Dinámica de Manipuladores Robóticos

Transcripción

1 DINAMICA DE MANIPULADORES Dnámca de Manpuladores Robótcos 1998 Andrés Jaramllo Botero 1

2 abla de Contendo DINÁMICA... 5 CONCEPOS GENERALES... 5 DESCRIBIENDO EL MOVIMIENO DE CADENAS SERIALES MULICUERPO... 6 DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS... 6 ALGEBRA DE OPERADORES ESPACIALES EN LA DESCRIPCIÓN DINÁMICA DE MULICUERPOS.. 6 Notacón espacal 6-dmensonal... 7 Velocdades, aceleracones, y fuerzas espacales... 8 Operadores de transformacón... 8 Dstrbucón de Masa DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO SENCILLO DINÁMICA DE MULICUERPOS SERIALES RÍGIDOS Recordando el prncpo de d'alambert (en notacón vectoral 3x1) Ecuacones Cnemátcas EL SISEMA COMPLEO DE ECUACIONES DE MOVIMIENO PARA CADENAS MULICUERPO 24 Interpretacón físca de las ecuacones en la Fgura EL PROBLEMA DINÁMICO DIRECO Motvacón Fundamentos El Complemento de Schur Formalzacón Macro Algortmo

3 DINAMICA DE MANIPULADORES Lsta de Ejemplos 1998 Andrés Jaramllo Botero 3

4 Lsta de Fguras 4

5 DINAMICA DE MANIPULADORES Dnámca rata con las formulacones matemátcas de las ecuacones de movmento de un brazo para descrbr su conducta dnámca. Son útles para la smulacón en computador del movmento del robot, del dseño de ecuacones de control apropadas para el robot y la evaluacón del dseño y estructura del brazo. El problema de control consste en obtener modelos dnámcos del brazo del robot físco y a contnuacón especfcar leyes o estrategas de controlo correspondentes para consegur la respuesta y rendmento del sstema deseado. El modelo dnámco se puede consegur a partr de las leyes físcas conocdas tales como las leyes de la mecánca Newtonana y Lagrangana. Métodos convenconales como las formulacones de Lagrange-Euler (L-E) y Newton-Euler se pueden aplcar entonces sstemátcamente para desarrollar las ecuacones de movmento de un robot. Conceptos Generales Al evaluar el comportamento dnámco de cualquer sstema (mecansmos, moléculas, etc.) se consderan dos problemas báscos. Los cuerpos sometdos a fuerzas tenden a acelerar, entonces el prmer problema está en determnar el movmento nducdo sobre el cuerpo por el conjunto de fuerzas aplcadas - denomnado comúnmente como el problema dnámco drecto. El segundo problema, denomnado como el problema dnámco nverso, es el de determnar las fuerzas requerdas para producr un movmento predefndo sobre el sstema. En este capítulo se descrben los conceptos fundamentales de la mecánca clásca relaconados con el modelado dnámco de cuerpos, y se establece una representacón matemátca apropada para las cantdades nvolucradas dentro del msmo proceso. En prncpo se ofrece una descrpcón ndependente de coordenadas de los parámetros cnemátcos, como velocdad y aceleracón. Esto smplfca la notacón y ofrece una descrpcón ndependente del observador. Sn embargo, será necesaro asgnar sstemas de coordenadas en el momento de requerr números concretos para relaconar dferentes objetos en el espaco. Se asume que todas las cantdades relatvas se mden con respecto a un reloj común y que el comportamento del movmento para cuerpos rígdos es determnístco. El capítulo comenza con la formulacón de las ecuacones de movmento báscas para sstemas multcuerpo (y que serán empleadas en el resto del documento) y termna relaconando y descrbendo los métodos actualmente más representatvos para el msmo propósto Andrés Jaramllo Botero 5

6 Se emplearán operadores espacales [Featherstone, 1983; Rodrguez, Jan, y Kreutz-Delgado, 1991], para descrbr de una manera condensada las expresones que defnen el movmento de los cuerpos en el espaco eucldano trdmensonal. Descrbendo el Movmento de Cadenas Serales Multcuerpo Las cadenas serales de cuerpos rígdos se defnen, a partr de este punto, como los bloques prmtvos para la conformacón de sstemas multcuerpo en general. En esta seccón se descrbe un conjunto compacto de ecuacones para resolver la dnámca de una cadena seral de cuerpos y se presentan a manera de descrpcón del estado del arte en esta tecnología una sere de algortmos que han sdo propuestos en el pasado para resolver este problema. odos éstos algortmos emergen naturalmente como consecuenca de la explotacón de la estructura de la matrz de masa de un sstema multcuerpo. Los algortmos a desarrollados aquí tambén aprovechan esta característca, pero a dferenca de los demás permten la paralelzacón efectva y escalable de las ecuacones de movmento para aplcacones en smulacones de DM de sstemas a alta escala. Dnámca de cuerpos rígdos Un objeto que no puede ser deformado por las fuerzas que actúan sobre él se denomna como Cuerpo Rígdo. Un cuerpo rígdo puede ser vsto como una coleccón de partículas puntuales, cada una de ellas restrngda a mantener una dstanca fja con respecto a las demás. A pesar de que un cuerpo rígdo no puede modelarse matemátcamente de manera exacta, es posble modelar la dnámca de muchos objetos a través de su descrpcón como s fueran cuerpos teórcamente rígdos. Para facltar la descrpcón del movmento en sstemas multcuerpo complejos es mperatvo tener un modelo compacto para su representacón. El uso de operadores espacales se sugere y se dscute para este propósto. Los apéndces I y II descrben de forma vectoral, a manera de referenca, las contrapartes en notacón espacal que serán desarrolladas en este capítulo. Algebra de operadores espacales en la descrpcón dnámca de multcuerpos 6

