fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 fig. 5 EJEMPLOS 1. Si el área de un cuadrado es 144 cm 2, entonces su perímetro mide

Transcripción

1 Profesor ln Rvnl S. UNI: GOMTRÍ PRÍMTROS Y ÁRS Perímetro de un polígono, es l sum de ls longitudes de todos sus ldos. l perímetro se denotrá por p. Áre es l medid que le corresponde tod l región poligonl. l áre se denotrá por Á. Nombre Figur Perímetro Áre udrdo d 4 d Rectángulo b b + b b h Rombo h d d 1 4 d d 1 Áre bse por l ltur Romboide b h 1 b + b h 1 = b h h Triángulo b h b h + b + c b c hc = = h h h b c c c Trpecio d h b + b + c + d + c h Áre bse por l ltur dividido por dos ircunferenci y írculo O r π = πr iámetro πr Sector circulr O α rco + r α r π rco = 360º α πr 360º 1

2 JMPLOS 1. Si el áre de un cudrdo es 144 cm, entonces su perímetro mide ) 1 cm ) 36 cm ) 48 cm ) 81 cm ) 88 cm. Si el perímetro del rectángulo de figur 1, es 8 + 8b y = + 3b, entonces es ) + b ) + b ) 4 + 6b ) 4 + b ) 6 + 5b fig Si en el rombo de l figur, = 10 cm y = 7 cm, su áre es ) 140 cm ) 70 cm ) 40 cm ) 35 cm ) ninguno de los vlores nteriores fig. 4. n l figur 3, el triángulo es isósceles de bse. Si = 1 cm y = 5 cm, entonces su áre es ) 15 cm ) 30 cm ) 40 cm ) 60 cm ) 10 cm fig n l figur 4, es un trpecio rectángulo. Si = 10 cm, = 1 cm y = 15 cm, entonces el perímetro y el áre son, respectivmente, ) 37 cm y 10 cm ) 50 cm y 150 cm ) 50 cm y 180 cm ) 90 cm y 300 cm ) 150 cm y 600 cm 6. n l figur 5, se tiene dos circunferencis concéntrics de centro O. Si O = 6 cm y = 4 cm, entonces el áre de l región churd es fig. 4 ) π cm ) 8π cm ) 16π cm ) 3π cm ) 64π cm O fig. 5

3 TORM PITÁGORS n todo triángulo rectángulo, l sum de ls áres de los cudrdos construidos sobre sus ctetos, es igul l áre del cudrdo construido sobre su hipotenus. b c Terns pitgórics Triángulos Notbles + b = c b c º 3 JMPLOS 1. L sum de todos los trzos de l figur 1, es 3k ) 46 ) 49 ) 54 ) 61 ) k fig. 1. n el triángulo rectángulo de l figur, se sbe que = 10 y = 5. ntonces, cuál es el áre del triángulo? ) 5 ) ) 5 5 ) ) 50 3 fig. 3. n el triángulo rectángulo de l figur 3, se tiene que = = 3. ntonces, + = ) 6 ) 9 ) 6 ) 1 ) fig. 3 3

4 4. uánto mide el perímetro de un rombo cuys digonles miden cm y b cm? ) ( + b ) cm ) ( + b ) cm b ) ( + ) cm ) + b cm ) + b cm 5. L figur 4 está formd por el cudrdo y el triángulo equilátero de ldo igul 10 cm. uál es el perímetro del cudrilátero F? ) ( ) cm ) 5( ) cm ) 5( ) cm ) 5( ) cm ) 5( ) cm F fig n l figur 5, el triángulo es rectángulo en y = = = 8 cm. Si = 6 cm, entonces cuál es el perímetro del triángulo? ) 4 cm ) 40 cm ) 60 cm ) cm ) ( ) cm fig n l figur 6, es un cudrdo, es digonl y mide 10 cm. uál es el perímetro del cudrdo FGH? ) 0 cm ) 40 cm ) ( ) cm ) ( ) cm ) ( ) cm H G F fig. 6 4

