Máster en Ingeniería Mecánica: Diseño y Fabricación

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1 eman ta zabal zazu DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA INGENIARITZA MEKANIKOA SAILA ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIERIA Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea BILBOKO INGENIARITZA GOI ESKOLA TEKNIKOA Máster en Ingeniería Mecánica: Diseño y Fabricación Proyecto Fin de Máster Ratio de la fuerza de extracción de conexiones cónicas en implantes dentales. Modelo analítico y análisis MEF Alumno: Diego Núñez Núñez Director del Trabajo: Prof. Dr. Josu Aguirrebeitia Curso

2 AGRADECIMIENTOS Primeramente a Dios, quien es la guía de mi camino a cada paso que doy. A la Secretaría Nacional de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación SENESCYT y al Gobierno del Ecuador por financiar mis estudios de máster. Un profundo agradecimiento al Grupo de Investigación de Análisis y Diseño Mecánico ADM por permitirme ser parte en sus investigaciones y en especial a mi tutor del proyecto Josu por la confianza depositada en mi persona. A Mikel e Ibai que siempre apoyaron la investigación y estuvieron prestos a colaborar con sus valiosos conocimientos. También quisiera agradecer a Ernesto por su diligencia, disposición y colaboración durante mi estancia en el Máster. Finalmente un agradecimiento eterno a mis padres y hermanos que durante este tiempo estuvieron pientes y apoyándome a pesar de la distancia.

3 DEDICATORIA Este trabajo está dedicado a mi esposa y a mi hija por ser el pilar fundamental en mi vida.

4 INDICE RESUMEN... 1 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN MOTIVACIÓN OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS APORTACIONES DEL PROYECTO DE FIN DE MÁSTER ALCANCE DEL PROYECTO DE FIN DE MASTER CONTENIDO... 5 CAPÍTULO ASPECTOS GENERALES IMPLANTES DENTALES INTRODUCCIÓN BIOMATERIALES DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BREVE HISTORIA DE LOS BIOMATERIALES OSTEOINTEGRACIÓN REQUISITOS FUNDAMENTALES DE LOS BIOMATERIALES UTILIZADOS EN IMPLANTES DENTALES CLASIFICACIÓN DE LOS IMPLANTES DENTALES CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN GEOMETRÍA DEL CUERPO DEL IMPLANTE SUPERFICIE DEL IMPLANTE CONEXIÓN O INTERFAZ IMPLANTE/POSTE IMPLANTES CON CONEXIÓN CÓNICA LA AUTORETENCION EN CONEXIONES CÓNICAS FACTORES QUE INFLUYEN EN EL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA CONEXIÓN CÓNICA IMPLANTE, VARIABLES Y MODELOS ADOPTADOS PARA ABORDAR EL PROBLEMA.22

5 2.4.- BANCO EXPERIMENTAL CAPÍTULO EL MODELO ANALÍTICO INTRODUCCIÓN MODELO ANALÍTICO CON DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL CONSTANTE. MODELO ANALÍTICO CONSIDERACIONES INICIALES ETAPA 1. INSERCIÓN DEL POSTE Y AJUSTE DEL PERNO PRECARGA ETAPA 2. EXTRACCIÓN DEL PERNO PÉRDIDA DE LA PRECARGA ETAPA 3. EXTRACCIÓN DEL POSTE MODELO ANALÍTICO CON FUERZA NORMAL CONSTANTE. MODELO ANALÍTICO CONSIDERACIONES DE LOS MODELOS ANALÍTICOS 1 Y ANÁLISIS DE LOS COEFICIENTES DE FRICCIÓN ESTÁTICO Y CINÉTICO CAPÍTULO EL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS MEF INTRODUCCIÓN INICIOS E IDEA BÁSICA DEL MEF ORGANIZACIÓN DE UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS PREPROCESADOR PROCESADOR POSTPROCESADOR USO DE MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS EN IMPLANTES DENTALES GEOMETRÍA PROPIEDADES DEL MATERIAL CONDICIONES DE CONTORNO INTERFAZ IMPLANTE HUESO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEL IMPLANTE DENTAL CONSIDERACIONES INICIALES CARÁCTER NO LINEAL DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEFINICIÓN DEL MATERIAL GENERACIÓN DE LA GEOMETRÍA PROCESO DE MALLADO... 51

6 CONDICIONES DE CONTORNO RESULTADOS OBTENIDOS PARA UN CASO EJEMPLO CAPÍTULO EL METAMODELO INTRODUCCIÓN ECUACIONES Y VARIABLES DEL PROBLEMA ETAPAS DE ANALISIS ETAPA 1. INSERCIÓN DEL POSTE Y AJUSTE DEL PERNO PRECARGA ETAPA 2. EXTRACCIÓN DEL PERNO PÉRDIDA DE LA PRECARGA ETAPA 3. EXTRACCIÓN DEL POSTE CÁLCULO DE RIGIDECES CÁLCULO DE LA RIGIDEZ HORIZONTAL CÁLCULO DE LA RIGIDEZ VERTICAL CAPÍTULO PRESENTACIÓN, ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE RESULTADOS DISEÑO DE EXPERIMENTOS RESULTADOS Y ANÁLISIS RESULTADOS DE LOS MODELOS ANALÍTICOS RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS INFLUENCIA DE LA PRECARGA FP INFLUENCIA DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULO α INFLUENCIA DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINÉTICO μk INFLUENCIA DEL ÁNGULO DE CONICIDAD DEL IMPLANTE αi INFLUENCIA DEL RATIO DE LOS COEFICIENTES DE ROZAMIENTO rμ RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL METAMODELO RESULTADOS DE LA RIGIDEZ HORIZONTAL RESULTADOS DE LA RIGIDEZ VERTICAL VALIDACIÓN Y USO DE LOS MODELOS ANALÍTICOS CAPÍTULO CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN CONCLUSIONES

7 7.2.- LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN REFERENCIAS ANEXOS ANEXO PROGRAMACIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS EN ANSYS ANEXO PROGRAMACIÓN DEL METAMODELO EN MATLAB ANEXO TABLAS DEL % DE ERROR RELATIVO AL UTILIZAR UN MODELO ANALÍTCO RESPECTO A LOS RESULTADOS DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

8 RESUMEN La gran variedad de modelos disponibles en el mercado de la implantología dental ha obligado a evaluar la efectividad de cada uno de ellos. Una buena parte de los estudios realizados por algunas empresas fabricantes se han mostrado favorables respecto al uso de cada uno de sus productos; en ese sentido, existen diferentes conclusiones y, algunas contradictorias, respecto al mejor comportamiento mecánico del sistema de implante. No obstante, las investigaciones han permitido establecer ciertas ventajas cuando la conexión entre el poste y el implante del sistema es cónico respecto a aquellas conexiones de naturaleza cilíndrica, entre otras, está el hecho de una mejor estabilidad en el tiempo, un sellado bacteriano más efectivo y una disminución de la pérdida de la fuerza de precarga. Sin embargo; la principal desventaja de los modelos de conexión cónica es que, debido a la naturaleza de las superficies de contacto se produce el fenómeno de autoretención o bloqueo entre el poste y el implante lo cual hace necesaria una fuerza para extraer el poste del implante. Desafortunadamente, esta fuerza puede llegar a ser muy grande cuando concurren algunos factores o condiciones de diseño del sistema, lo cual puede conllevar a un daño en el hueso circundante al implante y una seria incomodidad en el paciente. En este Proyecto de Fin de Master hacio uso de herramientas analíticas y numéricas se ha podido estimar la relación que existe entre la fuerza con la que se inserta el poste en el implante y la fuerza necesaria para extraerlo. A esta relación se le ha llamado Ratio de la Fuerza de Extracción y se la analiza en tres etapas: una primera etapa de inserción del poste y apriete del perno provocando una fuerza de precarga, luego una segunda etapa en la que se retira el perno y consecuentemente la precarga y finalmente una tercera etapa en que se da la extracción del poste. Para ello, se han formulado dos modelos analíticos simplificados derivados del análisis de equilibrio de fuerzas de estas etapas, en los cuales se ha diferenciado entre el coeficiente de rozamiento estático y cinético de cada etapa. Posteriormente 1

9 se desarrolló un modelo de elementos finitos en 2D con el cual se simularon casi 2000 casos. Para este modelo de elementos finitos se utilizó el software ANSYS donde se creó una geometría multi-paramétrica que permitió automatizar las simulaciones. Paralelamente se desarrolló un modelo analítico avanzado o metamodelo con el objetivo de disponer de una herramienta numérica rápida que estime el ratio de la Fuerza de extracción con un mínimo coste computacional, basado en la resolución de una serie de sistemas de ecuaciones producto de la creación de varios elementos diferenciales que aproximen el comportamiento de las superficies en contacto. Finalmente, se realizó una validación de los modelos analíticos mediante los resultados del modelo de elementos finitos. Esto permitió crear una herramienta útil para el pre-diseño de implantes dentales de conexión cónica con la que se pueda estimar el ratio de la fuerza de extracción del poste utilizando uno de los dos modelos analíticos simplificados, depio de las variables de diseño y estimando el error aproximado como consecuencia de utilizar estos modelos. 2

10 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN MOTIVACIÓN A partir del primer registro de una implantación dental realizada por Leonard Linkow en la década de los 50 s la ciencia de la implantología dental a nivel mundial ha mantenido constantes avances gracias a la cantidad de empresas y grupos de investigación dedicados a este campo. Así, hoy en día tenemos una gran variedad de opciones y modelos a la hora de elegir un implante dental cada uno con sus propias ventajas y desventajas. El ensayo virtual de estos modelos mediante técnicas numéricas se hace indispensable para los fabricantes de estos implantes, ya que posibilita la reducción de costes, tiempo de desarrollo y sobretodo garantiza un tiempo de vida y confiabilidad del implante. Son varios los factores que determinan el comportamiento de un implante y el hecho de desarrollar una herramienta que permita de forma rápida y fiable realizar una aproximación a un diseño óptimo resulta una idea muy atractiva que merece ser investigada con el objetivo de que dicho diseño evite los problemas típicos de estos sistemas y revista en el confort del paciente. El Grupo de Investigación de Análisis y Diseño Mecánico ADM con amplia experiencia en el análisis del comportamiento mecánico de varios componentes y sistemas mecánicos ha venido realizando diferentes estudios en este campo a partir de mayo del 2010 en colaboración con empresas fabricantes de sistemas de implantes dentales interesadas en dichos estudios, de ahí qué, este proyecto de fin de master trata de ser un aporte significativo en este propósito OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL 3

11 El objetivo general de este proyecto de fin de máster es determinar analítica y numéricamente el ratio de la fuerza de extracción en implantes dentales de conexión cónica OBJETIVOS ESPECÍFICOS Establecer un modelo matemático que permita predecir el comportamiento mecánico de un implante dental Generar y validar un modelo de elementos finitos para simular este comportamiento Realizar un metamodelo de aproximación para determinar los parámetros de diseño de implantes dentales Determinar la influencia de los principales parámetros del diseño de implantes dentales de conexión cónica Comparar los resultados obtenidos mediante los distintos modelos propuestos Obtener una herramienta de cálculo rápida del Ratio de la Fuerza de Extracción RFR en implantes dentales de conexión cónica APORTACIONES DEL PROYECTO DE FIN DE MÁSTER Con este trabajo investigativo se prete dar una idea orientativa en el diseño de implantes dentales de conexión cónica enumerando los principales factores que influyen en tal diseño, así como también, generar un modelo de análisis por elementos finitos que permita relacionar dichos factores para el dimensionamiento adecuado de los componentes del implante. Por otro lado, este trabajo presenta una base de datos de casi 2000 casos simulados en elementos finitos para una serie de combinaciones de los parámetros que influyen en estos diseños para una geometría de implante determinada, sin que esto represente una conducta general de comportamiento, sí constituye una buena fuente de consulta para quienes están al frente de este tipo de diseños. Finalmente, lo que este proyecto investigativo prete es aportar con una herramienta de consulta rápida para el pre-diseño de implantes dentales de conexión cónica debido a que esta área del conocimiento requiere de constantes desarrollos 4

12 que contribuyan al alcance de beneficios para los pacientes que necesitan de estos tipos de implantes para mejorar su calidad de vida ALCANCE DEL PROYECTO DE FIN DE MASTER Como se comentó en un inicio existen una serie de modelos de implantes dentales que actualmente se utilizan, este proyecto de fin de máster analiza el modelo de implante de conexión cónica para una geometría parametrizada en la que se ha ido variando las dimensiones típicas de un implante en especial, en este sentido los resultados y conclusiones presentadas se ajustan a estos criterios y su extrapolación queda fuera del objetivo de este estudio CONTENIDO El contenido de este proyecto se ha organizado en siete capítulos organizados de la siguiente manera: Capítulo1, en el primer capítulo del presente proyecto brevemente se anuncian algunos aspectos como la motivación de realizar este estudio, los objetivos que busca, el alcance y aportaciones que brinda en esta área del conocimiento Capítulo 2, aborda los aspectos generales de los implantes dentales desde su definición, los materiales con los que se fabrican, su clasificación la cual permite situar al estudio dentro del amplio abanico de implantes disponibles en el mercado, así como también se da una introducción del tipo de implante que forma parte de este estudio y qué ventajas presenta en relación a otros modelos. Adicionalmente se presentan las variables de estudio que gobiernan el problema y los modelos de análisis que permitirán abordarlos Capítulo 3, presenta dos modelos analíticos simplificados a partir de las ecuaciones de equilibrio estático con los cuales se determinan las ecuaciones para estimar el ratio de la fuerza de extracción del poste RFR. En este capítulo se presentan las etapas de análisis del estudio con las que serán abordados los otros modelos propuestos 5

13 Capítulo 4, en este capítulo se presenta el modelo de elementos finitos realizando una simplificación de la geometría de interés de tal manera que permita simular la interfaz de contacto implante/poste para estimar el ratio de la fuerza de extracción del poste RFR. Adicionalmente, al iniciar el capítulo se presenta al método de los elementos finitos y su aplicación en el modelado y simulación de implantes dentales. Capítulo 5, mediante un modelo analítico avanzado se presenta el metamodelo de simulación con las variables, ecuaciones y matrices que permiten abordar el problema. En este metamodelo se presenta a detalle todas las etapas de simulación que permiten asumir las condiciones del problema. Capítulo 6, se presentan los resultados de todos los modelos con los que se ha abordado el problema, posteriormente se analizan estos resultados y la influencia de las variables de estudio en la determinación del ratio de la fuerza de extracción RFR del poste en implantes de conexión cónica. En la parte final se compara los resultados obtenidos mediante el modelo de elementos finitos y los modelos analíticos y se presenta una herramienta matemática para estimar el ratio RFR. Capítulo 7, este capítulo está dedicado a las conclusiones y principales aportaciones del presente Proyecto de Fin de Máster. También se presentan las futuras líneas de investigación derivadas del presente estudio Por último, las últimas páginas están dedicadas a las Referencias y Anexos de este proyecto 6

14 2.1.- IMPLANTES DENTALES CAPÍTULO 2 ASPECTOS GENERALES INTRODUCCIÓN La Organización Internacional para la Estandarización ISO define a un implante dental como: un dispositivo diseñado para su colocación quirúrgica dentro o sobre el hueso mandibular o maxilar, con el fin de proporcionar resistencia frente al desplazamiento de una prótesis dental [ISO2009] Este dispositivo es fabricado en un material compatible con el ser humano biomaterial - colocado en el hueso de la mandíbula para reemplazar artificialmente a un diente y resulta útil para una persona que ha perdido una o varias piezas dentales por una enfermedad periodontal, una lesión o alguna otra razón. A continuación se muestran las principales partes de un implante dental: CORONA POSTE IMPLANTE Figura 2.1 Principales componentes de un sistema de implante dental típico. [PHI2011] 7