7 DINAMICA DE MANIPULADORES El empleo del álgebra espacal para la representacón de modelos dnámcos de sstemas multcuerpos fue empleada, quzás por prmera vez, por Roy Featherstone [Featherstone, 1983] en el desarrollo de las nercas de cuerpos artculados (Artculated Body Inertas). Sn embargo no es un concepto nuevo y puede encontrarse en publcacones anterores donde ha sdo empleada para problemas dversos de modelamento [Roma 1975, Rudn 1973]. A través de operadores espacales Featherstone plantea una solucón para el problema dnámco drecto por medo de un operador de masa defndo a partr de las característcas nercales de elementos artculados. En esta seccón, se hace una breve revsón de los elementos de dcha álgebra dentro del contexto de dnámca de sstemas multcuerpo rígdos, que ncluye la defncón de operadores lneales cuyos domnos y rangos espacales conssten en fuerzas, momentos, velocdades, y aceleracones. Los operadores espacales tenen esta denomnacón partcular dado que permten mostrar como estas cantdades físcas se propagan por el espaco desde un cuerpo rígdo hasta el sguente. Además, permten la formulacón concsa y sstemátca de las ecuacones de movmento y una mayor facldad para la nterpretacón físca del comportamento dnámco de los sstemas bajo smulacón y modelado (en contraste con la notacón del álgebra vectoral). Esto a su vez conlleva al desarrollo de algortmos computaconales efcentes. En el caso partcular de la dnámca de multcuerpos, veremos como es posble reconocer a partr de las expresones globales patrones matemátcos de alto nvel asocados con la matrz de masa, que de otra forma serían dfícles de detectar. Esto se debe en parte a la reduccón en el número de símbolos requerdos para expresar la solucón partcular y tambén a la presenca de conceptos famlares, y mejor establecdos desde el punto de vsta teórco, provenentes de otras áreas del conocmento como la teoría de estmacón [Rodríguez, Jan, Krautz-delgado; 92]. Notacón espacal 6-dmensonal 1998 Andrés Jaramllo Botero 7

8 En notacón espacal se representan la velocdad, la aceleracón, y las fuerzas 61 como vectores columna R, donde cada uno ncorpora los componentes angulares y lneales aplados (3 rotaconales y 3 traslaconales). Para mayor clardad sobre la defncón de los símbolos empleados, de aquí en adelante, se recomenda hacer referenca al capítulo 1 seccón 5. O +1 P, +1 artculacón O s cuerpo P 1,!V O 1-1 F Fgura 1 Cantdades físcas defndas para la dnámca de multcuerpos Velocdades, aceleracones, y fuerzas espacales Las velocdades lneales y angulares (v, w), y las fuerzas traslaconales (f) y 3 rotaconales (N) en R están defndas para cualquer punto de un cuerpo en funcón de la velocdad espacal (nercal) (V), la aceleracón espacal 6 (nercal) V& y la fuerza espacal F en R de la sguente forma, V w v, w& V& v &, y N F f (1.1) Operadores de transformacón 8

9 DINAMICA DE MANIPULADORES z 2 O 2 ➋ x 2 y 2 z 1 P 1,2 artculacón O 1 ➊ x 1 Cuerpo y 1 Fgura 2 Operadores de transformacón Con el fn de operar y manpular cantdades físcas de cuerpos dferentes es necesaro poder propagar y proyectar dchas cantdades sobre sstemas de coordenadas comunes. Para lograr esto se defnen tambén operadores de translacón (representados por vectores de dstanca entre dos puntos) y de rotacón (para referencar cantdades sobre una base de coordenadas común), Pˆ R 1,2 1,2 U 0 r1,2 0 p% 1,2 U 0 r 1,2 (1.2) (1.3) 33 3 Donde U R corresponde al operador de ndentdad, p1,2 R corresponde a cualquer vector que une dos puntos (ndcando un sentdo 3x 3 de dreccón desde el punto 1 haca el 2), r 1,2 R corresponde a la matrz básca de rotacón que proyecta cualquer punto en el sstema de coordenadas 2 sobre el sstema de coordenadas 1, y donde 0 pz p y p% 1,2 pz 0 px (1.4) py px 0 es la matrz skew smétrca correspondente al operador de producto cruz de vectores. P ˆ, j y p%, j tenen además las sguentes propedades para cualquer punto en el espaco, p% p = p p, j k, l, j k, l p% p = p% p = p p, j k, l k, l, j k, l, j p% = p% (1.5), j, j 1998 Andrés Jaramllo Botero 9

10 Pˆ Pˆ = Pˆ, j k, l, l ( P ˆ ) 1 j ˆ, = Pj, ˆ, j P U p%, j 0 U (1.6) ˆ ˆ& U p% 0 p& % 0 p& % P P Pˆ & Pˆ & 0 U , j, j, j, j, j = =, j= j, ˆ ˆ& U P P Pˆ & = = = Pˆ &, j, j, j j, p, j U % p& %, j 0 p& % j, 0 ˆ ˆ& U p% 0 p& % 0 p& % P P Pˆ & Pˆ & 0 U , j j, j,, j j, = = j, =, j ˆ ˆ& U P P Pˆ & = = = Pˆ &, j j, j,, j p, j U % p& % j, 0 p& % j, 0 (1.7) La matrz de nerca espacal (6x6) de un cuerpo tambén se obtene de la combnacón de su masa y su prmer y segundo momento de masa con respecto al punto de nterés sobre el cuerpo. A partr de la combnacón de las matrces espacales de nerca de cada cuerpo se defne un operador de mayor nvel de la matrz espacal de nerca del sstema multcuerpo completo. Asumendo que un cuerpo tene una masa m y un tensor de nerca J,cm alrededor de su centro de masa, cm, se defne el operador de nerca espacal de la sguente manera, I cm, J 0 R 0 mu cm, 6 6 (1.8) Donde, U es una vez más el operador 3x3 de dentdad. Dstrbucón de Masa Para cuerpos rígdos lbres en movmento trdmensonal exsten nfntos posbles ejes de rotacón. La rotacón sobre ejes arbtraros exgen una manera completa para caracterzar la dstrbucón de masa del cuerpo rígdo. Esto se logra por medo del tensor de nerca. El tensor de nerca se puede defnr respecto de cualquer sstema de coordenadas de referenca, lgado o no al cuerpo rígdo que representa. De manera general el tensor de nerca relatvo a un sstema de coordenadas 10

11 DINAMICA DE MANIPULADORES (tomado sobre el volumen y con respecto del sstema de coordenadas que concde con el centro de masa del elemento o en cualquer otro punto del msmo) se expresa en forma matrcal de la sguente manera: I I I I = I I I I I I xx xy xz xy yy yz xz yz zz (1.9) donde los elementos escalares se defnen por los momentos de nerca de masa - que expresan la resstenca a acelerar/desacelerar del cuerpo por medo de la ntegral sobre el volumen masco por el cuadrado de la dstanca perpendcular desde el eje correspondente Ixx = ( y + z )ρdv v 2 2 I yy = ( x + z )ρdv v 2 2 Izz = ( x + y )ρdv v y los productos de masa nercal - que defnen la dstrbucón de masa a ambos lados del plano correspondente - I I xy xz = v = v xyρdv xzρdv I yzρdv (1.10) yz = v cuando el cuerpo rígdo está compuesto de elementos dferencales de masa volumétrca, dv, contenendo materal de densdad ρ. Cada elemento de volumen se localza por medo de un vector de poscón [x y z]. Este conjunto de cantdades ndependentes dependen de la poscón y orentacón del sstema coordenado en el cual se defnen. Para un sstema de cuerpos dscretos los momentos de masa nercal serían, N 2 2 ( ) I = m y + z xx = 1 N 2 2 ( ) I = m x + z yy = 1 N 2 2 ( ) I = m x + y. (1.11) zz = 1 De gual manera, los productos de nerca están dados por, 1998 Andrés Jaramllo Botero 11

