Práctica 0 a 6. Matemática

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1 Práctica 0 a 6 Matemática 0

2 CONTENIDO PRÁCTICA 0 PRELIMINARES ALGUNAS RESPUESTAS 5 PRÁCTICA NÚMEROS REALES 6 EJERCICIOS SURTIDOS 9 PRÁCTICA FUNCIONES FUNCIONES LINEALES FUNCIONES CUADRÁTICAS FUNCIONES POLINÓMICAS 7 EJERCICIOS SURTIDOS 9 PRÁCTICA LÍMITE DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS FUNCIONES HOMOGRÁFICAS 6 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 7 FUNCIÓN INVERSA 8 EJERCICIOS SURTIDOS 0

3 PRÁCTICA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS SURTIDOS 6 PRÁCTICA 5 DERIVADAS 8 EJERCICIOS SURTIDOS PRÁCTICA 6 INTEGRALES 6 EJERCICIOS SURTIDOS 5 EVALUACIONES PRIMER PARCIAL 5 SEGUNDO PARCIAL 55 EXAMEN FINAL 56 RESPUESTAS DEL EXAMEN FINAL 58

4 LIBROS DE CONSULTA ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C. Matemáticas Universitarias. McGraw Hill. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel y COLERA J. Matemática II. C.O.U. ANAYA. PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC Matemática Teórica. CCC Educando. PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall. SPIEGEL, Murray R. Cálculo Superior. McGraw Hill. ZILL, Dennis G. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill.

5 PRÁCTICA 0 PRELIMINARES Ejercicio.- Calcular. a b c d. ( ): ( 0 70) e. 5 + : 8 5 f. (5+,) 5,8 5 + :( +,) g h i j k. 6 : 5 5 l. ( ) 9 8 Ejercicio.- Reducir a una sola fracción. a. c. e. 5 b. d f. + g : h. + + Ejercicio.- Resolver. a b c. d. + e. 6 f. +

6 PRÁCTICA 0 g. i. k. m h. j l n Ejercicio.- a. Desarrollar. i. ( 5) ii. ( + 7) iii. ( )( + ) iv. ( y)( + y) b. Escribir como producto de dos factores. i. iii. v. 8 ii. 6 iv vi Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las epresiones dadas son iguales. a. ab y a b ( a, b 0) b. a+ b y a + b ( a, b 0) c. a a y ( a > 0) a a+ b y a + ab+ b d. ( ) a+ b y a + b e. ( ) f. a+ b b y + a a ( a 0) g. a+ b a b y + c c c ( c 0) h. y + a+ b a b ( a 0, b 0, a+ b 0) i. a 5 y a 5

7 PRÁCTICA 0 j. k. l. a b a b a+ b a y ( )( ) y ( a 0) a a a a y ( 0) m. a b b y ( a 0, b 0) a a c ad n. : y ( b 0, c 0, d 0) b d bc Ejercicio 6.- Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la base b y a la altura h de un rectángulo. a. La base ecede en unidades a la altura. b. El perímetro del rectángulo es de 50 cm. c. La base es el doble de la altura. d. El área del rectángulo es 00 cm. e. La diagonal del rectángulo mide 5 cm. f. El rectángulo es un cuadrado. g. La altura es igual a 5 de la base. Ejercicio 7.- El Gran Mago me dijo: - Piensa un número. - Súmale 7. - Multiplica por el resultado. - A lo que salga réstale 5. - Divide por. - Súmale. - Dime el resultado. Le dije: 5 y el Gran Mago dijo: pensaste en el 9. Por qué pudo responder el Gran Mago?

8 PRÁCTICA 0 Ejercicio 8.- Asociar cada enunciado con la epresión algebraica correspondiente. I. El área de un triángulo es base por altura dividido por A. 7 a a II. 7 menos el triple de un número B. b III. La diferencia de dos cuadrados C. ( a b) IV. El triple de un número menos 7 D. V. El cuadrado de la diferencia de dos números VI. VII. La diferencia de dos números dividida por La tercera parte de un número menos otro bh A E. a 7 F. G. a b a b Ejercicio 9.- Cuántos minutos hay en 8 de día? Ejercicio 0.- Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco setas partes de la mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero? Ejercicio.- Un automóvil 0Km cuesta $ Si cada año pierde el 0% de su valor, hallar cuánto valdrá dentro de años. Ejercicio.- Una pastilla que pesa gramos, contiene 5% de aspirina, 5% de vitamina C y el resto es ecipiente. Cuántos gramos de cada sustancia contiene? Ejercicio.- Un patio rectangular mide metros de perímetro; si el largo es tres veces el ancho, cuánto miden ambos? Ejercicio.- María tiene 6 años y Juan, 8; dentro de cuántos años la edad de María será el triple de la edad de Juan?

9 . a. 7 e. i. PRÁCTICA 0 ALGUNAS RESPUESTAS j. b. c. 8 5 d. f. 0 g. h. 8 5 k. 5 l.. a. 5 b. + c. d. + e. 8 0 f. + g h. 5 5 ( ). a. b. c. 8 d. e. g. 0 h. j. k. m. f. ningún 0 i. l. n. ningún 7. La cuenta que hace el Mago es ( + 7) Es decir, debe restarle al número que le dije minutos. 0. El primero come 5 porción mayor que la del primero.. $ de la pizza, el segundo 7 6 de la pizza, que resulta ser una. 0,5 gramos de aspirina, 0,7 gramos de vitamina C y 0,8 gramos de ecipiente.. 9 metros de largo y metros de ancho.. Dentro de 6 años. 5

10 Ejercicio.- Representar en la recta real. PRÁCTICA NÚMEROS REALES a. Todos los números reales tales que ( ) 0 b. Todos los números reales tales que c. { /( )( + 5) 0} d. { /(5 )( 9) 0} e. { /( )( + 5) 0} f. { /( )( + )( 5) 0} g. { /( ) 0} h. { / } i. { / } j. { / 0} 6 0 Ejercicio.- a. Decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C. a 5 b 0 i. C { / < } a b ii. C { / < 8} iii. C { / 5> 0} a 0 b 5 iv. C { / > 0} a 5 b v. vi. C /5 > a b C / a 9 b b. Dar dos números que pertenezcan al conjunto A y dos que no pertenezcan. i. A { / < } ii. A { / > 5} 6

11 PRÁCTICA Ejercicio.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real. a. Todos los números reales menores que. b. Todos los números reales mayores o iguales que. c. Todos los números reales mayores que y menores o iguales que 7. d. { / } e. { / < 6} f. { / < } g. { / < ó > 5} Ejercicio.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real. a. { / < 0} b. /5 > c. { /+ 5} d. { /5 < + } f. { / < } e. { / + 5} g. { /< 7} h. { / < } Ejercicio 5.- Juan salió de su casa con $ 0. Gastó $ 5 en llegar a la Facultad y $ 5 en el almuerzo. En la librería hay una oferta de cuadernos a $ 5. Si debe reservar $ 5 para regresar, cuántos cuadernos puede comprar? Ejercicio 6.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real. a. { / ( ) > 0} b. { /( )( + ) < 0} c. { / } d. { / 0} Ejercicio 7.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real. + a. { / > 0} b. { / > 0} 5 7 5