15 2.1.2 BIOMATERIALES DEFINICIÓN Y PROPIEDADES En general los Biomateriales son materiales usados en la construcción de órganos artificiales, dispositivos o implantes para remplazar los tejidos naturales del cuerpo; es decir son materiales que se utilizan en contacto cercano o directo con el cuerpo y que tienen características homogéneas con los tejidos. [BAU2013] Dentro de la extensa gama de materiales, los metales han sido usados ampliamente para el campo de la implantología principalmente por sus propiedades mecánicas que garantizan su funcionalidad en el cuerpo humano; sin embargo, el problema de la corrosión ha sido su gran limitante de uso. Por su importancia a continuación nos referiremos principalmente a los implantes metálicos. La primera aleación de metal desarrollada para el entorno del cuerpo humano fue el acero al vanadio que fue utilizado para la fabricación de placas de huesos fracturados (placas de Sherman) y tornillos. La mayoría de los metales que se utiliza para hacer aleaciones para implantes son: hierro (Fe), cromo (Cr), cobalto (Co), níquel (Ni), titanio (Ti), tantalio (Ta), niobio (Nb), molibdeno (Mo) y tungsteno (W), tales elementos sólo pueden ser tolerados por el organismo en cantidades ínfimas, ya que son esenciales para las funciones de los glóbulos rojos (Fe) o síntesis de vitamina B12 (Co), pero no se pueden tolerar en grandes cantidades en el cuerpo [BLA2006]. Existen un sinfín de metales y aleaciones pero son muy pocos los que pueden ser utilizados como biomateriales. El cuerpo presenta un ambiente corrosivo, por lo cual un biomaterial debe ser resistente a la corrosión. Además de poseer esta característica se necesitan algunas propiedades mecánicas para que un metal pueda ser utilizado como auxiliar ortopédico o en implantes en el cuerpo. El titanio es uno de los materiales más compatibles con el cuerpo humano, debido que es un elemento bioinerte, además de que sus propiedades tales como dureza y resistencia lo hacen el material ideal en una gran variedad de aplicaciones médicas. En algunas ocasiones cuando algún órgano o tejido sufre de alguna enfermedad o condición de malfuncionamiento y degeneración de su estructura pueden ser aliviados por implantación de prótesis con el objetivo de restaurar las funciones del organismo. 8

16 Su baja densidad, 4.7 g/cm 3 comparada con 7.9 del acero inoxidable AlSl 316, 8.3 de la aleación CoCrMo y 9.2 de la CoNiCrMo, junto a sus buenas propiedades mecánicas y su excelente resistencia a la corrosión, hacen del titanio un biomaterial de sumo interés para su aplicación en implantes quirúrgicos. [GIL1993] El uso de titanio en el campo biomédico se ha convertido en una zona bien establecida porque el titanio cumple los requisitos de propiedades mejor que cualquier competidor (aceros inoxidables, aleaciones de CoCr, niobio y tántalo) [PIL2009]. Las propiedades que son de interés para aplicaciones biomédicas son la resistencia a la corrosión, biocompatibilidad, bioadhesión (crecimiento interior del hueso), módulo de elasticidad (debe estar tan cerca como sea posible del módulo de hueso que está en el intervalo de GPa), resistencia a la fatiga, y buena procesabilidad. Sobre todo la excelente resistencia a la corrosión y biocompatibilidad hacen del titanio el material de elección. Incluso el precio del titanio, que es normalmente el inconveniente para su aplicación, es sólo ligeramente superior en comparación con las aleaciones de CoCr y a los tipos de acero inoxidable utilizado. En comparación con el niobio y tántalo el precio del titanio comercialmente puro (C.P) en sus 4 variedades de pureza es mucho menor. Existen numerosos dispositivos médicos que utilizan diferentes materiales de titanio, por ejemplo, placas óseas, tornillos, implantes de articulación de cadera, stents, válvulas cardíacas, y por supuesto en sistemas de implantes dentales. [LÜT2007] BREVE HISTORIA DE LOS BIOMATERIALES Hasta el siglo XVIII los materiales metálicos utilizados en implantes quirúrgicos eran fundamentalmente el oro y la plata, sio en el siglo XIX cuando empezaron a utilizarse los aceros, y ya en el siglo XX aparecieron los aceros inoxidables, las aleaciones de cromo, cobalto y molibdeno. [GIL1993] Similar a muchos descubrimientos importantes de la historia, hacia 1952 el profesor sueco Branemark y su equipo de colaboradores, comienzan la investigación de 9

17 estudios microscópicos de la médula ósea en el hueso peroné y tibia de conejos, buscando mejorar la cura en los traumatismos óseos. Para realizar el estudio se introdujo una cámara óptica de titanio en el hueso del conejo, cuando se intenta retirarla, se prueba que es imposible, pues el titanio se había adherido al hueso y el tejido circundante se había mineralizado, sio congruente con la superficie del titanio. A partir de estas investigaciones, se empezó a hablar de la osteointegración del titanio. [BRÅ2013] Figura 2.2 Micrografía electrónica de los fibroblastos atacando al Titanio. [BRÅ2013] A principios de los 70 s el titanio era ampliamente conocido como material para implantes en especial el Titanio comercialmente puro (C.P.) que aunque ofrecía mejor resistencia a la corrosión y la integración con los tejidos que el acero inoxidable, su resistencia relativamente baja y sus propiedades desfavorables para el desgaste limitaba su uso a ciertos aplicaciones tales como marcapasos, válvulas de corazón, o implantes de reconstrucción. La resistencia del Ti C.P. puede aumentar a través del trabajo en frío y se ha utilizado especialmente en implantes dentales y aplicaciones maxilofaciales. Ya a finales de la misma década cobró especial interés la aleación Ti-6Al-4V y Ti-6Al- 4V ELI debido a su alta resistencia, bajo módulo elástico, buena resistencia a la corrosión y una favorable osteointegración, esta aleación ha sido utilizada ampliamente en implantes de cadera, rodilla, dispositivos de fijación, implantes dentales e instrumentos. 10

18 Para los 80 s se habían encontrado altos niveles de residuos de Ti, Al y V alrededor de los tejidos de los implantes; sin embargo, aún no se tenían reportes relacionando estos residuos con otras enfermedades o complicaciones. A la vez que se concluía que la aleación Ti-6Al-4V debía utilizarse con recubrimientos cerámicos o poliméricos por su pobre resistencia al desgaste, desde la mitad de los 80 s se han venido desarrollando varias aleaciones tratando de evitar el Al y V, remplazándolas por otros elementos como Nb, Zr, Mo, Ta con el objetivo de optimizar las propiedades ideales de los implantes salvaguardando la salud del paciente. [WAN1996] OSTEOINTEGRACIÓN La implantación de un biomaterial lleva consigo una lesión en los tejidos vivos, reaccionando estos frente a la lesión, sio su primera reacción una inflamación, a la que le seguirá un proceso reparador y finalmente la cicatrización de la incisión Figura 2.3 Proceso de osteointegración en un implante dental. Animación de Ti Unite Nobel Biocare. [NOB2013] Sin embargo, la presencia del implante prolonga el proceso inflamatorio y de reparación. La respuesta de los tejidos duros a la implantación depe del hueso y la relación entre el hueso y el implante. 11

19 El titanio y sus aleaciones presentan una excelente biocompatibilidad, ello se debe a que dicho material es bioinerte, presenta una buena resistencia a la corrosión y la liberación de iones titanio al medio fisiológico circundante es muy baja. [GIL1993] REQUISITOS FUNDAMENTALES DE LOS BIOMATERIALES UTILIZADOS EN IMPLANTES DENTALES Los implantes dentales son productos que tienen que satisfacer su funcionalidad y que tienen como ambiente de trabajo el cuerpo humano, con los últimos avances tecnológicos pueden ser usados sin causar efectos adversos. Los principales requisitos de los implantes dentales son: Resistencia a la corrosión Biocompatibilidad Bioadhesión Biofuncionalidad Procesabilidad Disponibilidad Para cumplir estos requisitos la mayoría de los ensayos deben ofrecer protección contra genotoxicidad, carcinogenicidad, citotoxicidad, irritación y sensibilidad [WAT2004] CLASIFICACIÓN DE LOS IMPLANTES DENTALES CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN En 1988 el investigador C. English daba cuenta que existían 45 diferentes modelos de implantes dentales [ENG1988]. Para 1997 S. Eckert y sus colaboradores en una publicación científica que intentaba validar los diferentes tipos de implantes existentes en el mercado concluyeron que de un total de seis fabricantes de implantes dentales solamente uno pudo entregar referencias científicas de casos de éxito de sus productos a largo plazo. [ECK1997] 12

20 En 1998 P. Binon en su revisión identificó un total de 98 diseños de implantes y 1535 modelos diferentes de cuerpos de implantes disponibles en el mercado norteamericano. [BIN2000] A. Jokstad lideró un equipo de investigadores en 2003 quienes en su publicación dan por hecho que un dentista en teoría podría elegir de un total de 2000 modelos de implantes dentales de entre 220 marcas comerciales pertenecientes a 80 fabricantes, construidos con distintos materiales, tratamientos superficiales con distintas formas, longitudes, anchuras y conformaciones. [JOK2003] Por último en 2012 J. Aguirrebeitia en una publicación indica que el número de fabricantes registrados a nivel mundial está alrededor de 110. [AGU2012] Tomando en cuenta todo este auge resulta obvio la extensa variedad de modelos y diseños disponibles que pueden ser categorizados y clasificados de varias maneras; sin embargo un método lógico para realizar esta diferenciación se lo realiza en base a estos criterios: [BIN2000] - Geometría del cuerpo del implante - Superficie del implante - Conexión o interfaz implante / poste GEOMETRÍA DEL CUERPO DEL IMPLANTE La geometría que presenta el implante es de mucha importancia ya que determina la forma de trasmisión de los esfuerzos desde el implante hasta el hueso sobretodo en la zona de contacto entre el hueso y el collar cervical del implante. Las diferentes geometrías del cuerpo del implante se distinguen como: de tornillo y cilíndricos, estos a su vez se fabrican con paredes rectas, convergentes, cónicas, ovoides o trapezoidales (fig. 2.4) SUPERFICIE DEL IMPLANTE En la actualidad la gran mayoría de los implantes están fabricados en Titanio, en una de sus IV variantes de pureza, o bien en una aleación (Ti-6Al-4V) que les hacen variar la cantidad de O2 y por tanto, la dureza y la resistencia a la corrosión. 13

21 Figura 2.4 Geometrías del cuerpo del implante. [JOK2003] No obstante, con el objetivo de mejorar la interface de contacto entre el implante y el hueso se realizan modifaciones en la superficie externa del implante esto determina una rugosidad adecuada para el proceso de osteointegración. La mayor parte de estudios sugieren una osteointegración predecible y más rápida de los implantes con distintos tratamientos superficiales (fig. 2.5), por ejemplo, sometidos a chorros de abrasivos, ataques de ácidos, o una combinación de ambos. También se tiene en cuenta pulverizados con Titanio en fase plasma y procesos de ataque laser. Aquí también es conveniente mencionar que para una mejora sustancial del proceso de osteointegración se suele recubrir al material del implante con un complejo de fosfato cálcico, cuyo componente más común es la hidroxiapatita [JOK2003] Figura 2.5 Morfologías de algunas de las superficies tratadas por los diferentes métodos para mejorar la osteointegración. [ELI2011] 14

22 CONEXIÓN O INTERFAZ IMPLANTE/POSTE Cuando se evalúa el éxito a largo plazo de un implante dental, la fiabilidad y la estabilidad de la interface implante-poste juega un papel determinante. [BOZ2003] Por otro lado se debe garantizar un sellado microbiano para evitar la colonización de microrganismos en el tejido peri-implantario lo que puede provocar una inflamación crónica y consecuentemente un fallo del sistema. En general, la sujeción entre el implante y el poste puede ser a) mediante un tornillo, b) mediante un ajuste cónico o también llamado cono Morse o c) una combinación de ambos. [AGU2012] Estas conexiones entre el implante y el poste pueden ser rectas o cónicas, el en caso de las conexiones rectas la sujeción entre el implante y el poste se da mediante un tornillo, en las conexiones cónicas esta fijación se efectúa mediante el fenómeno de la autoretención, típica de los sistemas de cono Morse. La figura 2.6 muestra algunos sistemas de marcas comerciales que utilizan conexiones mediante tornillo y otras que se ajustan por medio de la autoretención Figura 2.6. Diferentes sistemas de sujeción implante/poste. Astra y Nobel Biocare usan un tornillo para la sujeción, Ankylos e ITI usan tornillo con ajuste cónico y Bicon emplea sólo la autoretención en la interfaz. [BOZ2003] 15

23 Una extensa cantidad de trabajos se han publicado referentes al rimiento de estos dos sistemas de conexión, donde se ha evaluado los esfuerzos transmitidos al hueso, la integridad de la conexión, el valor de la fuerza de precarga, la pérdida de la precarga, y la colonización bacteriana. En la mayoría de los estudios la conexión cónica muestra una ventaja de estabilidad frente a la conexión recta, esto se debe a la naturaleza del fenómeno de la autoretención; no obstante, en la conexión cónica es necesario aplicar una fuerza / torque para extraer el poste, y depio del valor de esta fuerza esto puede generar una notable incomodidad al paciente. [AGU2012] El estudio realizado en este Proyecto de Fin de Máster se basa en el comportamiento mecánico de un implante de conexión cónica y sujeción con perno del poste en el cual se trata de analizar la influencia de los diferentes parámetros de diseño de este tipo de conexiones IMPLANTES CON CONEXIÓN CÓNICA El apartado anterior brevemente trató de introducir las ventajas y desventajas del uso de los sistemas de implante de conexión o interfaz cónica. En este apartado se presenta más ampliamente este tipo de conexiones, el fenómeno físico de la autoretención, los factores que afectan su comportamiento mecánico y qué factores se han considerado como variables en este proyecto. Como se explicó los sistemas de implante dental también se diferencian por el tipo de conexión entre el poste y el implante, sio este factor altamente influyente en el éxito del implante. En este sentido, varios trabajos se han desarrollado para evaluar desde varios campos la eficacia de un implante de conexión cónica. Estudios del comportamiento mecánico con ayuda de modelos analíticos, herramientas de simulación numérica, in vivo e in vitro se encuentran en la literatura respecto a este tipo de conexiones. También se dijo que las conexiones cónicas se apoyan en el fenómeno de la autorentención mecánica de un ajuste cónico. Para comprer su funcionamiento se describe el siguiente sub-apartado. 16

24 LA AUTORETENCION EN CONEXIONES CÓNICAS Las conexiones cónicas basan su funcionamiento en el fenómeno de autoretención entre las superficies en contacto. En la cara de contacto de las superficies se genera una presión tal que produce una fuerza de fricción tangente que bloquea el movimiento entre ambas superficies, este fenómeno se produce solo en un rango de inclinación o conicidad de las superficies. Las conexiones de acoplamiento cónico han sido ampliamente usadas en varios campos, alguno de ellos tiene una aplicación muy antigua. A mediados del siglo XIX Stephen Morse patentó el conocido Cono Morse que es un tipo de acoplamiento utilizado para fijar herramientas que trabajan con presión axial, como puede ser un taladro en el contrapunto de un torno. El empuje axial necesario para el corte de la herramienta, mantiene ajustado el mandril en el cono hembra. De ahí en adelante el sector de la máquina herramienta lo viene usando ampliamente. Para liberar el cono morse, generalmente se retrae el husillo hembra de modo que la parte macho más angosta choca contra un tope y sale expulsada del cono hembra. Otra forma de liberarlos es mediante una cuña de acero que se introduce por una ranura en el portaherramientas y empuja el cono macho hacia afuera. Otra aplicación importante se encuentra en el diseño de Embragues Cónicos como se verifica en el diseño mecánico de Shigley [SHI2006]. En la figura 2.7 se muestra un embrague cónico con un platillo montado con cuña o unión ranurada, un cono que desliza axialmente guiado por ranuras o chavetas en el eje compañero y un resorte helicoidal que mantiene la conexión del embrague. Éste se desacopla mediante un mecanismo de horquilla que ajusta en la ranura de cambios del cono. El ángulo del cono, su diámetro y su cara de contacto son los parámetros geométricos más importantes en el diseño. Si el ángulo es demasiado pequeño (< 8º) la fuerza de extracción del embrague puede ser relativamente demasiado grande, y por el contrario si se usan ángulo muy grandes la autorentención desaparece. El autor en este caso recomia ángulos entre 10º y 15º para que el mecanismo funcione eficientemente. 17