12 I N = m x y xy = 1 I N = m x z xz = 1 N I = m yz (1.12) yz = 1 Ejemplo 1 Cálculo del ensor de Inerca para un Cuerpo Rígdo z c a 0 x c z c y c b y x Fgura 3 Cuerpo Rígdo para Asgnacón de ensor de Inerca Suponendo un elemento de brazo de seccón rectangular se demuestra cómo calcular el tensor de nerca respecto del sstema de coordenadas oxyz y luego con respecto del centro de masa del elemento dado por xc ycz c. Se asume que el orgen del sstema de coordenadas del centro de masa está en c b a las coordenadas,, Prmero calculamos I xx utlzando los elementos de volumen dv = dxdydz. a b c 2 2 ( ) I = y + z ρdxdydz xx a b 2 2 ( ) = c y + z ρdydz 0 0 a 3 b 2 = c + z b ρdz ab c a bc = + ρ 3 3 m 2 2 = ( b + a ) 3 (1.13) donde m es la masa total del cuerpo. Por nspeccón, sabemos que: a b c m I = x + z dxdydz = a + c (1.14) yy ( ) ρ ( )

13 DINAMICA DE MANIPULADORES a b c m I = x + y dxdydz = b + c (1.15) zz ( ) ρ ( ) Luego calculamos los productos de nerca, I xy = = = a b c a b 0 0 a xyρdxdydz 2 c yρdydz 2 bc 4 yρdz (1.16) m = bc 4 Permutando térmnos, a b c m I = xzρdxdydz = ac (1.17) xz a b c m I = yz ρdxdydz = ab (1.18) yz Entonces el tensor de nerca para este cuerpo está dado por m 2 2 m m ( a + b ) bc ac = m m 2 2 m I bc ( a + c ) ab m m m ac ab b + c ( ) (1.19) El tensor de nerca es una funcón de poscón y orentacón del sstema de referenca con el cual se mde. Para calcular el tensor de nerca respecto del centro de masa del elemento de la Fgura 1 lo únco que se tene que hacer es cambar los límtes de las ntegrales anterores. a/2 b/2 c/2 m I = y + z dxdydz= b + a (1.20) xx ( ) ρ ( ) 12 a/2 b/2 c/2 m 2 2 m 2 2 I yy = ( a + c ), I yy = ( b + c ) (1.21) Andrés Jaramllo Botero 13

14 a/2 b/2 c/2 I = xyρdxdydz = 0 (1.22) xy a/2 b/2 c/2 Por lo tanto el tensor de nerca está dado por, I = 0, I = 0 (1.23) xz yz m ( a 2 + b 2) = m 2 2 I 0 ( a + c ) 0 12 m 0 0 b 12 2 ( + c 2) (1.24) El teorema de ejes paralelos defne como el tensor de nerca camba cuando el sstema de coordenadas de referenca se traslada. Es decr, relacona el tensor de nerca en un marco de coordenadas con orgen en el centro de masa con el tensor de nerca meddo respecto de otro sstema de referenca (o con respecto a otro punto dentro del msmo sstema de coordenadas). Es decr, asumendo cm como el centro de masa del cuerpo, el teorema expresa, 2 2 ( ) I = I + m y + z (1.25) xx xxcm cm cm I = I mx y (1.26) xy xycm cm cm Los demás momentos y productos de nerca pueden calcularse permutando. En la sguente seccón se dervan las ecuacones dnámcas para un cuerpo rígdo sencllo, empleando operadores espacales, y subsecuentemente las ecuacones de movmento de Newton-Euler para una cadena de cuerpos serales undos por artculacones sencllas de un grado de lbertad c/u. 14

15 DINAMICA DE MANIPULADORES Dnámca de un Cuerpo Rígdo Sencllo z Body P, +1 x ➋ O +1 y y z cm x O O ➊ artculacón s o N cm F cm F O N O Fgura 4 Operadores espacales consderados para su descrpcón dnámca Asumendo que O y cm son dos puntos sobre un cuerpo rígdo, y s O,cm el vector que va desde O hasta cm. Sean además, cm el centro de masa del cuerpo rígdo, v,cm y w,cm las velocdades traslaconal y rotaconal del cuerpo en/alrededor de cm, respectvamente, y f,cm y N,cm las fuerzas traslaconal y rotaconal, respectvamente. Entonces las fuerzas y velocdades en los puntos O y cm están relaconados entre sí de la sguente manera, w cm, = w O v = v + w s cm, O O Ocm, f O = f cm N = N + s f (1.27) O, cm O, cm, cm A partr de la ecuacón (1.1) podemos reescrbr las velocdades, aceleracones y fuerzas espacales con respecto al centro de masa, V cm, w v cm, cm,, V& cm, w& cm, v &, y NO FO cm, f O (1.28) Defnendo ˆ S O, cm y S ˆO, cm a partr de (1.2), se reescrben las ecuacones en (1.27), V = Sˆ V (1.29) cm, Ocm, O F = Sˆ F (1.30) O O, cm, cm Las ecuacones anterores expresan que la velocdad en cualquer punto, cm del cuerpo, puede ser escrta en térmnos de cualquer otro punto O, del 1998 Andrés Jaramllo Botero 15

16 msmo cuerpo, propagadas por la dstanca ˆ S O, cm que los separa. Igualmente, las fuerzas espacales en cualquer punto O del msmo cuerpo pueden ser defndas a partr de las fuerzas espacales actuando sobre el punto cm. Dervando la ecuacón (1.29) con respecto al tempo se obtene la expresón que defne la aceleracón espacal del cuerpo en/sobre un punto cm, V& = Sˆ V& + Sˆ & V (1.31) cm, Ocm, O Ocm, O Donde, el segundo térmno representa la aceleracón de Corols y la aceleracón centrfuga (ambos dependentes drectamente de velocdad) en el punto O, que se defne como, b Sˆ & V = O O, cm O U& 0 wo = s& O, cm U v % & O 0 0 = w%% s w w%% w s O O, cm O O O O, cm Efecto raslaconal (1.32) Donde Q w wt r sen( ) r θ rt ( + t) = r+ r rt () θ * z * x * o Fgura 5 Dervada Respecto al empo de Sstema de Coordenadas Rotante Suponendo un sstema de coordenadas con astersco, como el de la Fgura 5, grando respecto de un eje oq, con velocdad angular w (ésta se defne como un vector de magntud w drgdo a lo largo del eje oq en la dreccón de una rotacón con la regla de la mano derecha en el sstema de coordenadas gratoro. Sea r un vector fjo con respecto a dcho sstema. * y 16

