Intuición y rigor en la resolución de problemas

Transcripción

1 II Coloquio Iteracioal sobre Eseñaza de las Matemáticas Lima, Febrero 2007 Ituició y rigor e la resolució de problemas Uldarico Malaspia Jurado umalasp@pucp.edu.pe Director del IREM Lima Potificia Uiversidad Católica del Perú

2 Ua forma de trabajar propoiedo y resolviedo problemas I. Presetació del problema o de la situació. II. Propuesta de actividades idividuales, co alguas dificultades iiciales. III. Propuesta de actividades grupales, co mayores y crecietes dificultades, etre las que está modificar el problema o crear uo uevo. IV. Puesta e comú (Exposicioes-Discusió) V. Cometarios del profesor.

3 U ejemplo Problema Determiar el perímetro míimo que puede teer ua regió poligoal costruida co cuadrados, cada uo de área

4 Situació Se tiee 11 fichas cuadradas, todas del mismo tamaño.

5 Actividades idividuales (Asumir que cada ficha es u cuadrado uitario, de perímetro 4.) 1. Costruir co las 11 fichas, si superposicioes, ua regió poligoal que tega perímetro Costruir co las 11 fichas, si superposicioes, ua regió poligoal que tega el meor perímetro posible.

6 Actividades grupales 1. Explicar cómo se costruiría ua regió poligoal co 476 cuadrados, cada uo de área 1, de modo que tega perímetro míimo. 2. Hallar el perímetro de la regió poligoal correspodiete a la actividad aterior. 3. Determiar el perímetro míimo que puede teer ua regió poligoal costruida co cuadrados, cada uo de área Propoer otras actividades u otro problema a partir de lo trabajado.

7 Examiado el problema propuesto Es ua excelete oportuidad para examiar el problema geeral examiado previamete los casos más secillos Llamemos P() al perímetro míimo del polígoo costruido co cuadrados uitarios. = 1 Caso trivial. P() = P(1) = 4x1 = 4 = 2 Esecialmete, sólo hay ua posibilidad: u rectágulo de 2 x 1 P() = P(2) = 2x2 +2 = 6

8 Examiado el problema propuesto = 3 Esecialmete, sólo hay dos formas de añadir u cuadrado al rectágulo aterior: Pegarlo al lado más corto, formado u rectágulo de 3 x 1: perímetro = 2 x = 8 Pegarlo al lado más largo, formado ua escuadra: perímetro = 2 x = 8 E cosecuecia P(3) = 8

9 Examiado el problema propuesto Observació: E el caso = 2. Dijimos: Esecialmete, sólo hay ua posibilidad: Ituitivamete hemos descartado otras posibilidades, si justificació formal Es ua oportuidad para Reflexioar sobre el rigor Cosiderar el problema Miimizar 8-2x, co la restricció 0 x 1

10 Examiado el problema propuesto Miimizar 8-2x, co la restricció 0 x 1 (1, 6) Tambié es ua oportuidad para examiar el sigificado geométrico y aalítico al cosiderar la restricció 0 < x < 1.

11 Costruyedo polígoos de perímetro míimo = 4 Sólo hay, esecialmete, cuatro formas: U rectágulo de 4 x 1: perímetro = 2 x = 10 Ua L: perímetro = 2 x = 10 Ua S perímetro = 2x4 + 2 = 10 U cuadrado de lado 2: perímetro = 2x4 = 8 E cosecuecia P(4) = 8

12 Costruyedo polígoos de perímetro míimo = 5 Las formas resulta de añadir de diversas maeras u cuadrado a cada ua de las formas obteidas para = 4:

13 Costruyedo polígoos de perímetro míimo = 5 Ua oportuidad para idetificar situacioes equivaletes y casos eseciales e ua situació problemática E resume, hay dos casos al costruir u polígoo co 5 cuadrados uitarios, teiedo e cueta su perímetro y partiedo de los casos para = 4 : a. Al añadir el cuadrado, el perímetro se icremeta e dos uidades. b. Al añadir el cuadrado, el perímetro o se icremeta. Como los polígoos co 4 cuadrados uitarios tiee perímetro 10 ó perímetro 8, podemos costruir polígoos co 5 cuadrados uitarios cuyo perímetro sea 12 ó 10, y e cosecuecia P(5) = 10

14 Costruyedo polígoos de perímetro míimo Oportuidad para hacer cojeturas para el caso geeral formalizarlas y refutarlas o demostrarlas - a partir de las observacioes de casos particulares E geeral, cuado se tiee cuadrados de área uo Observacioes 1. Los casos vistos ateriormete y los que se puede seguir obteiedo, os hace ituir que la figura plaa que tedrá el perímetro míimo será aquella que más se aproxime a u cuadrado. 2. Lo aterior es coherete co la solució del problema de determiar el rectágulo de perímetro míimo y área dada. Tal problema lo plateamos como Mi 2x + 2y sujeto a xy = K (costate dada)