25 Angulo del cono Cono Platillo Resorte Ranura para cambios Figura 2.7 Embrague cónico. [SHI2006] Cabe indicar la importancia de la fuerza de extracción de los mecanismos que se han mencionado sio ésta un parámetro de diseño fundamental en estos acoplamientos. En este Proyecto de Fin de Master los estudios se enfocan a la determinación de esta fuerza de extracción en este caso del poste para relacionarla con la fuerza necesaria para su inserción en el implante y obtener un ratio entre ambas magnitudes muy útil en el diseño del sistema de implante. Para conseguir este objetivo a continuación se describen los principales factores que afectan el valor de este ratio. 18

26 FACTORES QUE INFLUYEN EN EL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA CONEXIÓN CÓNICA En muchas publicaciones se ha estudiado los factores que influyen en el comportamiento mecánico de los implantes de conexión cónica, la gran mayoría utilizando herramientas de análisis numérico y muy pocas desde el punto de vista experimental. Actualmente estos estudios han determinado que existen cuatro factores que influyen en el comportamiento mecánico de los implantes con conexión cónica y son: el ángulo de conicidad del poste (αp) y del implante (αi) (en este proyecto el ángulo de conicidad en realidad es el semi-ángulo ya que tiene simetría circunferencial), la fuerza de precarga (FP) proporcionada por el perno, el coeficiente de rozamiento (µ) entre el poste y el implante y la diferencia de ángulo de conicidad ( α) entre el poste y el implante. En cuanto al ángulo de conicidad (αp) y (αi), como se explicó en el apartado anterior respecto a los embragues cónicos, existe un rango en el cual el mecanismo de autorentención funciona eficientemente, para ángulos pequeños la fuerza de extracción puede ser mayor que para ángulos grandes. Del diagrama de equilibrio estático se comprueba que este fenómeno de la autoretención se presenta si la tangente del ángulo de conicidad es menor que el coeficiente de rozamiento tan (α) < μ [BOZ2003]. Tomando en cuenta este ángulo los implantes cónicos se clasifican en dos tipos: los de conexión de Cono Morse cuyo ángulo de conicidad es muy pequeño entre 1º-3º donde la fuerza de extracción puede llegar a ser muy grande y los de conexión con Bloqueo Cónico con ángulos entre 9º y 15º en los cuales las fuerza de extracción es más moderada [AGU2013]. En general, la conicidad de las caras de contacto entre el implante y poste se fabrican entre 1º y 15º. Los fabricantes de los implantes recomian distintos valores de la fuerza de precarga (FP) o torque que genere esta fuerza, podría variar en un rango de 50 a 450 N. La fuerza de precarga es muy importante ya que garantiza la transmisión de los esfuerzos de las fuerzas de masticación. La pérdida de esta precarga es decir del apriete del perno a lo largo del tiempo es muy común en una unión atornillada. Se ha 19

27 reportado que el 7% de los fallos de los implantes se debe directamente por la pérdida de la precarga [KIT2005]. Los fallos se deben a que si esta pérdida de precarga es lo suficientemente grande puede generar un microgap micro espacio entre las superficies de contacto y generar micromovimientos en las uniones atornilladas además de la pérdida de la precarga por el tiempo de uso. El coeficiente de rozamiento (µ) en la literatura se encuentra rangos de 0.1 para un acabado especial de las superficies de contacto y 0.5 para la fricción del titanio en seco [ŁOD2010]. Nótese que es muy escasa la evidencia de estudios en los que se diferencie entre coeficiente de ficción estático y cinético tal como se hace en este proyecto. La referencia [BOZ2005] indica un estudio en el que se ha tomado en cuenta esta diferencia. Figura 2.8. Formación del microgap en la interfaz implante/poste Finalmente, la diferencia de ángulo de conicidad ( α) se debe a una combinación de factores de diseño y tolerancias de fabricación. Las fuerzas de masticación pueden generar un microgap que se definió anteriormente entre el poste y el implante (ver fig. 2.8). Estos microgaps pueden causar dos efectos indeseados: por un lado la pérdida de la precarga que se habló anteriormente y por otro permitir la acumulación de bacterias que penetran y colonizan en el interior del implante. La presencia de 20

28 estos microrganismos en los tejidos peri-implantarios puede causar una inflamación crónica y consecuentemente un fallo del implante. En este sentido, las conexiones cónicas han demostrado tener un comportamiento superior, los cuales pueden ayudar a evitar la penetración de dichos microrganismos debido al buen ajuste en la interfaz entre el poste y el implante. [AGU2013] Existen varios estudios acerca de la colonización bacterial en la interfaz implante/poste (fig. 2.9) los cuales muestran diferentes grados de colonización. En ellos se concluye que hay más riesgo de colonización conforme el microgap aumenta, es por ello, que resulta una variable muy importante a tomar en cuenta en la fabricación. [ALO2010] [RIC2010] [GRO1999] (a) (b) Figura 2.9. a) Fotografía SEM de un poste cónico. A: La flecha indica donde las bacterias han colonizado, B: Ampliación del sector señalado donde se ve el crecimiento de los microrganismos. [42] b) Evaluación in vitro de la colonización de bacterias en la interfaz implante / poste. [ALO2010] 21

29 De esta manera se ha explicado los principales factores que afectan el comportamiento mecánico de los implantes de conexión cónica. A continuación se hace necesario conocer las especificaciones del sistema de implante dental que se toma en cuenta en el presente proyecto así como las variables de estudio y los modelos que se han utilizado para determinar este comportamiento IMPLANTE, VARIABLES Y MODELOS ADOPTADOS PARA ABORDAR EL PROBLEMA. El implante seleccionado para este estudio es un implante con conexión cónica conocido en el mercado como AstraTech, OsseoSpeed TX 4,5 S 9 mm. La figura 2.10 muestra el implante tomado del catálogo del fabricante: Figura Sistema de Implante/Poste AstraTech, OsseoSpeed TX 4,5 S 9 mm. [AST2012] Este sistema de implante dental es del tipo implante / poste / perno, un modelo CAD obtenido mediante un escaneado digital se muestra en la Figura Ya se explicó en el apartado anterior los factores que afectan el comportamiento de los implantes con conexión cónica. Particularmente en el presente Proyecto de Fin de Máster se han adoptado estos factores como las variables de estudio. En este sentido, la Tabla 2.1 muestra estas variables y los rangos para el estudio. Para abordar este proyecto de han considerado una serie de modelos que permitan estimar el comportamiento del sistema de implante dental de conexión cónica y finalmente obtener el ratio de la Fuerza de Extracción, objeto de este proyecto. 22

30 Figura Modelo CAD del sistema de implante AstraTech, OsseoSpeed TX 4,5 S 9 mm. [AGU2013] VARIABLE SIMBOLO UNIDAD RANGO Ángulo de conicidad del implante αi (º) 3-15 Ángulo de conicidad del poste αp (º) 3-15 Fuerza de precarga F P (N) Coeficiente de rozamiento cinético Coeficiente de rozamiento estático Diferencia de conicidad de ángulo µ k µ s α (º) Tabla 2.1. Variables y rangos considerados en el proyecto A continuación se citan los modelos estudiados: - Modelo Analítico 1 y 2, son modelos simplificados deducidos de las ecuaciones de equilibrio estático. - Modelo de elementos finitos MEF, es un modelo 2D axisimétrico formado por el implante y el poste que realiza un análisis no linear de las caras de contacto donde se obtienen los valores necesarios para resolver el problema. Este modelo se lo realizó utilizando el software de elementos finitos ANSYS 23

31 - Metamodelo, es un modelo de análisis avanzado que se basa en una resolución sistemática del problema donde se asumen varios elementos diferenciales cuya solución se logra a través del cálculo matricial. Este metamodelo utiliza los valores de la matriz de rigidez obtenidos en el modelo MEF. La programación del metamodelo se la hizo utilizando MATLAB A partir del próximo capítulo se comienzan a desarrollar los modelos de análisis que se han propuesto BANCO EXPERIMENTAL Como parte de los estudios llevados a cabo por el Grupo de Investigación de Análisis y Diseño Mecánico ADM, se tiene un estudio previo en un banco experimental donde el objetivo principal fue estudiar los procesos de inserción y extracción del poste en el implante en implantes de tipo cónico. En cuanto a la inserción, el banco mide la relación par de apriete aplicado (precarga) obtenida en el tornillo de sujeción posteimplante; una vez insertado, el poste queda encajado en el implante debido al fenómeno de autoretención que tiene lugar en este tipo de montajes cónicos, de tal manera que es necesario ejercer una fuerza o par de extracción para extraer el poste del implante, el banco de ensayos puede medir estos parámetros o ser medidos con este mismo banco de ensayos [AGU2012]. La Figura 2.12 muestra las dimensiones del implante analizado y el modelo CAD del banco de ensayos. En este estudio se ideó un mecanismo que permitió llevar a cabo el experimento. El banco de ensayos con la célula de carga para medir las fuerzas actuantes en la precarga y extracción del poste se muestran en la figura Dentro de las conclusiones más importantes de este trabajo, los investigadores concluyeron que la fuerza necesaria para la extracción del poste del implante podía llegar a ser hasta un 40% del valor de la fuerza de precarga; es decir, si habitualmente algunos fabricantes recomian precargas de 150 a 200N, la fuerza con la que se debe extraer el poste puede estar en los N, causando una molestia al confort del paciente. 24

32 Figura Implante ensayado experimentalmente y modelo CAD del banco de ensayos [AGU2012] 25

33 Figura 2.13 Componentes del banco experimental [AGU2012] 26

34 CAPÍTULO 3 EL MODELO ANALÍTICO INTRODUCCIÓN En los capítulos anteriores se ha analizado las bases necesarias para abordar los modelos analíticos y numéricos que se mostrarán a partir de este apartado. El estudio empieza realizando un análisis de equilibrio estático del fenómeno de inserción y remoción del poste en el implante, con este análisis se prete determinar la fuerza necesaria para la extracción del poste y dado que la fuerza de precarga es conocida se puede conocer el ratio de extracción resultante al dividir la fuerza de extracción para la fuerza de precarga. Este análisis se lo realiza mediante la identificación de tres etapas que describen el fenómeno: 1) Etapa de inserción del poste y ajuste del perno - precarga, 2) etapa de extracción del perno perdida de la precarga y 3) Etapa de extracción del poste. [AGU2013-1] El objetivo de estos análisis es obtener expresiones del ratio de la fuerza de extracción en función del ángulo de conicidad implante / poste que en este caso suponemos iguales (una diferencia de ángulos se identificará en el modelo de elementos finitos), el valor de los coeficientes de rozamiento tanto estático como dinámico y la fuerza de precarga. Las líneas que se presentan a continuación toman en cuenta a dos modelos analíticos que determinan el comportamiento de la conexión cónica, el primero al que se le ha llamado MODELO ANALÍTICO 1 se caracteriza por hacer un análisis tomando en cuenta la fuerza horizontal generada entre el implante y el poste como constante y el segundo al que se le ha llamado MODELO ANÁLITICO 2 se caracteriza porque la fuerza normal de contacto entre las superficies cónicas del implante y el poste se 27

35 considera constante a lo largo de las tres etapas, este segundo caso resulta una simplificación del primero. Estos modelos de análisis son modelos simplificados ya que no toman en cuenta la variación de la fuerza normal ni la fuerza tangencial de contacto (fuerza de rozamiento) a lo largo de las superficies cónicas tanto del implante como del poste, para analizar este caso se toma en cuenta un análisis más avanzado y que será presentado en el Capítulo 5 con la generación de un metamodelo. [AGU2013-1] 3.2- MODELO ANALÍTICO CON DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL CONSTANTE. MODELO ANALÍTICO CONSIDERACIONES INICIALES Una aplicación típica del ajuste cónico se evidencia en el diseño de embragues cónicos donde se aprovecha el fenómeno de la autoretención para el funcionamiento de este mecanismo, en el diseño de máquinas de Shigley [SHI2006] se recomia un rango de ángulo de conicidad para su correcto funcionamiento y se hace un análisis de equilibrio estático simplificado para este caso similar al aquí expuesto. Consideremos la figura 3.1, ella representa la conexión cónica entre el implante y el poste. En esta conexión la rigidez horizontal kh del implante que es la responsable de la deformación radial del implante debido al efecto de la inserción del poste y su sujeción mediante el perno. Por supuesto existe también una rigidez vertical que no es tomada en cuenta en este modelo simplificado ya que no afecta al equilibrio horizontal de la conexión. Otro factor a considerar por la naturaleza que conlleva la fricción es el coeficiente de rozamiento, para este análisis se ha tomado en cuenta el rozamiento cinético μ k presente en la primera etapa de inserción del perno y poste, el mismo que se mantiene en la segunda etapa y el coeficiente de rozamiento estático μ s en la etapa final de extracción del poste cuando se debe vencer la autoretención para iniciar el deslizamiento. A continuación se exponen las tres etapas que describen el modelo analítico con fuerza horizontal constante que en adelante lo llamaremos como modelo analítico 1. 28

36 Poste Implante K, rigidez de contacto Figura 3.1 Representación de la conexión cónica implante/poste para el modelo analítico con fuerza horizontal constante [AGU2013-1] Δy Δx α Δx = Δy tanα Figura 3.2 Deformación horizontal de la conexión cónica implante poste para el modelo analítico con fuerza horizontal constante [AGU2013-1] ETAPA 1. INSERCIÓN DEL POSTE Y AJUSTE DEL PERNO PRECARGA El ajuste que realiza el perno sobre el poste hace que éste sufra un desplazamiento en vertical y, como consecuencia, el implante experimenta un desplazamiento horizontal x, el valor de estos desplazamientos depe de la rigidez k del implante, aunque en este modelo simplificado esto no es tomado en cuenta. 29

37 En la figura 3.2 se representa la deformación experimentada en la etapa 1, nótese como existe un desplazamiento relativo entre el poste y el implante debido a que se supera la fuerza de fricción máxima entre las superficies. Ahora se procede a analizar el equilibrio de fuerzas en esta etapa, este diagrama se indica en la figura 3.3, y se obtienen la fuerza horizontal Hp y la normal N1 en función de la precarga Fp que generalmente es conocida: F p N 1 T 1 = μkn 1 H p N 1 T 1 =μkn 1 Figura 3.3 Diagrama de equilibrio para la etapa 1. [AGU2013-1] Fx = 0 N 1. cos(α) μ k. N 1. sen(α) H p = 0 N 1 = H p cos(α) μ k.sen(α) (3.1) Fy = 0 N 1. sen(α) + μ k. N 1. cos(α) F p = 0 Como la precarga Fp es conocida entonces podemos obtener la fuerza normal y la fuerza horizontal en función de esta precarga: 30

38 N 1 = F p 1 sen(α)+μ k.cos(α) H p = F p cos (α) μ k.sen(α) sen(α)+μ k.cos(α) (3.2) (3.3) ETAPA 2. EXTRACCIÓN DEL PERNO PÉRDIDA DE LA PRECARGA Para extraer el poste previamente se debe retirar el perno, esto implica la pérdida de la precarga por este desajuste; sin embargo, si el fenómeno de autorentención está presente (sólo microdeslizamiento pero no considerado en este modelo simplificado) entre las superficies cónicas del implante y el poste, es decir, μ k > tan (α) entonces los desplazamientos x y y no sufren ninguna variación y por tanto la fuerza horizontal H p se mantiene constante en la segunda etapa y es la fuerza resultante en el ejes de las x, mientras que la fuerza resultante vertical será la residual del contacto entre las superficies tomando en cuenta a N 2. La figura 3.4 representa el diagrama de equilibrio de la segunda etapa y a continuación sus ecuaciones, luego nuevamente se expresan la fuerza normal N 2 y la fuerza de rozamiento T 2 en función de la precarga Fp, finalmente se expresa la fuerza normal de esta etapa N 2 en función de la fuerza normal N 1 de la etapa 1. F 2 horizontal N 2 H p T 2 horizontal F 2 T 2 N 2 Figura 3.4 Diagrama de equilibrio para la etapa 2. [AGU2013-1] 31