17 DINAMICA DE MANIPULADORES Su dervada es nula y queremos demostrar que su dervada con respecto a otro sstema de coordenadas dferente es dr dt = w r (1.33) Que es equvalente por defncón a la dervada de un vector dr dt ( + ) ( ) r t t r t = lm t 0 t (1.34) Es decr ( + ) ( ) r t t r t w r = lm t 0 t (1.35) A partr de la Fgura 5 y recordando que un vector tene magntud y dreccón verfcamos que la ecuacón (1.33) sea correcta en ambas. Sabemos que la magntud de dr / dt es dr dt = w r = wrsen ( ) θ (1.36) Sendo t pequeño, entonces es evdente a partr de la Fgura 5 que ( sen( θ ))( ) r = r w t (1.37) La dreccón de w r se puede encontrar de la defncón del producto vectoral que es perpendcular a r y en el plano del círculo que se muestra en la Fgura 5. A partr de la ecuacón (1.32) se reescrbe la ecuacón (1.44) en forma smplfcada como, V& = Sˆ V& + b (1.38) cm, Ocm, O O Por defncón, el momento espacal en/sobre el centro de masa, cm, del cuerpo está dado por la sguente expresón, L I V (1.39) cm, cm, cm, En consecuenca, y empleando las defncones dadas para el operador de nerca en (1.8) y la velocdad espacal en (1.29) se pueden defnr las fuerzas espacales que actúan sobre el cuerpo - sobre su centro de masa. F L& = I V& + I& V cm, cm, cm, cm, cm, cm, F = I V& + (1.40) cm, cm, cm, cm, 1998 Andrés Jaramllo Botero 17

18 Donde, el segundo térmno corresponde a las fuerzas groscópcas espacales actuando sobre el centro de masa del cuerpo, que por smplcdad denomnaremos y se defne, cm, & & J 0 w cm, cm, cm, Icm, Vcm, = 0 mu v & cm, (1.41) Dado que la masa del cuerpo se asume como constante (es decr, su dervada con respecto a tempo es cero en cualquer punto del cuerpo) podemos entonces reescrbr la ecuacón (1.41), w%, J, 0 w cm cm cm, w% cm, Jcm, wcm, cm, = = 0 0 vcm, 0 (1.42) Efecto Rotaconal Habendo dervado las ecuacones de movmento para un cuerpo sobre su centro de masa, es mperatvo poder extenderlas para que tengan valdez sobre cualquer otro punto del cuerpo en cuestón. El objetvo de esto es poder generalzar las ecuacones de movmento para cadenas serales multcuerpo permtendo la propagacón de parámetros cnemátcos y dnámcos a través de los puntos de nterconexón entre sus elementos. Como se ha dcho, las cadenas serales multcuerpo son consderadas la base prmtva sobre la cual pueden ser evaluadas y smuladas otras estructuras multcuerpo de mayor complejdad. Para este fn se dervan a contnuacón las ecuacones de movmento sobre el punto O. El prmer paso es recordar la ecuacón que relacona las fuerzas entre dos puntos dferentes de un cuerpo, y que fue defnda en la ecuacón (1.30), F = Sˆ F O O, cm, cm En la ecuacón (1.30) se tomaron estos dos puntos, cm y O, como el centro de masa y un punto arbtraro, respectvamente. Para efectos de clardad se asume a partr de ahora que el punto O corresponde al punto de rotacón sobre el cual se mueve el objeto (por ejemplo, los puntos de artculacón en un sstema multcuerpo). A partr de la ecuacón (1.40) se pueden representar las fuerzas espacales actuando sobre el punto O como, Reemplazando (1.38) en (1.43), F ˆ O = SO, cm I, cmv &, cm +, cm (1.43) ˆ ˆ F = S I S V& + b + O O, cm, cm O, cm O O, cm 18

19 DINAMICA DE MANIPULADORES y expandendo, F = Sˆ I Sˆ V& + Sˆ I b + Sˆ (1.44) O O, cm, cm O, cm O O, cm, cm O O, cm, cm Se obtene la expresón general para las fuerzas espacales actuando sobre el punto O de un cuerpo. Como se puede ver la expresón es algo compleja y no permte una apropada nterpretacón físca de lo que representa. A contnuacón se exponen algunas smplfcacones basadas en expresones ya defndas que permtrán una mejor abstraccón de los fenómenos físcos mplcados. Para comenzar, el prmer térmno en (1.44) se dentfca como la fuerza espacal en el punto O - que se obtene a partr de la aplcacón del teorema de ejes paralelos para nercas espacales y que permte calcular la nerca sobre el punto O, I O, a partr de I,cm del cuerpo y la aceleracón espacal del punto O. A partr de esta defncón se defne el tensor espacal de nerca sobre el punto O de la sguente forma, 0 ˆ ˆ U s% O, cm J, cm 0 U IO = SO, cmi, cmso, cm = 0 U 0 mu s% U O, cm I O J cm, s% Ocm, ms % Ocm, ms % Ocm, = ms O, cm mu % I O J O ms % O, cm = ms O, cm mu % (1.45) Donde el tensor de nerca en el punto J O, cm O, cm O, cm O, J O, se defne como, J % s ms% (1.46) Obvamente, todas las propedades del tensor de nerca, J, se mantenen. Contnuando con la smplfcacón de la ecuacón general de fuerza en (1.44), el segundo y tercer térmno pueden reconocerse como las fuerzas groscópcas actuando sobre el punto O, = Sˆ I b + O O, cm, cm O, cm (1.47) Reemplazando las ecuacones (1.32) y (1.42), correspondentes a las aceleracones de Corols/Centrfugas meddas en O y las fuerzas groscópcas en/sobre le centro de masa, respectvamente, en la ecuacón anteror, ˆ ˆ O S & O, cm I, cmso, cm VO + I&, cmv (1.48), cm 1998 Andrés Jaramllo Botero 19