15 Costruyedo polígoos de perímetro míimo : resume de los diversos casos Resumiedo: + < + + = + + < + = + = = + próximo a etero más el k k w Z w w k k si w próximo a etero más el k k Z k si Z k k si P , 0,, 1) 4 4 2(1, 0,, 2 4, 4 ) ( ν ν ν ν

16 Costruyedo polígoos de perímetro míimo : resume de los diversos casos Oportuidad para usar la fució máximo etero E la formalizació aterior, e verdad k = [ ] y etoces podemos escribir más resumidamete: + < + + = + < + = + = = 1 ] [ 0,, ] [ ] [ 4 ] 4[ ] [ 0,, ] [ 2 ] 4[ ] [ 4 ) ( w Z w w si Z si si P ν ν ν

17 U estudio empírico co problemas secillos de optimizació

18 Itroducció Buscamos el mejor camio Tratamosde ecotrar la mejor ubicació cuado vamos al cie Vida diaria Usamos uestra experiecia e ituició No usamos mat. formalizada PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Ciecias aturales y sociales Ecoomía: la teoría eoclásica Física: la maximizació de la etropía y la miimizació de la eergía Modelos matemáticos Problemas isoperimétricos Programació matemática Teoríade cotrol Teorías Matemáticas Métodos

19 Itroducció (cotiuació) 1 Los problemas de optimizació geeralmete so estudiados e carreras cietíficas e las uiversidades.

20 . Itroducció (cotiuació) 2 Vemos cómo ua actividad metal e ituitiva que se practica permaetemete e la vida diaria, es coocida y tratada formal y rigurosamete recié e el ivel uiversitario o a ivel itroductorio e cursos de cálculo diferecial ofrecidos a estudiates de 16 ó 17 años.

21 Itroducció (cotiuació) 3. Se ha observado que jóvees que ha estudiado capítulos de máximos y míimos e u curso de cálculo diferecial, ate problemas de optimizació co variables cotiuas, aplica mecáicamete la rutia de la primera y seguda derivada de la fució a optimizar.

22 Especialmete cuado la dificultad o es obteer el valor óptimo de ua fució cotiua defiida sobre u itervalo cerrado y acotado Itroducció (cotiuació) 4. Pero o ha desarrollado ua actitud cietífica que combie INTUICIÓN HABILIDAD PARA HACER CONJETURAS FORMALIZACIÓN Y RIGOR

23 Itroducció (cotiuació) 5. Esta situació motiva ivestigar Sobre cómo orietar el apredizaje del cálculo diferecial, especialmete el capítulo de máximos y míimos Sobre cómo itroducir adecuadamete problemas de optimizació e la educació básica Sobre la maera de estudiar estos problemas como ua parte importate del curriculum

24 Marco coceptual Problema Problema de optimizació Formalizació Rigor Ituició

25 Los problemas propuestos Problema 1 (Co variacioes cotiuas): Hallar e el plao cartesiao cuatro putos de coordeadas eteras, de modo que sea los vértices de u paralelogramo cuyo perímetro sea 28 y cuya área sea máxima.

26 Los problemas propuestos Problema 2 (Co variacioes discretas) Llamamos paso aplicado a u úmero, cuado se le multiplica por 2 ó cuado se le dismiuye e 3 uidades. Hallar el meor úmero de pasos que se debe aplicar para obteer el úmero 25, partiedo del úmero 11.

27 Aálisis del problema 1 Hacemos u aálisis epistémico del problema, usado los seis objetos matemáticos que se poe e juego e la actividad matemática, segú el efoque otosemiótico de Godio (*) (*) Godio, J.D. et al (2005) A oto-semiotic aalysis of combiatorial problems ad the solvig processes by uiversity studets. Educatioal Studies i Mathematics 60: pp 3-36.

28 Leguajes Represeta Problemas R e p r e s e t a Represeta Coceptos Resuelve Relacioa Procedimietos Proposicioes Permite Argumetos Justifica Variables

29 Aálisis del problema 1 (cotiuació) Hallar e el plao cartesiao cuatro putos de coordeadas eteras, de modo que sea los vértices de u paralelogramo cuyo perímetro sea 28 y cuya área sea máxima Leguaje: Plao cartesiao; coordeadas de u puto; área máxima; el perímetro es 28 Coceptos: Paralelogramo; vértices, perímetro y área de u paralelogramo; seo y coseo de u águlo; rectágulo; cuadrado; rombo; orde e los úmeros reales. Problema: Cómo es el paralelogramo de perímetro dado y área máxima?