39 Fx = 0 N 2 F 2. cos(α) = 0 (3.4) Fy = 0 T 2 F 2. sen(α) = 0 (3.5) Como se dijo F 2 = H p y reemplazando la ecuación (3.3) en (3.4) y (3.5) se obtiene: N 2 = F p. cos(α) ( cos (α) μ k. sen(α) sen(α) + μ k. cos(α) ) T 2 = F p. sen(α) ( cos (α) μ k. sen(α) sen(α) + μ k. cos(α) ) Considerando la ecuación (3.1) se obtiene: N 2 = N 1. cos(α). (co s(α) μ k. sen(α)) ETAPA 3. EXTRACCIÓN DEL POSTE La última etapa empieza una vez que se empieza a aplicar la fuerza de extracción del poste, éste no se mueve hasta que el valor de esta fuerza sea mayor a la fuerza de fricción T 3 = μ s N 3 y por tanto al no ocurrir desplazamiento inmediato los valores de x y y no cambian, continuando de esta manera la fuerza horizontal H p constante también en esta etapa. Fx = 0 N 3. cos(α) + μ s. N 3. sen(α) H p = 0 N 3 = H p cos(α) μ s.sen(α) (3.6) Fy = 0 N 3. sen(α) μ s. N 3. cos(α) + F R = 0 (3.7) 32

40 La figura 3.5 representa el diagrama de equilibrio de esta etapa F R N 3 Hp T 3 =μsn 3 T 3 =μsn 3 N 3 Figura 3.5. Diagrama de equilibrio para la etapa 3. [AGU2013-1] Remplazando (3.6) en (3.7) y tomado en cuenta a la ecuación (3.3) se obtiene luego de reordenar los términos la fuerza de extracción F R en función de la fuerza de precarga Fp: Dividio (3.8) para cos(α) se tiene: F R = F P ( μ s.cos(α) sen(α) sen(α)+μ k.cos(α) ) (cos(α) μ k.sen(α) μ s.sen(α)+cos(α) ) (3.8) F R = F P ( μ s tan(α) tan(α)+μ k ) ( 1 μ k.tan(α) μ s.tan(α)+1 ) Finalmente a la relación F R / F P se le llamará en adelante Ratio de la Fuerza de Extracción RFR (Removal Force Ratio) quedando: RFR = ( μ s tan(α) μ k +tan(α) ) (1 μ k.tan(α) 1+μ s.tan(α) ) (3.9) Una vez descritas las etapas de análisis se las puede resumir en la figura 3.6, donde la imágenes muestran la secuencia de inserción y extracción del poste en el implante producto del apriete y retiro del perno. 33

41 APRIETE DEL PERNO RETIRO DEL PERNO EXTRACCIÓN DEL POSTE Figura 3.6 Etapas de análisis de inserción y extracción del poste MODELO ANALÍTICO CON FUERZA NORMAL CONSTANTE. MODELO ANALÍTICO 2 El modelo que a continuación se presenta resulta de un análisis inmediato del equilibrio de las fuerzas actuantes entre las caras de contacto del implante y el poste. En este caso se considera que la fuerza normal a lo largo de las tres etapas se mantiene constante y sólo se realiza el equilibrio en el eje de las y para la primera y tercera etapa que se describieron en los apartados anteriores así: De las figuras 3.3 y 3.5 F P = N 1. sen(α) + μ k. N 1. cos(α) F R = μ s. N 3. cos(α) N 3. sen(α) Y como se mencionó anteriormente N 1 = N 3 = N F R = μ s. cos(α) sen(α) F P sen(α) + μ k. cos(α) Dividio para cos(α) y reordenando los términos se obtiene el ratio de la fuerza de extracción para este modelo: RFR = μ s tan(α) μ k +tan(α) (3.10) 34

42 3.4.- CONSIDERACIONES DE LOS MODELOS ANALÍTICOS 1 Y 2. Los apartados 3.2 y 3.3 sirvieron para obtener los modelos analíticos simplificados (ecuaciones (3.9) y (3.10)) para las tres etapas de análisis de inserción y extracción del poste del modelo de implante de estudio: implante / poste / perno. Nótese como la ecuación (3.10) es una simplificación de la ecuación (3.9) así: MODELO ANALÍTICO 1 RFR = ( μ s tan(α) μ k +tan(α) ) (1 μ k.tan(α) 1+μ s.tan(α) ) < 1 MODELO ANALÍTICO 2 RFR = μ s tan(α) μ k +tan(α) Además como μ s > μ k resulta el segundo término del modelo analítico 1 entonces: ( 1 μ k. tan(α) 1 + μ s. tan(α) ) < ANÁLISIS DE LOS COEFICIENTES DE FRICCIÓN ESTÁTICO Y CINÉTICO A lo largo de la determinación de los modelos analíticos 1 y 2 se ha venido diferenciando claramente los coeficientes de fricción estático μ s y cinético μ k. En la etapa de inserción del poste se hace el análisis con el coeficiente de rozamiento cinético por el deslizamiento existente entre las superficies implante poste, para la segunda etapa como se considera la fuerza horizontal constante los valores de la etapa 1 se mantienen en la 2, finalmente en la tercera etapa el análisis se hace con el coeficiente de fricción estático ya que es ése el que precisamente se quiere vencer. En este punto también es importante destacar que para los próximos análisis se crea el concepto al que llamaremos ratio de los coeficientes de rozamiento r μ y que se define como el cociente entre el coeficiente de rozamiento estático sobre el cinético así: 35

43 r μ = μ s μ k (3.11) Si se dividen por μ k las ecuaciones (3.9) y (3.10) y tomando en cuenta lo dicho los modelos analíticos quedan finalmente: MODELO ANALÍTICO 1 RFR = ( r μ μ 1 k.tan(α) ) ( μ k 1 tan(α) ) 1+μ 1 k.tan(α) μ 1 k +r μ tan(α) (3.12) MODELO ANALÍTICO 2 RFR = r μ μ k 1.tan(α) 1+μ k 1.tan(α) (3.13) 36

44 CAPÍTULO 4 EL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS MEF INTRODUCCIÓN En este cuarto capítulo, se presenta el modelo del implante aproximado por el método de elementos finitos; no obstante, a manera de introducción primero se hará una breve descripción del método netamente desde el punto de vista computacional para clarificar las ideas. La revisión del fundamento matemático del método no es parte de este apartado INICIOS E IDEA BÁSICA DEL MEF Un modelo simplificado de análisis permite en la mayoría de los casos obtener resultados aproximados del comportamiento mecánico de componentes o sistemas. En este sentido, resulta obvio que mientras mejor sea la aproximación mejores resultados se podrán obtener pero esto implica que el coste del análisis sea más elevado. El desarrollo de los computadores ha permitido la aparición de métodos que permiten resolver problemas complejos rápida y eficazmente. El método de los elementos finitos o MEF es uno de esos procedimientos que mejores resultados ha brindado en estos propósitos. El MEF desde el punto de vista práctico tuvo su origen en un procedimiento de análisis de estructuras aeronáuticas en E.E.U.U. el cual se puede considerar como su presentación formal en el trabajo de Turner, Clough, Martin y Topp de Boeing en 1956 aunque pueden existir otros trabajos considerados como predecesores [AVI1998], como el trabajo del matemático Courant en 1943 quien para resolver problemas de torsión realizó una interpolación polinomial por partes con elementos triangulares [COO1994]. En 1960 Clough en un trabajo de elasticidad utilizó ya el nombre de método de elementos finitos. Ya para 1965 se demostró que este método podía ser generalizado para cualquier problema de formulación variacional tenio una rápida expansión en casi todas las áreas de 37

45 la ingeniería. Factores como la mejora de prestaciones, el abaratamiento y la eficiencia de los computadores ha permitido que durante los años posteriores se desarrolle este método y extia casi a cualquier ámbito de la ingeniería del tal manera que hoy resulta una tecnología contrastada y fiable no siempre fácil de utilizar eficazmente y que continuamente evoluciona. [AVI1998] El método de los elementos finitos es entonces un método para resolver numéricamente varios problemas de ingeniería y algunos autores subdividen a los problemas como discretos y continuos. Los primeros desde mucho antes se resolvían con la teoría clásica de estructuras de celosía en los que se obtienen los esfuerzos en las barras, desplazamientos en los nodos y las reacciones en los apoyos. Sin embargo, cuando se tiene sistemas continuos como membranas no es posible aplicar métodos sencillos como en el caso de las celosías, en estos casos, para decirlo de una manera sencilla, el medio continuo se corta y subdivide en varias partes llamados elementos para analizar su comportamiento individualmente, a este proceso se le llama discretización. Luego estos elementos se mantienen unidos por medio de nodos como si estos nodos fueran gotas de pegamento que mantienen juntos a los elementos. La figura 4.1 muestra como puede ser la discretización. En este proceso se generan una serie de ecuaciones algebraicas que son las ecuaciones de equilibrio de los nodos las cuales pueden llegar a ser cientos o miles, por esta razón el uso de ordenadores capaces de resolver estas ecuaciones resulta un factor determinante. (a) 38

46 Medio continuo Membrana Discretización en elementos (b) Figura 4.1 Discretización a) Diente de engranaje. [COO1994] b) Membrana. [AKI2005] Las variables del problema se aproximan en cada elemento y por tanto en el modelo completo, de tal manera que los parámetros de la aproximación se convierten en las incógnitas a obtener. Hay que tomar en cuenta que el método es una aproximación del modelo continuo y que mientras mayor sea la cantidad de elementos utilizados para la discretización los resultados se acercarán mejor a los del modelo continuo ORGANIZACIÓN DE UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS Un programa de análisis por elementos finitos básicamente consta de los siguientes módulos PREPROCESADOR La primera tarea para resolver un sistema por el método de elementos finitos es crear la geometría adecuada del modelo y subdividirla en nodos y elementos que se aproximen adecuadamente al modelo y de su calidad depe en gran medida la precisión y el coste del análisis. 39

47 Dicha geometría debe ser capaz de asumir el comportamiento físico del fenómeno a analizar, esta tarea se complementa con una definición representativa del entorno del problema; es decir, las condiciones de borde del modelo y las solicitaciones a las cuales este sometido. El proceso de discretizado del modelo que se mencionó anteriormente corresponde al denominado mallado de la geometría, en este punto es muy importante elegir los elementos que puedan asumir las condiciones impuestas. Los programas de elementos finitos cuentan con una serie de elementos tanto para modelos 2D como de 3D capaces de adaptarse a estas condiciones. La figura 4.2 señala la gran variedad de modelos disponibles para realizar un mallado PROCESADOR Las condiciones impuestas en el preprocesador generan un sistema de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales que se construyen y resuelven en el módulo del procesador. La construcción de las ecuaciones se hace a partir de las propiedades de los elementos elegidos para el mallado, en el caso de problemas estructurales estas ecuaciones están recogidas en ecuaciones de rigidez, amortiguamiento e inercia de cada elemento y de las cuales se obtiene las matrices del modelo completo. [AVI1998] POSTPROCESADOR Una vez que se ha planteado y resuelto el problema, en el módulo de postprocesado es posible conocer los valores de las incógnitas del problema pudio ser desplazamientos, esfuerzos, deformaciones, flujos, temperaturas, entre otras. Mientras más cantidad de gráficas o tablas puedan representarse en este módulo mejor será la ayuda para quien está al frente del diseño de un sistema o componente y de esta manera le permite validar o no estos resultados obtenidos y como ya se dijo la calidad de estos resultados está fuertemente ligada a las hipótesis asumidas en el preprocesador. 40

48 Figura 4.2 Algunos tipos de elementos disponibles para el mallado [SHI2006] 41

49 4.2.- USO DE MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS EN IMPLANTES DENTALES El método de los elementos finitos (MEF) ha sido ampliamente usado para determinar el comportamiento biomecánico de una gran cantidad de diseños de implantes dentales y de esta manera extrapolar los resultados de los análisis a casos clínicos. Las fuerzas de masticación provocan esfuerzos y momentos flectores los cuales resultan en gradientes de tensión tanto en el implante como en el hueso circundante, la determinación de estos esfuerzos en el implante y en el hueso que lo rodea son una tarea primordial a la hora de diseñar un sistema de implante. Es crucial para el éxito o el fracaso de un implante dental la forma en la que los esfuerzos se transfieren al hueso. La transferencia de carga de los implantes al hueso depe del tipo de carga, la interfaz hueso-implante, la longitud y el diámetro de los implantes, la forma y las características de la superficie del implante, el tipo de implante y la calidad y cantidad de hueso circundante. [PIN2001] El MEF aporta en el diseño la posibilidad de conocer la distribución de esfuerzos en el área de contacto de los implantes con el hueso. De igual forma, aunque los mecanismos de remodelación de hueso no son bien conocidos, basándose en modelos experimentales dicha remodelación puede ser analizada mediante MEF. En este apartado se prete revisar el estado actual del uso del MEF en implantología dental. Cuando se tiene geometrías complejas, es muy difícil alcanzar soluciones analíticas exactas. Es por ello que el uso de métodos numéricos de integración de las ecuaciones diferenciales de la mecánica del medio continuo ayuda notablemente en esta problemática. Como ya se dijo, el MEF se desarrolló inicialmente en la industria aeroespacial, pero a partir de entonces se amplió para resolver cualquier otro fenómeno físico. En 1976 Weinstein realizó el primer análisis usando el MEF para determinar los esfuerzos en un implante dental, luego rápidamente fue usado en este campo. De ahí para adelante cada vez el incremento de investigaciones en esta área ha sido una constante. Los resultados de los análisis FEM depen en gran medida de los 42

50 siguientes factores: a) Geometría detallada del hueso y del implante b) Propiedades del material c) Condiciones de contorno d) La interfaz entre hueso e implante. [PIN2001] Aunque en el presente Proyecto de Fin de Master no se considera el hueso circundante el en análisis por el método de elementos finitos ya que se trata de un modelo simplificado para analizar la interacción mecánica del sistema implante/poste/perno, en los siguientes aparatos se hace referencia a la importancia de la interacción tanto del implante, el poste y su hueso circundante GEOMETRÍA La representación del modelo de estudio es la primera tarea lo cual consiste en generar una geometría acorde al modelo real. Se ha desarrollado modelos tanto en 2D (simplificados) como en 3D (complejos) para representar el comportamiento de un implante y su interacción con el hueso circundante. La ingeniería inversa hoy en día permite obtener modelos basados en escaneados digitales, lo que permite una representación más precisa de la geometría del hueso, de tal forma que a partir de una tomografía computarizada o de una resonancia magnética se tiene la geometría con un excepcional nivel de detalle en formato CAD (fig. 4.3), que posteriormente puede ser mallado y analizado de forma semiautomática. Esta técnica está permitio personalizar cada modelo y caso de implante en cada paciente para garantizar su éxito, sin embargo; está claro que es una área que aún está en desarrollo. Figura 4.3. Modelo y software CAD de un paciente para la planificación de la prótesis. [NOB2011] 43

51 De todas formas en los casos simplificados en los que se prete analizar por ejemplo la interacción mecánica en el contacto entre el implante y el poste, como es el caso de este Proyecto de Fin de Máster, el hueso circúndate no es tomado en cuenta para el análisis, para ello es necesario asimilar algún grado de error en los cálculos PROPIEDADES DEL MATERIAL En un programa de análisis MEF el material puede considerarse como isótropo, transversalmente isótropo, ortótropo, y anisótropo. Hay varias constantes del material que depen del grado de anisotropía. En la mayoría de los estudios publicados, se asume que los materiales son homogéneos y lineales, que se caracterizan mediante el módulo elástico y el coeficiente de Poisson. Es más, los primeros estudios FEM ignoraban la diferenciación entre hueso cortical y trabecular, simplemente porque no se conocía su patrón. Por tanto, se asumía un patrón sólido dentro del hueso cortical y ambos tipos de hueso se modelizaban como lineales, homogéneos e isótropos. No obstante la estructura no homogénea y anisótropa implica que el hueso tiene diferentes valores para la tensión última y el módulo de elasticidad cuando se ensaya a tracción, a compresión o a cortadura. Estas variables deben ser tomadas en cuenta para que un análisis MEF sea fiable. [PIN2001] CONDICIONES DE CONTORNO En la gran mayoría de los casos que modelizan la mandíbula suponen un contorno fijo. Sin embargo, en estos últimos años se vienen empleando ocasionalmente otro tipo de condiciones de contorno, en este sentido se han desarrollado modelos tridimensionales a partir de datos de tomografía computarizada, en el que se sustituyeron los músculos de masticación y los ligamentos mediante cables y elementos gap compresivos. El hecho de expandir el dominio del modelo de elementos finitos puede reducir el efecto de una modelización inadecuada de las condiciones de contorno. Sin embargo, esto suele redundar en un aumento de tiempo de computación. [PIN2001] 44