20 A partr de las ecuacones en (1.7), se sabe que ˆ ˆ& ˆ& ˆ& S S = S = S por lo tanto, O, cm O, cm O, cm cm, O Sˆ I Sˆ Sˆ & = V + I& V O O, cm, cm O, cm O, cm O, cm, cm = I Sˆ & V + Sˆ I & V (1.49) O O O, cm O O, cm, cm, cm Reemplazando en (1.49) el valor de V,cm encontrado en la ecuacón (1.38), se deduce la sguentes expresón para la fuerza groscópca que actúa en/sobre el punto O, o, = I Sˆ & V + Sˆ I & Sˆ V (1.50) O O O, cm O O, cm, cm O, cm O = I Sˆ & V + I & V (1.51) O O O, cm O O O & = Sˆ I V + I& V (1.52) O O, cm O O O O El resultado anteror descrbe las fuerza groscópcas actuando en/sobre el punto O. De manera expandda se reescrbe la ecuacón (1.8) de la sguente manera, J % 0 0 O ms O, cm wo O = + ms % O, cm mu w% Os, 0 v O cm O U s%, % J 0 0 O cm w U O O wo 0 U 0 mu & s% O, cm U vo w% % % % J O mso, cmso, cm w wo, cm w O O O = + mw%%, 0 OwOsO cm w% J % % O, cm mso, cmso, cm wo = mw %%% OwOsO, cm O = w% J w mw%% w s O O O O O O, cm (1.53) 20

21 DINAMICA DE MANIPULADORES De nuevo reconocendo la aplcacón del teorema de ejes paralelos en la ecuacón (1.50). Por nspeccón de esta últma ecuacón se comprueba que las fuerza groscópcas solo dependen de un parámetro cnemátco, las velocdades angulares. En térmnos smplfcados, se tene entonces que la expresón de fuerza actuando sobre el punto O está dada por, F O O O O = I V& +, (1.54) Donde la nerca espacal I O en O está dada por las expresones encontradas en las ecuacones (1.45) y las fuerzas groscópcas, O, representadas por la ecuacón (1.53). Dnámca de Multcuerpos Serales Rígdos Últmo cuerpo (n) O +1 P, +1 r artculacón O s cuerpo P 1, -1 F!V O 1 Base (0) Fgura 6 Parámetros para Representacón de un Multcuerpo Seral Se dervan a contnuacón las ecuacones de movmento basadas en la formulacón de Newton-Euler para cadenas serales multcuerpo, empleando la notacón espacal descrta anterormente. Se asumen sstemas de n cuerpos nterconectados por artculacones con múltples grados de lbertad (hasta 6: 3 rotaconales y 3 traslaconales). Se permte el uso de artculacones con restrccones holomóncas y no-holomóncas. El estado del sstema se asume como conocdo y defndo por la coleccón de vectores QQ, &, correspondentes a las poscones y velocdades artculares, respectvamente. La dstrbucón de masa de cada elemento del multcuerpo se consdera completamente caracterzada por ser éstos cuerpos rígdos con centro de masa localzado y tensor de nerca defndo. Por la msma razón, dadas la condcones de rgdez, es posble desarrollar 1998 Andrés Jaramllo Botero 21

22 las ecuacones de movmento sobre cualquer punto del cuerpo. Por convenenca sn embargo, se tomará el punto de conexón entre cuerpos vecnos O (por ser los puntos de artculacón, ver la Fgura 1) como puntos de referenca para la propagacón de parámetros cnemátcos y dnámcos. El procedmento consste en la propagacón, desde la base hasta el últmo cuerpo de la cadena, de los parámetros cnemátcos (poscones, velocdades y aceleracones espacales) y luego en la propagacón nversa, desde el últmo cuerpo del sstema hasta la base, de las fuerzas espacales (consderando el prncpo de d Alambert [Goldsten, 1980; Fu, Gonzales, y Lee, 1988]. Recordando el prncpo de d'alambert (en notacón vectoral 3x1) El prncpo aplca las condcones de equlbro estátco en problemas dnámcos consderando que la suma algebraca de las fuerzas aplcadas y las fuerzas de reaccón (nternas) que actúan sobre un cuerpo en cualquer dreccón dada son cero. n +1 O +1 f +1 f =fuerzas ejercdas sobre por -1 n =pares ejercdos sobre por -1 P, +1 N cm Equlbro de fuerzas traslaconales F = f R f cm, f = R f + F, cm n O f s F cm Equlbro de pares (fuerzas rotaconales) Ncm = n + ( s ) f n + r f + n = N + R n + cm, s F + P R f, + 1, Ecuacones Cnemátcas La velocdad espacal de cualquer elemento consste en la suma de contrbucones nducdas por el elemento nmedatamente anteror, -1, y su componente netamente local, es decr, V = R Pˆ V + H Q & (1.55), 1 1, 1 Donde H corresponde a la matrz de proyeccón sobre los ejes de movmento de una artculacón, compuesta de un vector de 6x1 para cada grado de lbertad (el subvector superor 3 1 representa el componente rotaconal y el subvector nferor el componente traslaconal). 22

23 Dervando la ecuacón (1.55) con respecto a tempo se obtene la expresón para la aceleracón espacal, & V& = R Pˆ V& + H Q& + R Pˆ V + H& Q & (1.56), 1 1, 1, 1 1, 1 Donde el tercer y cuarto componentes corresponden a los térmnos dependentes de velocdad, aceleracón de Corols y aceleracón centrífuga, respectvamente, y que se representará de la sguente forma, & b = R Pˆ V + H& Q & (1.57), 1 1, 1 Este térmno (ndependente de sstemas coordenados) es equvalente a, b 0 0 w w% 0 & 0 w% 0 = + HQ & w% % 1 p 1, w 1 0 w% 0 w% 0 = + & % [ ] 0 % HQ w v v w 1 = + HQ p&% 1 0 % 1, 0 v w 1 1 (1.58) La expresón general para la velocdad y la aceleracón espacal de un elemento se representa entonces como una recursón desde hasta n, donde las condcones ncales están dadas por V1 = H1Q& y 1 V& 1 = H1Q& 1+ H& 1Q & 1 (para sstemas de base fja). Para completar el sstema de ecuacones se procede a calcular el conjunto de fuerzas a partr de los parámetros cnemátcos ya calculados, regresando en la cadena recursvamente - desde n hasta 1. F = Pˆ R F + IV & + (1.59), , + 1 Empleando la ecuacón (1.52) se escrbe, F = Pˆ R F + IV& + IV & I Sˆ & V (1.60), , + 1 O, cm REVISAR SIGNO ULIMO ÉRMINO Donde los dos últmos térmnos corresponden a las fuerzas grsocópcas ntroducdas por la velocdad espacal al desplazar el punto de rotacón de un cuerpo lejos de su centro de masa. Fnalmente, las fuerzas efectvas se hallan a partr de la proyeccón de las fuerzas totales sobre los ejes de movmento, F = H F (1.61) De nuevo, la matrz H descrbe los ejes de movmento permtdos Andrés Jaramllo Botero 23

