TEMA 3 MECANISMOS REGULARES. LEXICOGRAFÍA

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1 TEMA 3 MECANISMOS REGULARES. LEXICOGRAFÍA Lenguje regulr Un lenguje regulr es un lenguje forml que puede ser definido por medio de un mecnismo regulr, son mecnismos regulres: ls expresiones regulres, ls grmátics regulres (de tipo 3) y los utómt finitos (o regulres). El léxico de un lenguje de progrmción es un lenguje regulr y como tl se puede definir por medio de un mecnismo regulr. Los lengujes regulres son interesntes y se desde un punto de vist teórico como práctico. Teórico - los lengujes regulres formn el menor conjunto de lengujes formles que es cerrdo con respecto de los operdores ( *,., ) Práctico los lengujes regulres pueden ser especificdos por mecnismos regulres que permiten simplificr y fcilitr l construcción de nlizdores léxicos (AL); progrms que nlizn un texto y extren los lexems de que const 3.2 Expresiones regulres. Un expresión regulr es un notción (descripción), que permite de mner precis y finit especificr los lengujes regulres. Tmién puede definirse como un metlenguje pr especificr lengujes regulres. - Descripción de ls expresiones regulres ásics: Εl símolo es un expresión regulr que descrie el lenguje {}, lenguje vcío Εl símolo es un expresión regulr que descrie el lenguje { }, lenguje formdo por l plr vcí Pr todo símolo, es un expresión regulr que descrie el lenguje { }, lenguje formdo por l plr. Al ser los lengujes regulres el menor conjunto que es cerrdo con respecto de los operdores ( *,., ) y, siendo que ls expresiones regulres ásics son:,, podemos firmr que l construcción de ls expresiones regulres se pueden relizr prtir de l relción entre los operdores nteriores y los operndos que formn ls expresiones regulres ásics. - Operciones con expresiones regulres Sen α,β dos expresiones regulres: α β es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L (α β) = L(α) L(β) es un expresión regulr, que denot el lenguje L ( ) = L() L() = {} {}={,} α.β es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L (α.β) = L(α). L(β). es un expresión regulr, que denot el lenguje L (. ) = L().L( ) = {}.{}={} α* es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L (α*) = (L (α) )* * es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L (*) = (L () )* = {}* = {,,..} Los nteriores operdores tienen el siguiente orden de precedenci en su ejecución, de myor menor: `*, `. y `, siendo (`., ` ) inrios mientrs que (`* ) es unrio que precede l operndo. Est precedenci puede ser modificd con el uso de los préntesis (), teniendo myor precedenci desde el interior hci el exterior. - Lenguje denotdo o descrito por un expresión regulr: Tod expresión regulr α está definid sore un lfeto Σ, y denot o descrie un lenguje L(α) Σ* L (. c*) = L (.) L(c*) = L ( ().()) (L(c))* = {}.{} {, c, cc, } = {,, c, cc, } 1

2 L (.( c*)) = L() L( c*) = L().L( () (L(c)*) = {}.({} (L(c))*) = {}.({} {, c, cc, }) = {,, c, cc, } Dos expresiones regulres se dice que son equivlentes, si descrien el mismo lenguje. Ls siguientes expresiones regulres se dice que son equivlentes, puesto que descrie el mismo lenguje. c* c.c* - Propieddes de los operdores que pueden formr prte de un ER Existen un serie de propieddes socids los operdores que pueden intervenir en un ER. Ests propieddes permiten l trnsformción de un ER hst encontrr otr equivlente. Propieddes que cumple el operdor ( ) unión de ER : Sen α, β, δ ER, se cumplen ls siguientes propieddes: Operción cerrd α β = δ P. idempotente α α = α P. conmuttiv α β = β α P. socitiv α (β δ) = ( α β ) δ E. neutro α = α Propieddes que cumple el operdor (.) conctención de ER : Sen α, β, δ ER, se cumplen ls siguientes propieddes : Operción cerrd α. β = δ P. socitiv α. (β. δ) = ( α. β ). δ E. neutro α. = α = α P distriutiv α. (β δ) = ( α. β ) ( α. δ) (α β) δ = ( α. δ) ( β. δ) Propieddes de l operción estrell (*) *= ; φ*= ; α. α* = α*. α ; α*. α*= α* ; (α*)*= α* ; (α )*= α* (α β)* = (β* α*)* ; (α β)* = ( α*. β*)*= ( α*. β)* α* ; α( β α)*= ( α. β)* α - Expresiones regulres extendids- Con el fin de simplificr l representción de ls expresiones regulres se pueden utilizr otros operdores, entre los que podemos destcr: +,?, y [] α + es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L(α + ) = (L(α)) + + es un expresión regulr, que denot el lenguje L( + ) = (L()) + = {} + = {,, } α? es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L(α?) = (L(α))? = L(α) {}? es un expresión regulr, que denot el lenguje L(? ) = (L())? = L{} {} = { } [α] es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L([α] ) = (L([α] )) = {α 1, α 2,..} [-z] es un nuev expresión regulr, que denot el lenguje L([-z] ) = (L[,,..]) ={,,c..} Otrs propieddes Φ + = ϕ α + = α* α*. α= α + α +?= α* ; α*?= α* ; α* α + = α* (α* α + )= α + (α + )* = α* (α*) + = α* α?= ( α ) α*= α 0 α 1 α 2 α n α n+1 = α 0 α(α 0 α 1 α 2 α n ) = α 0 α α* α*= α α* Regl de inferenci importnte pr conocer el concepto de ecución crcterístic o fundmentl. ω= α*. β == α ω β ω= ( α α*). β = β α α* β= β α ω 2