52 INTERFAZ IMPLANTE HUESO Las situaciones ideales de una osteointegración a lo largo del implante en la realidad no es así; sin embargo, los estudios publicados y analizados por el MEF consideran que la osteointegración es perfecta. Muchas veces para afinar los análisis puede necesitarse modelizar con más cuidado el contacto imperfecto y su efecto en la transferencia de carga del implante al hueso. Esto está relacionado estrechamente con la formación de hueso cortical a partir del hueso trabecular mediante la estimulación mecánica [PIN2001] MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEL IMPLANTE DENTAL CONSIDERACIONES INICIALES En este Proyecto de Fin de Máster se desarrolló un modelo paramétrico en ANSYS, este modelo permite simular la inserción y extracción del poste para determinar las fuerzas involucradas en estas etapas y determinar el ratio de la fuerza de extracción. Al ser este modelo representado por parámetros característicos del implante y poste permite generar automáticamente modelos de elementos finitos a partir de la introducción de los datos geométricos especificados previamente en muy poco tiempo. Particularmente, en este proyecto se trata de un modelo para el estudio de la interacción mecánica del implante y poste de superficies de contacto cónicas. El modelo de elementos finitos corresponde a un modelo en 2D el cual realiza un análisis no lineal de la interacción implante / poste que reproduce las etapas descritas en el modelo analítico del Capítulo 3 determinando las presiones de contacto; es decir una primera etapa en la que se simula la inserción del poste y la fuerza de precarga que aporta el perno que es parte del sistema, seguida de una segunda etapa en la que se retira el perno de apriete en este caso la fuerza de precarga y finalmente una tercera y última etapa en la cual se extrae el poste mediante una fuerza de extracción. La relación entre, estas fuerzas de precarga y extracción de se ha llamado Ratio de la Fuerza de Extracción y es principalmente la incógnita del presente Proyecto de fin de Máster. Nótese además en que cada una de las etapas se ha considerado la 45

53 naturaleza de la fricción que actúa, decir, se ha diferenciado entre un coeficiente de rozamiento cinético y un coeficiente de rozamiento estático. En este análisis se aprovecha el carácter cíclico del sistema y la simetría en el eje vertical que la geometría lo permite. La no linealidad del modelo se presenta ya que el estado de contacto entre las superficies varía conforme se desarrollan las etapas de inserción y extracción del poste. El modelo solo genera las geometrías del poste y del implante, para simplificar el modelo, no se ha tomado en cuenta el perno que también forma parte de este tipo de implante. También es importante notar que el modelo simula un poste infinitamente rígido con un módulo de elasticidad muy alto y el módulo de elasticidad del implante es el correspondiente al del Titanio CP Grado 4, esto se lo ha hecho con el objetivo de generar un contacto rígido flexible lo cual será perfectamente definido posteriormente, los valores de las propiedades del material se especifican en el siguiente apartado. Otro propósito importante del modelo de elementos finitos es obtener valores numéricos para introducir en los parámetros del metamodelo el cual será explicado en el Capítulo 5. Los casos de análisis serán detallados en el Capítulo 6 en el apartado de diseño de experimentos y las variables consideradas en estos análisis son: el ángulo de conicidad del implante y poste, la diferencia del ángulo de conicidad entre el implante y el poste, los coeficientes de rozamientos estático y cinético del par de contacto y el valor de la fuerza de precarga de apriete que aporta el perno al sistema de implante CARÁCTER NO LINEAL DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS Los problemas de contacto son altamente no lineales y requieren de computadores de altas prestaciones capaces de resolverlos. En este sentido, es muy importante conocer la naturaleza del fenómeno de contacto para generar un modelo y unas condiciones que hagan del análisis lo más eficiente posible. 46

54 En general, los problemas de contacto presentan principalmente dos dificultades. En primer lugar, se desconoce las regiones de contacto hasta que el análisis se haya realizado, depio de las cargas, el material, las condiciones de contorno, y otros factores las superficies pueden o no entrar en contacto tornando esta tarea difícil de predecir. En segundo lugar, la mayoría de problemas de contacto presentan un estado de fricción, el cual responde a una de las leyes y modelos de fricción que generalmente son no lineales y muchas de las veces esta respuesta puede ser caótica tornando difícil la convergencia del modelo. [ANS2013] La validez de los resultados de análisis lineal es cuestionada cuando se trata de explorar situaciones más realistas. En este sentido, los problemas no lineales se agrupan en: a) no linealidades materiales, en este caso la rigidez del material va variando según el nivel de las solicitaciones y como producto de esto la relación esfuerzo-deformación es no lineal, b) no linealidades geométricas, se producen cuando las solicitaciones producen grandes deformaciones y c) cambios de estado de interrelación entre objetos (estado de contacto). Los análisis en el área de implantología dental realizados con carácter no lineal se han clasificado en los siguientes grupos: 1) simulaciones no lineales de los ligamentos periodontales (PDL), 2) comportamiento plástico y visco plástico de los materiales de los implantes, 3) fenómenos de contacto entre dientes, 4) mecánica de contacto entre dientes y prótesis y 5) análisis de contacto entre las estructuras internas del implante. [WAK2008] Al último punto citado en el párrafo anterior se le atribuye el carácter no lineal de este Proyecto de Fin de Máster ya que se analiza el estado de contacto entre el poste y el implante. Al cambiar este estado de contacto entre las superficies en forma no linear (deslizamiento sliding - estático sticking - separado no contact ) hace que el sistema vaya variando su rigidez en función de este estado de contacto o separación. La definición adecuada de este análisis en el modelo de elementos finitos se presenta en el apartado referente al mallado del modelo. 47

55 DEFINICIÓN DEL MATERIAL Como ya se comentó en el apartado referente a los biomateriales, los materiales más utilizados en los implantes dentales son el Titanio CP o alguna de sus aleaciones, en este caso el material de los componentes implante y poste son de Titanio CP Grado 4 los cuales se asumen homogéneos, isotrópicos y de comportamiento lineal elástico. Las propiedades de los materiales del modelo se presentan en la Tabla 4.1. No obstante, para simular un contacto rígido-flexible el módulo de elasticidad del poste se modificó para representarlo como un material de rigidez infinita. COMPONENTE E (GPa) ʋ σ yp (MPa) σ u (MPa) Ɛ u (%) Implante Poste Tabla 4.1 Propiedades del Titanio CP Grado 4. [AGU 2013] GENERACIÓN DE LA GEOMETRÍA Se generó un modelo axisimétrico simplificado tomando solamente la parte de interés para el contacto cónico en 2D del implante objeto de este estudio cuyas medidas fueron obtenidas mediante un escaneado tridimensional de un implante AstraTech, OsseoSpeed TX 4,5 S 9 mm. Poste Implante Figura 4.4 Modelo CAD del implante AstraTech, OsseoSpeed TX 4,5 S 9 mm obtenido mediante ingeniería inversa 48

56 I M P L A N T E P O S T E Ratio de la fuerza de extracción de conexiones cónicas en implantes dentales. Modelo analítico y análisis MEF La figura 4.4 presenta el modelo CAD 2D axisimétrico del implante que se mencionó y del cual se extrajo las dimensiones de interés correspondientes al área que compete a la interfaz cónica implante/poste. Tomando en cuenta lo comentado, la figura 4.5 señala los parámetros para la generación del modelo de elementos finitos del implante/poste. es a1 zsup zct a2 op oi ztotal em R einf zinf Figura 4.5 Geometría 2D parametrizada del modelo implante/poste 49

57 También en la tabla 4.2 se muestran los valores de los parámetros que se utilizaron para el modelo de elementos finitos para el sistema de implante descrito en el apartado 2.3 MAGNITUD UNIDAD VALOR a 1 mm 1.35 a 2 mm R mm z sup mm 0.3 z total mm 2.55 z inf mm 1.92 z ct mm 0.4 e s mm 0.33 e m mm e inf mm 0.29 Tabla 4.2 Valores del implante de conexión cónica Con estos datos se generó la programación de la geometría en ANSYS. La figura 4.6 a) indica los 12 keypoints y 13 líneas y en b) se muestra el modelo dividido en tres áreas, el área 1 corresponde al poste y las áreas 2 y 3 son parte del implante. (a) 50

58 (b) Figura 4.6 Geometría 2D del modelo implante/poste generado en ANSYS. a) keypoints y líneas, b) áreas La programación del código en ANSYS que genera la geometría se la encuentra en el Anexo PROCESO DE MALLADO Ya se explicó la importancia del mallado del modelo de elementos finitos en la obtención de resultados fiables, es por ello que para alcanzar este propósito se ha puesto especial importancia al proceso de mallado del modelo. Es comúnmente conocido que los problemas de contacto requieren de un mallado muy refinado, en este sentido, el proceso de mallado del modelo presenta una solución de un mallado libre en el poste con refinamiento en la zona de contacto y un mallado estructurado en el implante procurando tener una distribución uniforme en la discretización de los elementos para que los resultados sean fiables. El tipo de elemento utilizado para la discretización de las áreas es PLANE182, este elemento es usado en modelos 2D planos o axisimétricos en esfuerzo o deformación plana está definido por 4 nodos y tiene 2 grados de libertad en cada nodo. La figura 4.7 muestra el elemento PLANE

59 Figura 4.7 Elemento PLANE182 de ANSYS. [ANS2013] Como ya se dijo, el modelo está dividido en tres áreas, se malla primero el área 3 que corresponde a la parte inferior del implante, se trata de un mallado estructurado mapped meshing para ello se dividen las líneas L7 y L12 en 10 partes con un ratio de espaciamiento de 6 y luego las líneas L11 y L13 en 50 partes con un ratio de espaciamiento de 1/6, posteriormente se malla utilizando estas divisiones con elementos PLANE182. La figura 4.8 muestra el mallado de esta área. Division en 50 partes Division en 10 partes Figura 4.8 Mallado estructurado del área 1 52

60 Luego se malla el área 2 que es la parte superior del implante, para ello se divide la línea L10 en 300 elementos y la línea L9 en 10 partes con un ratio de espaciamiento de 6 y de igual manera se malla con elementos PLANE182. La figura 4.9 muestra el mallado de esta área. Division en 10 partes Division en n=300 partes partes Figura 4.9. Mallado estructurado del área 2 Finalmente, el mallado del área 3 el libre con elementos PLANE182 y en la línea L2, que es la de contacto con el implante, se realiza un refinamiento de nivel 3, de esta manera se logra una uniformidad y buena distribución de los elementos discretizados. La figura 4.10 muestra el mallado libre de esta área y su refinamiento. 53

61 Mallado libre partes (a) refinamiento (b) 54

62 (c) Figura Mallado libre del área 2. a) primer mallado b) refinamiento. c) Mallado final del modelo. Luego para la definición de las superficies de contacto el software tiene 3 métodos: nodo a nodo, nodo a superficie y superficie a superficie. En este caso se utiliza la definición de contacto superficie a superficie entre las líneas L2 y L10 con elementos TARGE169 Y CONTA172. (a) 55

63 (b) Figura 4.11 Elementos TARGE169 a) y CONTA172 b) de ANSYS. [ANS2013] Para el análisis de contacto las superficies se identifican adecuadamente, en este caso corresponden a las superficies cónicas del par de contacto implante / poste, luego se definen la superficies correspondientes al elemento target y al elemento contact. En esta definición las superficies target pueden penetrar a los elementos contact pero esto no se puede presentar en el caso opuesto, como es de esperarse la definición de superficie contact (flexible) es para el implante y target para el poste (rígida). En este punto es importante decidir cuál es la formulación matemática que expresa mejor el comportamiento de contacto, para esta tarea ANSYS ofrece 5 modelos de cálculo que permiten simular las condiciones de contacto, deslizamiento y penetración. Los modelos matemáticos son: el Lagrange Method, no permite penetración ni deslizamiento; el Penalty Method, utiliza un resorte para simular la rigidez de contacto de las superficies; el Augmented Method utiliza igual un resorte cuya rigidez va aumentando con el propósito de alcanzar la convergencia del sistema; el Lagrange y Penalty Method es una combinación de ambos, no da lugar a penetraciones pero si a ciertos deslizamientos y finalmente el MultiPoint Constraint o MPC algorithm está pensado en uniones que estén adheridas [ABA2011]. En este Proyecto de Fin de Master se ha escogido el Lagrange y Penalty Method para permitir el deslizamiento entre las superficies sin permitir una penetración del poste sobre el implante. 56

64 La programación del proceso de mallado y la asignación de los elementos de contacto se muestra en el Anexo CONDICIONES DE CONTORNO Posterior al mallado se deben definir las condiciones de contorno del modelo. Cuando el poste es obligado a desplazarse verticalmente hacia abajo por acción de la fuerza de apriete del perno la línea inferior L12 del implante no se desplaza ya que se asume que está totalmente osteointegrada con el hueso circundante, por tanto esta es la condición de contorno a imponer; es decir, se le impone una restricción de desplazamiento en x e y. La figura 4.12 indica estas restricciones. Restricción de movimiento vertical y horizontal Figura 4.12 Restricciones de desplazamiento en x e y en la base del implante. Para la simulación de la inserción del poste se impone un desplazamiento vertical hacia abajo de 0.03mm es decir 30µm en la línea L3 del poste tal cual se explicó al comienzo del aparatado 4.3 esto es equivalente a la aplicación de una fuerza de precarga Fp proveniente del perno que sujeta el poste. La figura 4.13 presenta la zona del poste a la que se le impone este desplazamiento. 57

65 Desplazamiento vertical hacia abajo y=30µm Figura 4.13 Desplazamiento impuesto en el poste. Como en los apartados anteriores la programación de las restricciones y desplazamientos se muestra en el código del Anexo RESULTADOS OBTENIDOS PARA UN CASO EJEMPLO Una vez definido el modelo de elementos finitos en este apartado se presenta los resultados de un análisis por elementos finitos de una simulación realizada en ANSYS con los siguientes datos de partida: PARÁMETRO SÍMBOLO VALOR Ángulo de conicidad (º) α 11 Diferencia de ángulos cónicos (º) Coeficiente de rozamiento cinético α 0.25 µk 0.35 Fuerza de Precarga (N) Fp 100 Tabla 4.3. Valores para la simulación del caso ejemplo 58

66 (a) (b) Figura Desplazamientos (mm) a) eje x b) eje y 59

67 Figura 4.15 Esfuerzos de Von Misses (MPa) Figura Estado de contacto de las superficies cónicas. 60

68 CAPÍTULO 5 EL METAMODELO INTRODUCCIÓN En el Capítulo 3 se presentaron dos modelos analíticos simplificados para el análisis de la inserción y extracción del poste en el implante, estos modelos no tienen en cuenta la variación de las fuerzas normales y tangenciales a lo largo del contacto. Por otra parte, ya se comentó que por factores de diseño y tolerancias de manufactura existe una diferencia de ángulos de conicidad entre el implante y el poste lo cual en los modelos simplificados tampoco es tomado en cuenta. En este capítulo se presenta un modelo más avanzado que considera diferentes valores para las fuerzas normales y tangenciales en las diferentes zonas del contacto, ya que incluso el estado de los contactos puede variar de contacto a no contacto. Debido a esto, la rigidez vertical ha sido considerada entre las diferentes partes del contacto. La Figura 5.1 muestra el modelo de análisis avanzado. Los resortes horizontales modelizan la rigidez horizontal de la interfaz cónica y los resortes verticales modelizan el comportamiento a tracción-compresión vertical de todo el sistema a partir de las ecuaciones de elasticidad. Se observa que en este modelo avanzado el implante se subdivide el varias zonas, una especie de anillos que van disminuyo de diámetro a lo largo de la cara de contacto. Por supuesto, este modelo trata de determinar el estado de contacto de cada zona, para ello, utiliza un arreglo de matrices de varias variables las cuales a partir de los datos calculados por el método de elementos finitos permiten determinar las rigideces verticales y horizontales del modelo. Estas matrices se resuelven mediante sistemas de ecuaciones, particularmente para la resolución de estos sistemas se utilizó el programa MATLAB y se programó un script para automatizar el cálculo. Las líneas de código se encuentran en el Anexo 2 61