24 El Sstema Completo de Ecuacones de Movmento para Cadenas Multcuerpo La ntegracón de los dos pasos anterores - propagacón de aceleracones haca arrba en la cadena y la propagacón posteror de las fuerzas resultantes haca abajo en la cadena - con todos los térmnos proyectados apropadamente sobre sus sstemas de coordenadas locales conlleva a las ecuacones de movmento de Newton-Euler para cadenas multcuerpo serales. Paso 1. Propagar aceleracones desde la base al últmo cuerpo de la cadena V 0 = 0 Asumr base fja V & 0 = 0 Bajo campo gravtaconal = (gx,gy,gz) para g=9.81 for = 1.. n = ˆ V + & R, 1 P 1, V 1 HQ Velocdades espacales & = ˆ & & + & + ˆ V + & & R, 1 P 1, V 1 HQ R, 1 P 1, V 1 HQ Aceleracones espacales end Paso 2. Propagar las fuerzas espacales hasta la base del sstema multcuerpo F n + 1 = 0 No hay fuerzas externas actuando sobre el últmo cuerpo for = n..1 = ˆ & + & ˆ& F P, 1R 1, F 1 IV I ISO, cm V Fuerzas espacales F = H F Fuerzas efectvas end Fgura 7 Ecuacones de movmento de Newton euler para cadenas multcuerpo en notacon espacal Interpretacón físca de las ecuacones en la Fgura 7 Paso 1. En cada punto de nterseccón entre dos cuerpos adyacentes (usualmente el centro geométrco de rotacón/translacón artcular), las velocdades espacales nter-cuerpos se determnan calculando la dferenca entre la componente local y la componente aportada por las velocdades acumuladas e nducdas por el sstema de cuerpos nmedatamente anterores. Esto se logra propagando (usando los operadores espacales P ) y orentando (con los operadores R ) las velocdades espacales acumuladas sobre los sstemas de coordenadas locales al calculado. Es mportante anotar que los sstemas de coordenadas están lgados a cada cuerpo en su extremo posteror. Este proceso se repte para cada cuerpo, y luego se procede a calcular las aceleracones espacales de la forma descrta por la ecuacones descrtas anterormente. 24

25 Paso 2. Comenzando desde el últmo cuerpo de la cadena, se propagan (empleando los operadores espacales P) y orentan (empleando los operadores espacales R) las fuerzas espacales que actúan sobre cada cuerpo con el fn de calcular el componente de fuerzas nter-cuerpos en cada punto artcular. Fnalmente se proyectan las fuerzas resultantes sobre cada uno de los ejes de movmento permtdos usando la matrz de proyeccón H. El proceso de propagar y proyectar permte referencar todas las cantdades físcas con respecto a un solo sstema de coordenadas común, con el fn de ser operadas para determnar el componente que defne la resultante compartda entre cuerpos adyacentes acoplados. Habendo dervado la solucón para el problema dnámco nverso, se mra ahora el problema dual de encontrar una solucón para la dnámca drecta. En otras palabras, encontrar a partr de un conjunto de fuerzas efectvas el conjunto de aceleracones efectvas correspondentes y por un proceso de ntegracón las velocdades y poscones que defnen la trayectora nducda por la aplcacón de dchas fuerzas. Utlzando operadores espacales de un nvel más alto se reescrben las ecuacones en Fgura 7 de la sguente manera, ˆ 1, 1 = P V = HQ V P V H Q& & (1.62) ˆ = 1, 1 + & + P V = HQ+ B V& P V& H Q b & & (1.63) F = Pˆ F + IV& + PF = IV& + G (1.64), F = H F F = H F (1.65) Donde, P es una matrz de bloque bdagonal nferor, U Pˆ N 1 U P 0 ˆ = PN 2 U.. 0 R : : : : : Pˆ 1 U con traspuesta dada por, 6n 6n 1998 Andrés Jaramllo Botero 25

26 ˆ N U P 0 ˆ U P N P = 0 0 U.. 0 R : : : : ˆ P U 6n 6n Los componentes dagonales nferor y superor corresponden a los 6x6 operadores espacales de traslacón R compuestos de las matrces antsmétrcas que representan la dstanca entre orígenes artculares del sstema de multcuerpos, y los térmnos dagonales matrces de dentdad 6x6 R. V = dag{ V1, V2,..., Vn} R V & = dag{ V& 1, V& 2,..., V& n} R Q & = dag{ Q&, Q&,..., Q& } R 1 2 H = dag{ H, H,..., H } R n n 6n n 6n n 6n ndof n B = dag{ b, b,..., b } R G = dag{,,..., } R n n n n 6n n 6n n El sguente paso es el de expresar el operador desconocdo, Q&, en térmnos de las varables conocdas Q,Q, & V, F, F, En la cual se ntroduce, V = ρ HQ& (1.66) & & (1.67) V = ρ (HQ+ B) F = ρ(iv& + G) (1.68) F = H F (1.69) U Pˆ nn, 1 U P ˆ ˆ ρ = = P P U.. 0 R : : : : : Pˆ ˆ ˆ n,1 Pn 1,1 P2,1 U L 1 6n 6n nn, 2 n 1, n 2 26

27 Dado que el objetvo es expresar las aceleracones efectvas a partr de las fuerzas efectvas, se representa este últmo operador como se ndca a contnuacón, a partr de (1.67) y (1.68), Expandendo, F = ρ(i ρ (HQ& + B) + G) F I = ρ ρ HQ& + ρiρ B+ ρg Proyectando las fuerzas sobre los ejes de movmento de cada cuerpo, usando la ecuacón (1.69) se despejan las aceleracones efectvas, F I HQ H I B H = H ρ ρ & + ρ ρ + ρg Agrupando térmnos (Q& ), F = H ρiρ HQ& + H ρiρ B+ H ρg (1.70) A partr de la ecuacón anteror se deducen dos térmnos mportantes (entre paréntess), el prmero equvale a la expresón del operador de matrz de masa, M, y el segundo equvale al conjunto de térmnos no-lneales de fuerza ntroducdos por los componentes de velocdad, ξ, es decr, y, M= H ρiρ H (1.71) ξ = H ρ Iρ B+ G (1.72) De forma smplfcada se expresan entonces las ecuacones de movmento de la sguente manera, F = M Q& + ξ (1.73) Consecuentemente las aceleracones efectvas del conjunto de cuerpos corresponden a, Q& = M F ξ (1.74) 1 [ ] Que representa el conjunto de ecuacones de movmento de sstemas acelerados multcuerpo acoplados seralmente. La ecuacón (1.74) realmente no dce mucho acerca de la estructura de la ecuacón (1.71). Este térmno es de nterés partcular ya que a partr de su nversa se determna la solucón del problema dnámco drecto expresado por la ecuacón (1.74) Andrés Jaramllo Botero 27