12 PRÁCTICA c. { / < 0} d. { / < 0} + 5 e. g. i. k. / < f. 5 / + > h. 8 / < 0 j. 9 / > + l. 5 / > / + / < / Ejercicio 8.- Representar en la recta real. a. Todos los números reales que están a distancia del 0. b. Todos los números reales cuya distancia al 0 es menor o igual que 5. c. Todos los números reales cuya distancia al es menor o igual que. d. { / } e. { / < } f. { / } g. { / 5} h. { / } Ejercicio 9.- a. Representar en el plano los puntos A (,); B (,); C (0,); D (,0); E (5, ); F (, ); G (0, 5); H (7,0); I (, ) b. Hallar y graficar en el plano los puntos simétricos de A, B, F, G, H e I respecto de i. el eje ii. el eje y 8

13 Ejercicio 0.- a. Hallar la distancia entre A y B. PRÁCTICA i. A (, ), B (7,5) ii. A (,0), B (, ) iii. A (0, ), B (,) b. Hallar el perímetro del triángulo de vértices A (,), B (, ) y C (, ) c. Dar cinco puntos del plano que estén a distancia del punto A (,). Graficar. d. Hallar todos los puntos del eje a distancia 5 del punto A (,). Graficar. e. Decidir si eiste algún punto del eje a distancia del punto A (, ). f. Hallar todos los puntos de la forma A ( a, ), a, que están a distancia 5 del punto B (0,). g. Hallar todos los puntos de la forma A ( a, a), a, que distan del punto Q (5, ). h. Hallar todos los puntos del plano que equidistan de los puntos A (0,0) y B (,0). Graficar. i. Hallar todos los puntos de la forma A ( a,a ), a, que están a distancia 5 del punto B (,). EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos al conjunto A. a. A / + + < b. A / c. A / > + d. A { / } e. A { /( )( ) 0} f. 6 A / > 5 9

14 PRÁCTICA Ejercicio.- Hallar todos los < 0 que pertenecen al conjunto A / + <. Ejercicio.- Dados los puntos A (,) ; B ( a,) ; C (, ) y D (,), hallar los valores de a para que la distancia entre C y D sea igual a la distancia entre A y B. Ejercicio.- Hallar todos los puntos P ( a,7) que están a distancia 5 del punto Q (,). Ejercicio 5.- Hallar todos los puntos P ( a, a) que están a distancia del punto Q (, 0). Ejercicio 6.- Hallar todos los k para los cuales la distancia entre A ( k, ) y B (, k) es igual a. Ejercicio 7.- Hallar todos los puntos del eje y que están a distancia 5 del punto A (, ). 0

15 PRÁCTICA FUNCIONES Ejercicio.- Un avión, desde que sale de la terminal de Buenos Aires, hasta que llega a la terminal de Bahía Blanca tarda 60 minutos. El siguiente gráfico describe la altura del avión durante el viaje. h(m) Observando el gráfico, responder: a. Cuál fue la altura máima que alcanzó el avión? Cuánto tiempo voló a esa altura? b. Cuánto tardó en llegar a la altura máima? c. A qué altura se encontraba a los 0 minutos de partir? d. Cuántas veces estuvo a 000 metros de altura? e. En qué momentos subió? En qué momentos bajó? f. Cuántas veces voló a altura constante? Ejercicio.- a. Sea f ( ) + 5. Calcular f ( 0), f ( ), f ( 6) y ( ) f +. Completar la tabla b. Sea ( ) ( ) f. f ( ) Ejercicio.- Hallar el dominio de f y decidir si Im f. a. f( ) b. f( ) c. f( ) d. f( ) +

16 Ejercicio.- Graficar la función f. PRÁCTICA FUNCIONES LINEALES a. f ( ) + 5 b. f ( ) + c. f ( ) + d. ( ) f Ejercicio 5.- a. Encontrar la función lineal f que satisface: (i) f () 0, ( ) f 5 (ii) f ( ), f ( ) (iii) f (), ( ) 5 f b. Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos P y Q. (i) P (, ), Q (, 6) (ii) P (, ), Q (,5) (iii) P (, 5), Q (,5) c. Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las rectas del inciso b). Ejercicio 6.- Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P. a. P (,), m b. (, ) c. P (,5), m 0 d. (,5) P, m P, e. P ( 0, ), m f. (,0) m P, m

17 PRÁCTICA Ejercicio 7.- Hallar las ecuaciones de las rectas graficadas. a. b. c. Ejercicio 8.- Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g. a. f ( ) +, g( ) 8 b. f ( ), ( ) +. g. c. f ( ) +, g la función lineal cuyo gráfico tiene pendiente y ordenada al origen 5. d. f ( ) 6, g la función lineal cuyo gráfico pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente. Ejercicio 9.- a. Determinar el conjunto A { / f ( ) g( ) } (i) f ( ) + 0, g( ) + (ii) f ( ) +, g( ) (iii) f ( ). +, g la función lineal tal que g(), g( ) 8

18 PRÁCTICA b. Representar gráficamente las funciones f y g y el conjunto A. Ejercicio 0.- Sea f ( ) m+ 5. Encontrar el valor de m tal que f (). Para el valor hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes coordenados. Ejercicio.- Encontrar la función lineal f cuyo conjunto de negatividad es ( 7;+ ) y f ( ) 9. Calcular el valor de ( 0) f. Ejercicio.- La boleta mensual de luz tiene un cargo fijo de $ 5 y $ 0,0 por cada KWH consumido. a. Dar la función lineal que dice cuánto se debe pagar (en $) en función de los KWH consumidos. Representar gráficamente. b. Si Pedro consume en un mes 00 KWH, cuánto debe pagar? c. Si Pedro debe pagar $ 0, cuánto consumió? Ejercicio.- Una empresa de celulares tiene dos planes. El plan TUNGO tiene un abono mensual fijo de $0 y además cobran $ por cada minuto de llamada (sin minutos libres). El plan TONGO no tiene abono pero cobran $ por cada minuto de llamada. a. Cuánto se debe pagar con cada plan si se realizan en el mes 0 minutos de llamadas? Y si se realizan 60 minutos? b. Dos personas, una abonada al plan TUNGO y la otra al plan TONGO pagaron $ 00 cada una. Cuál de las dos habló más minutos? c. Cuántos minutos se deben utilizar para que en ambos planes cobren lo mismo? Cuándo conviene más cada plan? FUNCIONES CUADRÁTICAS Ejercicio.- Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función f. Dar la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Graficar f. a. f ( ) 9 b. ( ) ( ) f + c. f ( ) d. ( ) f + 9

