MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano"

Transcripción

1 MATEMÁTICAS BÁSICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 1 / 1

2 Parte I Funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 2 / 1

3 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

4 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

5 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial. 2 La función del conjunto de ciudadanos de un país en el de las huellas digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su índice derecho. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

6 Funciones Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial. 2 La función del conjunto de ciudadanos de un país en el de las huellas digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su índice derecho. 3 La función del conjunto de los reales en sí mismo, que a cada real le asigna su cuadrado. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 3 / 1

7 Funciones De una manera más formal tenemos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada: f : A B es un subconjunto de A B (una relación de A en B) que cumple: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 4 / 1

8 Funciones De una manera más formal tenemos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada: f : A B es un subconjunto de A B (una relación de A en B) que cumple: Para todo elemento a A existe un único b B tal que la pareja (a, b) f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 4 / 1

9 Funciones De una manera más formal tenemos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, notada: f : A B es un subconjunto de A B (una relación de A en B) que cumple: Para todo elemento a A existe un único b B tal que la pareja (a, b) f. Como es único el elemento b relacionado con a, escribimos f (a) = b. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 4 / 1

10 Funciones Si f : A B es una función, A se llama el Dominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 5 / 1

11 Funciones Si f : A B es una función, A se llama el Dominio de f. B se llama el Codominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 5 / 1

12 Funciones Si f : A B es una función, A se llama el Dominio de f. B se llama el Codominio de f. {b B existe a A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o el Recorrido de f o la Imagen de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 5 / 1

13 Ejemplos f : R R definida por f (x) = 2x 1 Dom(f ) = R, Imagen de f = R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 6 / 1

14 Ejemplos f : R R definida por f (x) = 2x 1 Dom(f ) = R, Imagen de f = R. g : R R definida por g(x) = x 2 Dom(g) = R, Imagen de g = [0, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 6 / 1

15 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 7 / 1

16 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 7 / 1

17 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R. En este caso se acostumbra simplemente a identificar la función con la expresión que define su efecto sobre la variable, suponiendo que el dominio es, el subconjunto más grande de R en el que se puede definir la función y el codominio es R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 7 / 1

18 Ejemplos Si f (x) = 2x 1, entonces Dom(f ) = R {3}. x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 8 / 1

19 Ejemplos Si f (x) = 2x 1, entonces Dom(f ) = R {3}. x 3 Si g(x) = 2 5x, entonces Dom(g) = (, 2 5 ]. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 8 / 1

20 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = 4 x 2 8x + 7. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

21 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = 4 x 2 8x + 7. x 2 8x + 7 = 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

22 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = 4 x 2 8x + 7. x 2 8x + 7 = 0 (x 1)(x 7) = 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

23 Dominio Ejemplo Hallar el dominio de la función f (x) = Dominio de f : R {1, 7}. 4 x 2 8x + 7. x 2 8x + 7 = 0 (x 1)(x 7) = 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 9 / 1

24 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

25 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

26 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x x 6 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

27 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x x 6 x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

28 Dominio Ejemplo Para hallar el dominio de la función f (x) = 2x + 6, resolvemos la desigualdad 2x x 6 x 3 Dominio de f : [ 3, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 10 / 1

29 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

30 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

31 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

32 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 x < 3 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

33 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 x < 3 ( 2 S =, 3 ) 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

34 Dominio Ejemplo 1 7x Hallar el dominio de la función f (x) = (x + 5) 3 2x. Aquí hay una combinación de los dos casos, así que empezamos por la expresión dentro del radical. 3 2x > 0 2x > 3 x < 3 ( 2 S =, 3 ) 2 Por qué el intervalo es abierto en 3 2? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 11 / 1

35 Dominio Ejemplo (Cont.) Hallar el dominio de la función f (x) = 1 7x (x + 5) 3 2x. Además, el denominador se hace cero cuando x = 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 12 / 1

36 Dominio Ejemplo (Cont.) Hallar el dominio de la función f (x) = 1 7x (x + 5) 3 2x. Además, el denominador se hace cero cuando x = 5, así que el dominio de f es ( Dom(f ) =, 3 ) ( { 5} = (, 5) 5, 3 ). 2 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 12 / 1