3 - Definiciones regulres Es un form de denominr un expresión regulr. A veces es conveniente drle un nomre significtivo un expresión o suexpresiones y poder utilizr dichos nomres como si fuern símolos (expresión regulr) pr hcerl más legile Se Σ el lfeto de ls plrs del lenguje que se quiere descriir con l expresión regulr. Un definición regulr def i es un secuenci de definiciones de l form: def 1 exp 1 def 2 exp 12. def n exp n ls exp i están definids sore Σ { def 1 def 2. def n } Descriir con plrs qué lenguje representn ls siguientes expresiones regulres: Identificdor (letr numero) (letr numero _)* letr...z A... Z numero Expresiones regulres y grmátics regulres Ls expresiones regulres y ls grmátics regulres son dos mecnismos regulres equivlentes, que especificn lengujes regulres. Por lo tnto, todo lenguje regulr puede ser definido (descrito) por un expresión regulr o definido (generdo) por un grmátic regulr equivlente. Ejemplos de lengujes formles regulres definidos sore el lfetos Σ = {, }: L 1 = {}=, es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER = un G tipo3 S A L 2 = { }, es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER= un G tipo3 S L 3 = {, }, es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER= un G tipo3 S L 4 = {,, }, es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER= un G tipo3 S L 5 = { n, n 0}, es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER= * un G tipo3 S S L 6 ={ n m n, m 0}={ 0 0, 0 1,.}= {,, }={,,, } es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER= ** un G tipo3 P: S A B, A A B, B B L 7 ={plrs formds por un número impr de es}={,,,,, }, es un lenguje regulr, puede ser definido por un ER = *(* *)* un G tipo3 Σ*= {lenguje universl} ER= ( )*, es un lenguje regulr, puede ser definido por un G tipo3 S S S L 9 ={ n n n 0}={ 0 0, 1 1,.}= {,, }={,,, } no es un lenguje regulr, no hy un ER que lo denote o grmátic de tipo 3 equivlente que lo genere 3.3 Aplicción de ls ER Ls expresiones regulres son utilizds en l grn myorí de ls plicciones informátics, entre otrs tenemos ls siguientes: - Sistems de recuperción de textos en lengujes de consult de se de dtos - Búsqued dentro de un contexto- comndos grep, egrep y fgrep del sistem UNIX, que trvés de l descripción de un ER se puede uscr un determind informción -Construcción de nlizdores léxicos, prtir de l especificción de ER, fcilitndo l implementción de l primer fse de un compildor. - Comprción de rchivos dentro de un repositorio - Búsqued de ptrones 3

4 Ejemplos simples de expresiones regulres - Lengujes que denotn ls siguientes expresiones regulres: 0* - Cdens de ceros de culquier longitud (0 1)*- Cdens inris de 0 y 1 de culquier longitud (10)* - Cdens inris donde cd 1 v seguido de un 0, ó es (0 1)*1(1 0)* - Cdens inris con l menos un 1 (1 10)* - Cdens inris que no tienen 2 ceros consecutivos, ó es 1(0 1)*1 - Cdens inris que empiezn y terminn en 1 1*01*01* - Cdens inris que tienen dos ceros (0 1)*00(1 0)* - Cdens inris que tienen l susecuenci 00 - Dd l descripción de los siguientes lengujes definidos sore el lfeto Σ={0, 1}), encontrr ls expresiones regulres que los denotn. Cdens inris que cen en 0 - (1 0)*0 Cdens con sólo un 0-1*01* Cdens inris que no contienen "000" - ((1* 0)(1* 0)1)* Cdens que si tienen un 1 v precedido y seguido de un 0 - (0 + 1)*0 + Cdens que tienen un número impr de 1 s - 0*1(0*10*1)*0* - Un conjunto C es cerrdo con respecto l operción # si: x, y C, x#y C 4

5 Ejercicio 1 1. Rzonr si son equivlentes o no ls siguientes dos expresiones regulres: ( ) ( + ) * ( ) * 2. Rzonr si son equivlentes o no ls siguientes expresiones regulres: ( * ) * ( * )(( * ) * ) - Pr demostrr que no son equivlentes hrá que otener l menos un plr que quede denotd en un y no en l otr. - Pr demostrr que son equivlentes hrá que hcerlo oligtorimente medinte ls propieddes de ls expresiones regulres. De form que prtiendo de ms y relizndo los psos según dichs propieddes, se lcnce l mism expresión regulr. Ejercicio 2 1. Simplificr, detllndo todos los psos, l siguiente expresión regulr: (( * ) + ) ( ( + )) 2. Justificr de form rzond si cd uno de los psos que se relizn continución pr simplificr l expresión regulr ( * ) * son correctos o no. ( * ) * = ( + ) * = ( + ) * = + Ejercicio 3 Representr un expresión regulr pr cd uno de los siguientes lengujes. Σ = {,, _ }. Plrs que como máximo pueden tener dos símolos de surydo consecutivos. Σ = {,, _ }. Plrs que no finlizn en l suplr _ Σ = {,, c }. Plrs en ls que el número de símolos más el número de símolos c es 3. Σ = {, }. El lenguje universl menos dos plrs: y. Σ = {, }. Plrs que finlizn por el símolo y tienen un número pr de símolos en totl. Σ = {, }. Plrs que no contienen l suplr ni. Ejercicio 4 Crer un ER que denote los siguientes lengujes: ) Los comentrios en el lenguje de progrmción Pscl se escrien de l siguiente mner: Comienzn por los símolos (* y terminn por *). Si llmmos símolo culquier crácter ASCII menos * y ), en el interior del comentrio se puede escriir culquier cntidd de símolos, incluyendo ninguno. Pero demás, dentro del comentrio se pueden usr los crcteres * y ) siempre y cundo no hy un * seguido de un ), en cuyo cso se interpretrí como el finl del comentrio. Por ejemplo, son válidos los siguientes comentrios: (**) (* hol *) (*ho** l, que *hy *) (* ho)l )***) ) Comentrios de jv: Comentrio de líne, Comentrio de vris línes y comentrio de documentción 5