19 PRÁCTICA e. f ( ) ( ) + f. ( ) f g. f ( ) + h. ( ) f + Ejercicio 5.- Asociar cada función con su imagen. Función Imagen I. II. III. IV. f ( ) + 6+ A. [ ; + ) + B. [0; + ) f ( ) f C. ( ;] ( ) f( ) 8+ 5 D. ( ; ] Ejercicio 6.- Hallar los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de f. a. f ( ) 5( + )( ) b. f ( ) ( ) c. f ( ) 5+ 6 d. ( ) f + 5+ e. f ( ) + 8 f. ( ) f 9 Ejercicio 7.- Asociar cada función con su conjunto de negatividad. Función C I. II. III. IV. V. f ( ) 6 A. (;) f ( ) + B. ( ;0) (; + ) f ( ) + C. ( ; ) ( ; + ) f ( ) D. (0;) f ( ) 8 6 E. 5

20 PRÁCTICA Ejercicio 8.- Hallar los puntos de intersección de los gráficos de f y g. a. f ( ) + 5+ y g( ) 7 +. b. f ( ) + + y g( ) +. c. f ( ) ( + )( + 7) y ( ) 5 g. d. f ( ) y ( ) g + +. e. f ( ) y ( ) g + 5. f. f es la función lineal tal que f ( ) 5 y ( ) ( ) g f 9 y Ejercicio 9.- Hallar la función cuadrática f. a. El gráfico de f tiene vértice V (,5) y pasa por el punto (, ). b. El conjunto de positividad de f es ( 0;6 ) e Im ( ; ] f. c. El intervalo de crecimiento de f es [ ; + ), su imagen es [ ; ) f ( ) 6. + y Ejercicio 0.- Sea ( ) f 8. Encontrar la función cuadrática g que tiene los mismos ceros que f y satisface g ( ). Ejercicio.- Un artesano confecciona cuadros rectangulares, en los que la base mide el doble que la altura. La placa de madera de fondo tiene un costo de $ 0,0 el centímetro cuadrado, y las varillas que adornan los bordes cuestan $ el centímetro. a. Cuál es el costo en materiales de un cuadro cuya altura mide 0 centímetros? b. Cuáles son las dimensiones de un cuadro cuyo costo en materiales es de $5? 6

21 PRÁCTICA Ejercicio.- Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco dispone de,0 metros de varilla metálica. a. Cuál es el área de la abertura, si la construye con una base de 0,0 metros? Y si la base es de 0,60 metros? Y si es 0,90 metros? b. Cuál debe ser la base, para que el área de la abertura sea de 0,55 metros cuadrados? Cuántas posibilidades hay? c. Es posible hacer una ventana cuya área sea de,0 metros cuadrados? Ejercicio.- El precio en pesos, de una torta circular de cm de radio viene dado por p +. ( ) 0 a. Cuál es el precio de una torta de 0cm de radio? Y de una de 0 cm? b. Cuál es el radio de una torta si su precio es de $9? FUNCIONES POLINÓMICAS Ejercicio.- a. Dada ( ) f , encontrar todos los puntos donde el gráfico de f corta al eje, sabiendo que f ( ) b. Encontrar el conjunto de ceros de f ( ) 5 que f ( ) 0., sabiendo Ejercicio 5.- Sea f una función polinómica de grado que corta al eje en los puntos (, 0), (, 0 ), (,0 ). a. Determinar f sabiendo que f ( ) 6. b. Determinar f sabiendo que f ( ) 8. Ejercicio 6.- Hallar la función polinómica f de grado tal que su conjunto de ceros es {,, 5} y ( ) f 9. 7

22 Ejercicio 7.- Sea f : PRÁCTICA una función continua que corta al eje en eactamente puntos y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores: 0 f ( ) 5 a. Para cada uno de los ceros de f indicar un intervalo de amplitud que lo contenga. b. Determinar, si es posible, el signo de f en los intervalos dados: (i) ( 0; ) (ii) ( ;) (iii)( ) 5; + (iv) ( ; ) (v) ( 0; ) (vi) ( ; ) c. Hacer el gráfico de una función f que satisfaga las condiciones dadas. Ejercicio 8.- Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de una función continua f, con Dom( f ), si a. los únicos ceros de f son f ( ) 6. b. los únicos ceros de f son f ( ) 5 y ( ) f 5. y y f ( 5), f ( ) 0 y, 0 y y f ( ), ( ) f, Ejercicio 9.- Hallar los ceros de la función polinómica f y determinar los intervalos de positividad y de negatividad de f. a. f ( ) ( + )( 9)( ) f b. ( ) ( ) c. f ( ) 5( + )( + ) f d. ( ) ( ) f e. ( ) ( ) f. f ( ) 6 8

23 g. f ( ) 8 PRÁCTICA h. f ( ) ( )( + + ) Ejercicio 0.- Sea ( ) f + 7. Probar que a. f tiene un cero en el intervalo ( ; ) b. f tiene un cero en el intervalo (, 7;, 8 ) c. f tiene un cero en el intervalo (, 7;, 7 ) Ejercicio.- Aproimar con error menor que un cero de f en el intervalo indicado. a. 5 f ( ) en ( ; ) b. f ( ) en ( 9;0 ) EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g. Representar gráficamente. a. f ( ) +, g es la función lineal tal que g ( ) y ( ) b. f ( ) 5, g ( ) 0. g 6. Ejercicio.- Sea f ( ) ( c). Encontrar el valor de c para el cual ( ) Para el valor hallado, determinar el conjunto de positividad de f. f 7 6. Ejercicio.- Sea f la función lineal que verifica f ( ) y ( ) f. Sea ( ) + 8. Escribir como un intervalo el conjunto A { / g( ) < f ( ) } g. Ejercicio.- Sean f ( ) + 5, A el punto del gráfico de f que tiene ordenada igual a y (, 6) B. Calcular la distancia entre A y B. 9

24 PRÁCTICA Ejercicio 5.- Sea f ( ) + 9 y g la función lineal que verifica ( ) g 0 y g ( 7) 0. Sean P el punto de intersección de los gráficos de f y de g y (, ) Calcular la distancia entre P y Q. Q. Ejercicio 6.- Hallar la función cuadrática f tal que a. el conjunto de ceros de f es {, 6} y ( ) f 0. b. el conjunto de ceros de f es { 5, } y la Im [ ; ) c. Im f ( ;7] y f ( ) f ( ) 6 6. f +. d. el gráfico de f es una parábola cuyo vértice tiene abscisa, Im f [ 5; + ) y ( ) f. Ejercicio 7.- Sean P (, ) y V el vértice de la parábola de ecuación Dar la ecuación de la recta que pasa por P y por V. y + 5. Ejercicio 8.- Sean P el punto donde la recta de ecuación y + 6 corta al eje y V el vértice de la parábola de ecuación y +. Calcular la distancia entre P y V. Ejercicio 9.- Dada ( ) f a + 8+, hallar a de modo que el vértice del gráfico de f tenga abscisa. Para el valor de a hallado, determinar la imagen de f. Ejercicio 0.- Sea f ( ) + b+ c. Determinar b y c sabiendo que la abscisa del vértice del gráfico de f es y que la distancia entre los ceros de f es 7. Ejercicio.- Dadas f ( ) 6 + k+ y g( ) f () g () +, hallar k de modo que. Para el valor de k hallado, encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de f y g. 0

25 PRÁCTICA Ejercicio.- Se sabe que el gráfico de ( ) punto (,0). f corta al eje en el a. Encontrar todos los puntos donde el gráfico de f corta al eje. b. Determinar los intervalos de positividad y de negatividad de f. Ejercicio.- Sea ( ) 5 f Si uno de los ceros de la función f es, a. encontrar el conjunto de ceros de f ; b. determinar los intervalos de positividad y de negatividad de f. Ejercicio.- Sea f ( ) la función lineal que satisface que f () 7 y f ( ). Encontrar los dos puntos del gráfico de f que están a distancia 5 del punto (0,). Ejercicio 5.- Sea f ( ) la función lineal que verifica f () 6 y f ( ) y sea g ( ). Escribir el conjunto intervalos. f( ) A / > como intervalo o unión de g ( ) Ejercicio 6.- Sean f la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (,9) y (0,) y g ( ) + 7. Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto { / ( ) ( ) 0} A f g.