30 Aálisis del problema 1 (cotiuació) Procedimietos: Cosiderar gráficamete u paralelogramo represetado ua situació geeral (lados o perpediculares) Observar que varía el área al variar el águlo, mateiedo costates las logitudes de los lados. Determiar el águlo más coveiete (maximizate) Hacer variar las logitudes de los lados. Determiar las logitudes más coveietes (maximizates) Seguir ua secuecia similar a la aterior, pero fijado primero el águlo Escoger las coordeadas de los vértices

31 Aálisis del problema 1 (cotiuació) Proposicioes: a. El paralelogramo de mayor área, co las logitudes de sus lados fijas, es el rectágulo. b. El rectágulo de mayor área, co perímetro dado, es el cuadrado. c. El paralelogramo de mayor área, fijado el perímetro y u águlo etre sus lados, es u rombo. d. El rombo de mayor área, fijada la logitud de sus lados, es u cuadrado.

32 Aálisis del problema 1 (cotiuació) Argumetos: - Razoamieto deductivo - Tateo iteligete - Afirmacioes haciedo variar u águlo etre los lados del paralelogramo, mateiedo fijas las logitudes; y, fijado u águlo, haciedo variar las logitudes de los lados, mateiedo el perímetro. Variables: u águlo etre los lados del paralelogramo y las logitudes de estos lados, co sus restriccioes correspodietes.

33 Aálisis de las solucioes de los estudiates Mostraro sólo sus resultados P1 P2 Procedimietos? Argumetos? Proposicioes? 36,8% 28,9% Respuesta correcta Respuesta correcta 57,1% 72,7% Buea aproximació ituitiva? Débil ifluecia del Cálculo Diferecial para ir más allá de ua solució ituitiva para to develop formal structures of logical thikig (Fischbei).

34 Aálisis de las solucioes de los estudiates Respuesta correcta 55,3% P1 Presetaro formalizacioes P2 23,7% Respuesta correcta 66,7% 66,7% Hay deficiecias e el maejo formal de argumetos, procedimietos y proposicioes Las deficiecias so más serias al resolver el problema co variació discreta.

35 Aálisis de las solucioes de los estudiates P1 Presetaro formalizacioes P2 No justific. su res. es óptimo 55,3% 23,7% No justific. su res. es óptimo 28,6% 55,6% Hay deficiecias e el pesamieto riguroso y e el uso de formalizacioes para demostrar resultados. Y el Cálc. Dif? Las deficiecias so más serias al resolver el problema co variació discreta.

36 Aálisis de las solucioes de los estudiates Itetaro justificar que sus resultados so óptimos P1 P2 42,1% 10,5% Justificaro Justificaro 18,8% 50% Deficiecias e el pesamieto riguroso y e la capacidad de probar resultados Cosidera suficiete ecotrar ua solució que parece covicete

37 Coclusioes prelimiares 1. Debemos prestar más ateció a educar e la formalizació y el rigor, como ua actitud cietífica que complemeta la ituició y cotribuye a clarificar y desarrollar argumetos, procedimietos y proposicioes y o sólo como el uso de ciertas reglas o rutias para obteer ua secuecia de resultados parciales. E particular, es ecesario profudizar ua ivestigació sobre la presecia de este efoque e la eseñaza y apredizaje de máximos y míimos e el cálculo diferecial

38 Coclusioes prelimiares 2. Debemos cotribuir a poteciar la ituició optimizadora que se geera al buscar situacioes óptimas e la vida diaria, educado e la formalizació y el rigor desde la educació primaria, usado problemas adecuados de optimizació.

39 Referecias [1] Dubisky, E. (2000) Meaig ad formalism i mathematics, Iteratioal Joural of Computers for Mathematical Learig, Volume 5, Number 3, pp [2] Fischbei, E. (1994). Ituitio i sciece ad mathematics. Reidel Publishig Compay. Secod pritig, Hollad. [3] Godio, J.D. et al (2005) A oto-semiotic aalysis of combiatorial problems ad the solvig processes by uiversity studets. Educatioal Studies i Mathematics 60: pp [4] Malaspia, U. (2005). Motivatio ad developmet of mathematical thikig usig optimizatio problems. Proceedigs of the 4th Mediterraea coferece o mathematics educatio. Volume II, pp [5] Malaspia, U. ( ) El ricó de los problemas. Revista UNIÓN. FISEM, Nos. 1 al 8.