28 El proceso de nversón de una matrz cuadrada mplca un costo computaconal de O(n 3 ), pero como se menconó anterormente las característcas estructurales de la matrz de masa a generado un buen número de mejoras en el proceso de su nversón que a su vez conllevan al cálculo de las ecuacones de movmento. El Problema Dnámco Drecto Motvacón El propósto de este capítulo es el de ntroducr los conceptos fundamentales del algortmo de O(n) seral propuesto para resolver las ecuacones de movmento de sstemas multcuerpo empleando un esquema alternatvo de descomposcón de fuerzas que conlleva a la solucón en forma drecta del operador nverso de la matrz de masa del sstema. La ventaja grande de esta nueva formulacón para sstemas multcuerpo radca en su escalabldad para mplementacones estrctamente paralelas. Fundamentos Como fue menconado en el prmer capítulo, la ntroduccón de restrccones sobre los enlaces atómcos permte ncrementar las escalas de tempos para la ntegracón de las ecuacones de movmento. Sn embargo, estos ncrementos son relatvamente pequeños y para lograr aumentarlos aún más se propone partconar las estructuras multcuerpo en subconjuntos de átomos que puedan ser consderados como cuerpos rígdos. Este capítulo dscute un novedoso método de O(n) para el cálculo de las ecuacones de movmento de cadenas de cuerpos rígdos. El método propuesto hace uso explícto de las fuerzas de restrccón entre los cuerpos con el fn de dervar una factorzacón drecta y únca de la matrz nversa de masa en forma del Complemento de Schur. Se demostrará como la estructura de este operador conlleva a una solucón al problema dnámco drecto en un orden de complejdad O(log 2 N) para mplementacones estrctamente paralelas. 28

29 El Complemento de Schur Dejando que, l A B B C R 6nx 6n sea una matrz partconada y A un bloque no sngular. El Complemento de Schur [ l /A] del bloque A en l se defne como la matrz 1 [ l /A] = C B A B. l no tene que ser necesaramente cuadrada. Para una mejor comprensón de las ventajas en la estructura del complemento de schur se recomenda [Fedler, 1986]. Para el propósto específco de este desarrollo es sufcente saber que A es altamente dagonal para casos partculares (cuadrada para cadenas serales con artculacones sencllas), lo cual reduce el costo de calcular la matrz nversa de masa. Un cuerpo rígdo, o en general cualquer punto de masa puede ser lmtado a moverse sobre superfces o curvas partculares conocdas como restrccones. Estas restrccones pueden ser reemplazadas por fuerzas que mantenen el cuerpo o la partícula dentro de las trayectoras defndas por los movmentos sn restrccón, pero no contrbuyen en trabajo (en la práctca estas fuerzas son las causantes del desgaste) dado que los cuerpos o partículas sempre se mueven en ángulo recto a las restrccones [Menzel, 1960]. Las leyes de movmento para una partícula bajo la nfluenca combnada de una fuerza nterna, f, y otra de restrccón f S está dada por f + fs = ma, s la partícula está restrngda a moverse sobre una superfce. Expandendo esta estratega de descomposcón de fuerzas podemos decr que la fuerza total que actúa sobre cualquer cuerpo (o partícula) restrngdo puede defnrse de la sguente manera, f = f + f (1.75) S Empleando esta descomposcón se reformularán las ecuacones de movmento para sstemas de cuerpos rígdos nterconectados seralmente (que por defncón ncluyen restrccones perpendculares al movmento permtdo por cada artculacón en sus puntos de nterconexón). De la msma manera, empleando el modelo prmtvo para cadenas serales se deducrán las extensones para topologías de nterconexón de mayor complejdad. Formalzacón Un cuerpo rígdo acelerado puede contener térmnos no lneales de fuerza dependentes de las velocdades. Esto nfluye en el computo de ambos problemas de dnámca. Para la solucón al problema drecto es necesaro remover estos térmnos no-lneales de las ecuacones de movmento dado 1998 Andrés Jaramllo Botero 29

30 que no contrbuyen drectamente sobre la aceleracón espacal del sstema. Matemátcamente, esto se expresa de la sguente manera, Q& = M F ξ (1.76) 1 [ ] Donde, ξ corresponde precsamente a los térmnos menconados, y F a las fuerzas efectvas totales. Normalmente, ξ se calcula con la aplcacón de un método para la solucón al problema dnámco nverso (Newton- Euler con aceleracones efectvas nulas por ejemplo). F = M Q& + ξ (1.77) velocdad F velocdad = ξ La ecuacón (1.76) es el punto oblgado de comenzo para cualquer solucón al problema dnámco drecto. Nngún algortmo que pretenda calcular las ecuacones de movmento de sstemas multcuerpo puede consderarse completo sn la elmnacón explícta de ξ. ambén es posble explcar lo anteror con un modelo de energías basado en la formulacón Lagrangana. Defnendo las fuerzas actvas como, F = D( Q)[ Q& + ke& + k e] + h( Q, Q& ) + G( Q) + H ( Q) F (1.78) Donde, v p ext ke&: v ke: p hqq (, & ): GQ: ( ) Velocdad Poscón Aceleracón de Corols y Centrfuga Fuerzas Gravtaconales O en notacón global, F = D( Q) Q& + h( Q, Q& ) + G( Q) + H ( Q) F (1.79) F = D( Q) Q& + C( Q, Q& ) Donde C ncluye todos los térmnos dependentes de velocdad y poscón (enmarcados en la ecuacón (1.79)) que deben ser removdos para dejar úncamente aquellos térmnos dependentes de aceleracón que afectan el componente de fuerza. Con D=0 (o Q & = 0 ) se obtene el vector de fuerza bas, Fb = C( Q, Q& ) (1.80) ext 30

