fuese

4 ambos coinciden y se habla sin más de cociente de x por y. Así la operación inversa es una verdadera operación en G a la que suele denominarse como división, y su resultado suele escribirse como x/y. En notación aditiva, en lugar de cociente se habla de diferencia a uno u otro lado. En el caso abeliano, la operación inversa se denomina sustracción y su resultado se escribe como x y = x + ( y), constituyendo la tercera regla de supresión de paréntesis El orden de un grupo Como veremos, con ejemplos concretos que aparecerán en el siguiente capítulo, el cardinal del conjunto G sobre el que tengamos una estructura de grupo puede ser tanto infinito como finito. El Teoría de Grupos es frecuente llamar orden de un grupo al cardinal de G, usando para su valor cualquiera de las dos notaciones Ord.(G), G. La observación que hemos hecho da lugar a clasificar los grupos en grupos infinitos o grupos finitos, según que lo sea su orden Subgrupos Sea H un subconjunto de G. Se dice que H es subgrupo de G si al operar, mediante la operación de G, solamente con elementos de H (esto es: al restringir la operación de G a H), H adquiere la estructura de grupo. Así, un subgrupo no sólo es un grupo dentro de otro, sino que ha de serlo con la misma operación del total. Proposición 01: Un subconjunto H es un subgrupo de G si y sólo si 1) x, y H xy H. 2) e H. 3) x H x 1 H. Demostración: a) Supongamos que H cumple las tres condiciones del enunciado. La primera indica que la restricción de la operación de G a H se convierte en una operación interna de H. El neutro de G, que está en H por la segunda condición, sirve de neutro en la operación de H. También el simétrico en G de cada x H, que pertenece a H por la tercera condición, sirve de simétrico en la operación de H. Finalmente, esta operación es asociativa, pues, al tener tal propiedad carácter universal en G, la hereda cualquier parte de G y, en particular, la hereda H. Así, llegamos a que H, con la operación restringida, se ha convertido en otro grupo, o sea, H es un subgrupo de G. b) Según la definición dada, para que H sea un grupo por sí solo lo primero que tendrá que ocurrir es que la restricción de la operación de G a H sea una operación interna en H, lo cual significa que: 1) x, y H xy H. En segundo lugar, H ha de tener neutro. Como el de G (por su universalidad) sirve para H y como el neutro en cada grupo es único, se deberá cumplir que: p.4/@becedario

5 Introducción a la Teoría de Grupos 2) e H. Finalmente, si H ha de ser grupo, cada elemento suyo ha de tener un simétrico perteneciente a H. Por la unicidad en G del simétrico, éste no puede ser otro que el que ya poseía como elemento de G. O sea, 3) x H x 1 H. Proposición 02: Un subconjunto H es un subgrupo de G si y sólo si x, y H xy 1 H. Demostración: a) Supongamos que H cumple la condición del enunciado. Entonces, al ser no vacío, existe al menos un elemento x H. Aplicando la condición a la pareja x, x se deduce que xx 1 = e H. Si x H, al aplicar la condición a la pareja e, x sale ex 1 = x 1 H. Por fin, si x, y H, también x, y 1 H, luego x(y 1 ) 1 = xy H. Así, H cumple las tres propiedades de 01 y se trata de un subgrupo. b) Si H es un subgrupo, cumple las condiciones de 01. Entonces, dados x, y H, por la tercera se cumple que y 1 H, y por la primera, aplicada a los datos x, y 1 H se tiene la implicación x, y H xy 1 H. En lo sucesivo, la relación H es subgrupo de G se indicará escribiendo H G. Trivialmente se tiene G G y {e} G. Estos subgrupos se llaman impropios. Un subgrupo propio H será el que cumpla {e} H G Intersección de subgrupos Proposición 01: La intersección de una cantidad cualquiera de subgrupos de G, es otro subgrupo. Demostración: Sea Λ un conjunto cualquiera y sea {H λ } λ Λ una familia de subgrupos de G. Entonces, x, y λ Λ H λ x, y H λ, λ Λ xy 1 H λ, λ Λ xy 1 λ Λ H λ. En particular, dados H, K G, se tendrá que H K G. Sin embargo, en general, el conjunto H K no es subgrupo de G. En el siguiente capítulo aparecerá algún ejemplo que corrobore tal