6 Ejercicio 5 Se el lfeto = {, _}. Otener un expresión regulr que denote el lenguje de tods ls plrs que cumplen ls siguientes dos condiciones: 1. El número de símolos es pr (posilemente 0). 2. No pueden tener dos o más símolos _ de form consecutiv. Plrs válids:,, _,, Plrs no válids:,,, _ Ejercicio 6 Ddo el lfeto = {, }, sen los siguientes lengujes: L 1 = { n n >= 0} y L 2 = { m m > 0 } Se pide: Encontrr un expresión regulr lo más simplificd posile que defin los siguientes lengujes: L + * 1 L 2, 1 Ejercicio 7 * * L, L1, L2 L1, ( L1 L2 ) {w w {, } * } Se el lenguje L 1 definido sore un lfeto Σ={,} y formdo por ls plrs que no contienen l suplr y un lenguje L 2 definido sore igul lfeto y formdo por ls plrs que no contienen ni ni. Se pide: Determinr ls expresiones regulres simplificds que denoten cd uno de los siguientes lengujes: L 1, L 2, L 1 L 2, L 1 - L 2 Ejercicio 8 Con ={,}, se L 1 el lenguje formdo por ls plrs que no finlizn en y L 2 el de ls plrs que no cn en. Ejemplos L 1 :,,,,, Ejemplos L 2 :,,,, Se pide: Indicr ls expresiones regulres, lo más simplificds posile, pr los siguientes lengujes: ) L 1, L 1 L 2, L 1 - L 2, L 1 L 2, *- L 1 Se L 1 un lenguje definido sore un lfeto Σ ={,} formdo por ls plrs que tienen un número impr de símolos y como máximo dos símolos consecutivos. Ejemplos válidos:,,, Ejemplos no válidos:,,, Se L 2 un lenguje definido sore un lfeto Σ ={,} formdo por ls plrs que tienen un número pr de símolos (el 0 se consider un número pr) y como máximo dos símolos consecutivos. Ejemplos válidos:,,,,, Ejemplos no válidos:,, Se pide 1. Encontrr un expresión regulr que denote el lenguje L Justificr si se cumplen o no ls siguientes igulddes: ) L 1 L 2 =Σ* ) L 1.L 2 =L 2.L 1 c) L 1 *=Σ* d) L 1 =L 2 complementrio 6

7 3.3 Autómts Los utómts trtn de simulr culquier proceso de nuestr vid cotidin, en este cso vn simulr el proceso de l informción, proceso de ls plrs de un lenguje. En el cmpo de los Procesdores de Lengujes, los lengujes trtdos están formdos por plrs definids sore un lfeto, plrs que no son otr cos que un secuencición de símolos. En el cso de los Procesdores de Lengujes, los utómts hcen de reconocedores de lengujes, recien en su entrd un cden de símolos y decide l slid si dich plr pertenece l lenguje Un utómt es un máquin strct reconocedor de lengujes formles, que cept o reconoce ls plrs que componen un lenguje forml El utómt recie l secuenci de símolos de l entrd los proces y v produciendo un slid. En este proceso es importnte ser l situción en que se encuentr y los posiles estdos por los que ps el utómt en momento determindo, y sí, poder decidir sore l slid. Definición conceptul Conceptulmente un utómt es un modelo que simul un relción de tres componentes: - Un entrd, sore l que se represent y simul l plr reconocer - Un memori, que permite y posiilit el reconocimiento de plrs con estructurs complejs - Un control, mecnismo que determin como evolucion el utómt en función: del símolo leído de l entrd, el símolo otenido de l memori uxilir y el estdo donde está situdo < entrd > <-----x ---> Control de estdos Estdo δ Estdo(s El diseño del control cre lo que denominmos función de trnsición, que determin como evolucion el estdo (situción) del utómt Situciones en un utómt A A B < memori > Función de trnsición Situción de un utómt - Estdo en el que se encuentr un utómt en un momento ddo (estdo ctul, suplr que flt por reconocer, situción memori); (q ctul,.., B.. ) Situción inicil - Estdo inicil o de prtid de un utómt (estdo inicil, plr reconocer, situción inicil memori); (q inicil, x=., #) Situción de ceptción (o de reconocimiento) - Estdo de ceptción (o de reconocimiento) de un utómt (estdo de ceptción, plr reconocid, situción finl memori); (q finl,, α ) Movimiento en un utómt - es el pso de un situción otr. O lo que es lo mismo l plicción de un trnsición un situción del utómt. Situción ctul del utómt - (q m, x=$, A #), Trnsición posile - (q m,, A) (q n, B) Aplicndo l trnsición l nterior situción, qued (q n, $, B #) nuev situción se h psdo l estdo q n, se h leído de l entrd y se h sustituido B por A en l memori. 7

8 Lenguje reconocido por un utómt Conjunto de plrs que prtiendo del un situción inicil se lleg un situción finl en cero o más movimientos. (q i, x. #) - represent un situción de inicio ( x plr reconocer, # inicio memori ) (q f,, α ) - represent un situción de reconocimiento ( se h leído l plr) (q i, x=, #) ( ). (q f,, α ), x es un plr reconocid Lenguje reconocido por un utómt es el conjunto de plrs que prtiendo de un situción inicil se lleg un situción de ceptción en cero o más movimientos. L (A)={x Σ* (q i. x. #) * (q f,, α ), x es un plr reconocid} Tipos de Autómts, tendiendo los movimientos que se pueden dr en un situción: Determinists: pr culquier situción existe como máximo un movimiento. En decir en un situción sólo puede drse como máximo un trnsición, siguiente ejemplo. (q i,, A ) (q j, B) Σ ; q i, q j Q ; A, B Γ (lfeto de l memori) (q i,, A.. ) (q j,, B ), No determinists: existe lgun situción que tiene más de un movimiento. Es decir existen situciones en ls cules se pueden dr más de un trnsición, siguiente ejemplo: (qi,, A ) { (qj, AA.. ) (qk, AB..) } L situción (qi,, A ) (qj,, AA ), tiene más de un movimiento (qi,, A ) (qj,, AA ), l nterior situción tiene más de un movimiento (qi,, A ) (qk,, AB ) Tipos de utómts, tendiendo l lenguje que reconocen: - Autómt finito (regulr) reconocen los lengujes regulres (lengujes de tipo 3) - Autómt de pil reconocen los lengujes independientes del contexto (tipo 2) - Autómt cotdos linelmente reconocen los lengujes dependientes del contexto (tipo 1) - Máquins de Turíng reconocedor universl (tipo 0) 3.4 Autómts Finitos (AF) Es un modelo que simul un máquin strct que cept (o reconoce) ls plrs de un lenguje regulr. En el cso de los AF el mecnismo de control de evolución no necesit de memori (los estdos del propio utómt hcen de memori) deido l simplicidd de l estructur de ls plrs de los lengujes regulres reconocer < entrd > <-----x ---> Control de estdos Estdo δ estdos Función de trnsición Ls plrs de este tipo de lengujes no tienen un estructur equilird, es decir l histori de un prte de l plr no fect l otr prte. Solo es necesrio el pr relciondo (estdo, entrd), donde el estdo se relcion con un entrd, en l cul sólo se permite leer y vnzr símolo símolo. 8