26 PRÁCTICA LÍMITE DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS Ejercicio.- Analizando el gráfico de f, determinar, si eisten, lim f ( ) a. b. + y lim f ( ). c. d. e. f. Ejercicio.- Calcular. a. lim + b. lim + c. 5 lim d. lim + +

27 PRÁCTICA e. g. lim lim f. lim h. lim ( ) + i. lim ( 6 5 9) j. lim k. + lim + + l lim m. + 5 lim n. 8 6 lim + + o. lim p lim + 7 Ejercicio.- Calcular. a. lim c. lim 9 e. lim b. lim d. lim ( 7 + 0) f. lim + 5 g. lim + h. lim + + i. lim + + j. 5 lim + k lim l lim Ejercicio.- Analizar la eistencia de asíntotas horizontales y, cuando eistan, dar sus ecuaciones. + 5 a. f( ) b. f( ) c. f( ) d. f( ) 5 + 6

28 e. 6 f( ) + + f. f( ) g. f( ) h. f( ) Ejercicio 5.- Determinar el valor de a para que se verifique: 5 a. lim 6 b. a + a + 5 lim 6 + a c. La recta de ecuación y es asíntota horizontal para f( ) + Ejercicio 6.- Dado el gráfico de f, calcular los límites que se indican. Escribir las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales. a. b. lim f ( ), lim f( ), lim f( ) lim f ( ), lim f( ) c. d. lim f ( ), lim f( ), lim f( ) lim f( ), lim f( ) + lim f ( ), lim f ( ) + lim f ( ), lim f ( ) +

29 e. f. lim f( ), lim f( ) lim f ( ), lim f( ) + lim f ( ), lim f( ) + lim f( ), lim f( ) + Ejercicio 7.- Calcular. a. b. lim, lim lim, lim lim, lim c. lim, lim d. + lim, lim e. + f. lim( + 0) g. h. + 9 lim lim, lim Ejercicio 8.- Analizar la eistencia de asíntotas verticales y, cuando eistan, dar sus ecuaciones a. f( ) b. f( ) + ( ) c. f( ) 6 d. f( ) 8 5 5

30 Ejercicio 9.- Dar el dominio y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de f. a. f( ) + b. f( ) + c. f( ) d. f( ) + + e. 6 + f( ) + f. f( ) + + g. f( ) h. f( ) 6 + Ejercicio a. Sea f( ). Determinar el valor de a para que la recta de a + 0 ecuación sea asíntota vertical para f. Para el valor hallado, dar la b. Sea ecuación de la asíntota horizontal de f. a f( ). Determinar a para que la recta de ecuación + a 5 sea asíntota vertical de f. Para el valor hallado, dar las ecuaciones de todas las asíntotas verticales y horizontales de f. FUNCIONES HOMOGRÁFICAS Ejercicio.- Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de f. Hacer un gráfico de f. a. f( ) b. f( ) + c. f( ) + + d. f( ) e. f( ) f. f( ) + 6

31 Ejercicio.- a. Sea f ( ) b + a ecuaciones e. Determinar ay 5 y sean asíntotas de f. b para que las rectas de a + b. Sea f( ) b +. Determinar ay b para que sea cero de f y la recta y 6 sea asíntota horizontal de f. Ejercicio.- Hallar la epresión de la longitud L de un lado de un rectángulo en función de la longitud del otro lado, si el área es 6. Calcular lim L ( ) y lim L ( ) Ejercicio.- Hacia un tanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que la concentración de sal en un tiempo t está dada por la función t ct (), t> 0. 00t Dibujar el gráfico de ct ( ) y discutir el comportamiento de la función cuando t + e interpretar el significado. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejercicio 5.- Dadas las funciones f y g, calcular f g y g f. a. f g ( ), ( ) + b. c. d. f( ) +, g( ) + + f( ), g( ) f( ), g( ) + e. f( ) +, g( ) ( + )( ) f. f g ( ), ( ) + 7

32 Ejercicio 6.- a. La relación funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal. Sabiendo que 0 0 C 7 K y que 0 7 C 00 K, encontrar la función f que da la temperatura en grados Celsius conocida la misma en grados Kelvin. b. La función g ( ),8 + epresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius; encontrar la epresión de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en grados Kelvin. Es lineal? Ejercicio 7.- a. Sean f ( ) + k y g ( ). Hallar el valor de k de manera que ( g f )(). Para el valor de k encontrado, calcular ( f g)(). b. Sean f ( ) k y + 6 g ( ). Hallar el valor de k de modo + que ( g f )() 5. Para el valor de k hallado, calcular ( f g)(). Ejercicio 8.- Sean f ( ) y g ( ) +. Hallar las funciones f g y g f. Escribir las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de dichas funciones. FUNCIÓN INVERSA Ejercicio 9.- Resolver la ecuación f ( ) b. Representar gráficamente. a. f( ) + b 9, b b. c. f b b ( ), f( ) b, b + 8

33 Ejercicio 0.- Calcular f y dar su dominio. Graficar f y f. a. f : f( ) b. f : {} f( ) c. f : f( ) 5 : f( ) + d. f { } e. f f :[0, + ) ( ) + f. f : f( ) + 5 g. f :[, + ) f( ) + Ejercicio.- La función f( ),8 + epresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Dar la función que permite, dada una temperatura cualquiera en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde aproimadamente a 5ºF, a cuántos grados Celsius tendrá que eponer esta práctica para quemarla? ( recuerda la novela de Ray Bradbury?) Ejercicio.- Dadas f y g, calcular h g f y asíntotas de h y de a. b. c. d. h. + f( ) + g( ) + f( ) g( ) + f ( ) g( ) + + f ( ) g( ) + 5 h. Dar las ecuaciones de las 9