6 008.- Producto de dos subgrupos Dados dos subconjuntos no vacíos H y K de un grupo G, el conjunto HK = {g = xu / x H, u K} de todos los resultados de operar un elemento de H con otro de K, se nombra como el producto de H por K. Suponiendo que H y K sean subgrupos, en general HK no va a ser otro subgrupo. Lo veremos con un ejemplo cuando más adelante establezcamos caracterizaciones, así como condiciones solamente suficientes, para que HK sea un subgrupo. De momento, vamos a desarrollar una de las condiciones suficientes y vamos a señalar una propiedad que posee HK en caso de ser subgrupo. Proposición 01: Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, se cumple que HK es otro subgrupo de G. Demostración: Sean g = xu, h = yv, donde x, y H, u, v K, dos elementos de HK. Entonces, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa, tenemos gh 1 = (xu)(yv) 1 = (xu)(v 1 y 1 ) = (xy 1 )(uv 1 ) HK, porque, al tratarse de subgrupos, sabemos que x, y H xy 1 H, uv K uv 1 K. A su vez, la relación gh 1 HK implica que HK es subgrupo. Proposición 02: Supongamos dos subgrupos H y K de G tales que HK también sea subgrupo. Sea L un tercer subgrupo. Entonces, 1) H K HK. 2) H K L HK L. Demostración: 1) Todo elemento x H se escribe en la forma x = xe, con e K, luego x HK. Igualmente, si u K, escribiendo u = eu, con e H, vemos que u HK. Así, HK contiene a H y contiene a K, y, por ello, H K HK. 2) Sea L un subgrupo tal que H K L. Dado un elemento g HK, se tendrá g = xu, donde x H y u K. Como los dos factores pertenecen a H K, pertenecerán a L. Siendo L subgrupo, su producto también. Así, queda probado que HK L. Este teorema significa que si HK es subgrupo, tiene la propiedad de ser el mínimo subgrupo (para la relación de contenido) que contiene a la unión. Ejercicios 01.- Razonar que en la definición de grupo hubiese bastado postular la existencia de neutro y de simétricos solamente por la izquierda. p.6/@becedario

7 Introducción a la Teoría de Grupos 02.- Para cada operación definida en el conjunto G, dígase cuándo la pareja (G, ) es un grupo. En caso negativo, señalar qué axiomas fallan. 1) G = Z, x y = xy. 2) G = Z, x y = x y. 3) G = Q, x y = xy. 4) G = R +, x y = xy. 5) G = C, x y = x + y. 6) G = R, x y = x En el conjunto G = {e, a, b, c,d, f} se define una operación interna mediante la tabla e a b c d f e e a b c d f a a e c d f b b b c e f a d c c d f e b a d d f a b e c f f b d a c e La pareja (G, ) es un grupo abeliano? Cuál de los axiomas falla? 04.- Sea la operación * de R definida por la ley Comprobar que (R, ) es un grupo abeliano. x y = 3 x 3 + y En el conjunto G de puntos de la curva de ecuación xy = 1 se fija el punto P = (1, 1). Dados A, B G, se considera la recta < A, B > que pasa por ellos (si A = B, esta recta se sustituye por la tangente en A a la curva) y se traza la paralela a la misma que pasa por P, la cual cortará a la curva en otro punto C. Tomando la operación A B = C, razonar que (G, ) es un grupo abeliano En el conjunto G = R { 1} se define una operación mediante la ley a b = a + b + ab. Comprobar que se trata de una operación interna. Razonar que (G, ) es un grupo abeliano. Resolver en dicho grupo la ecuación 6 x = Sea E un conjunto, sea G = P(E). En G se define la operación X Y = (X Y c ) (X c Y ), llamada diferencia simétrica. Razonar que con ella, P(E) se convierte en un grupo abeliano en el cual cada elemento es simétrico de sí mismo. Si E es de cardinal finito n, qué orden tiene el grupo? 08.- Razonar que si en un grupo G todo elemento coincide con su inverso, el grupo es abeliano Dado un grupo (G, ), se define una operación T en G por la ley xty =

8 Comprobar que (G, T) también es un grupo. (Se conoce como conmutado de G y se anota como G c ). Qué ocurre si G es abeliano? 10.- Sea G un grupo, A y B dos subconjuntos de G, y H un subgrupo tal que A H. Razonar que AB H = A(B H). (Ley de Dedekind). p.8/@becedario