31 Que ncluye los efectos de Corols, Centrfuga, aceleracón gravtaconal, etc. Calculando F F = D( Q) Q& recobramos D. b Recordando las ecuacones de movmento desarrolladas en la seccón anteror para sstemas multcuerpo serales, ˆ = 1, 1 P V = HQ V P V H Q& & (1.81) ˆ = 1, 1 + & + P V = HQ+ B V& P V& H Q b & & (1.82) F = Pˆ F + IV& + PF = IV& + G (1.83), Es posble deducr de manera senclla que al elmnar todos los componentes dependentes de velocdad ( V, Q&, b, ) se obtenen las sguente ecuacones generalzadas para cualquer, O de forma global, ˆ 1 1 V& = P V& + H Q& (1.84) F = PF ˆ + IV& (1.85) + 1 PV & = HQ& (1.86) PF = IV& (1.87) Con las ecuacones anterores pueden encontrarse las aceleracones efectvas del sstema, empleando los métodos descrtos en los capítulos 3 y 4. La ecuacón (1.75) se generalza en el espaco 6-dmensonal empleando una matrz de proyeccón de ejes de movmento, defnda aquí como H, y una matrz de ejes de restrccón de movmento, defnda aquí como W, de la sguente manera, Donde, F= HF + WF (1.88) S 6N ndof F = column{ F } R : Vector global de fuerzas actvas. 6N ndoc F S column{ F S } = R : Vector global de fuerzas de restrccón. 6n ndof n H = dag{ H1, H2K H n } R : Matrz de proyeccón de componentes actvos sobre ejes de movmento Andrés Jaramllo Botero 31

32 6n ndocn W = dag{w,w 1 2 W} n R K Matrz de proyeccón de componentes de fuerza sobre ejes de restrccón. Empleando las ecuacones (1.86) y (1.87) conjuntamente con la expresón anteror de fuerza, se dervará a contnuacón la base del algortmo de restrccones presentado orgnalmente en [Sharf y d Eleutero, 1993; Fjany, Sharf y d Eleutero, 1995] para dnámca de robots, para luego presentar una nueva propuesta que consdera el msmo esquema de descomposcón de fuerzas en (1.88) para la solucón al problema dnámco drecto de sstemas multcuerpo flotantes de alta envergadura. El resultado, como veremos, puede ser llevado fáclmente de nuevo al área de Robótca para su aplcacón en modelamento y smulacón de manpuladores espacales. Igualmente, se presentan extensones que habltarán nuevos trabajos en Robótca, específcamente para modelamento y smulacón de topologías complejas. H y W representan espacos de proyeccón ortogonales, y cumplen las sguentes condcones de ortogonaldad, HH = U, WW = U, WH= 0, HW= 0, HH + WW = U (1.89) Procedemos entonces, prmero a despejar las aceleracones espacales a partr de la ecuacón de fuerza en (1.87), 1 V& = I PF (1.90) Reemplazando V& en la ecuacón de aceleracones espacales (1.86), 1 HQ& = P I PF (1.91) Y a partr de la ecuacón de descomposcón de fuerzas en (1.88), & (1.92) 1 HQ = P I P(HF+ WF S) Como se ha menconado antes, a pesar de que esta solucón emplea el componente de fuerza de restrccón que no tene ncdenca sobre el movmento acelerado del sstema de cuerpos, este servrá para reformular las ecuacones de movmento. De hecho, los componentes restrctvos de fuerza se hallarán en funcón de los actvos para resolver el conjunto de aceleracones efectvas a partr la factorzacón drecta de la matrz nversa de masa resultante. Utlzando las condcones de ortogonaldad en (1.89) se procede a determnar FS = f( F). Pre-multplcando ambos lados de la ecuacón anteror por W se elmna el componente de aceleracón dejando solo aquellos drectamente dependentes de fuerza, 32

33 & 1 WHQ= WPI P(HF+ WF) S 1 1 WPI PHF WPI PWFS 0 F O de forma global, S + = (1.93) = (1.94) (W P I PW) W P I PHF BF + AF = 0 (1.95) S F S = (1.96) 1 A BF n N n N 1 doc doc Donde, A= W P I PW n N R n N 1 doc dof, y B= W P I PH R. Para sstemas con artculacones sencllas (1 DOF), ambos A y B son matrces trdagonales de bloque, donde n + n = 6, n dof=dof, y n doc=doc (Grados de restrccón). Más aún, A es defnda smétrca postva 1 (SPD: Symmetrc Postve Defnte). Esto garantza la exstenca de A y la del operador nverso de masa. Igualmente, multplcando la ecuacón (1.92) por H y empleando de nuevo las condcones de ortogonaldad defndas se determna la expresón para las aceleracones efectvas en funcón de las fuerzas (de restrccón y actvas), es decr, 1 1 HPI PHF HPI PWFS Q dof + = & (1.97) Intutvamente, sabemos que el sgno negatvo del componente de fuerzas de restrccón vene del hecho de que son fuerzas que se oponen a las fuerzas actvas que nducen el movmento de un cuerpo. Habendo encontrado dcho componente, debemos elmnarlo del componente total de fuerzas ya que como se ha dcho no contrbuye al movmento. Reemplazando la expresón encontrada para las fuerzas de restrccón en (1.96) se tene entonces, ( ) HPI PHF HPI PWA BF Q = & (1.98) ( ) HPI PH HPI PWWPI PW WPI PH F = Q doc & (1.99) Que en notacón global pueden expresarse de la sguente forma, respectvamente, CF B FS Q + = & (1.100) 1 Q & = C B A B F (1.101) 1998 Andrés Jaramllo Botero 33

34 Donde, C 1 ndof N ndof N = HPI PH R. Claramente, los térmnos entre paréntess equvalen a la matrz nversa de masa, M M = C B A B (1.102) 1 1 = H P I PH H P I PW(W P I PW) W P I PH (1.103) La expresón para la matrz nversa de masa en (1.102) corresponde a una forma en complemento de schur del bloque A en M. Macro Algortmo Se presenta a contnuacón el macro-algortmo completo para el cálculo de la ecuacón (1.101) con sus correspondentes complejdades serales, Paso Complejdad Seral ➊ F = F(Q) b(q,q,f & ) O(n) ext (requere la aplcacón de la solucón al problema dnámco nverso) 1 ➋ ➌ Q& = CF O(n) S= BF O(n) 1 ➍ FS = A S O(n) 2 ➎ Q& = B F O(n) S 1 2 ➏ Q& = Q& + Q& O(n) ➐ Integracón numérca O(n) Fgura 8 Macro-Algortmo de restrccón de fuerzas para la solucón de las ecuacones de movmento de sstemas multcuerpo 34

35 Algortmos Se presenta a contnuacón el conjunto de funcones que cubren las solucones algortmcas a los dversos problemas propos de la dnámca de manpuladores. Se emplea el símbolo como operador de asgnacón y se retorna de la funcón la últma varable defnda Andrés Jaramllo Botero 35

36 Referencas 36