9 Situción de un AF: es un pr ordendo de l form (q i, x) donde: q i es el estdo ctul del AF, es el símolo señldo pr leer y, x es l cden que rest por leer en ese momento Situción inicil: (, x); estdo inicil, es el símolo señldo pr leer y, x es l cden que rest por leer en ese momento, x es cden de entrd reconocer por el AF Situción finl o de ceptción: ( q f, ) ; q f es el estdo finl, l cden h sido ceptd, se h llegdo leer tod l plr y terminmos en un estdo de ceptción Movimiento: es el pso de un estdo otro, (q i, x) (q j, y) (q i, ) (q j ) Se x=y, Σ (q i, x=) (q j, ) Tipos de AF tendiendo los movimientos que se pueden dr en un situción: AF determinist Culquier situción tiene como máximo un movimiento (q i, ) (q j ), Σ q i, q j Q (q i, ) (q j, ) AF no determinist Existe lgun situción que tiene más de un movimiento, dos csos: - Sin trnsiciones vcís AFND (q i, ) {q j, q k, }, Σ, q i, q j, q k Q (q i, ) (q j, ) (q i, ) (q k, ) - Con trnsiciones vcís AFND_ (q i, ) (q j ), Σ, q i, q j Q (q i, ) {(q j, ), (q j, )} Definición forml AFD Es quel que nte un determind entrd sólo se puede trnsitr un estdo Un AFD se define medinte un quíntupl AF=(Σ, Q, δ,, F), donde: - Σ : lfeto de ls plrs reconocer por el utómt - Q: conjunto de estdos, es un conjunto finito no vcío - δ: Q x Σ Q, función de trnsición, que trnsform el pr ordendo (qi, ) qj - Q, estdo inicil (estdo de prtid) - F Q: conjunto no vcío de estdos finles o de ceptción Ddo el siguiente lenguje L = { n m n, m>0}, especificr un AFD que lo reconozc: AF= (Σ={, }, Q={,, }, δ,, F={ }), δ: (, ) { } (, ) { } (, ) { } (, ) { } Representción gráfic de los AF Pr mejorr l legiilidd y visiilidd de los utómts se pueden utilizr dos tipos de representciones gráfics: los digrms de trnsición o ls tls de trnsición: Digrms de trnsición L representción por medio digrm de trnsiciones, es un grfo dirigido, en el que: - Los nodos que se representn por un circulo, que se etiquetn con los estdos q Q - Hrá rcos etiquetdos con desde el nodo qi l qj, si existe l función δ(qi,) qj - El estdo inicil tiene un rco entrnte no etiquetdo - Los estdos finles q f F se señln por dole circulo Ejemplo de un AFD representdo por un digrm de trnsición, que reconoce el lenguje : L = { n m n,m>0} q fig1 9

10 Tls de trnsición Representción tulr que relcion dos componentes: entrds y estdos - Cd fil corresponde un estdo q Q - Cd column corresponde un símolo de entrd Σ - L fil socid l estdo inicil tiene un - Ls fils socids los estdos finles tienen el símolo * En l posición (q, ), q Q y Σ está el estdo que determine l función δ(q, ) AFD representdo por un tl de trnsición que reconoce el lenguje L = { n m n,m>0} entrds estdos -- * -- - Lenguje reconocido por un utómt finito determinist Conjunto de plrs que prtiendo del un situción inicil, se lleg un estdo finl en cero o más movimientos. Movimiento en un AFD: es el pso de un estdo otro. (q i, x) (q j, y) (q i,) (q j ) ; x=y, Σ (q i, x=) (q j, ) Ejemplo fig 1: (, ) (,). (,) Lenguje={ x x Σ*, (q i, x) *(q f,), q f F } AFD Definición forml AFND Los AFND es un extensión de los AFD que tiene l cpcidd de trnsitr más de un estdo pr un mism entrd. Un AFND se define medinte un quíntupl AF=(Σ, Q, δ,, F), donde: - Σ : lfeto de ls plrs de lenguje reconocer - Q : conjunto de estdos, es un conjunto finito no vcío, - δ: Q x Σ P(Q), represent suconjunto de estdos de Q. Función de trnsición, que trnsform el pr ordendo (q i, ) {q j,..} - Q, estdo inicil - F Q: conjunto no vcío de estdos finles o de ceptción Ddo el siguiente lenguje L = { n m n,m>0}, especificr un AF que lo reconozc: AF=(Σ={,}, Q={,, }, δ,, F={ }), δ : (, ) { } (, ) { } (, ) {, } (, ) { } (, ) { } (, ) {, } Digrms de trnsición - Los nodos que se representn por un círculo, que se etiquetn con los estdos q Q - Hrá rcos etiquetdos con desde el nodo q i los nodos q j, q k,.. si existe δ(q i, ) qj, δ(q i, ) q k, δ(q i,) {q j, q k,..} - El estdo inicil tiene un rco entrnte no etiquetdo - Los estdos finles qf F se señln por dole circulo AFND representdo por un digrm de trnsición que reconoce el lenguje L = { n m n,m>0} q fig2 10