34 EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Sea g la función polinómica de grado tal que g( ) g(0) g() 0 y g () 0. Si f ( ) + y h g f, hallar el conjunto de ceros y el conjunto de negatividad de h. Ejercicio.- Sea a f( ) b. Hallar a y b para que las rectas de ecuación y y 5 sean asíntotas de f. Para los valores de a y b hallados, dar el conjunto de positividad de f. a Ejercicio.- Sea f( ). Hallar el valor de a para que se verifique que 5 f (). Para el valor de a hallado, calcular f ( ). Ejercicio.- Sean + 5 f( ), g ( ) a con a y h f g. Hallar el valor de a para que el dominio de h sea igual a calcular h. 5. Para el valor de a encontrado Ejercicio 5.- Sea f( ). Determinar el dominio y la imagen de f. Hallar el + valor de k para el cual el punto ( k,) pertenece al gráfico de f. Ejercicio 6.- Sea k 5 f( ). Hallar el valor de k para que Im( f ) { } Para el valor de k hallado, dar las ecuaciones de las asíntotas y representar gráficamente.. Ejercicio 7.- Sean f( ) +, g ( ) + y h f g. Hallar los ceros de h ( ). 0

35 Ejercicio 8.- Dada f( ), dar las ecuaciones de las asíntotas. Hallar los + intervalos de positividad. Representar gráficamente. a + Ejercicio 9.- Sea f( ). Determinar los valores de a y b de manera que b + sea cero de f y la recta de ecuación y sea la asíntota horizontal de f. Para los valores encontrados, hallar el dominio de f. Ejercicio 0.- Sea f( ) +. Hallar la función inversa positividad de f. f y dar el conjunto de Ejercicio.- Dadas f( ), g ( ) ay h f g, determinar a de modo que h () 5. Para el valor hallado, dar h ( ). Ejercicio.- Sea f( ). Hallar a de modo que la recta y sea una a asíntota horizontal de f. Para el valor de a encontrado, dar las ecuaciones de todas las asíntotas de f.

36 PRÁCTICA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejercicio.- Graficar, hallar la imagen y dar la ecuación de la asíntota horizontal de f. a. f( ) e + b. c. f( ) e d. f ( ) e + f( ) e + + Ejercicio.- Calcular lim f ( ) horizontal. + y lim f ( ). Dar, si eiste, la ecuación de la asíntota a. c. f ( ) e b. f( ) e + d. f ( ) e 5 f( ) e + Ejercicio.- Resolver. a. e 8 b. e c. ln( ) 0 d. ln(5 ) Ejercicio.- Hallar el dominio y los ceros de f. a. 5 8 f( ) ln b. f( ) ln Ejercicio 5.- Hallar la función inversa f. Dar su dominio y su imagen. a. c. f( ) e + b. f ( ) ln( ) 5 e f( ) + d. f( ) + ln(+ ) Ejercicio 6.- Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas verticales, los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f. a. f( ) ln( ) b. c. f( ) ln( ) d. f ( ) ln( ) f ( ) ln + 5 Ejercicio 7.- Hallar la función inversa f y dar su dominio. a. f( ) 5 ln( ) + b. f( ) + e

37 PRÁCTICA Ejercicio 8.- Sea 8 f ( ) e + b. Hallar el valor de b para que la imagen de f sea el intervalo (9; + ). Para el valor de b hallado, calcular la función inversa f. Ejercicio 9.- La población (en millones) de cierta región, t años después del año 000, se puede aproimar mediante la función f( t ) 00 (,0) t. a. Cuántos individuos tenía en 000? b. y en 00? c. Si no varían las condiciones, cuántos tendrá en 00? d. Cuándo la población será el doble de lo que era en el año 000? Ejercicio 0.- Un jarro con agua se retira del fuego cuando el agua que contiene está hirviendo y se coloca en una habitación donde la temperatura ambiente es 0º C. La temperatura (en ºC) del agua, transcurridos t minutos de haber retirado el jarro del fuego viene dada por 0,t e Tt ( ) a. Hallar la temperatura del agua a los 5 minutos. b. Cuánto tiempo deberá pasar para que la temperatura sea de 0º C? Ejercicio.- Hallar la función eponencial f ( ) ka sabiendo que a. f (0) 5 y f () 0. b. f () 7, 5 y f (5) 9, Ejercicio.- Completar la tabla. a. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 0 π 6 π π π sen( ) cos( )

38 PRÁCTICA b. 5 6 π π 5 π 7 π π π 7 6 π π sen( ) cos( ) Ejercicio.- Encontrar todos los [ π; π ] tales que a. sen( ) b. sen( ) c. sen( ) d. sen( ) e. cos( ) f. cos( ) g. cos( ) h. cos( ) Ejercicio.- Encontrar todos los [0; π ] tales que a. sen( ) b. sen( ) c. cos( ) d. cos( ) Ejercicio 5.- Encontrar todos los tales que a. sen( ) b. sen( ) c. cos( ) d. cos( )

39 PRÁCTICA Ejercicio 6.- Resolver. π 5π a. sen( ) en ; b. sen( ) + 0 en [ π ;5π ] c. cos( ) 0 en [ π ;π ] d. π cos( ) en ; π Ejercicio 7.- Hallar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f. π a. f( ) cos + en [ π;5 π ] ( ) sen + en [ π;5 π ] b. f ( ) c. π f( ) cos d. π f( ) sen + en [ π; π ] en [0; π ] e. f ( ) sen ( ) sen( ) en [ π; π ] f. f ( ) + sen( ) cos( ) en [ π ; π ] Ejercicio 8.- Hallar la imagen de f. Determinar el valor máimo y el valor mínimo de f e indicar en qué puntos se alcanzan dichos valores. a. f ( ) sen( ) b. f( ) sen( + π ) c. f( ) cos( ) + d. f ( ) ( ) cos Ejercicio 9.- Hallar la amplitud y el período de f. a. f( ) cos( + π ) b. f ( ) sen( ) d. f( ) cos + π c. f( ) sen( π ) 5

40 PRÁCTICA Ejercicio 0.- Sea f ( ) sen( + π ) + k. Determinar el valor de k para que Im f [ ; ]. Con el valor de k hallado, dar un 0 tal que f( 0) y un tal que f( ). Ejercicio.- Hallar los ceros, el conjunto de positividad y el de negatividad, los máimos y mínimos y la imagen de f. Hacer un gráfico aproimado. π a. f( ) sen + b. f ( π ) en [0; π ] ( ) cos en [ π; π ] c. π f( ) cos d. π f( ) sen en [ π; π ] en [ π ; π ] EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Sean f ( ) + +, g( ) ln( ). Hallar el dominio, los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de h g f. Ejercicio.- Sean f ( ) + ln( ), g ( ) 5+, h f g y h la función inversa de h. Calcular h y dar el dominio y la imagen de h. Ejercicio.- Sean f( ) e + y f la función inversa de f. Hallar f ( ) y dar su dominio. Ejercicio.- Sea f ( ) ka. Hallar a> 0 y k, si f ( ) 0,7 y f (),. Para los valores hallados, calcular f (8). Ejercicio 5.- Sea f( ) 5sen( ) +. Determinar la imagen de f y hallar los [ π; π ] para los cuales f alcanza el valor máimo. 6