5 FIGURS QUIVLNTS Son quells que tienen igul áre. n todo triángulo: d trnsversl de grvedd lo divide en dos triángulos equivlentes. 1 es el punto medio de 1 = Ls tres trnsversles lo dividen en seis triángulos equivlentes. F 6 5 G 4 1 3,, F puntos medios 1 = = 3 = 4 = 5 = 6 JMPLOS 1. n el triángulo rectángulo en de l figur 1, es trnsversl de grvedd. Si = 10 cm y = 6 cm, cuánto mide el áre del triángulo? ) 1 cm ) 15 cm ) 0 cm ) 4 cm ) 48 cm fig. 1. n el triángulo equilátero de l figur,, F y F son medins. Si = 0 cm, cuánto es el áre del trpecio F? ) cm ) cm ) 75 3 cm ) 5 3 cm F fig. ) cm 5

6 3. n l figur 3, y son puntos medios y el áre del triángulo es 16 cm. uál es el áre del trpecio? ) 16 cm ) 4 cm ) 3 cm ) 48 cm ) 64 cm fig n el triángulo de l figur 4, = y =. Si el áre del triángulo es 9 cm, cuál es el áre del triángulo? ) 18 cm ) 7 cm ) 36 cm ) 45 cm ) 54 cm fig n l figur 5, es un rectángulo, y F son puntos medios. Si el áre del trpezoide F es igul 4 cm, cuál(es) de l(s) siguientes firmciones es (son) verdder(s)? ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Sólo II y III ) I, II y III I) l áre del rectángulo es 48 cm. II) l áre del triángulo es igul l áre del trpezoide F. III) l perímetro del trpezoide F es el doble del perímetro del triángulo F. F fig n el deltoide, de l figur 6, el triángulo es equilátero de ldo igul 6 cm. Si el áre del trpezoide es 3( ) cm y G =,5 cm, cuál es el áre del triángulo G? ) 3 cm ) 6 cm 3 ) cm ) ) cm fig. 6 cm F G,5 cm 6

7 JRIIOS 1. l perímetro de l figur 1, es ) 15 cm ) 19 cm ) 3 cm ) 37 cm ) 47 cm 4 cm 3 cm 1 cm fig. 1. L longitud de, en l figur, es ) 6 cm ) 10 cm ) 6 cm ) 4 cm ) 6 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm fig. 3. n l figur 3, el perímetro del rectángulo es cm y F es un cudrdo de áre 9 cm. uánto mide el áre del rectángulo F? ) 15 cm ) 16 cm ) 18 cm ) 4 cm ) 33 cm F fig n l figur 4, el cudrdo FG tiene igul áre que el rectángulo de ldos 3 cm y 1 cm. uál es l medid de G? G F ) 54 cm ) 36 cm ) 1 cm ) 0 cm ) 15 cm 3 cm fig. 4 1 cm 7

8 5. L figur 5, está formd por tres cudrdos congruentes. Si cd uno de los triángulos churdos tiene un áre de 10 mm, cuál es el áre totl de l figur? ) 30 mm ) 40 mm ) 45 mm ) 60 mm ) 90 mm fig n el rectángulo de l figur 6, = 4 cm y = 3 cm. Si en cd esquin hy un cudrdo de ldo cm, cuánto mide el áre de l región churd? ) (1 ) cm ) (1 4 ) cm ) (1 8 ) cm ) (1 3 ) cm ) (1 16 ) cm fig l cudrdo de l figur 7, está dividido en cutro rectángulos congruentes. Si cd uno de los rectángulos tiene un perímetro de 0 cm, cuánto mide el áre del cudrdo? ) 3 cm ) 48 cm ) 64 cm ) 80 cm ) 144 cm fig. 7 8