11 Tls de trnsición - Cd fil corresponde un estdo q Q - Cd column corresponde un símolo de entrd Σ - L fil socid l estdo inicil tiene un - Ls fils socids los estdos finles tienen el símolo * - En l posición (q,) q Q y Σ están los estdos que determine δ(q,) AFND representdo por un tl de trnsición que reconoce el lenguje L = { n m n,m>0} Entrds estdos {, } -- { } * Lenguje reconocido por un utómt finito no determinist Conjunto de plrs que prtiendo del un situción inicil, se lleg un estdo finl en cero o más movimientos. Un AFND cept un cden x si es posile elegir un secuenci de opciones de estdos prtiendo de uno inicil y finlizr por uno de ceptción Movimiento: es el pso de un estdo otro. (q i, x) { (q j, y), (q k, y) } (q i, ) {q j, q k } x=y, Σ (q i, x=) (q j, ) (q k, ) Ejemplo fig 2: (, ) (, ).(, ) (, ).(, ) Lenguje={x x Σ*, (q i, x) *(q f, ) F Φ} AFND Otr representción del lenguje generdo por un AFND L(A)={ x x Σ*, δ*(q i, x) F Φ} δ*(q i. x) contiene l menos un estdo de ceptción Definición forml AFND- Un extensión de los AF que permite trnsiciones vcís. Ls trnsiciones vcís hcen que se pued relizr un movimiento sin lectur de l entrd. Un AFND_ se definen medinte un quíntupl AF=(Σ, Q, δ,, F), donde: - Σ : lfeto de ls plrs reconocer - Q : conjunto de estdos, es un conjunto finito no vcío, - δ : Q x {Σ } P(Q) función de trnsición, que trnsform el pr (qi,) {qj,..} P(Q), represent suconjunto de estdos de Q, función de trnsición - Q, estdo inicil - F Q: conjunto de estdos finles o de ceptción Ddo el siguiente lenguje L = { n m n,m>0}, especificr un AFND- que lo reconozc: AFND- = (Σ={,}, Q={,,, q 3 }, δ,, F={ q 3 }) δ: (, ) { } (, ) {q 3 } (, ) { } (q 3, ) {q 3 } (, ) { } Digrms de trnsición - Los nodos se etiquetn con los estdos q Q - Hrá rcos etiquetdos con desde el nodo q i l q j, q k,.. si existe δ(q i,) q j q k.. - El estdo inicil tiene un rco entrnte no etiquetdo - Los estdos finles q f F se señln por dole círculo 11

12 AFND- representdo por un digrm de trnsición que cept el lenguje L= { n m n, m>0} q fig3 Tls de trnsición - Cd fil corresponde un estdo q Q - Cd column corresponde un símolo de entrd Σ - L fil socid l estdo inicil tiene un - Ls fils socids los estdos finles tienen el símolo * - En l posición (q, ) q Q y Σ está el estdo(s) que determine δ (q, ) o δ (q, ) AFND- representdo por un tl de trnsición que reconoce el lenguje L = { n m n, m>0} Entrds estdos , *q 3 -- q Lenguje reconocido por un utómt finito no determinist con trnsiciones vcís Conjunto de plrs que prtiendo del un situción inicil, se lleg un estdo finl en cero o más movimientos. Movimiento: es el pso de un situción otr. (q i, x) (q j, x) (q i, ) (q j ) x = y, {Σ } (q i, x=)) (q j, ) (q j, ) Ejemplo fig3: (, ) (, ), ).(,) (, ).. Lenguje={ x x Σ*, (qi.x) *(qf, ) F Φ} AFND- Otr representción del lenguje generdo por un AFND- Lenguje={ x x Σ*, δ*(qi. x) F Φ} Los AFND- fcilitn l progrmción del AFND, están estrechmente relciondos con ER 3.5 Autómts equivlentes Dos o más utómts A 1, A 2,.., son equivlentes A 1 A 2.. si ceptn el mismo lenguje, es decir L(A 1 )=L(A 2 )= los utómts vistos en los prtdos nteriores de l figur (1,2,3) son equivlentes. Los AF y sen determinists o no determinists tienen l mism potenci de reconocimiento de lengujes, en el sentido que culquier lenguje regulr puede se reconocido por un AF y se determinist o no determinist con o sin trnsiciones vcís. Desde el punto de vist práctico, es conveniente que el utómt se determinist el proceso es directo más simple de implntr y más rápido, pero desde el punto de vist teórico son interesnte los no determinists porque permiten modelizr el lgoritmo de úsqued y retroceso, tmién son importntes y de grn utilidd los AFND con trnsiciones vcís sore l teorí de lengujes formles 12

13 3.6 Autómts completos Se dice que un utómt finito es completo cundo pr todos los estdos se dn tods ls trnsiciones. Σ, q i, q j Q (q i, ) (q j ) (q i, ) (q j, ) Culquier utómt finito no completo puede hcerse completo, poniendo un estdo de error o estdo trmp, l cul trnsitn tods ls trnsiciones no permitids en el reconocimiento del lenguje Ddo el siguiente lenguje L = { n m n, m>0}, especificr un AFD completo que lo reconozc: AF=(Σ={,}, Q={,, }, δ,, F={ }), (, ) { } (q0, ) {q error } (, ) { } (, ) { } (, ) {q error } (, ) { } q q er, fig 4 Los utómts finitos completos son interesntes desde el punto de vist, de l otención de su complementrio, st con cmir estdos finles por no finles y vicevers, pr otener el AF que reconoce su lenguje complementrio. El siguiente AFD reconoce el lenguje complementrio l lenguje que reconoce el nterior utómt. q q 3.7 Autómt conexo q e, fig 5 Un utómt finito es conexo cundo desde el estdo inicil en cero o más movimientos se lleg todos los estdos. q i (estdo inicil) (q i, x) * (q j ) q j Q todos los AF visto hst hor son conexos Convertir un AF ddo en otro equivlente que se conexo, consiste en quitrle los estdos inccesiles q q q e, fig 6, q q e 13