41 PRÁCTICA π Ejercicio 6.- Se sabe que f( ) asen( ) tiene un cero en. Determinar el valor de a e indicar, para el valor de a encontrado, la imagen de f. Ejercicio 7.- Indicar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f ( ) cos ( ) + cos( ) para [0; π ]. Ejercicio 8.- Sea de f. π f( ) sen( + ). Hallar los ceros y los valores máimo y mínimo Ejercicio 9.- Sea f :[0; π ] dada por π f( ) cos( + ). Encontrar todos los puntos en que el gráfico de f corta a la recta de ecuación y. Ejercicio 0.- Sea f( ) + sen( + π ). Determinar todos los [ π ; π ] tales que 5 f( ). 7

42 PRÁCTICA 5 DERIVADAS Ejercicio.- Hallar, utilizando la definición, la pendiente de la recta tangente a la curva y f( ) en el punto P. Dar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta. a. c. f( ) ; P (,7) b. f( ) ; P (,) d. f P ( ) ; (,) f( ) ; P (, ) Ejercicio.- Hallar la derivada de la función f usando las reglas de derivación. a. c. f ( ) f( ) b. d. f ( ) f 5 ( ) + e. f ( ) + cos( ) f. f( ) g. f ( ) 5 + ln( ) h. f ( ) sen( ) i. f ( ) e cos( ) j. f ( ) (+ ) e k. f ( ) ( ) ln( ) l. f( ) ( )( e + 5) + m. f( ) + n. + f( ) + o. sen( ) f( ) p. cos( ) + f( ) cos( ) sen( ) q. f( ) + 5 r. f( ) e Ejercicio.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 0. a. f( ) ; 0 b. f ( ) + 5 ; 0 c. f( ) e cos( ) ; 0 0 d. f( ) ; 0 8

43 PRÁCTICA 5 Ejercicio.- Hallar la derivada de la función f. a. ( ) f( ) + b. f ( ) + c. e. f( ) + f 0 ( ) cos ( ) d. f ( ) sen( ) f. f( ) ln( + ) g. f ( ) 5 sen( ) + h. ( ) 7 f( ) i. k. j. f ( ) cos(sen( )) f( ) e + f( ) sen( ) e l. f ( ) ln( e + ) + m. f( ) ln n. + f ( ) e o. f( ) ln ( 5 + ) p. f ( ) sen ( + ) q. f( ) e ln r. f ( ) e 7 Ejercicio 5.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 0. a. f( ) ; 0 6 b. f( ) sen( ) ; 0 0 e f( ) ln + + ; 0 d. f( ) ; 0 0 c. ( ) Ejercicio 6.- a. Hallar los puntos en los que la pendiente de la recta tangente al gráfico de ( ) f( ) ln 9 es igual a. b. Sea f( ) +. Hallar el punto P del gráfico de f en el que y + es la ecuación de la recta tangente. c. Hallar todos los puntos del gráfico de f( ) + + para los cuales la + recta tangente es paralela a la recta y. Escribir las ecuaciones de las rectas en dichos puntos. 9

44 PRÁCTICA 5 Ejercicio 7.- Sea b f( ) + ae. Determinar los valores de a y b para que y + 6 sea la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en 0 0. Ejercicio 8.- Sea f ( ) ln( 6 k) +. Hallar k de modo que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en 0 sea igual a. Ejercicio 9.- Sea f( ). Hallar a para que la recta tangente al gráfico de f 5 + a en 0 sea horizontal. Ejercicio 0.- Calcular f, f y f. a. f ( ) cos( ) b. f ( ) + c. f ( ) e d. f( ) + Ejercicio.- a. El desplazamiento (en metros) eperimentado por un móvil al cabo de t segundos es () t 6 t. Hallar la velocidad instantánea en t segundos. b. Un móvil se desplaza en línea recta. La posición en el instante t 0 es () t t 8t. Determinar la aceleración at ( ) ( t) en el instante en el cual 6 la velocidad vt () () t se anula. Ejercicio.- Dos móviles A y B se desplazan según las ecuaciones A: s( t) t t+ 7 ; B: e( t) t + at+ b a. Calcular a y b para que en el instante t, A y B se encuentren en el mismo lugar y lleven además la misma velocidad. b. Hallar la posición, la velocidad y la aceleración de cada móvil en el instante t. Ejercicio.- Sea f : derivada f es una función derivable tal que el gráfico de la función 0

45 PRÁCTICA 5 a. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b. Ubicar los máimos y los mínimos locales de f. Ejercicio.- Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máimos y los mínimos relativos y hacer un gráfico aproimado de f. a. f ( ) b. f ( ) c. e. f ( ) d. 5 f( ) 5 + f. f ( ) f ( ) ( 0) Ejercicio 5.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los etremos locales y las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproimado de f. a. f( ) b. f( ) + c. f( ) ( ) d. f( ) e. ( + ) f( ) g. f( ) + f. h. f( ) f( ) ( + ) i. 5 f( ) 6 k. 8 f( ) j. 6 f( ) l. f( )

46 PRÁCTICA 5 Ejercicio 6.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máimos y los mínimos de f. a. f ( ) e b. f ( ) e c. f ( ) e d. f ( ) ln ( ) e. f ( ) ln( ) f. ln( ) f( ) g. + f( ) e h. f ( ) ln( ) Ejercicio 7.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máimos y los mínimos relativos de f en el intervalo indicado. Hacer un gráfico aproimado. a. f + en [0, π ] ( ) sen ( ) b. c. d. f ( ) sen( ) + cos ( ) en [ π, π ] f( ) sen( ) cos( ) en ( π, π ) f( ) sen( ) en (0, π ) ( π, π ) (5 k) f definida por f( ) donde k es una constante. a. Hallar los valores de k para los cuales f tiene un punto crítico en. Ejercicio 8.- Sea : { 0} b. Para cada valor de k hallado en a) determinar todos los etremos locales de f. Ejercicio 9.- Sea k e f( ). Determinar k para que f tenga un etremo relativo en. Para el valor de k hallado determinar los máimos y los mínimos locales de f. Ejercicio 0.- Las funciones () t C t te y () t C t t e epresan la concentración en sangre de cada una de dos drogas t horas después de administradas. a. Cuál de las dos drogas alcanza mayor concentración? b. Cuál alcanza la concentración máima en el menor tiempo?

47 PRÁCTICA 5 Ejercicio.- Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo de área 6 para que a. su perímetro sea mínimo; b. su diagonal sea la menor. Ejercicio.- Descomponer el número 6 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máimo. Ejercicio.- Hallar el menor valor que se puede obtener al sumar un número con 5 veces su inverso. Para qué números se alcanza dicho valor mínimo? Ejercicio.- Hallar el punto del gráfico de f( ) + 5 que está a menor distancia de P (,7). Ejercicio 5.- Hallar dos números tales que su suma sea igual a y la suma de sus cuadrados sea mínima. Ejercicio 6.- La concentración de un fármaco en la sangre t horas después de ser t + inyectado viene dada por Ct (). Hallar cuándo la concentración aumenta, t + cuándo disminuye y cuándo es máima. Ejercicio 7.- Hallar el punto del gráfico de f ( ) 8 que está a menor distancia de P (6,0). Calcular dicha distancia. Ejercicio 8.- Un terreno rectangular se va a cercar y dividir en tres porciones iguales mediante dos cercas paralelas a dos de los lados del terreno. Si el alambre total que va a usarse es de 8000 metros, encontrar las dimensiones del terreno que tendrá mayor área. Ejercicio 9.- Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco dispone de 6,0 metros de varilla metálica. Hallar las dimensiones de la ventana de modo que el área de abertura sea máima.