69 Kv(z n ) Kv(z i ) Kv(z 2 ) Kv(z 1 ) Ratio de la fuerza de extracción de conexiones cónicas en implantes dentales. Modelo analítico y análisis MEF POSTE IMPLANTE Kh(z 1 ) Kh(z 2 ) α Kh(z i ) Kh(z n ) θ Figura 5.1 Modelo de análisis avanzado. [AGU2013-1] ECUACIONES Y VARIABLES DEL PROBLEMA En este apartado se presentan las variables útiles para el desarrollo del modelo avanzado. La figura 5.2 muestra las variables involucradas en el modelo avanzado, por un lado están las n variables depio del número de subdivisiones o elementos diferenciales correspondientes a los desplazamientos verticales y horizontales y las fuerzas normales y tangenciales de la interfaz de contacto, y por otro lado las variables correspondientes a la fuerza de precarga o extracción y al desplazamiento vertical impuesto sobre el poste debido al apriete del perno. De lo expuesto, existen entonces 4n variables de las cuales 2n pertenecen a las fuerzas normales y tangenciales y 2n a los desplazamientos verticales y horizontales. Las otras dos ecuaciones como se dijo son la fuerza de precarga o la de extracción depio el caso y el desplazamiento vertical impuesto, todas estas 4n + 2 variables son parte de cualquier estado del problema de contacto. 62

70 Figura 5.2. Variables del problema (4n + 2). [AGU2013-1] El sistema de equilibrio horizontal de fuerzas de este modelo presenta un sistema de 2n ecuaciones así: N(z 1 ) cos(θ) T(z 1 ) sen(θ) = K h (z 1 ). u(z 1 ). N(z i ) cos(θ) T(z i ) sen(θ) = K h (z i ). u(z i ) (5.1). N(z n ) cos(θ) T(z n ) sen(θ) = K h (z n ). u(z n ) N(z 1 ) sen(θ) + T(z 1 ) cos(θ) = K v (z 1 ). [v(z 1 ) v(z 2 )] 0. N(z i ) sen(θ) + T(z i ) cos(θ) = K v (z i ). [v(z i ) v(z i+1 )] K v (z i 1 ). [v(z i 1 ) v(z i )]. 63

71 N(z n ) sen(θ) + T(z n ) cos(θ) = K v (z n ). [v(z n ) 0] K v (z n 1 ). [v(z n 1 ) v(z n )] El equilibrio vertical viene dado por: F = [N(z 1 )+... +N(z n )]sen(θ) + [T(z 1 )+... +T(z n )] cos(θ) Es necesario tomar en cuenta que el elemento i puede estar en uno de los tres estados de contacto: deslizante, pegado o no contacto. Si el elemento i-ésimo no está en contacto (no contact) las fuerzas normales y tangenciales son nulas así: N(z i ) = 0 T(z i ) = 0 Si en cambio, el elemento i-ésimo esta en contacto deslizante (sliding) la fuerza normal puede ser máximo 1 (fuerza normal x coeficiente de rozamiento) y los desplazamientos horizontal y vertical deben tener valores tales que permanezcan sobre el poste (fig. 5.3), así: T(z i ) = μn(z i ) u(z i ) + v(z i ) tan(α) = y. tan(α) z i (tan(α) tan(θ) (5.2) Si el estado de contacto del elemento i-ésimo es pegado (sticking) el desplazamiento horizontal es el mismo de la etapa previa y el desplazamiento vertical está ligado de las misma manera que la ecuación (5.2) u(z i ) = el mismo valor de la etapa previa u(z i ) + v(z i ) tan(α) = y. tan(α) z i (tan(α) tan(θ) Finalmente, es conveniente notar que en cualquier caso de contacto depio del problema se trá como dato conocido a la Fuerza FP o al desplazamiento del poste y. De esta forma, se trá siempre un sistema de ecuaciones y de incógnitas de 4n +1 64

72 Δy z i tan(θ) z i tanθ/tanα Δy z i z i (1-tanθ/tanα) z i -Δy α Δy v(z i ) θ u(z i ) v(z i )tanα (z i -Δy)tan α Figura 5.3. Relación entre desplazamientos horizontales u(z i ) y verticales v(z i ) cuando se presenta el contacto. [AGU2013-1] De las ecuaciones previas y cualquiera que sea el problema de contacto, el sistema de ecuaciones se presenta de la siguiente forma: [U U ] [U V ] [U N ] [U T ] [U Y ] {U} {V} [V U ] [V V ] [V N ] [V T ] [V Y ] {N} [N U ] [N V ] [N N ] [N T ] [N Y ] = {N} [T U ] [T V ] [T N ] [T T ] [T Y ] {T} [ [Y U ] [Y V ] [Y N ] [Y T ] [Y Y ] ] { y } { Donde los vectores desconocidos son: {U L } {V L } {N L } {T L } {Y L } y } u 1 v 1 N 1 T 1 {U} = u i {V} = v i {N} = N i {T} = T i { u n} { v n} { N n } { T n } 65

73 Cualquiera que sea el estado de contacto la matrices son siempre las mismas. A continuación se presentan las matrices hacio el equilibrio de fuerzas en la dirección x: [U U ] nxn = [U N ] nxn = [U T ] nxn = Ahora el equilibrio en la dirección y: [ Kh Kh i Kh n ] [U V ] nxn = 0 cos (θ) cos (θ) 0 [ 0 0 cos (θ)] sen (θ) sen (θ) 0 [ 0 0 sen (θ)] {U Y } nx1 = {U L } nx1 = {0} [V U ] nxn = [0] [V V ] nxn = Kv 1 Kv Kv 1 (Kv 2 + Kv 1 ) (Kv i 1 + Kv i 2 ) Kv i Kv i 1 (Kv i + Kv i 1 ) Kv i Kv i (Kv i+1 + Kv i ) (Kv n 1 + Kv n 2 ) Kv n 1 [ Kv n 1 (Kv n + Kv n 1 )] [V N ] nxn = sen (θ) sen (θ) 0 [ 0 0 sen(θ)] 66

74 [V T ] nxn = cos (θ) cos (θ) 0 [ 0 0 cos (θ)] {V Y } nx1 = {V L } nx1 = {0} Por último las matrices del equilibrio de la fuerza de precarga del poste en dirección y: T {Y U } nx1 T = {Y V } nx1 = {0} T {Y N } T nx1 {Y T } T nx1 = {sen(θ) sen(θ) sen(θ)} = {cos(θ) cos(θ) cos(θ)} Y Y = 0 El resto de matrices y vectores cambian con el estado de contacto de los diferentes elementos y son el resultado del ensamblaje de las matrices individuales. Si el i-ésimo elemento está en estado de no contacto, las matrices individuales expandidas para el tamaño total de las matrices globales para este i-ésimo elemento son: [N U ] nxn = [N V ] nxn = [N T ] nxn = [T U ] nxn = [T V ] nxn = [T N ] nxn = [0] {N Y } nx1 = {N L } nx1 = {T Y } nx1 = {T L } nx1 = {0} [N N ] nxn = [T T ] nxn = [ 0 0 0] Si el i-ésimo elemento está en estado de contacto de deslizamiento: [N U ] nxn = [N V ] nxn = [T N ] nxn = [T T ] nxn = [0] {N Y } nx1 = {N L } nx1 = {0} 67

75 0 0 0 [N N ] nxn = 0 μ 0 [ 0 0 0] [N T ] nxn = [T U ] nxn = [ 0 0 0] T {T L } nx [T V ] nxn = 0 tan (α) 0 [ 0 0 0] T {T Y } nx1 = {0 tan(α) 0} = {0 z i (tan(α) tan(θ)) 0} Por último si el i-ésimo elemento está en estado de contacto pegado [N V ] nxn = [N N ] nxn = [N T ] nxn = [T N ] nxn = [T T ] nxn = [0] {N Y } nx1 = {0} [N U ] nxn = [T U ] nxn = [ 0 0 0] T {N L } nx1 = {0 u i previa 0} T {T L } nx [T V ] nxn = 0 tan (α) 0 [ 0 0 0] T {T Y } nx1 = {0 tan(α) 0} = {0 z i (tan(α) tan(θ)) 0} 68

76 Una vez definidas las matrices para cada caso de contacto, en el próximo apartado se ordenan para obtener los sistemas de ecuaciones que intervienen en cada una de las etapas de análisis que se definieron en el Capítulo 3 cuando se explicó el modelo simplificado ETAPAS DE ANALISIS ETAPA 1. INSERCIÓN DEL POSTE Y AJUSTE DEL PERNO PRECARGA Al introducir la precarga del perno, sólo es posible un estado de contacto deslizante o no contacto, el estado de contacto pegado no puede darse ya que cualquier fuerza adicional a la fuerza vertical provocada por la inserción del perno implica una fuerza de fricción en la misma dirección y si todos los elementos diferenciales están en deslizamiento continuarán de la misma manera. Nótese que el proceso de solución es iterativo, en primera instancia se debe considerar solamente el contacto entre el poste y el primer elemento diferencial del implante. En este sentido, se consideran únicamente las reacciones sobre el primer elemento diferencial del implante; es decir nulas en el resto de elementos diferenciales. En este punto se debe comprobar si el segundo elemento diferencial ha entrado en contacto para el desplazamiento vertical resultante y: y > v(z 1 ) + z 1 (1 tan (θ) tan (α) ) Si esto se cumple, se toman en cuenta las reacciones en el primero y segundo elemento diferencial sio nulas en los demás elementos. Este proceso continúa iterativamente hasta el i-ésimo elemento. y v(z f ) + z f (1 tan (θ) tan (α) ) 69

77 5.3.2 ETAPA 2. EXTRACCIÓN DEL PERNO PÉRDIDA DE LA PRECARGA En esta etapa el análisis resulta más complicado que la etapa previa, ya que los elementos diferenciales fueron definidos en estado de contacto deslizante o en no contacto, pero en este caso puede existir una combinación de todos los estados posibles contacto deslizante, pegado o no contacto. Inicialmente se puede suponer alguno de los estados de contacto, pero algún valor del desplazamiento vertical previo puede aparecer en el sistema de ecuaciones porque está ligado con la fuerza de precarga que ahora ha desaparecido. Suponer inicialmente que todos los elementos diferenciales están en contacto deslizante no es adecuado ya que se presentaría una solución evidente por ejemplo: que ningún elemento está en contacto y que las fuerzas normales son nulas. Para no caer en estas imprecisiones, inicialmente al menos un elemento diferencial debe considerarse en estado de contacto pegado con el fin de tener en cuenta que el desplazamiento horizontal es el mismo que el de la primera etapa. Por lo tanto, resulta útil suponer a todos los estados de contacto de los elementos diferenciales como fijos y tomar en cuenta todos los estados de contacto de la etapa previa. De esta manera el problema puede ser resuelto y con dos casos posibles: 1. Que el módulo de las fuerzas tangenciales esté entre 0 y µn, sio todas las fuerzas normales positivas y, 2. Que el módulo de algunas de las fuerzas tangenciales sea mayor que µn o la fuerza normal es negativa. Si se presenta el caso 1, es posible resolver el problema y determinar el desplazamiento total vertical. Pero por el contrario, si se presenta el caso 2, el estado de contacto debe cambiar a contacto deslizante cuando la fuerza tangencial sea mayor a µn, y a estado de no contacto cuando la fuerza normal sea negativa. 70

78 5.3.3 ETAPA 3. EXTRACCIÓN DEL POSTE En este punto del análisis la incógnita es la fuerza de extracción FR. Aunque todos los estados de contacto de los elementos diferenciales debe ser deslizante, alguna variable se debe mantener para considerar la fuerza de precarga FP dada en la primera etapa. Esto se puede hacer mantenio fijo un contacto hasta el final (hasta que todos los contactos estén deslizando) con el mismo valor del desplazamiento horizontal dado en la primera o segunda etapa. La pregunta clave es saber cuál es ese contacto que limita el deslizamiento. Esto se lo puede lograr de la siguiente manera: - Seleccionar el primer elemento diferencial con contacto pegado de la etapa previa y mantenerlo fijo en esta etapa. Asignar a todos los demás como contacto deslizante en dirección inversa que en la primera etapa. Calcular la fuerza de extracción. - Seleccionar ahora el segundo elemento con contacto pegado y seguir el mismo procedimiento; es decir, mantenerlo fijo en esta etapa y al resto considerarlos como contacto deslizante. Calcular nuevamente la fuerza de extracción. - Finalmente, continuar con este proceso iterativo con todos los elementos diferenciales con estado de contacto pegado en la etapa 2 y calcular las fuerzas de extracción. La fuerza más pequeña será la verdadera Fuerza de Extracción que resuelve el problema. A continuación se presenta el procedimiento de cálculo de las rigideces horizontal y vertical con el uso de los valores obtenidos con el modelo de elementos finitos CÁLCULO DE RIGIDECES Ya se ha explicado el procedimiento de cálculo del metamodelo, para ello se deben obtener las rigideces vertical K v y horizontal K h del implante. El modelo de elementos finitos que se explicó en el Capítulo 4 resulta una herramienta útil para este propósito. La geometría parametrizada del modelo de elementos finitos con la que se calculan los valores para el metamodelo se representa en figura 5.4. Donde los valores del implante objeto de este Proyecto se muestran en la tabla

79 I M P L A N T E P O S T E Ratio de la fuerza de extracción de conexiones cónicas en implantes dentales. Modelo analítico y análisis MEF MAGNITUD UNIDAD VALOR a1 mm 1.35 a2 mm Ri mm zsup mm 0.5 ztotal mm 2.45 zinf mm 0 b2 mm 2.21 o Tabla 5.1 Dimensiones del implante estudiado en el proyecto. Ri b2 a1 zsup a2 op oi ztotal zinf Figura 5.4. Geometría parametrizada del modelo de elementos finitos para la obtención de los valores del metamodelo En las siguientes líneas se explica el procedimiento de obtención del estas rigideces. 72

80 El primer paso es generar el modelo de elementos finitos y obtener los valores de los desplazamientos y de las presiones en los nodos de contacto, y las reacciones de la parte inferior del implante. Hay 2 tipos de presiones, la presión de contacto PC, cuya dirección es perpicular a la cara de contacto, y la presión tangencial PT o de fricción, que sigue la misma dirección que la cara de contacto. Con estas presiones y con el área del anillo de cada elemento diferencial se puede conseguir la fuerza normal y tangencial o de rozamiento de cada elemento, es decir: P C(i) = N (i) /A (i) P T(i) = T (i) /A (i) Donde el área del anillo del elemento diferencial A (i) es (fig. 5.4): A (i) = 2. π. b 1(i). (z total /n) b 1(i) = diámetro interno del implante variable a lo largo de la cara de contacto n = número de elementos diferenciales a lo largo de la cara de contacto. En este caso n=300 elementos diferenciales Luego se tiene: N (i) = P C(i). 2. π. b 1(i). (z total /n) (5.3) T (i) = P C(i). 2. π. b 1(i). (z total /n) (5.4) De esta forma una vez que se tiene las fuerzas en los nodos vertical v (i) y horizontal u (i) del modelo de elementos finitos, se procede al cálculo de las rigideces CÁLCULO DE LA RIGIDEZ HORIZONTAL Como se dijo en este apartado se muestra el cálculo de la rigidez horizontal necesaria para el metamodelo hacio uso de los datos obtenidos mediante el modelo de elementos finitos. Se sabe que la rigidez de un material se relaciona con el cociente entre la fuerza y el desplazamiento producido por esta, así: 73