9 8. n el cudrdo que muestr l figur 8 se h dibujdo un triángulo equilátero de ltur 4 3 cm. ntonces, el perímetro del cudrdo es ) 64 cm ) 3 cm ) 4 cm ) 16 cm ) 1 cm fig es un cudrdo que tiene un perímetro de 48 cm (fig. 9). Si = 13 cm, cuál es l medid del áre del trpecio? ) 30 cm ) 44 cm ) 84 cm ) 114 cm ) 144 cm fig L figur 10, muestr cutro triángulos rectángulos esclenos congruentes entre sí. Si se unen como piezs de un puzzle, cuál(es) de ls siguientes figurs siempre es (son) posible(s) formr? I) Un rectángulo. II) Un rombo. III) Un cudrdo. ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III fig Si en un cudrdo de ldo b, cd ldo ument en uniddes, entonces el perímetro ) ument en 4b + 8 uniddes ) ument en 4b + 4 uniddes ) ument en uniddes ) ument en 4 uniddes ) ument en 8 uniddes 9

10 1. n l figur 11, el cudrdo PQRS está formdo por el rectángulo y por los triángulos isósceles rectángulos congruentes,, y. uál(es) de ls siguientes expresiones corresponde(n) un áre equivlente ls tres curts prtes del áre del cudrdo? I) + + II) ( ) III) + + S R fig. 11 ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) I, II y III ) Ningun de ells P Q 13. L figur 1 está formd por cutro rectángulos congruentes. Si c = 1 d, entonces el 3 perímetro de l figur churd es igul ) 7d ) 8c + 4d ) 10c + 10d ) 6c + d ) c d fig. 1 c 14. n el triángulo equilátero de ldo 16 cm de l figur 13, se trzn ls medins. Si en el triángulo resultnte se trzn nuevmente ls medins, cuánto mide el áre de l región churd? ) 48 3 cm ) 4 3 cm ) 16 3 cm ) 1 3 cm ) 4 3 cm F fig

11 15. n el triángulo rectángulo en de l figur 14, y son trnsversles de grvedd. Si = 15 cm y = 8 cm, el áre del triángulo es ) 5 cm ) 7,5 cm ) 10 cm ) 15,5 cm ) 30 cm fig Ls siguientes figurs están construids prtir de un cudrdo de ldo ( > 9). n cuál(es) de ells se verific que el áre churd es 9? I) II) III) ) Sólo en I ) Sólo en I y en II ) Sólo en I y en III ) Sólo en II y en III ) n I, en II y en III 17. L digonl del cudrdo (fig. 15), mide 1, y l del rectángulo PQRS mide 4 5. Si P = PQ = Q, cuál es el perímetro de l figur? S R ) 58 ) 64 ) 70 ) 7 ) 74 P Q fig

12 18. es un cudrdo de ldo 4 cm y M, N, P, Q son puntos medios de sus ldos (fig. 16). uánto mide el perímetro del rectángulo MNRS? S ) 16 cm ) 18 cm ) 0 cm ) cm ) 4 cm M Q P R fig. 16 N 19. Si el ldo del hexágono regulr F de l figur 17, mide 3 cm, cuánto mide su áre? ) 9 3 cm ) ) cm cm F fig. 17 ) 9 3 cm ) 6 3 cm 0. Un tlet corre lrededor de un pist circulr. l dr tres vuelts y medi l pist recorre.100 metros. onsiderndo π = 3, cuánto mide el rdio de l pist? ) 60 m ) 75 m ) 100 m ) 15 m ) 150 m 1

13 1. n l figur 18,, O y O son semicircunferencis. Si O = O, entonces cuál es el áre de l región churd? ) 8π cm ) 16π cm ) 3π cm ) 38π cm ) 64π cm 8 cm O fig. 18. n l figur 19, el perímetro de l circunferenci de centro O es 10π cm y P = 8 cm. Si P y P son tngentes en y, respectivmente, cuánto mide el perímetro del cudrilátero PO? ) 30 cm ) 34 cm ) 36 cm ) 47 cm ) 60 cm O fig. 19 P 3. n l circunferenci de l figur 0, el rdio mide 1 cm. uál es l longitud del rco? ) 4π cm ) 8π cm ) 1π cm ) 4π cm ) 48π cm 60º fig n l figur 1, ls tres circunferencis son concéntrics, con centro en O. Si O = = = cm, entonces el áre de l región churd es ) 6π cm ) 4π cm ) 3π cm ) π cm ) π cm 60º O fig. 1 13