37 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

38 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Si f (x) = 2x 1, su gráfica es la recta y = 2x 1. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

39 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Si f (x) = 2x 1, su gráfica es la recta y = 2x 1. Si g(x) = x 2 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x 2 2x + 1. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

40 Gráficas de funciones La gráfica de una función real es la representación en el plano cartesiano de {(x, f (x)) x Dom(f )}. Si f (x) = 2x 1, su gráfica es la recta y = 2x 1. Si g(x) = x 2 2x + 1, su gráfica es la parábola y = x 2 2x + 1. Nótese que una gráfica en el plano cartesiano representa una función real, si toda recta vertical corta la gráfica en a lo sumo un punto. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 13 / 1

41 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

42 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a y En particular, la función idéntica de R I R : R R x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

43 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a y En particular, la función idéntica de R y = x I R : R R x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

44 Función idéntica o función identidad Dado cualquier conjunto no vacío A definimos I A : A A a a y En particular, la función idéntica de R y = x I R : R R x x x Dom(I R ) = R Im(I R ) = R Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 14 / 1

45 Función constante y f : R R x c donde c es una constante. x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 15 / 1

46 Función constante y f : R R x c c y = c donde c es una constante. x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 15 / 1

47 Función constante y f : R R x c c y = c donde c es una constante. Dom(f ) = R Im(f ) = {c} x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 15 / 1

48 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

49 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. x y = mx + b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

50 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. Dom(f ) = R Im(f ) = R, si m 0 x y = mx + b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

51 Función lineal f : R R x mx + b y donde m y b son constantes. Dom(f ) = R Im(f ) = R, si m 0 x Qué pasa si m = 0? Cómo es la gráfica de f en este caso? y = mx + b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 16 / 1

52 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 0. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

53 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

54 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? Cómo es la gráfica de f? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

55 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c y donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? x Cómo es la gráfica de f? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

56 Función cuadrática f : R R x ax 2 + bx + c y donde a, b y c son constantes y a 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? Cómo es la gráfica de f? Caso a > 0 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 17 / 1

57 Función valor absoluto f : R R x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

58 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R Im(f ) = Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

59 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

60 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

61 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

62 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y y = x Im(f ) = Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

63 Función valor absoluto f : R R x x Dom(f ) = R y y = x Im(f ) = [0, ) Cómo es la gráfica de f? x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 18 / 1

64 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

65 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

66 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

67 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

68 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 [ 2] = 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

69 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 [ 2] = 2 [ 1,5] = 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

70 Función parte entera f : R R x [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12 [ 2] = 2 [ 1,5] = 2 [ π] = 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 19 / 1

71 Función parte entera Ejercicio Haga la gráfica de y = [x] y encuentre su imagen. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 20 / 1

72 Función parte entera f (x) = [x] y x

73 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

74 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

75 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

76 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

77 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

78 Función parte entera f (x) = [x] y y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

79 Función parte entera f (x) = [x] y Im(f ) = y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

80 Función parte entera f (x) = [x] y Im(f ) = Z y = [x] x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 21 / 1

81 Funciones definidas a trozos Consideremos la función definida como sigue 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > 2. Veamos su gráfica. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 22 / 1

82 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

83 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

84 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

85 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

86 Funciones definidas a trozos 3 si x < 4 f (x) = x + 1 si 4 x 2 x 2 si x > y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 23 / 1

87 Funciones definidas a trozos Consideremos la función definida como sigue 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x 2. Veamos su gráfica. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 24 / 1

88 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

89 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

90 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

91 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

92 Funciones definidas a trozos 2 si x < 2 f (x) = x si 2 x < 2 2x 6 si x y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 25 / 1

93 Gráficas Ejercicio Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones: x 2 si x < 0 f (x) = 2 si 0 x < 1 1 x si x > 1 4 si x < 1 f (x) = x + 1 si 1 x 1 2x si x > 1 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 26 / 1

94 Parte II Propiedades de funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 27 / 1

95 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

96 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

97 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por x. 2 f (x) = x y f (x) = x 2 son ejemplos de funciones pares. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

98 Funciones pares Definición Una función f es par si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituye x por x. 2 f (x) = x y f (x) = x 2 son ejemplos de funciones pares. 3 La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 28 / 1

