PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

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1 PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Rzón entre dos números Siempre que hblemos de Rzón entre dos números nos estremos refiriendo l cociente (el resultdo de dividirlos) entre ellos. Entonces: Rzón entre dos números y b es el cociente entre ellos: b Por ejemplo, l rzón entre 10 y 2 es 5, y que Proporción numéric 10 5 =2 Los números, b, c y d formn un proporción si l rzón entre y b es l mism que entre c y d. Es decir b = c Se lee es b como c es d d Ejemplo: Los números 2, 5 y 8, 20 formn un proporción, y que l rzón entre 2 y 5 2 es l mism que l rzón entre 8 y 20. Es decir 5 = 8 20 En l proporción b = c d hy cutro términos; y d se llmn etremos, c y b se llmn medios. L propiedd fundmentl de ls proporciones es: en tod proporción, el producto de los etremos es igul l de los medios, es decir: b = c d d =b c 2 Así, en l proporción nterior 5 = 8 se cumple que el producto de los etremos nos 20 d 2 20 = 40 y el producto de los medios nos d 5 8 = 40 Comprendido el concepto de proporción como un relción entre números o mgnitudes, hor veremos que es relción puede drse en dos sentidos: Ls dos mgnitudes pueden subir o bjr (umentr o disminuir) o bien si un de ls mgnitudes sube l otr bjo y vicevers. Si ocurre, como en el primer cso, que ls dos mgnitudes que se comprn o relcionn pueden subir o bjr en igul cntidd, hblremos de Mgnitudes directmente proporcionles. Si ocurre como en el segundo cso, en que si un mgnitud sube l otr bj en l mism cntidd, hblremos de Mgnitudes inversmente proporcionles.

2 Mgnitudes directmente proporcionles Si dos mgnitudes son tles que doble, triple... cntidd de l primer corresponde doble, triple... cntidd de l segund,o si l mitd, tercio,... cntidd de l primer corresponde l mitd, tercio,... cntidd de l segund, entonces se dice que ess mgnitudes son directmente proporcionles. Vemos un ejemplo de un tbl de vlores directmente proporcionles, fijros que l multiplicr un l otr mgnitud tmbién se multiplic, y si se divide un l otr tmbién. 4 Mgnitud Mgnitud Observr que se verific ls siguientes igulddes: 8 = 3 4 = =0,75 ese cociente, se le llm rzón de proporcionlidd direct: k = 0,75 Ejemplo 1 En 50 litros de gu de mr hy grmos de sl. Cuántos litros de gu de mr contendrán grmos de sl? Como en doble cntidd de gu de mr hbrá doble cntidd de sl; en triple, triple, etc. Ls mgnitudes cntidd de gu y cntidd de sl son directmente proporcionles. Si representmos por el número de litros que contendrá 5200 grmos de sl, y se escribe de l siguiente modo: 1300 litros D 50 grmos 5200 litros grmos 1300 Se verific l proporción: 50 = 5200 Y como en tod proporción el producto de medios es igul l producto de etremos result: 1300 = , luego = =200 grmos de sl 1300

3 Ejemplo 2 Un utomóvil gst 5 litros de gsolin cd 100 km. Si quedn en el depósito 6 litros, cuántos kilómetros podrá recorrer el utomóvil? 5 litros D 100 km 6 litros km Escribimos l proporción: 5 = = 600 =120 km = 100 y resolvemos Luego, con 6 litros el utomóvil recorrerá 120 km Mgnitudes inversmente proporcionles Si dos mgnitudes son tles que doble, triple... cntidd de l primer corresponde l mitd, l tercer prte... de l segund, entonces se dice que ess mgnitudes son inversmente proporcionles. Vemos un ejemplo de un tbl de vlores inversmente proporcionles, fijros que l multiplicr un l otr mgnitud se divide y vicevers. 4 Mgnitud Mgnitud :4 Observr que se verific ls siguientes igulddes: 6 8 = 3 16 = 24 2 = 48 ese producto, se le llm rzón de proporcionlidd invers: k = 48 Ejemplo 1 Si 3 hombres necesitn 24 dís pr hcer un trbjo, cuántos dís emplerán 18 hombres pr relizr el mismo trbjo?

4 En este cso doble número de trbjdores, el trbjo durrá l mitd; triple número de trbjdores, el trbjo durrá l tercer prte, etc. Por tnto, ls mgnitudes son inversmente proporcionles Formmos l tbl: Hombres Dís ? Vemos que los productos 3 24 = 6 12 = 9 8 = 72 Por tnto 18 = 72, entonces = 4 O se que los 18 hombres trdrán 4 dís en hcer el trbjo Nótese que quí l constnte de proporcionlidd, que es 72, se obtiene multiplicndo ls mgnitudes y que su producto será siempre igul. Ejemplo 2 Un gndero tiene forrje suficiente pr limentr 220 vcs durnte 45 dís. Cuántos dís podrá limentr con l mism cntidd de forrje 450 vcs? Vemos que con el mismo forrje, si el número de vcs se duplic, tendrá pr l mitd de dís; triple número de vcs, tercer prte de dís, etc. Por tnto, son mgnitudes inversmente proporcionles. X = número de dís pr el que tendrán comid ls 450 vcs Nº de vcs Nº de dís Se cumple que: = 450, de donde = 450 =22 Luego 450 vcs podrán comer 22 dís. En l práctic esto se suele disponer del siguiente modo: 220 vcs I 45 dís 450 vcs dís El truco es recordr que como es invers escribimos l proporción invirtiendo solo un

5 de ls frcciones: = 45 y de hí se obtiene lo mismo: = 450. Ejemplo 3 Pr envsr ciert cntidd de vino se necesitn 8 toneles de 200 litros de cpcidd cd uno. Queremos envsr l mism cntidd de vino emplendo 32 toneles. Cuál deberá ser l cpcidd de esos toneles? 8 toneles I 200 litros 32 toneles litros Escribimos l proporción invirtiendo solo un de ls frcciones: 32 8 = = = =50litros Debemos tener 32 toneles de 50 litros de cpcidd pr poder envsr l mism cntidd de vino.

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