48 PRÁCTICA 5 Ejercicio 0.- En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que la temperatura (en C) t horas después de haberles suministrado cierta droga se rige según la ley ( ) t Tt () 7+ e. En qué instante se alcanza la temperatura máima? Cuál es ésta? EJERCICIOS SURTIDOS 9 Ejercicio.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f( ) en el punto de abscisa. Ejercicio.- Sea f( ) ln( a ). Hallar el valor de a para que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa sea 6. Dar la ecuación de la recta tangente. Ejercicio.- Sea f ( ) Hallar el punto del gráfico de f en el que la recta tangente tiene ecuación y Ejercicio.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de ln( ) f( ) + en el punto (5, f (5)). + 0 Ejercicio 5.- Hallar todos los puntos del gráfico de f ( ) 7+ en los que la pendiente de la recta tangente es 0. Ejercicio 6.- Sea f ( ) ln( 8) +. Hallar el punto del gráfico de f en el que la pendiente de la recta tangente es 9.

49 Ejercicio 7.- Sea tiene ecuación f( ) y. PRÁCTICA 5 8. Hallar el punto del gráfico de f en el que la recta tangente Ejercicio 8.- Sea f ( ) tal que y 5 es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en (, f ()). Si g ( ) ( 6 f ) ( ), calcular g (). Ejercicio 9.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los etremos locales y las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico. 5 9 a. f( ) ( 7) b. f( ) + 7+ c. f( ) d. f( ) + 9 e. g. f( ) e f. f ( ) 6ln( ) f ( ) e h. f( ) + k Ejercicio 0.- Sea f( ). Determinar k de modo que f tenga un máimo local para. Para el valor de k hallado, determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, todos los etremos locales y hacer un gráfico aproimado. 6 Ejercicio.- Sea f( ). Dar el dominio, los intervalos de crecimiento y de ( ) decrecimiento, los etremos locales y las ecuaciones de las asíntotas verticales de f. Graficar. 5

50 Ejercicio.- a. Hallar una función g tal que i. g ( ) PRÁCTICA 6 INTEGRALES ii. g ( ) iii. g ( ) sen( ) iv. g ( ) cos( ) v. g ( ) e vi. g ( ) vii. 5 g ( ) + viii. g ( ) + e b. Hallar una primitiva de f. i. f ( ) sen( ) ii. iii. f ( ) f( ) + + iv. f ( ) e Ejercicio.- Hallar la función g tal que a. g ( ) 8 y g (0) b. g ( ) y g () 5 c. g ( ) cos( ) y g( π ) Ejercicio.- Calcular las integrales. a. d b. c. ( + ) d d. e. ( + ) d f. d (6 + sen( )) ( + d ) d g. ( e + ) d h. (cos( ) sen( )) d Ejercicio.- Calcular aplicando el método de sustitución. a. d b. sen( ) d + c. cos( ) d d. e. 6 + d d ( + ) + d f.

51 PRÁCTICA 6 g. ln( ) cos( ) d h. 5 d sen ( ) i. k. 6 e d j. ) d l. ln ( ) d cos(ln( )) d ln( + ) m. d n. + 6 o. + d p (+ ) d d q. + 5 e d r. cos( e ) sen( ) d Ejercicio 5.- Calcular aplicando el método de integración por partes. a. cos( d ) b. c. + d d. e. g. ln d f. sen( d ) h. e d 9 ln( d ) e d ( + )( ) d Ejercicio 6.- Calcular. a. ( ) d b. d d. c. ( (5 ) ) sen(ln( )) d cos( ) ln(sen( )) d sen( ) e. cos( + ) + d f. ( cos(6 ) + ) e d Ejercicio 7.- Hallar la función g tal que a. g ( ) y g () 5 b. g ( ) + 9 y g () 0 c. g ( ) e y g (0) d. g ( ) ln( + ) y g( ) 7

52 PRÁCTICA 6 Ejercicio 8.- La aceleración de un móvil en el instante t está dada por at () ( 6)kmh tt. El móvil parte, en el instante inicial t 0, a una velocidad de 0 km h. Cuál es la velocidad vt () para 0 t 6? (Recordar que la aceleración a es la derivada de la velocidad instantánea v, esto es at () v () t.) Ejercicio 9.- Un cohete está en reposo en el instante t 0. Mediante mediciones en el interior del cohete se comprueba que eperimenta una aceleración at () t +, para todo t 0, donde el tiempo se mide en segundos y la aceleración en mseg. Qué velocidad tiene en el instante t 6? A qué distancia del punto de partida está en ese instante? Ejercicio 0.- Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas. a. d b. d c. e. π cos( tdt ) d. 0 0 π sen( udu ) f. π cos( tdt ) 0 e + d Ejercicio.- Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas. a. c. e. g. e ( + ) d b. ( ) + + d d. 0 π cos( u) du f. u π sen ( ) (ln ) + d h. e dt t 0 + π ( cos( )) sen( ) π 0 π 0 ( e e ) d ( t π )cos( t) dt d 8

53 PRÁCTICA 6 Ejercicio.- a. Sabiendo que f( ) d 5, calcular ( f ( ) + ) d. b. Sabiendo que ( f( t) ) dt, calcular f () tdt. Ejercicio.- 6 a. Hallar a tal que d. 5 a b. Hallar a tal que ( + a) d 0. 0 Ejercicio.- Epresar, usando integrales definidas, el área de las regiones sombreadas. a. b. c. d. 9

54 PRÁCTICA 6 e. f. g. h. i. j. Ejercicio 5.- Calcular el área de la región encerrada entre: a. el gráfico de b. el gráfico de f ( ) + y el eje. f ( ) 0 y el eje. c. los gráficos de f( ) + y g ( ) +. d. los gráficos de f ( ), g ( ) + 6 y el eje. e. los gráficos de f ( ) y g ( ). f. los gráficos de f ( ) y 50 g ( ) + 5.