14 5. n el romboide de áre 100 m, F, = 13 y F = 1. uál es el perímetro del trpecio F? ) 34 cm ) 46 cm ) 54 cm ) 56 cm ) 66 cm 1 F fig. 6. n el triángulo de l figur 3, = y. l perímetro del Δ se puede determinr si : (1) = 10 cm y = 1 cm () = 8 cm y = = 6 cm ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl fig Se puede determinr el áre del rombo de l figur 4, si : (1) = 8 cm y = 5 cm () = 6 cm y el perímetro del rombo mide 0 cm. ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl fig Se puede determinr el áre del hexágono F de l figur 5, si : (1) Se conoce el perímetro del hexágono. () F es hexágono regulr. ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl F fig. 5 14

15 9. L figur 6, muestr un circunferenci de centro O y un trpecio isósceles O. Se puede determinr el áre de l región churd si : (1) O = 60º y = 6 cm () punto medio de O y O =. ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl O fig G es un punto culquier del interior del rectángulo de l figur 7. Se puede sber l medid del áre de l región churd si: (1) l perímetro del rectángulo mide 18 cm. () l áre del rectángulo mide 18 cm. ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl G fig. 7 15

16 Profesor ln Rvnl S. UNI: GOMTRÍ RTS Y PLNOS N L SPIO - ÁRS Y VOLÚMNS URPOS GOMÉTRIOS eterminción del plno: Un plno qued determindo por: os rects que se intersectn en un punto (fig. 1). P L 1 fig. 1 L Tres puntos no colineles (fig. ). P fig. Por un rect y un punto no perteneciente ell (fig. 3). P L 1 fig. 3 Por dos rects prlels (fig. 4). P L 1 L fig. 4 JMPLO 1. uál de ls siguientes lterntivs es fls? ) Un plno está determindo por un rect y un punto perteneciente l rect. ) Un plno está determindo por los cutro vértices de un cudrilátero. ) Un plno está determindo por dos rects perpendiculres. ) Un plno está determindo por dos ldos no consecutivos de un rombo. ) Un plno está determindo por los vértices de un triángulo rectángulo.

17 FINIIONS POLIRO: uerpo limitdo por cutro o más polígonos donde cd polígono se denomin cr, sus ldos son rists y l intersección de ls rists se llmn vértices. rist r Vértice PRISM: Poliedro limitdo por prlelogrmos (crs lterles del prism) y dos polígonos congruentes cuyos plnos son prlelos (bses del prism). ÁNGULO IRO: s el ángulo formdo por dos semiplnos, que tienen un rist común y su medid es el ángulo rectilíneo formdo por dos rects perpendiculres l rist en un mismo punto. P Ángulo Semiplno rist diedro P 1 JMPLOS 1. uánto mide el ángulo diedro formdo por los plnos P 1 y P que se cortn perpendiculrmente en l figur 1? ) 30º ) 45º ) 54º ) 90º ) 108º P 1 P fig. 1. uánto mide el ángulo diedro formdo por ls crs lterles del prism de l figur, cuy bse es un pentágono regulr? ) 30º ) 45º ) 54º ) 90º ) 108º fig.

18 URPOS GNROS POR ROTIÓN O TRSLIÓN FIGURS PLNS URPOS RVOLUIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen hciendo girr un superficie pln lrededor de un eje SFR ILINRO ONO TRONO ILINRO ON eje de giro ONO OS ONOS TRSLIÓN: Se genern por trslción de un superficie pln: Prism tringulr Prism trpezoidl Prism pentgonl Prism hexgonl ilindro circulr recto JMPLOS 1. do un triángulo, rectángulo en (figur 1). uál es el cuerpo generdo por l rotción de dicho triángulo en torno su hipotenus? fig. 1 ) ) ) ) ). n l figur, se muestr un cuerpo de revolución. ste cuerpo puede ser generdo por l rotción de l región fig. I) II) III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) Sólo I y III 3