99 Funciones pares y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 29 / 1

100 Funciones impares Definición Una función f es impar si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 30 / 1

101 Funciones impares Definición Una función f es impar si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 f (x) = x y f (x) = x 3 son ejemplos de funciones impares. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 30 / 1

102 Funciones impares Definición Una función f es impar si f ( x) = f (x) para toda x en el dominio de f. 1 f (x) = x y f (x) = x 3 son ejemplos de funciones impares. 2 La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 30 / 1

103 Funciones impares y x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 31 / 1

104 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

105 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

106 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

107 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

108 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

109 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

110 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

111 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

112 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

113 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

114 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) = 12( x) 5 6( x) 3 3( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

115 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) = 12( x) 5 6( x) 3 3( x) = 12x 5 + 6x 3 + 3x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

116 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 3x 8 es par, pues f ( x) = 4( x) 2 + 5( x) 6 3( x) 8 = 4x 2 + 5x 6 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 6x 3 3x es impar, pues f ( x) = 12( x) 5 6( x) 3 3( x) = 12x 5 + 6x 3 + 3x = f (x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 32 / 1

117 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

118 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

119 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

120 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

121 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) = 3( x) 7 + 9( x) 5 3( x) 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

122 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) = 3( x) 7 + 9( x) 5 3( x) 8 = 3x 7 9x 5 3x 8 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

123 Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 3x 8 no es par ni impar, pues f ( x) = 3( x) 7 + 9( x) 5 3( x) 8 = 3x 7 9x 5 3x 8 = (3x 7 + 9x 5 + 3x 8 ) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 33 / 1

124 Funciones pares e impares Ejercicio Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 34 / 1

125 Funciones pares e impares Ejercicio Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 2x 7 + 3x 5 6x f (x) = 8x 6 + 3x 4 x + 4 f (x) = 2 x + 4 f (x) = (x 1) 2 + x 4 f (x) = 3 (x + 2) 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 34 / 1

126 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

127 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

128 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

129 Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición Sea f : A B una función, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B. f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 35 / 1

130 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

131 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

132 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

133 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

134 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

135 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

136 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

137 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

138 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

139 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f 5 (x) = x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

140 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f 5 (x) = x no es uno a uno ni sobre. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

141 Funciones inyectivas y sobreyectivas Ejemplo Considere las siguientes funciones f 1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f 2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f 3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f 4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f 5 (x) = x no es uno a uno ni sobre. Cómo determinar por medio de la gráfica si una función es uno a uno? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 36 / 1

142 Funciones inyectivas y sobreyectivas Prueba de la recta horizontal Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta la gráfica de f máximo en un punto. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 37 / 1

143 Funciones inyectivas y sobreyectivas Prueba de la recta horizontal Una función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontal corta la gráfica de f máximo en un punto. Una función de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontal corta su gráfica. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 37 / 1

144 Parte III Operaciones entre funciones Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 38 / 1

145 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

146 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

147 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia (f g)(x) = f (x) g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

148 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia (f g)(x) = f (x) g(x) Producto (fg)(x) = f (x)g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

149 Operaciones entre funciones Definición Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia (f g)(x) = f (x) g(x) Producto (fg)(x) = f (x)g(x) ( ) f Cociente (x) = f (x), siempre que g(x) 0. g g(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 39 / 1

150 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

151 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

152 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

153 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 (fg)(x) = (2x + 1)(3x 2 4) = 6x 3 + 3x 2 8x 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

154 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 (fg)(x) = (2x + 1)(3x 2 4) = 6x 3 + 3x 2 8x 4 ( ) f (x) = 2x + 1 g 3x 2 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

155 Operaciones entre funciones Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x 2 4. Entonces (f + g)(x) = 2x x 2 4 = 3x 2 + 2x 3 (f g)(x) = 2x + 1 (3x 2 4) = 3x 2 + 2x + 5 (fg)(x) = (2x + 1)(3x 2 4) = 6x 3 + 3x 2 8x 4 ( ) f (x) = 2x + 1 g 3x 2 4 Cuál es el dominio de estas funciones? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 40 / 1

156 Operaciones entre funciones El dominio de f + g, f g, fg es la intersección I de los dominios de f y de g, mientras que el dominio de f g está formado por los puntos x de I tales que g(x) 0. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 41 / 1