14 3. 8 Simulción de un AFD El fin de un AF es el del reconocimiento de un lenguje. A continución se descrien dos forms de simulr l implementción de los utómts finitos - simulción por medio del digrm de trnsiciones Posicionrse en el estdo inicil qi Leer el primer crácter de l entrd Mientrs ( no se fin de l entrd) hcer Moverse un estdo dependiendo de l entrd y estdo ctul qi, qj Leer el siguiente crácter Si el estdo es finl entonces plr reconocid qi F Sino error l plr no es reconocid. error - situción por medio de l tl de trnsiciones Posicionrse en el estdo inicil qi Repetir Leer el primer crácter de l entrd Otener siguiente estdo [ estdo ctul, entrd leíd] [qi,]=qj Hst estdo finl o error L representción en form de tl tiene l ventj de un rápido cceso, su desventjs son que necesitn stnte memori cundo el lfeto de entrd es grnde y, existen muchs trnsiciones vcís, tmién tiene un estructur estátic pr culquier modificción es más costos. Ls representciones medinte lists es ms compct pero es más lent en su proceso. Implementr l función como un segmento de código con estructurs CASE dentro del progrm que simul el proceso de reconocimiento de ls plrs es más eficiente. 3.9 Equivlenci entre AFN y AFD Trnsformción de AFND en AFD Un lenguje L que puede ser reconocido por un AFND, puede encontrrse un AFD equivlente que reconozc el mismo lenguje. Un AFD es un cso prticulr de un AFND, puesto que (q i, ) (q j ) =1, Σ, q j Q En un AFND (q i, ) (q j, q k, ) 1, Σ, q i, q j, q k Q Pr evitr el no determinismo hy que unir todos los estdos los que se lleg con un mism entrd (q i, ) {q j, q k, }, los estdos (q j, q k, ), se lleg con l entrd, que formrán un estdo del AFD Mueve(q i, )={q j, q k,..}=a i los estdos que formn A i mntiene ls relciones de trnsición con el resto de los estdos..... q 3 Mueve(q o, )={,,..}=A i Trnsformción de AFND- en AFD Ddo un AFND puede considerrse un cso restringido de un AFND-, δ(q i, ) = φ q i Q. A i.. Un lenguje reconocido por un AFND puede ser reconocido por un AFND- equivlente. q 3 fig.5 14

15 δ(q i, ) = {q j, q k,..}, estdos {q i, q j, q k,..} se puede llegr sin leer nd de l entrd, es decir se pueden grupr en un estdo del AFD pr evitr el no determinismo Se utiliz l operción cierre, pr grupr todos los estdos. Cierre- (q) estdos lcnzles desde el estdo q, trvés de trnsiciones vcís. Cierre- (q)= { p δ(q, ) * δ(p, ), q Q }., q 3 q 3. Culquier lenguje regulr (tipo 3) puede ser reconocido por un utómt finito. Sin emrgo un AFD puede dr lugr reconocedores más rápidos y más fácil de relizr deido que solo existe un cmino; mientrs que en los AFN hy que relizr un cktrcking uscndo todos los posiles cminos. Trnsformción de AFN en AFD- método de los suconjuntos Se trt de grupr estdos del AFN pr evitr el no determinismo producido por ls condiciones vist nteriormente Un AFN se crcteriz por cumplir lguns de ls siguientes condiciones: - Existen estdos que nte un determind entrd єσ vn más de un estdo{q i, q j }, estdos que se pueden grupr (AFND) (q i, ) {q i, q j }=A i - Existen trnsiciones vcís, todos los estdos unidos por trnsiciones vcís se pueden grupr (AFND- ) (q i, ) (q i, q j ); (q j, ) (q k, q l ) => { q i, q j,q k, q l }=A i fig.6 Ejemplo de AFN: q 3 q 5 q 4 q 6 fig.7 q 7 Otención del AFD, plicndo ls condiciones nteriores, por medio de grupciones de estdos: - Estdo inicil será el conjunto de estdos lcnzles trvés de trnsiciones vcís del estdo inicil del AFND Cierre_ ( )={, }=A 0 A 0 es un estdo no trtdo del AFD Un estdo Ai es no trtdo cundo no se hn comprodo ls entrds pr los estdos del AFND que lo componen. - Mientrs que existn estdos no trtdos hcer: Elegir un estdo no trtdo A i y є Σ hcer: Mov (A i,)={}=a j {estdos lcnzles desde los estdos del AFND que formn A i y l entrd } 15

16 Cierre_ (A j )= A k {estdos que se pueden sumr los nteriores l estr unidos por trnsiciones vcís} Se otiene un estdo A k, que de no estr trtdo lo incluiremos en el conjunto de los no trtdos Cálculo del ejemplo nterior: entrds Estdos AFD A 0 { } {,,q 4, q 6 }=A A 1 {,,q 4,q q 6 } {, q 3,q 7 }=A 2 A 2 {, q 3, q 7 } {,,q 4, q 6, q 5 }=A A 3 {,,q 4, q 6, q 5 } {, q 3, q 7 }=A 2 Construcción del AFD uscdo: - El estdo inicil del AFD será quel que conteng el estdo inicil del AFND - Todos los estdos A i del AFD mntienen ls entrds que tienen los estdos del AFND - Los estdos finles del AFD serán quellos que contengn lgún estdo finl del AFND A A A A fig.8 El AFD otenido no es mínimo, mínimo serí el siguiente: A A fig.9 Tnto el utómt de l figur 7, como el de l figur 8 y 9 son equivlentes, reconocen el lenguje denotdo por l ER => ()* Trnsformción de AFD AFD mínimo crendo clses de equivlenci: Se trt de grupr estdos que tienen el mismo comportmiento. (estdos que tienen ls misms funciones) Dos o más estdos {q i, q j,.. }tienen el mismo comportmiento, cundo esos estdos pr ls misms entrds єσ trnsitn los mismos estdos (q i, ) {q k } (q i, ) {q l } {q i, q j } tienen el mismo comportmiento (q j, ) {q k } (q j, ) {q l }. (, ) {q 3 } ; (, ) {q 3 } (2, ) {q 3 } q 3, q2 fig. 10 Los estdos finles y no finles tienen distinto comportmiento, unos por ser reconocedores y los otros no.. q 3, q1 fig 11 16