19 URO RSUMN ÁRS Y VOLÚMNS URPOS GOMÉTRIOS NOMR FORM ÁR VOLUMN PRLLPÍPO RTNGULR h b (b +bh + h) b h UO 6 3 Volumen PRISM RTO RTNGULR h h( + b + c)+ = áre bsl h Áre de l bse por l ltur b c ILINRO RTO S IRULR h πrh + πr πr h r PIRÁMI RT S UR ONO RTO S IRULR h g h g r g + g = potem lterl πrg + πr g= genertriz 1 h 3 1 r h 3 π Volumen Áre de l bse por l ltur dividido por tres SFR r 4πr 4 r 3 3 π 4

20 JMPLOS 1. l áre de l esfer cuyo rdio mide 6 cm es ) 16π cm ) 36π cm ) 7π cm ) 144π cm ) 88π cm. uál es el volumen del cono generdo por l rotción de un triángulo rectángulo isósceles, en torno uno de sus ctetos de longitud 3 cm? ) 3π cm 3 ) 6π cm 3 ) 9π cm 3 ) 7π cm 3 ) Se requiere informción dicionl 3. uál es el áre y el volumen del prism recto de bse tringulr de l figur 1 cuys rists miden cm? Áre Volumen ) cm 3 cm 3 ) cm 3 cm 3 ) cm 3 cm 3 ) cm 3 cm 3 ) cm 4 3 cm 3 fig. 1 5

21 PUNTOS N L SPIO n l figur 1 observmos tres ejes X, Y, Z mutumente perpendiculres que genern tmbién tres plnos perpendiculres XY, XZ, y el YZ. l prlelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tnto que el punto K está en el plno YZ, el punto L, en el plno XZ y el punto M en el plno XY, pero el punto está suspendido en el espcio encerrdo por los tres plnos. ste punto tiene coordends (, b, c). Z c K fig. 1 L b Y M X JMPLOS 1. uál es l distnci entre el origen de coordends y el punto (1, 1, 1)? ) 1 ) 3 ) ) 3 ) 3 3. n l figur, ls coordends de los vértices, y del cubo son, respectivmente, (3,0,0), (0,3,0) y (0,0,3), entonces cuál son ls coordends del vértice? ) (3,3,0) ) (0,3,3) ) (3,0,3) ) (3,3,3) ) (0,0,3) z fig. y x 6

22 JRIIOS 1. l cudrilátero es un rectángulo (figur 1). Si = = x, entonces el áre del cilindro generdo l rotr el rectángulo respecto del ldo es ) 4π x ) 6π x ) 8π x ) 1π x ) 16π x fig. 1. Un cudrdo de ldo 3 cm se trsld 4 cm poydo sobre uno de sus ldos en un plno perpendiculr él, como se muestr en l figur. uál es el volumen del cuerpo generdo? ) 9 cm 3 ) 1 cm 3 ) 7 cm 3 ) 36 cm 3 ) 64 cm 3 fig. 3. L mitd de cd un de ls crs de un cubo se h churdo (fig. 3). Si l superficie totl churd del cubo es de 48 cm, cuál es el volumen del cubo? ) 64 cm 3 ) 96 cm 3 ) 18 cm 3 ) 19 cm 3 fig. 3 ) 56 cm 3 7

23 4. n l figur 4, cuánto mide el menor ángulo diedro formdo por el plno y un de ls crs del prlelepípedo rectngulr de rists 4, 4 3 y 10? ) 3 º ) 3 º ) 30º ) 60º ) 90º 10 4 fig entro de un cj cúbic cuyo volumen es 16 cm 3, es colocd un pelot que es tngente ls crs del cubo (fig. 5). uál es el volumen de l pelot? ) 108π cm 3 ) 36π cm 3 ) 7π cm 3 ) 18π cm 3 ) 6π cm 3 fig l desplzr 3 cm un triángulo equilátero de ltur 3 cm, se obtiene un prism recto. uál es el áre del cuerpo, en centímetros cudrdos? ) ) 3 3 ) 6 3 ) ) cm fig Ls pelots de tenis vienen envsds en trros cilíndricos en los cules cben exctmente tres de ells, tl como se muestr en l figur 7. uál es el volumen del trro si el rdio de cd pelot es 4 cm? (considere π = 3) ) 1.15 cm 3 ) 95 cm 3 ) 576 cm 3 ) 88 cm 3 ) 19 cm 3 fig. 7 8