157 Operaciones entre funciones El dominio de f + g, f g, fg es la intersección I de los dominios de f y de g, mientras que el dominio de f g está formado por los puntos x de I tales que g(x) 0. Ejemplo Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Hallar una expresión para las siguientes funciones y sus dominios, f + g, f g, fg, f g, g f, g f + g. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 41 / 1

158 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

159 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

160 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

161 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

162 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

163 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

164 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x ( 4 x ) x (fg)(x) = (5x + 3) 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

165 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x ( 4 x ) x (fg)(x) = (5x + 3) 4 x = 5x 2 + 3x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

166 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = (f + g)(x) = 5x x 4 x (f g)(x) = 5x + 3 x ( 4 x ) x (fg)(x) = (5x + 3) 4 x = 5x 2 + 3x 4 x x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Dom(f + g) = R {4} Dom(f g) = R {4} Dom(fg) = R {4} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 42 / 1

167 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

168 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

169 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

170 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

171 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

172 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

173 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) f g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x (x) = 5x + 3 x 4 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 ( ) x f Dom = R {0, 4}. g Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 43 / 1

174 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

175 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

176 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

177 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x + 3 x (5x + 3)(4 x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

178 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

179 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

180 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( g f ) (x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x + 3 x = (5x + 3)(4 x) x = 20x 5x x x = 5x x + 12 ( g ) Dom = R {4, 3 f 5 }. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 44 / 1

181 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x 4 x. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

182 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

183 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x x 4 x 5x x 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

184 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

185 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x x 5x x x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

186 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x x = 5x x x x = 5x x + 12 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

187 Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) = ( ) g (x) = f + g ( ) g Dom f + g x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R {4}. 4 x = x 4 x 5x x 4 x x 4 x (4 x)(5x+3)+x 4 x x = 5x x x x = 5x x + 12 = R {4, 9 ± 141 }. 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 45 / 1

188 Composición de funciones Si f y g son funciones se define (g f )(x) = g(f (x)). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 46 / 1

189 Composición de funciones Si f y g son funciones se define (g f )(x) = g(f (x)). De esta manera g f es una función cuyo dominio es {x Dom(f ) f (x) Dom(g)}. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 46 / 1

190 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

191 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

192 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

193 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

194 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

195 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

196 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

197 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

198 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

199 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

200 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

201 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 = 2x 2 4x + 5 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

202 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 = 2x 2 4x + 5 De nuevo Dom(f g) = R. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

203 Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x 2 2x + 1 tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3) 2 2(2x + 3) + 1 = 4x x + 9 4x = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g f ) = R. (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 2x + 1) = 2(x 2 2x + 1) + 3 = 2x 2 4x + 5 De nuevo Dom(f g) = R. Nótese que en general (f g) (g f ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 47 / 1

204 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

205 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

206 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

207 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

208 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

209 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

210 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

211 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

212 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

213 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

214 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Dom(f g) = {x [0, ) x R} = 2 x + 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

215 Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x tenemos: (g f )(x) = g(2x + 3) = 2x + 3 Dom(g f ) = {x R 2x + 3 0} = [ 3 2, ). (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 x + 3 Dom(f g) = {x [0, ) x R} = [0, ). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 48 / 1

216 Composición de funciones Ejercicio Si f (x) = 1 1 x 2 y g(x) = 1 x, defina (f g) y encuentre su dominio. CUIDADO! Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Funciones 49 / 1

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la

Más detalles

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL .- Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x)= x b) x 4 x 3 3x f(x)= + 8x 4 x + 3x 4 x 3 x + 4x c) f(x)= x 3 x x d) 8x 3 + 3x f(x)= 7x x 9 x e) f(x)= x x f) f(x)= x + 5 x g) f(x)= x x + h) f(x)=

Más detalles

4 E.M. Curso: Unidad: Estadísticas Inferencial. Colegio SSCC Concepción. Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES

4 E.M. Curso: Unidad: Estadísticas Inferencial. Colegio SSCC Concepción. Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES Colegio SSCC Concepción Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/Calcular/ Resolver Valores/ Actitudes: Curso: E.M. 10 Respeto, Solidaridad,