81 K = F u (5.5) El cálculo de la rigidez horizontal Kh resulta inmediato utilizando las ecuaciones (5.1) y (5.5) de donde se tiene: K h (z i ) = N(z i) cos(θ) T(z i ) sen(θ) u(z i ) (5.6) Con la fórmula (5.6) se calcula la rigidez para cada caso simulado con el modelo de elementos finitos. En este punto es necesario establecer una relación entre cada una de las rigideces obtenidas para cada caso de simulación, teóricamente la relación entre las rigideces obtenidas debe ser siempre la misma para que las suposiciones del metamodelo sean ciertas para el caso de la rigidez horizontal. Como se mencionó en este capítulo la cara de contacto se divide en varios elementos diferenciales. La teoría de los cilindros con ajustes a presión o contracción proporcionan una buena aproximación a este caso, en esta teoría se puede calcular la presión de contacto entre dos cilindros que se ajustan por contracción o presión y se la puede encontrar descrita en la referencia [SHI1989] (fig. 5.5 a) u (a) (b) Figura 5.5 a) Ajuste por contracción o presión [SHI2006]. b) Rigidez de una serie de cilindros rectos 74

82 Si a estos elementos se les aplica sólo una fuerza horizontal y se los analiza como una serie de cilindros rectos que van variando su diámetro en función de la altura cada elemento se comporta como un anillo a presión (fig 5.5 b). Esta presión de contacto aplicada al caso de implantes de conexión cónica fue descrita en [BOZ2003] con la siguiente ecuación: Donde: P C = Presión de contacto E = Módulo de elasticidad del material u (i) = desplazamiento horizontal b 1 = radio interno de cada elemento diferencial del implante b 2 = radio externo cada elemento diferencial del implante θ= Ángulo circunferencial donde se aplica la presión P C = E.u (i)(b 2 2 b 1 2 ).cosθ 2.b 1.b 2 2 (5.7) Con la ecuación (5.5) y sabio que la relación entre la fuerza y el área donde se la aplica nos da la presión en una superficie P=F/A, se puede obtener la relación de la rigidez así: K h = P C.A u (i) (5.8) En el caso del presente estudio el área A corresponde al área de contacto de cada cilindro así: A = 2. π. b 1. Z total n (5.9) Donde n en este caso lo se ha dividido en 300 elementos diferenciales. Remplazando (5.7) en (5.8), simplificando los términos correspondientes y tomando en cuenta a (5.9) se tiene la ecuación: K h = E.(b 2 2 b 1 2 ).cosθ.[2.π.b 1. Z total n ] 2.b 1.b 2 2 (5.10) 75

83 Por conveniencia a la ecuación (5.10) se la puede dividir en una parte constante y una variable así: K h = [E. cosθ. π. Z total n ]. [1 (b 1 b 1 ) 2 ] (5.11) Constante Ψ Variable La parte constante de la ecuación (5.11) se la calcula tomando en cuenta los valores del presente proyecto donde: E = MPa (Titanio Grado 4); θ=360º; Z total =2.45mm y se obtiene: Constante =Ψ = 2643 [N/mm] De esta manera se tiene un valor numérico Ψ con el cual se puede comparar cada una de las rigideces obtenidas con los valores del modelo de elementos finitos. De manera que se debe cumplir: Ψ = 76 K h 1 ( b 1 b2 )2 (5.12) Así por ejemplo, a continuación se presenta la solución para un caso de simulación en elementos finitos con los siguientes datos: μ = 0.2 E P = 100x10 6 MPa E i = 103x10 3 MPa θ P = 11 θ i = 11 b 2 = 2.21 y = 30μm = 0.03mm n = 300 La figura 5.6 muestra la rigidez horizontal K h calculada con la fórmula (5.6) para cada uno de los 300 elementos discretizados.

84 Figura 5.6 Rigidez horizontal K h a lo largo de la cara de contacto Figura 5.7 Relación de la rigidez horizontal con el concepto de cilindros a contracción o presión 77

85 Ahora aplicando la ecuación (5.12) se obtiene la gráfica de la figura 5.7, donde se puede observar que los valores son aproximadamente los de Ψ = 2643 [N/mm], esto quiere decir que es una aproximación bastante acertada para esta geometría del implante. Los valores de K h de los primeros y últimos elementos son mucho mayores debido a la concentración de tensiones en los extremos. Los demás casos simulados se presentan en el capítulo 6 con más detalle CÁLCULO DE LA RIGIDEZ VERTICAL En este modelo avanzado, el comportamiento de la rigidez vertical K v del implante se le asocia a una columna a compresión de sección variable ver (fig. 5.8 a). Para explicar este comportamiento se debe tomar en cuenta que la tensión generada a lo largo del contacto es variable al igual que los desplazamientos verticales en los elementos discretizados ver (fig. 5.8 b). a) b) Figura 5.8 a) Comportamiento similar a columna a compresión, b) Rigideces verticales de los elementos diferenciales 78

86 El planteamiento del cálculo de la rigidez vertical K v se plantea iniciando el cálculo desde la parte inferior del implante, así: K v5 = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 v 5 K v4 = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 v 4 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 v 5 K v3 = T 1 + T 2 + T 3 v 3 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 v 4 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 v 5 K v2 = T 1 + T 2 v 2 + T 1 + T 2 + T 3 v 3 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 v 4 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 v 5 K v1 = T 1 v 1 + T 1 + T 2 v 2 + T 1 + T 2 + T 3 v 3 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 v 4 + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 v 5 De esta manera se obtienen sistemáticamente las rigideces verticales y se puede escribir la ecuación generalizada que permite obtener la rigidez vertical de cada elemento discretizado a partir de los datos de la simulación de elementos finitos: n j K i = x=1 T j j=i (5.13) Como se hizo en la rigidez horizontal, en este punto también es necesario definir un concepto que permita relacionar todas las rigideces verticales obtenidas en cada simulación que se pueda hacer con el modelo de elementos finitos para validar la deducción de la ecuación (5.13) En este sentido, se conoce en el diseño de juntas atornilladas que existe un área equivalente que se ve afectada por los esfuerzos al comprimir la junta. En la referencia [27] esta distribución de la presión se supone confinada en un tronco cono hueco (fig. 5.9). Con esta definición, en el presente proyecto se prete conocer la distribución de la presión en el implante para de alguna manera encontrar un área útil o área que resulta afectada por los esfuerzos de compresión. v i 79

87 Figura 5.9 Compresión de un elemento de una junta que se supone confinado en un troco cono hueco. [SHI2006] Para tal propósito, se conoce que la rigidez vertical de una columna cargada axialmente o a compresión es: K v = E.Ac l (5.14) Donde E es el módulo de elasticidad, Ac es el área de la columna y l la longitud de la columna. Para el caso del implante: Ac = π. (b 2 2 b 1 2 ) ; l = ( z total 300 ) Reemplazando estos valores en (5.14) y despejando b 2 se tiene la ecuación que servirá para calcular el área útil es decir el área afectada o en la que se distribuye la tensión de compresión, resultando la ecuación: b 2 = K v(i).z total 300.E.π + b 1 2 (5.15) Esta b 2 es el radio exterior hipotético del implante en el que se distribuye la presión y resulta menor a b 2 por las definiciones dadas anteriormente. Lo comentado se muestra en la figura El resultado de una simulación está en la figura 5.11 (c) 80

88 Figura Área equivalente donde se distribuye los esfuerzos de compresión Con la ecuación (5.15) se calcula el área útil: Au = π. (b 2 2 b 1 2 ) Por último, el porcentaje de área útil o equivalente (%Au) es el parámetro que se ha escogido para relacionar las rigideces verticales obtenidas en el modelo de elementos finitos para cada caso simulado donde: %Au = Área útil. 100 (5.16) Área real A continuación en la figura 5.11, a modo de ejemplo, con los mismos datos utilizados para el cálculo de la rigidez horizontal se presentan los resultados del modelo de elementos finitos para la rigidez vertical con el uso de la ecuación general (5.13): 81

89 (a) (b) 82

90 (c) Figura a) Rigidez vertical K v a lo largo de la cara de contacto b) % de área útil donde se distribuyen los esfuerzos de compresión c) distribución de los esfuerzos en la sección del implante Los demás casos simulados, sus resultados y análisis de la funcionalidad del metamodelo se presentan en el Capítulo 6. 83

91 CAPÍTULO 6 PRESENTACIÓN, ANÁLISIS Y VALIDACIÓN DE RESULTADOS Hasta el momento en los Capítulos 3, 4 y 5 se han definido todos los modelos que han servido para analizar el comportamiento mecánico de un implante de conexión cónica. También en el Capítulo 2 se definió el tipo de implante utilizado para el presente proyecto. En este Capítulo, en primera instancia se presenta el diseño de experimentos de todos los modelos; es decir, la descripción de los casos que han sido evaluados y las combinaciones de variables que permitieron valorar el comportamiento mecánico del implante. Posteriormente se presentan todos los resultados con los respectivos análisis de los mismos y finalmente la comparativa de los modelos para comprobar su funcionalidad para resolver el problema DISEÑO DE EXPERIMENTOS En este apartado se presentan un conjunto de tablas que resumen los casos de cálculo y simulación que se han realizado en este proyecto mediante los diferentes modelos utilizados para abordar el problema. Tabla 6.1. Diseño de experimentos de los modelos analíticos. 84

92 La tabla 6.1 resume las variables utilizadas para encontrar los valores de RFR en cada modelo analítico. La combinación de las variables resulta en 105 valores de RFR para cada modelo analítico, dando un total de 210 valores de RFR que han sido comparados posteriormente con los resultados del modelo de elementos finitos. Las simulaciones del modelo de elementos finitos realizadas en ANSYS siguieron un orden sistemático con el objetivo de ir determinando la sensibilidad y los rangos de las variables de estudio. En este sentido, primero se realizaron 1120 simulaciones de donde se obtuvo el valor de RFR. (a) (b) Tabla 6.2. Diseño de Experimentos del modelo de elementos finitos a) r μ = 1; b) r μ = 1.5 y

93 Como se puede observar en la tabla 6.2 (a), todas estas simulaciones no toman en cuenta la diferencia entre coeficiente de rozamiento cinético y estático. Posteriormente, se introdujo el concepto de ratio de coeficientes de rozamiento r μ donde se toma en cuenta la diferencia entre los coeficientes de rozamiento en cada etapa de análisis y se realizaron 840 simulaciones más dando un total de 1960 casos simulados para determinar el valor de RFR (tabla (6.2 b)). En el caso del metamodelo, el objetivo fue ir determinado la influencia de las diferentes variables de estudio en la obtención de las rigideces verticales K v y horizontales K h. Para ello, en la tabla 6.3 se resumen los 15 casos simulados mediante el modelo de elementos finitos que sirvieron para determinar la influencia de dichas variables. Tabla 6.3. Diseño de experimentos para la validación del metamodelo. 86

94 Una vez presentados los casos considerados para el análisis, en el siguiente apartado se presenta un resumen de los resultados obtenidos acompañados de su respectivo análisis RESULTADOS Y ANÁLISIS RESULTADOS DE LOS MODELOS ANALÍTICOS Aplicando las ecuaciones (3.12) y (3.13) y tomando en cuenta lo comentado en el apartado del diseño de experimentos se obtienen los valores para el Ratio de la Fuerza de Extracción RFR que se presentan en las tablas 6.4a y 6.4b para los modelos analíticos 1 y 2 respectivamente. Conjuntamente con estas tablas se grafican estos valores de RFR en 3D con escalas de color para visualizar su variabilidad en el espacio (fig. 6.1 y 6.2) r μ μ k μ s 1 1,5 2 COEF. ROZ. ANGULOS º RFR - ANALITICO 1 0,10 0,10 0,309 0,066 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,573 0,378 0,228 0,109 0,013 0,000 0,000 0,30 0,30 0,681 0,520 0,389 0,281 0,190 0,113 0,048 0,40 0,40 0,737 0,598 0,481 0,381 0,296 0,223 0,159 0,50 0,50 0,769 0,643 0,536 0,443 0,362 0,292 0,231 0,10 0,15 0,632 0,326 0,118 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,956 0,708 0,517 0,365 0,243 0,143 0,060 0,30 0,45 1,085 0,876 0,706 0,566 0,448 0,348 0,263 0,40 0,60 1,149 0,964 0,808 0,676 0,564 0,466 0,382 0,50 0,75 1,183 1,012 0,866 0,740 0,630 0,536 0,453 0,10 0,20 0,953 0,585 0,334 0,154 0,018 0,000 0,000 0,20 0,40 1,335 1,032 0,799 0,614 0,465 0,343 0,241 0,30 0,60 1,483 1,224 1,013 0,838 0,692 0,568 0,463 0,40 0,80 1,553 1,318 1,122 0,955 0,813 0,691 0,586 0,50 1,00 1,587 1,366 1,177 1,016 0,877 0,756 0,651 Tabla 6.4a Valores de RFR para el modelo analítico 1 87

95 Figura 6.1 Valores de RFR para el modelo analítico 1 en 3D con escala de color. 88

96 Tabla 6.4b Valores de RFR para el modelo analítico 2 Estos valores resultantes de los dos modelos analíticos simplificados posteriormente son comparados con los resultados obtenidos con el modelo de elementos finitos para determinar su correlación RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS r μ μ k μ s 1 1,5 2 Luego de las simulaciones establecidas en el diseño de experimentos, los resultados del Ratio de la Fuerza de Extracción RFR para el modelo de elementos finitos generado en ANSYS se encuentran resumidos en las tablas que se presentan a continuación. COEF. ROZ. ANGULOS º RFR - ANALÍTICO 2 0,10 0,10 0,312 0,067 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,585 0,391 0,239 0,116 0,014 0,000 0,000 0,30 0,30 0,703 0,548 0,419 0,309 0,214 0,130 0,056 0,40 0,40 0,768 0,641 0,530 0,433 0,346 0,268 0,198 0,50 0,50 0,810 0,702 0,606 0,519 0,440 0,368 0,302 0,10 0,15 0,640 0,333 0,122 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,981 0,739 0,549 0,395 0,268 0,160 0,068 0,30 0,45 1,128 0,936 0,774 0,636 0,517 0,413 0,321 0,40 0,60 1,210 1,051 0,913 0,791 0,682 0,585 0,497 0,50 0,75 1,263 1,128 1,007 0,899 0,800 0,710 0,628 0,10 0,20 0,968 0,600 0,347 0,161 0,019 0,000 0,000 0,20 0,40 1,377 1,087 0,859 0,674 0,521 0,393 0,282 0,30 0,60 1,554 1,323 1,129 0,963 0,820 0,695 0,585 0,40 0,80 1,652 1,462 1,295 1,149 1,019 0,902 0,797 0,50 1,00 1,715 1,553 1,409 1,278 1,160 1,052 0,953 89

