1.6 Perímetros y áreas

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1 3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente los elementos de ls figurs en los dibujos respectivos Figur y sus elementos Representción Perímetro Áre udrdo 4 Ldo: Triángulo Ldos:, b, c Altur: h, h b, h c + b + c h Rectángulo Ldos:, b c + b b Prlelogrmo Ldos:, b Altur: h + b h Rombo Ldo: Digonles: e, f 4 ef Trpecio Bses:, c Ldos: b, d Altur: h írculo Rdio: r + b + c + d ( + c) h πr π r

2 33 Tre: Averigur ls fórmuls pr un polígono regulr de n ldos. Teorem de Pitágors Un triángulo es rectángulo si y solo si el cudrdo de l longitud de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de ls longitudes de los ctetos. AB rectángulo en si y solo si c = + b Problem on el cudrdo cuyos ldo mide + b, demuestre el Teorem de Pitágors b b c c c c b b 4 + ( b) = c b + - b + b = c c = + b b orolrios 1. L digonl de un cudrdo de ldo, es.

3 34 L ltur de un triángulo equilátero de ldo es 3 h = 3 h = Ejercicios 1. lculr el áre de un rectángulo 1 cm de lrgo y digonl de 13 c.. Si el ldo de un cudrdo ument l doble, qué ps con su áre? 3. Se ument l bse de un triángulo l doble y l ltur permnece constnte, qué sucede con el áre? 4. Si el perímetro de un cudrdo se duplic, entonces su áre: 5. Si el rdio de un circunferenci se duplic, qué ps con su perímetro? 6. A l circunferenci de l figur se le inscribió y circunscribió un cudrdo. Si se sbe que el áre del cudrdo inscrito es 4 cm, qué áre tiene el cudrdo myor. 7. Un escler de 6 pies de longitud se coloc contr un pred con l bse pies de l pred A qué ltur del suelo está l prte más lt de l escler? Ejercicios resueltos # 4 1. Sobre los ldos del cudrdo ABD de ldo 4 cm de l fig, se hn construido cutro semicircunferencis. uál es el áre sombred? Solución d semicircunferenci tiene diámetro 4, es decir rdio y por lo tnto tiene áre π π = cm El áre de ls cutro semicircunferencis es 8π cm

4 35 A este vlor hy que restr: el áre comprendid entre l circunferenci de diámetro A y el cudrdo ABD de ldo 4 Áre del cudrdo ABD: 16 cm L circunferenci tiene diámetro A, que es hipotenus de AB, isósceles, rectángulo en B, AB = B = 4, según Teorem de Pitágors = cm A = 4 cm A = luego el rdio de l circunferenci es cm El áre de l circunferenci es ( ) π = 8π cm El áre comprendid entre l circunferenci de diámetro A y el cudrdo ABD de ldo 4 es: π 8 cm 16cm El áre pedid es 8π cm ( 8π cm 16cm ) = 16 cm. En l figur. ABD: cudrdo. AE = EB ; BM = M. Si el áre del EBM es 5 cm. uál es el áre de l zon NO sombred del cudrdo? Solución Ddo que BM = M, se N el punto medi de AD, form dos rectángulos congruentes, ABMN y NMD. Se determin el punto F en MN de modo que EF // BM, D N F M A E B El rectángulo EBMF tiene el doble de áre que EBM = 5 cm Áre de rectángulo EBMF es 10 cm

5 36 El rectángulo AEFN tiene ldos EF = BM, AE = EB Áre de rectángulo AEFN es 0 cm El áre del rectángulo NMD es 30 cm El áre del rectángulo ABD es 60 cm El áre de l región No churd es 60 cm -5cm =55 cm 3. lcule el áre de ls figurs churds ) 1m b) 9 m 0 cm ) Solución 41 m 8 cm 8 cm 1 m 41 m h 9 m 0 m L ltur del trpecio es h, plicndo Teorem de Pitágors, h = 9 0 = = 441 = 1 El áre del trpecio es l semi sum de ls bse por l ltur: (41+ 1)1 6* 1 = = 31* 1 = 651cm ( Tmbién puede ser el áre del cudrdo más el áre del triángulo) b) Solución L región pedid es simétric respecto de l digonl del cudrdo ABD, D F 0 cm A E 1 cm B

6 37 Sen E y F puntos tles que AE = 8cm y AF = 8cm 0 *1 EB rectángulo en B de áre es = 10 cm FD rectángulo en D de áre 10 cm Áre del cudrdo ABD es 0*0 = 400 cm Áre pedid es 400 cm 40 cm = 160 cm 4. Un poste verticl de 6 metros de lto, proyect un sombr de 4 metros. uál es l ltur de un árbol que l mism hor, proyect un sombr de 1,8 metros? Solución SOL F poste 6 m árbol x m 90º 90º A sombr 4 m B D sombr 1,8 m E AB ~ DEF, porque AB = DFE = 90º, AD = DFE, entonces A AB = reemplzndo los vlores FD DE 6 4 x 6 *1,8 = x = x =,7 1,8 4 por lo tnto l ltur del árbol es,7 m

7 38 5. ABD rectángulo BA = 30. Si A es un semicircunferenci de rdio 3cm, lcule el áre de l superficie churd. D A 30 B A = 6cm, se M = A BD DAM = 60 es el complemento de BA = 30 AMD es equilátero de ldo 3 cm Luego áre del AMD es 3 3 Áre de l semicircunferenci es: 9π Áre del sector circulr, de rco AD es 1 9π 3 π = 3 Rectángulo de ldos 3 y 36 9 = 7 = 3 3 Áre AD es: 9 3

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