Más detalles

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autores: Margarita Ospina Pulido Lorenzo Acosta Gempeler Edición: Jeanneth Galeano Peñaloza Rafael Ballestas Rojano

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autores: Margarita Ospina Pulido Lorenzo Acosta Gempeler Edición: Jeanneth Galeano Peñaloza Rafael Ballestas Rojano MATEMÁTICAS BÁSICAS Autores: Margarita Ospina Pulido Lorenzo Acosta Gempeler Edición: Jeanneth Galeano Peñaloza Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede

Más detalles

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por : A B A

Más detalles

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones

Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Ejercicios Selección Unica de funciones. ExMa-MA SELECCION UNICA

Ejercicios Selección Unica de funciones. ExMa-MA SELECCION UNICA Ejercicios Selección Unica de funciones. ExMa-MA0125 1 SELECCION UNICA A continuación se presentan 54 preguntas de selección única. En cada caso, escoja la respuesta correcta. No lo realice con calculadora.

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto. MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA ) Determinar k y h para que las rectas kxy-h=0, 4xky-=0, se corten en un punto ) La recta r: 5 x y 9 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Obtener la ecuación

Más detalles

50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES. Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: Se tiene:

50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES. Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: Se tiene: 50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {e, f, g, h}, C = {a, e, i, o, u} A B C, A B C, A \ B,

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL. Guía para el II parcial

PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL. Guía para el II parcial Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL Guía para el II parcial Sábado 25 de junio, 8:00 a.m. 2016 II PARCIAL ÁLGEBRA

Más detalles

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números

Más detalles

El elemento y determinado por x se denota f(x). Se dice que f es la

El elemento y determinado por x se denota f(x). Se dice que f es la Capítulo 5 Funciones 5.1 Algunas definiciones Ejemplos Definición: Dados dos conjuntos X y Y, una función definida en X con valores en Y es una ley, o regla, que le asocia a cada elemento x 2 X un elemento

Más detalles

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS. 2 de marzo de Universidad Nacional de Colombia MATEMÁTICAS BÁSICAS

MATEMÁTICAS BÁSICAS. 2 de marzo de Universidad Nacional de Colombia MATEMÁTICAS BÁSICAS 2 de marzo de 2009 Parte I Conjuntos Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {a, e, i, o, u} B = {blanco, gris, negro} C = {2, 4, 6, 8, 9} D =

Más detalles

Práctica para prueba de bachillerato Funciones

Práctica para prueba de bachillerato Funciones Práctica para prueba de bachillerato Funciones Resumen Este documento es parte de una publicación del KIOSCO DE INFORMACION, distribuida anteriormente, a través de los CEREDI. Fue preparado para las pruebas

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).

Más detalles

CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de 2011. Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones

CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de 2011. Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011 CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011 Función lineal Definición 1.1 Decimos que y es una función lineal de x, si la gráfica de y es una recta.

Más detalles

Límites y continuidad de funciones reales de variable real

Límites y continuidad de funciones reales de variable real Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones

Más detalles

Si x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO.

Si x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO. R = { (, y) A B / + y > } Si lr y > - lr, y lr Dom( R) = lr, Ran( R) = lr Funciones en una variable Real Para aproimar el gráfico realizamos una tabulación: X y : y > -. y y : y > 0. y : y > -.. RELACIONES.

Más detalles

Ficha 3. Funciones. x f x x y x y a) Definición de función

Ficha 3. Funciones. x f x x y x y a) Definición de función Ficha 3. Funciones a) Definición de función Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una relación definida de A hacia B, de tal forma que a cada elemento de A se le asocia un único elemento de B. Dicha relación

Más detalles

Escuela Nacional Adolfo Pérez Esquivel U.N.C.P.B.A. 3º año. Más sobre Funciones

Escuela Nacional Adolfo Pérez Esquivel U.N.C.P.B.A. 3º año. Más sobre Funciones FUNCIÓN DEFINIDAS POR PARTES Los valores que toma una función pueden estar definidos por medio de una fórmula pero también por varias fórmulas. En este último caso se dice que está definida por partes

Más detalles

Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo I

Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo I Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: función inversa : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa : Contenido Discutiremos:

Más detalles

Teoría Tema 2 Concepto de función

Teoría Tema 2 Concepto de función página 1/7 Teoría Tema Concepto de función Índice de contenido Función, dominio e imagen... Función inyectiva...4 Función sobreyectiva...6 Función biyectiva...7 página /7 Función, dominio e imagen Una

Más detalles

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL ) a) Determine pendiente, ordenada al origen y abscisa al origen, si es posible. b) Grafique. -) a) y = ( x ) aplicando propiedad distributiva y= x se

Más detalles

Definición de Funciones MATE 3171

Definición de Funciones MATE 3171 Definición de Funciones MATE 3171 Función Una función, f, es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento de E : x 1 x 2 x 3 y 2 y 1 Terminología

Más detalles

Funciones. Domf = {x R f(x) B} Ranf = {f(x) x Domf} x (, 4) (4, ) 4y + 1 y. 4y + 1. > 4 = y y. > 0 = y

Funciones. Domf = {x R f(x) B} Ranf = {f(x) x Domf} x (, 4) (4, ) 4y + 1 y. 4y + 1. > 4 = y y. > 0 = y Funciones Una función real de variable real es una aplicación f : A B donde A,B son conjuntos de números reales. Domf = x R f(x) B Rango: El rango o imagen de la función f es un conjunto que se define

Más detalles

El análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica.

El análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Capítulo 4. Estudio de la línea recta El análisis cartesiano (René Descartes 1596-1650) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Para lograr esa representación gráfica es necesario

Más detalles

Competencia específica. Conceptos básicos. Función. f : X Y

Competencia específica. Conceptos básicos. Función. f : X Y Funcio nes inplícit as FUNCI ONES Cncept os iniciale s Sucesio nes Grafica ción Operaci ones Clasific ación Competencia específica Comprender el concepto de función real e identificar los tipos de funciones,

Más detalles

Capitulo V: Relaciones

Capitulo V: Relaciones Capitulo V: Relaciones Relaciones Binarias: Consideremos dos conjuntos A B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre elementos de A B a todo subconjunto R del producto cartesiano

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

FUNCIONES y = f(x) ESO3

FUNCIONES y = f(x) ESO3 Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.

Más detalles

FUNCIONES. DEFINICIONES: Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno sólo un valor de la variable dependiente (rango). Conjunto de pares ordenados

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 7: FUNCIONES 1º BACHILLERATO 1 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN...3 1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN...3. Definición de Dominio...3.1. CÁLCULOS DE DOMINIOS...3 3. Composición de funciones...4

Más detalles

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En la Sección anterior se abordó contenidos relacionados con las funciones y gráficas, continuamos aprendiendo más sobre funciones; en la presente unidad abordaremos

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16. f : A! B x 7! y = f(x):

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16. f : A! B x 7! y = f(x): MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16 Función Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A exactamante un elemento

Más detalles

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2 Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,

Más detalles

Tema 3: Conjuntos y Funciones

Tema 3: Conjuntos y Funciones Tema 3: Conjuntos y Funciones Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica y Computabilidad Curso 2008 09 LC, 2008 09 Conjuntos y Funciones 3.1 Conjuntos Escribimos

Más detalles

Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica

Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 1: Fundamentos:

Más detalles

Colegio Universitario Boston. Funciones

Colegio Universitario Boston. Funciones 70 Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, tal que relaciona, a cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto Para indicar que se ha establecido una

Más detalles

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.

Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni. Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

Otras Funciones Relevantes

Otras Funciones Relevantes PreUnAB Clase # 14 Septiembre 2014 Función Cuadrática o de Segundo Grado Definición de la función cuadrática La función cuadrática tiene la forma general: f(x) = ax 2 + bx + c Dominio y recorrido de la

Más detalles

Graficación de funciones

Graficación de funciones Clasificación de funciones Graficación de funciones Efraín Soto Apolinar www.aprendematematicas.org.mx 15 de enero de 2011 Efraín Soto Apolinar (www.aprendematematicas.org.mx) Clasificación de funciones

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS FUNCIONES CUADRÁTICAS A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c, siendo a, b, c, números reales y a 0 se la denomina función cuadrática. Dominio de una función cuadrática es el conjunto