17 (finl, ) {q 3 } ; (no finl, ) {q 3 } (2, ) {q 3 } Otención del AFD mínimo: - Se cre un prtición inicil del conjunto de estdos en dos grupos: finles y no finles P 0 : G 0 ={estdos no finles} G 1 ={estdos finles} - Por cd grupo de comportmiento de un prtición hcer: Dos o más estdos pertenecientes l mismo grupo, seguirán en el mismo grupo si tienen el mismo comportmiento (G i, ) G n ; (G i, ) G m ; G i se mntiene como un grupo En otro cso el grupo se divide en tntos sugrupos como comportmiento distintos existn (G i, ) G n, G m G i =G i1, G i2 ; G i se divide en dos sugrupos - El proceso nterior se repetirá hst que no se creen más sugrupos en ls prticiones que se vn oteniendo Construcción del AFD uscdo: - El estdo inicil del AFD mínimo será quel grupo que conteng el estdo inicil del AFD - Todos los grupos otenidos en l últim prtición serán estdos del AFD mínimo, estdos que mntienen ls entrds de los estdos del AFD de prtid - Los estdos finles del AFD mínimo serán quellos grupos formdos por estdos finles del AFD de prtid ) Hciendo el AFD completo: q e, q 3 fig. 12 El estdo de error q e form prte del grupo de los no finles P 0 => G 0 = {, q 3, qe} G 1 = {, } (* prtición cero *) G 0 G 0 G 1 q 3 G 0 G 1 qe G 0 G 0 G 1 G 0 G 0 G 0 G 0 P 1 => G 0 = {, q 3 ], G 1 = {q e }, G 2 = {, } (* prtición uno *) G 0 G 1 G 2 q 3 G 1 G 2 Construcción del AFD uscdo: G 2 G 0 G 1 G 0 G 1 G 1 qe G 1 G 1 - El estdo inicil del AFD mínimo será quel grupo que conteng el estdo inicil del AFD - Todos los grupos otenidos en l últim prtición serán estdos del AFD mínimo, estdos que mntienen ls entrds de los estdos del AFD de prtid - Los estdos finles del AFD mínimo serán quellos grupos formdos por estdos finles del AFD de prtid 17

18 G, AFD mínimo otenido G G fig.13 ) AFD no completo otención del AFD mínimo trvés de un AFD no completo q 3 fig. 14 P 0 => G 0 = {, q 3 } G 1 = {, } ---` represent un grupo no definido G G 1 q G 1 G 1 G G AFD mínimo otenido G G fig Equivlenci entre AF y grmátics de tipo 3 Por trtrse de dos mecnismos regulres que permiten especificr lengujes regulres, se puede estlecer un trnsformción de uno l otro, nd ms que cmindo de form de representción. - Se trt de dptr l representción del AF l grmátic de Tipo 3 de l siguiente form: A=(Σ, Q, δ, q0, F) => G=(Σ, N, S, P) - A cd estdo del AF se le hce corresponder un elemento no terminl de l grmátic - Al estdo inicil le corresponde el símolo inicil - Ls trnsiciones se trnsformn en producciones de l siguiente form: (q i, ) {q j } A i A j A i,a j єn q i A i ; q j A j q f є F A f A f єn q f A f (q i, ) {q j } A i A j A i,a j єn q i A i ; q j A j A i A j es un producción que no corresponde ls grmátics de tipo 3, pr evitrl sustituimos A j por ls prtes derechs de producciones donde A j figure como prte izquierd fig.16 Ejemplo : A=( Σ={, },Q={,, }, δ,, F={ }) Δ: (, ) { }, (, ) { }, (, ) { }, (, ) { }, (, ) { } G = (Σ={,},N={A 0,A 1,A 2 }, A 0,P) P : A 0 A 1, A 1 A 2 A 1, A 2 A 1 A 2 A 0 A 1, A 1 A 1 A 2, A 2 A 1 A 2 Equivlenci entre grmátics de tipo 3 en AF Proceso es inverso l prtdo nterior en donde hor conocemos l representción de l grmátic y hy que otener l del AF 18

19 G=(Σ, N, S, P) => A=(Σ, Q, δ, q0,f) - A cd elemento no terminl de l grmátic se le hce corresponder un estdo del AF - Al símolo inicil le corresponde el estdo inicil - Ls producciones se trnsformn en trnsiciones de l siguiente form: A i A j (q i, ) {q j } A i, A j єn q i A i ; q j A j Pr ls producciones A i se cre un único estdo finl q f l que se lleg desde el estdo q i y l entrd A i (q i, ) {q f } q f є F Pr cd un de ls producciones A i se pone el estdo qi socido A i como finl A i q i єf q i A i Ejemplo : G= (Σ={, }, N={ A 0, A 1, A 2 }, A 0, P) P : { A 0 A 1, A 1 A 1 A 2, A 2 A 1 A 2 } A= ( Σ={,}, Q={,,, q f }, δ,, F={,, q f }) Δ : (, ) { }, (, ) { }, (, ) { }, (, ) {q f }, (, ) { }, (, ) { }, (, ) {q f } q t Equivlenci entre AFD y ER q 1 fig.18 Pr conocer este tipo de equivlencis hy que plnter el AFD como un sistem de ecuciones. L form de plnter el sistem de ecuciones es similr l propuesto de psr de AF grmátic de tipo 3, con ls siguientes diferencis en su representción: - L flech seprdor de ls producciones se sustituye por el símolo = - L rr de lterntiv se sustituye por un + - Los elementos no terminles se renomrn por x pr decurlo l representción de un sistem de ecuciones fig.19 Ejemplo: AFD => G A 0 A 0 => x 0 = x 0 + x 0= x 0 + ; x 0 represent un expresión regulr (ER) que denot el lenguje reconocer desde o generr desde A 0 Aplicndo l regl de inferenci de ER ω = α* β = α ω β o lo que denominmos ecución crcterístic (o fundmentl) x = A* B = Ax + B x 0= x 0 + => plicndo e.c. *.=* Ejemplo: fig.20 A 0 A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 1 A 2 19