97 Figura 6.2 Valores de RFR para el modelo analítico 2 en 3D con escala de color 90

98 COEF. ROZ. Δα ANGULOS º r μ μk μ s 1 1, Fp=100 0,10 0,10 0,318 0,066 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,606 0,397 0,235 0,111 0,013 0,000 0,000 0,30 0,30 0,756 0,565 0,414 0,294 0,188 0,090 0,045 0,40 0,40 0,839 0,671 0,527 0,413 0,315 0,228 0,154 0,50 0,50 0,907 0,752 0,606 0,494 0,398 0,314 0,238 0,10 0,15 0,659 0,338 0,121 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 1,034 0,760 0,545 0,384 0,252 0,145 0,039 0,30 0,45 1,226 0,986 0,775 0,620 0,482 0,350 0,267 0,40 0,60 1,350 1,134 0,927 0,769 0,626 0,504 0,416 0,50 0,75 1,462 1,221 1,040 0,872 0,732 0,606 0,508 0,10 0,20 1,002 0,613 0,346 0,159 0,018 0,000 0,000 0,20 0,40 1,468 1,133 0,876 0,660 0,496 0,361 0,241 0,30 0,60 1,719 1,408 1,145 0,939 0,771 0,615 0,500 0,40 0,80 1,883 1,585 1,314 1,115 0,939 0,782 0,654 0,50 1,00 2,000 1,689 1,438 1,236 1,047 0,901 0, ,5 2 0,15 0,10 0,10 0,297 0,055 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,575 0,377 0,226 0,109 0,009 0,000 0,000 0,30 0,30 0,696 0,535 0,402 0,300 0,204 0,122 0,050 0,40 0,40 0,760 0,625 0,511 0,422 0,334 0,256 0,187 0,50 0,50 0,798 0,683 0,592 0,506 0,424 0,351 0,286 0,10 0,15 0,627 0,320 0,110 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,980 0,726 0,531 0,386 0,259 0,151 0,062 0,30 0,45 1,127 0,922 0,754 0,631 0,506 0,400 0,307 0,40 0,60 1,209 1,031 0,891 0,783 0,669 0,568 0,479 0,50 0,75 1,253 1,104 1,003 0,882 0,777 0,685 0,602 0,10 0,20 0,963 0,588 0,334 0,155 0,014 0,000 0,000 0,20 0,40 1,385 1,085 0,846 0,669 0,513 0,382 0,271 0,30 0,60 1,568 1,313 1,108 0,964 0,812 0,682 0,568 0,40 0,80 1,662 1,449 1,272 1,144 1,005 0,883 0,775 0,50 1,00 1,704 1,522 1,402 1,256 1,130 1,016 0, ,5 2 0,3 0,10 0,10 0,283 0,047 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,550 0,361 0,215 0,102 0,005 0,000 0,000 0,30 0,30 0,681 0,506 0,381 0,283 0,191 0,113 0,045 0,40 0,40 0,736 0,596 0,485 0,386 0,301 0,226 0,163 0,50 0,50 0,750 0,637 0,524 0,432 0,358 0,290 0,235 0,10 0,15 0,602 0,304 0,100 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,938 0,698 0,509 0,371 0,247 0,143 0,057 0,30 0,45 1,106 0,872 0,717 0,593 0,474 0,373 0,284 0,40 0,60 1,164 0,990 0,845 0,711 0,600 0,500 0,419 0,50 0,75 1,163 1,017 0,871 0,746 0,648 0,557 0,483 0,10 0,20 0,927 0,564 0,319 0,145 0,007 0,000 0,000 0,20 0,40 1,327 1,034 0,812 0,644 0,492 0,365 0,260 0,30 0,60 1,523 1,252 1,061 0,904 0,759 0,635 0,526 0,40 0,80 1,593 1,380 1,199 1,032 0,897 0,776 0,675 0,50 1,00 1,572 1,391 1,209 1,055 0,932 0,823 0, ,5 2 0,45 0,10 0,10 0,270 0,039 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,533 0,348 0,205 0,097 0,002 0,000 0,000 0,30 0,30 0,632 0,493 0,373 0,265 0,179 0,105 0,041 0,40 0,40 0,672 0,549 0,443 0,351 0,277 0,211 0,153 0,50 0,50 0,647 0,556 0,464 0,396 0,331 0,275 0,223 0,10 0,15 0,584 0,294 0,094 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,908 0,673 0,490 0,357 0,236 0,136 0,052 0,30 0,45 1,016 0,855 0,694 0,549 0,438 0,343 0,262 0,40 0,60 1,046 0,877 0,751 0,630 0,536 0,453 0,382 0,50 0,75 0,990 0,868 0,747 0,661 0,582 0,513 0,450 0,10 0,20 0,901 0,546 0,309 0,138 0,003 0,000 0,000 0,20 0,40 1,285 1,001 0,787 0,617 0,469 0,346 0,243 0,30 0,60 1,399 1,212 1,009 0,829 0,689 0,573 0,475 0,40 0,80 1,411 1,222 1,049 0,894 0,779 0,681 0,597 0,50 1,00 1,314 1,163 1,012 0,906 0,812 0,731 0,659 Tabla 6.5 Resultados de RFR para Fuerza de Precarga F P=100N 91

99 COEF. ROZ. Δα ANGULOS º r μ μk μ s 1 1, Fp=150 0,10 0,10 0,319 0,067 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,611 0,402 0,238 0,114 0,014 0,000 0,000 0,30 0,30 0,754 0,571 0,425 0,301 0,203 0,118 0,048 0,40 0,40 0,843 0,675 0,535 0,423 0,326 0,239 0,166 0,50 0,50 0,919 0,758 0,619 0,508 0,411 0,325 0,252 0,10 0,15 0,659 0,340 0,122 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 1,040 0,768 0,551 0,391 0,256 0,152 0,063 0,30 0,45 1,230 0,990 0,780 0,630 0,492 0,381 0,284 0,40 0,60 1,355 1,130 0,926 0,779 0,641 0,525 0,426 0,50 0,75 1,446 1,222 1,044 0,881 0,742 0,622 0,524 0,10 0,20 1,001 0,612 0,350 0,161 0,019 0,000 0,000 0,20 0,40 1,487 1,133 0,865 0,671 0,502 0,367 0,255 0,30 0,60 1,720 1,407 1,154 0,953 0,780 0,631 0,511 0,40 0,80 1,879 1,570 1,317 1,120 0,945 0,798 0,672 0,50 1,00 2,014 1,692 1,452 1,243 1,056 0,902 0, ,5 2 0,15 0,10 0,10 0,302 0,056 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,583 0,382 0,228 0,110 0,009 0,000 0,000 0,30 0,30 0,709 0,543 0,410 0,304 0,207 0,123 0,051 0,40 0,40 0,781 0,641 0,522 0,432 0,340 0,260 0,189 0,50 0,50 0,826 0,700 0,597 0,520 0,435 0,360 0,293 0,10 0,15 0,636 0,323 0,112 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,996 0,737 0,542 0,390 0,260 0,153 0,062 0,30 0,45 1,156 0,940 0,768 0,638 0,513 0,405 0,311 0,40 0,60 1,250 1,063 0,913 0,801 0,682 0,579 0,489 0,50 0,75 1,301 1,140 1,006 0,911 0,802 0,707 0,619 0,10 0,20 0,976 0,593 0,336 0,154 0,013 0,000 0,000 0,20 0,40 1,420 1,101 0,859 0,678 0,517 0,385 0,273 0,30 0,60 1,621 1,349 1,135 0,980 0,825 0,694 0,579 0,40 0,80 1,729 1,506 1,309 1,177 1,033 0,902 0,793 0,50 1,00 1,794 1,583 1,425 1,308 1,172 1,052 0, ,5 2 0,3 0,10 0,10 0,285 0,048 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,560 0,367 0,218 0,103 0,005 0,000 0,000 0,30 0,30 0,676 0,520 0,391 0,292 0,198 0,117 0,047 0,40 0,40 0,756 0,606 0,508 0,411 0,324 0,246 0,179 0,50 0,50 0,792 0,685 0,577 0,484 0,404 0,334 0,270 0,10 0,15 0,609 0,308 0,103 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,955 0,709 0,519 0,378 0,252 0,146 0,058 0,30 0,45 1,101 0,899 0,735 0,613 0,493 0,389 0,299 0,40 0,60 1,201 1,000 0,892 0,759 0,649 0,549 0,463 0,50 0,75 1,252 1,109 0,965 0,844 0,742 0,651 0,570 0,10 0,20 0,937 0,573 0,321 0,154 0,007 0,000 0,000 0,20 0,40 1,354 1,058 0,827 0,678 0,502 0,373 0,265 0,30 0,60 1,545 1,284 1,079 0,980 0,793 0,664 0,554 0,40 0,80 1,678 1,416 1,276 1,177 0,973 0,852 0,747 0,50 1,00 1,702 1,529 1,356 1,308 1,078 0,969 0, ,5 2 0,45 0,10 0,10 0,273 0,041 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,541 0,355 0,210 0,099 0,002 0,000 0,000 0,30 0,30 0,654 0,502 0,376 0,280 0,189 0,111 0,043 0,40 0,40 0,704 0,589 0,486 0,384 0,300 0,227 0,164 0,50 0,50 0,729 0,626 0,524 0,432 0,358 0,294 0,236 0,10 0,15 0,591 0,298 0,095 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,925 0,689 0,503 0,367 0,244 0,141 0,054 0,30 0,45 1,059 0,864 0,720 0,589 0,470 0,369 0,281 0,40 0,60 1,112 0,986 0,841 0,704 0,595 0,499 0,416 0,50 0,75 1,130 0,999 0,869 0,743 0,643 0,555 0,483 0,10 0,20 0,910 0,554 0,312 0,140 0,003 0,000 0,000 0,20 0,40 1,311 1,023 0,803 0,638 0,487 0,362 0,255 0,30 0,60 1,462 1,254 1,061 0,898 0,753 0,628 0,525 0,40 0,80 1,551 1,344 1,200 1,023 0,890 0,771 0,669 0,50 1,00 1,560 1,374 1,187 1,048 0,924 0,815 0,725 Tabla 6.6 Resultados de RFR para Fuerza de Precarga F P=150N 92

100 r Δα μ μk μ s 1 1,5 2 0 COEF. ROZ. ANGULOS º Fp=200 0,10 0,10 0,318 0,067 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,612 0,404 0,240 0,115 0,014 0,000 0,000 0,30 0,30 0,757 0,575 0,425 0,306 0,204 0,121 0,050 0,40 0,40 0,843 0,679 0,543 0,428 0,328 0,243 0,174 0,50 0,50 0,913 0,756 0,617 0,508 0,416 0,330 0,259 0,10 0,15 0,656 0,340 0,122 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 1,041 0,765 0,554 0,390 0,258 0,153 0,063 0,30 0,45 1,228 0,980 0,783 0,629 0,495 0,381 0,286 0,40 0,60 1,356 1,128 0,931 0,776 0,644 0,530 0,429 0,50 0,75 1,456 1,221 1,038 0,879 0,742 0,626 0,523 0,10 0,20 1,005 0,612 0,349 0,160 0,019 0,000 0,000 0,20 0,40 1,479 1,132 0,871 0,668 0,501 0,368 0,260 0,30 0,60 1,718 1,409 1,145 0,950 0,778 0,636 0,513 0,40 0,80 1,880 1,586 1,319 1,123 0,950 0,800 0,673 0,50 1,00 2,007 1,693 1,440 1,241 1,062 0,908 0, ,5 2 0,15 0,10 0,10 0,305 0,058 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,591 0,387 0,231 0,110 0,009 0,000 0,000 0,30 0,30 0,720 0,551 0,413 0,307 0,208 0,124 0,051 0,40 0,40 0,795 0,647 0,530 0,435 0,343 0,263 0,191 0,50 0,50 0,844 0,714 0,606 0,526 0,441 0,364 0,296 0,10 0,15 0,643 0,325 0,112 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 1,012 0,747 0,546 0,393 0,261 0,153 0,064 0,30 0,45 1,180 0,958 0,777 0,644 0,516 0,407 0,312 0,40 0,60 1,279 1,078 0,925 0,811 0,691 0,586 0,493 0,50 0,75 1,340 1,166 1,026 0,927 0,816 0,714 0,625 0,10 0,20 0,990 0,597 0,338 0,154 0,013 0,000 0,000 0,20 0,40 1,445 1,116 0,869 0,682 0,520 0,385 0,274 0,30 0,60 1,656 1,375 1,155 0,990 0,832 0,697 0,579 0,40 0,80 1,777 1,529 1,329 1,194 1,045 0,917 0,799 0,50 1,00 1,852 1,632 1,461 1,333 1,194 1,072 0, ,5 2 0,3 0,10 0,10 0,288 0,048 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,566 0,370 0,221 0,104 0,005 0,000 0,000 0,30 0,30 0,687 0,527 0,397 0,296 0,201 0,119 0,047 0,40 0,40 0,755 0,617 0,503 0,419 0,331 0,253 0,184 0,50 0,50 0,811 0,693 0,575 0,501 0,420 0,347 0,282 0,10 0,15 0,614 0,311 0,104 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,965 0,718 0,525 0,382 0,254 0,148 0,058 0,30 0,45 1,120 0,913 0,745 0,622 0,501 0,395 0,304 0,40 0,60 1,203 1,024 0,876 0,776 0,664 0,563 0,475 0,50 0,75 1,277 1,128 0,979 0,876 0,775 0,679 0,597 0,10 0,20 0,946 0,577 0,325 0,148 0,008 0,000 0,000 0,20 0,40 1,376 1,070 0,834 0,663 0,508 0,377 0,267 0,30 0,60 1,556 1,307 1,099 0,954 0,805 0,674 0,563 0,40 0,80 1,659 1,467 1,256 1,137 1,000 0,876 0,769 0,50 1,00 1,733 1,558 1,382 1,250 1,125 1,012 0, ,5 2 0,45 0,10 0,10 0,275 0,041 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,20 0,548 0,359 0,212 0,100 0,002 0,000 0,000 0,30 0,30 0,665 0,510 0,383 0,287 0,194 0,113 0,044 0,40 0,40 0,725 0,594 0,503 0,401 0,316 0,240 0,174 0,50 0,50 0,756 0,660 0,564 0,469 0,390 0,320 0,259 0,10 0,15 0,594 0,299 0,096 0,000 0,000 0,000 0,000 0,20 0,30 0,938 0,696 0,509 0,372 0,247 0,143 0,055 0,30 0,45 1,079 0,883 0,721 0,604 0,486 0,381 0,292 0,40 0,60 1,148 0,985 0,880 0,742 0,633 0,535 0,450 0,50 0,75 1,205 1,077 0,949 0,819 0,716 0,625 0,546 0,10 0,20 0,919 0,560 0,315 0,141 0,003 0,000 0,000 0,20 0,40 1,334 1,037 0,809 0,647 0,494 0,367 0,260 0,30 0,60 1,505 1,264 1,088 0,924 0,782 0,652 0,543 0,40 0,80 1,622 1,416 1,229 1,084 0,950 0,831 0,728 0,50 1,00 1,680 1,426 1,295 1,163 1,040 0,929 0,834 Tabla 6.7 Resultados de RFR para Fuerza de Precarga F P=200N 93

101 El principal objetivo al simular una gran cantidad de casos donde se han ido combinando las variables ha sido llegar a establecer una correlación entre las variables y su influencia en el comportamiento mecánico del implante. Estos datos se procesaron y generaron gráficas en 2D y 3D, las cuales sirvieron para valorar cada una de las variables. En este sentido, seguidamente se muestran en varios sub-apartados dichas gráficas acompañadas de sus respectivos análisis INFLUENCIA DE LA PRECARGA FP La fuerza de precarga FP es una variable que se ha considerado en el presente proyecto, resulta importante conocer su influencia ya que, como se comentó anteriormente, de su valor depe entre otras cosas la estabilidad del implante y varía entre los fabricantes de sistemas de implantes dentales. Para este propósito se graficaron en primer lugar las superficies en 3D para conocer el comportamiento global de las variables en el espacio., según la siguiente convención de ejes. Figura 6.2 Convención de ejes para las gráficas Para evaluar la influencia de la fuerza de precarga se mantuvo constante la diferencia de ángulo de conicidad α y se fueron comparando las diferentes precargas 100, 150 y 200 N. Los valores que generan estas superficies están en las tablas 6.5, 6.6, 6.7. La figuras 6.3; 6.4; 6.5 y 6.6 muestran las superficies 3D para las diferentes α 94

102 RFR αi RFR µk Figura 6.3 Superficie 3D de valores de RFR para α=0. Precargas 100N; 150N y 200N 95

103 RFR µk αi Figura 6.4 Superficie 3D de valores de RFR para α=0.15. Precargas 100N; 150N y 200N 96

104 Figura 6.5 Superficie 3D de valores de RFR para α=0.30. Precargas 100N; 150N y 200N 97

105 200 N 150 N 100 N RFR µk αi Figura 6.6 Superficie 3D de valores de RFR para α=0.45. Precargas 100N; 150N y 200N 98

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