24 8. n l figur 8, se muestr un cuerpo de revolución. on cuál(es) de ls opciones siguientes se puede generr el cuerpo l rotr l figur pln en torno l eje? fig. 8 I) II) III) ) Sólo con I ) Sólo con I y con II ) Sólo con I y con III ) Sólo con II y con III ) on I, con II y con III 9. n un cubo de rist se inscribe un triángulo como muestr l figur 9. ntonces, el triángulo es ) equilátero ) rectángulo isósceles ) rectángulo escleno ) isósceles obtusángulo ) escleno no rectángulo fig Si ls lturs y ls bses de un cono y de un cilindro son igules, entonces l rzón entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, respectivmente, es ) 1 : 3 ) 3 : 1 ) 1 : 9 ) 9 : 1 ) 1 : 7 9

25 11. n l figur 10, l pirámide O está inscrit en el cubo. uál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I) L diferenci entre el volumen del cubo y l pirámide es el doble del volumen de l pirámide. II) l volumen del cubo es 3 veces el volumen de l pirámide. III) l áre del cubo es 3 veces el áre de l pirámide. ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Sólo II y III O fig L figur 11 represent un piscin generd l trsldr n metros el trpecio churdo. l lrgo de l piscin es 8 m y tiene 1,5 m de profundidd mínim y,5 m de profundidd máxim. Pr que el volumen de l piscin se 56 m 3 el vlor de n debe ser ) 1,5 m ),5 m ) 3,5 m ) 4,0 m ) 4,5 m n fig l sumergir completmente un piedr dentro de un tubo cilíndrico de 5 cm de rdio (fig. 1), el nivel del gu que contiene sube 4 cm. uál es el volumen de l piedr? (considere π = 3,14) ) 314,0 cm 3 ) 51, cm 3 ) 15,6 cm 3 ) 31,4 cm 3 ) Flt informción pr determinrlo fig n el cubo de l figur 13, l rist es 4 cm y un vértice está en el origen (0, 0, 0). Si el punto tiene coordends (4,, 0) y cd rist se h dividido en cutro prtes igules, cuáles son ls coordends del punto? z ) (3, 3, 3) ) (4, 3, 4) ) (3, 4, 3) ) (3, 4, 4) ) (4, 3, 3) y fig x

26 15. Los puntos,, y de l figur 14, son los vértices de l bse de un cubo. uál de los puntos de ls lterntivs no es uno de los 4 vértices que fltn del cubo? ) (, 1, 4) ) (5,, 4) ) (1, 6, 4) ) (5, 6, 4) ) (1,, 4) z fig y x 16. n l figur 15, el cubo tiene de rist 4 cm. uáles son ls coordends del centro de grvedd del cubo? z ) (0, 0, 0) ) (4, 4, 4) ) (,, 0) ) (0, 0, ) ) (,, ) 4 4 y fig x 17. n l figur 16, se tiene un prism recto cuy bse es un hexágono regulr de ldo 5 y l ltur del prism es 1. uál es el volumen del prism? ) ) 15 3 ) 15 ) 45 3 ) fig

27 18. Ls crs y de l cj (fig. 17) son cudrds y el resto son rectngulres. l volumen de l cj se puede determinr si: (1) l áre de un de ls crs cudrds es de 36 cm. () l perímetro de un de ls crs rectngulres es de 3 cm. ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl fig l peso del ldrillo de l figur 18, se puede determinr si: (1) 1 cm 3 del mteril con que h sido fbricdo pes grmos. () Medio kilo equivle 50 cm 3 del mteril ocupdo. fig. 18 ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl 1 cm 13 cm gujeros 9 cm 9 cm 0. Se puede determinr l rzón entre los volúmenes de los cuerpos generdos por los triángulos y F de l figur 19, l hcerls girr en torno l eje indicdo si: (1) Δ ΔF () = F = cm fig. 19 ) (1) por sí sol ) () por sí sol ) mbs junts, (1) y () ) d un por sí sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl 60 F 60 1