20 Plnteándolo como un sistem de ecuciones: x 0 = x 1 x 1 = x 2 +x 1 x 2 = x 2 +x 1 + plicndo e.c. x 2 = *.( x 1 + ) y sustituyendo en l 2ª ecución: x 1 = (*.(x 1 +) )+x 1 = (*x 1 +*) + x 1 = + x x 1 = ( + +)x = ( + +)*. + sustituyendo el vlor de x 1 en l 1ª ecución x 0 = ( ( + +)*. + ) = ( ( + )*. + )= ( + )*. + ( )*. Ls ER otenids por medio de ést trnsformción no están simplicds. Trnsformción de ER en AFND método de thompson - Es un trnsformción dirigid por l sintxis, de form que us l estructur sintáctic de l ER pr guir y representr el proceso de construcción del AFN. Se s en ls siguientes regls : L ER es equivlente l AF siguiente L ER es equivlente l AF siguiente L ER α β es equivlente l AF que reconoce el lenguje denotdo por l ER α lterntiv con el AF que reconoce el lenguje denotdo por l ER β. En definitiv mos mecnismos definen el lenguje L(α) L(β) q AF(α)( 1 ) q 5 q AF(β)( 3 q 4 ) L ER α. β es equivlente l AF que reconoce el lenguje denotdo por l ER α conctendo con el AF que reconoce el lenguje denotdo por l ER β: En definitiv mos mecnismos definen el lenguje L(α). L(β) q AF(α)( 0 ) q AF(β)( 2 q 3 ) L ER α * es equivlente l AF que reconoce L(α)*. En definitiv mos mecnismos definen el lengujel(α)* AF(α)( ) q 3 L ER α + es equivlente l AF que reconoce L(α) +. En definitiv mos mecnismos definen el lenguje L(α) + 20

21 AF(α)( ) Ejemplo - trnsformción de l ER.( c*)* en el AFN siguiente : AF( c*) ( c*)* AF( c*) ( c*) AF () AF (c*) c Ejercicios 1- Construir un AFD pr cd uno de los siguientes lengujes formles: ) Ddo el lfeto Σ={1,2,3}, se el lenguje L={w {1,2,3} + l sum de ls cifrs de w es múltiplo de 4 }. Por ejemplo, serín válids 13, 31, 2222, etc. ) Se el lenguje L= {w {0, 1}* en w, l sucden 00 prece como mucho dos veces }. Por ejemplo, l plr 000 pertenece l lenguje por tener dos sucdens 00, pero no l plr 0000, y que contiene tres sucdens 00. Otros ejemplos de plrs válids son: , 01000, Ejemplos de plrs NO corrects: , , c) Ddo el lfeto = {0, 1}, se el lenguje de tods ls plrs que, tienen un número impr de símolos 1, y demás contienen l sucden 01. Por ejemplo, serín válids ls sucdens 01, , Pero no lo serín 1,, 011 ó d) Σ={,,c,d}. Ls plrs que pertenecen este lenguje cumplen ls condiciones de que si prece l suplr d siempre está seguid por el símolo c, y si prece l suplr siempre está seguid por el símolo d. Por ejemplo, ls siguientes plrs:, dc, ccdc. e) Σ={,, c}. Pertenecen este lenguje ls plrs que tienen un número pr de veces (posilemente ningun) l sucden c. f) Σ={, }. Ls plrs tienen un número pr de símolos y no contienen l suplr (se consider que el 0 es un número pr). 21

22 2) Los comentrios en el lenguje de progrmción Pscl se escrien de l siguiente mner: Comienzn por los símolos (* y terminn por *). Si llmmos símolo culquier crácter ASCII menos * y ), en el interior del comentrio se puede escriir culquier cntidd de símolos, incluyendo ninguno. Pero demás, dentro del comentrio se pueden usr los crcteres * y ) siempre y cundo no hy un * seguido de un ), en cuyo cso se interpretrí como el finl del comentrio. Por ejemplo, son válidos los siguientes comentrios: (**), (* hol *), (*ho** l, que *hy *), (* ho)l )***) Se pide: Construir un AFD que reconozc los comentrios de Pscl.En dicho AFD se utilizrá símolo pr representr culquier crácter menos * y ) 3) Se el lfeto = {, _}. Otener un AFD mínimo que reconozc el lenguje de tods ls plrs que cumplen ls siguientes dos condiciones: El número de símolos es pr (posilemente 0). No pueden tener dos o más símolos _ de form consecutiv. Plrs válids:,, _,, Plrs no válids:,,, _ 5- Ddo el siguiente AFD definido sore el lfeto Σ={,} que reconoce el lenguje L, formdo por ls plrs que contienen l menos un vez l suplr :, Modificrlo, oteniendo un AFD que reconozc el lenguje L {}. 6 - Ddo el lfeto = {,} y, sen los lengujes L 1 y L 2 definidos respectivmente medinte los siguientes AFD L 1 L 2 Se pide: ) Un ER pr el complementrio de L 1 ) Un AFD pr L 1 {} c) Un ER pr L 2 d) Un AFD pr L 2 2. e) Un ER pr Σ*- L 1 * 6- El utómt siguiente reconoce el lenguje L. Se pide: ) Expresión regulr simplificd que reconozc L. ) Expresión regulr simplificd que reconozc el lenguje complementrio de L. c) Encontrr un utómt finito determinist mínimo que reconozc L *. 22

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