55 PRÁCTICA 6 Ejercicio 6.- Calcular el área de la región comprendida entre los gráficos de a. f( ) + y g ( ) ( ) para 0 b. f( ) + y g ( ) ( ) para c. f ( ) e y g ( ) e para d. e. f ( ) + y el eje para f( ) ( ) y g ( ) para 0 f. f( ) + + y g ( ) para 6 Ejercicio 7.- Calcular el área de la región limitada por a. los gráficos de f( ) 5, g ( ) 5 y la recta y. b. los gráficos de f ( ) 0, g ( ) y el eje. c. el eje y, la curva y y la recta y d. las curvas y,, y. 6 e. las curvas y, y, y 6. f. las curvas y, y 0 y el eje. Ejercicio 8.- Sabiendo que el área de la región sombreada vale 0, calcular gd ( ). 0 5

56 PRÁCTICA 6 EJERCICIOS SURTIDOS Ejercicio.- Calcular el área de la región encerrada entre las curvas y + 9, y y el eje y. Ejercicio.- Calcular el área de la región encerrada entre el eje y los gráficos de f( ) ( ) + y + g ( ) +. Ejercicio.- Calcular el área de la región limitada por los gráficos de g ( ) + y h ( ). f( ) 6, Ejercicio.- Calcular el área de la región comprendida entre el gráfico de f( ) ln( ) y el eje para 5 9. Ejercicio 5.- Calcular el área de la región que encierran el gráfico de f( ) ; la recta tangente al mismo en (7, f (7)) y el eje. Ejercicio 6.- Calcular. ln( ) a. + d b. c. ( ) + d d d. ( cos( + 6) + sen( ) ) d e. cos(+ ) d f. g. i. k. ( ) e d cos(ln( + )) d h. 5 cos( + ) sen(+ ) d + ( + ln( )) d j. sen(5 + e ) e d l. 5 ( + 5) d 7 ( ) 5 ( ) ln( 6) m. ( 5 e + + ) d n. ( ) + e d d 5

57 PRÁCTICA 6 Ejercicio 7.- Para la función f ( ) 5sen( ), hallar una primitiva F( ) que verifique F (0). Ejercicio 8.- Hallar la función f sabiendo que a. b. 5 f ( ) 6 f ( ) + y f () 00. y f (). 5

58 EVALUACIONES PRIMER PARCIAL En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.. Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto A + 5 Α / > 0 9. Sea f ( ) + b + c. Determinar b y c de modo que el punto, sea el vértice de su gráfico. Para los valores de b y c hallados, dar el conjunto de positividad de f.. Sean f ( ) la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (, ) y ( 0, ); g ( ) + y h ( ) go f. Dar la ecuación de la asíntota vertical de h.. Sea f :[ π; π] tal que ( ) y hallar los ππ [ ; ] f( ) sen. Determinar la imagen de f para los cuales f alcanza el valor mínimo. B +. Sean f( ) ; P el punto del gráfico de f que tiene abscisa y Q el punto del gráfico que tiene ordenada. Hallar P, Q y calcular d( P, Q ).. Sea g ( ) ( )( 6) + +. Determinar el conjunto de ceros y el conjunto de negatividad de la función g Sean f( ), g ( ) y h f g. Dar las ecuaciones de todas las asíntotas de h.. Sea f( ) ln( 5 ). Dar el dominio de f y hallar la función inversa f. 5

59 EVALUACIONES SEGUNDO PARCIAL En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta. C. Hallar todos los puntos del gráfico de f( ) 5+ para los cuales la recta tangente tiene pendiente m. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos. 6. Sea f( ) +. Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas, los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.. Calcular sen( d ).. Calcular el área de la región encerrada entre el gráfico de y 5; 5. f( ) 5 y las rectas. Sea f ( ) D + ln( ). Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 0.. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máimos y mínimos relativos de ( ) 6+ f e. +. Calcular d. +. Sea ( ) f 9. Encontrar el área de la región encerrada entre el gráfico de f y el eje. 55

60 EVALUACIONES EXAMEN FINAL Para aprobar el eamen es necesario tener por lo menos 8 respuestas correctas y más respuestas correctas que incorrectas. En cada ejercicio marque la única respuesta correcta. La función cuadrática f tal que su gráfico tiene vértice V (,8) y pasa por el (, 6) es f ( ) ( ) ( ) + 8 ( ) 8 ( ) + 8. Un valor de k para el cual la imagen de f( ) ksen( +π) es el intervalo [ 8; ] ineistente k k 8 k 5 es. Sea ( ) f El conjunto de positividad de f es: ( 0; ) ( ; + ) ( ;0) ( ; + ) ( ;0) ( 0;) ( ;0) ( 0;) ( ; + ). Sean f ( ) + 5, g( ) 5 ; y ; y 5 y h f g. Las ecuaciones de las asíntotas de h son: ; y 0 5. Sea f ( ) +. La distancia entre el punto (, f ( ) ) y el punto ( ) ; y 5 7, es igual a: 6. El dominio de la función f( ) es igual a: [ 0; + ) { 0} ( 0; + ) ln ln + 7. La función inversa de f ( ) ( + ) es f ( ) e ( ) e e 8. Sea f ( ) cos. La cantidad de ceros que tiene f en el intervalo [ π; ] 5 6 π es: 9. Los gráficos de f ( ) + y de ( ) g 8 se cortan en los puntos: ( 5, 7 ) y (,0) ( 5, 0 ) y (,0) ( 5, 0) y (,0 ) ( 5,) y (, ) 0. Sea f ( ) e 5. Si D Dominio de f e IImagen de f, entonces: D e I ( 0, + ) D e I ( 5, + ) D (, + ) e I ( 0, + ) D (, + ) e I ( 5, + ) 56

61 EVALUACIONES. Sea ( ) + 5 f e. Los etremos locales que alcanza f son: un mínimo en y un máimo en un máimo en y no tiene mínimo un máimo en y un mínimo en un mínimo en y no tiene máimo. Sea f ( ). La pendiente de la recta tangente al gráfico de f en (, ( ) ) f es: f. Una primitiva de ( ) ( ) ( 5 + 6) es ( ) ( 5 + 6) F ( 5 + 6) ( 5 + 6) 5. Si ( ) + f ( ) d 5 entonces f ( d ) 5. Sea f la función tal que su derivada es: f ( ) ( ) ( ;) ( ; + ) ( ;0) y en ( ; + ) ( ;) Entonces f es creciente en: 6. 6sen( + ) d ( ) C cos( + ) + C 6cos( + ) + C cos( ) 6cos C 7. Si ( ) 5 ln f ; la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa es: y y 5 ( ) y + y El área de la región limitada por los gráficos de f ( ) ; g( ) ( g ( ) f ( )) d + ( f ( ) g ( )) d ( ( ) ( )) 0 0 g f d ( f ( ) g ( )) d + ( g ( ) f ( )) d ( ( ) ( )) 0 0 f g d con 0 es: 9. e d ( ) e + k e + k e + k ( + ) e + k 0. Si h( ) ( 6) f ( ) y f es tal que f ( ) 5 y f ( ) 9, entonces ( ) h es igual a: 57

62 EVALUACIONES RESPUESTAS DEL EXAMEN FINAL. X ( ). X k X ( ;0) ( 0;) ( ; + ). X ; y 5 5. X 5 6. X ( 0; + ) 7. X e 8. X 9. X ( 5,7 ) y (,0) 0. X D e I ( 5, + ). X un máimo en y un mínimo en. X 9 6 ( X ) X 5. X ( ;0) y en ( ; + ) 6. X cos( ) + + C 7. X y + 8. X ( ( ) ( )) + ( ( ) ( )) 9. X ( ) 0. X 60 g f d f g d 0 e + k 58

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