Más detalles

Mapa Curricular: Funciones y Modelos

Mapa Curricular: Funciones y Modelos A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. A.PR.11.2.2 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros,

Más detalles

LA FUNCIÓN INVERSA. Si R es una relación, la relación R definida por la proposiciones. (a, b) R (b, a) R. (a, b) R (c, b) R a = c

LA FUNCIÓN INVERSA. Si R es una relación, la relación R definida por la proposiciones. (a, b) R (b, a) R. (a, b) R (c, b) R a = c LA FUNCIÓN INVERSA Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Expondremos aquí tres de ellas, para efectos formales, ya que para hallar la inversa de

Más detalles

NOCIONES PRELIMINARES (*) 1

NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real 84 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 8 Funciones reales de variable real 8. Los números reales Los números reales son de sobra conocidos, sus operaciones básicas así como su identificación

Más detalles

SISTEMA DE NUMEROS REALES

SISTEMA DE NUMEROS REALES SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos

Más detalles

UNIDAD 2 RELACIONES Y FUNCIONES

UNIDAD 2 RELACIONES Y FUNCIONES UNIDD 2 RELCIONES Y FUNCIONES Concepto de par ordenado. Definición de Producto Cartesiano de dos conjuntos. Definición de Relación entre conjuntos Funciones: 1) Definición. 2) Dominio, Codominio, Recorrido,

Más detalles

Colegio Universitario Boston

Colegio Universitario Boston Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o, donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función,

Más detalles

Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA

Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA CUARTO AÑO - 015 QUINTO AÑO - 016 1) Hallar la órmula de unción cuadrática g, que cumple las dos condiciones simultáneamente:

Más detalles

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones

Semana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,

Más detalles

Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 1 Contenido: ) Funciones.1 Conceptos Básicos de Funciones. Función

Más detalles

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77

MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.

Más detalles

TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama

Más detalles

Clase 4 Funciones polinomiales y racionales

Clase 4 Funciones polinomiales y racionales Clase 4 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2014 Polinomios Definición Se llama polinomio en x a toda expresión de la forma p(x) = a 0 + a 1x+ +a n

Más detalles

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios , Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas

Más detalles

Funciones Guía Teórico y práctico.

Funciones Guía Teórico y práctico. Carrera: Profesorado en Física. Materia: MATEMÁTICA Titular: Dra. Godoy, Antonia E. Adscripta: Lubaczewski, Itatí Funciones Guía Teórico y práctico. Dados dos conjuntos no vacíos A y B y una relación que

Más detalles

d. x 1 e. Ninguna de las anteriores b. 1 c. 3 d. 2 e. Ninguna de las anteriores d. ( 3; 2) e. Ninguna de las anteriores d.

d. x 1 e. Ninguna de las anteriores b. 1 c. 3 d. 2 e. Ninguna de las anteriores d. ( 3; 2) e. Ninguna de las anteriores d. UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO, RECINTO DE MAYAGUEZ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMATICAS EXAMEN DEPARTAMENTAL FINAL: PRE-CALCULO I, MATE 7 NOMBRE: NUM. DE ESTUDIANTE: SECCION: PROFESOR: El plagio no está permitido.

Más detalles

Matemáticas Universitarias

Matemáticas Universitarias Matemáticas Universitarias 1 Sesión No. 8 Nombre: Concepto de función, función lineal y su gráfica. Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los métodos para la obtención de la

Más detalles

TEMA 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. *

TEMA 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. * TEM 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. * Conjuntos. Un conjunto es cualquier colección, bien definida, de objetos llamadas elementos o miembros del conjunto. Una manera de describir un conjunto

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),

Más detalles

Matemáticas III. Geometría analítica

Matemáticas III. Geometría analítica Matemáticas III. Geometría analítica Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales

Más detalles

CAPÍTULO. Funciones. y D f.x/ f.x/ Œx; f.x/ x x

CAPÍTULO. Funciones. y D f.x/ f.x/ Œx; f.x/ x x PÍTULO Funciones. Gráfica de una función real de variable real Definimos la gráfica G f de una función f real de una variable real como: G f def D {.; / R R D R Df & D f./ } : La epresión anterior se lee:

Más detalles

Guía de Ejercicios: Funciones

Guía de Ejercicios: Funciones Guía de Ejercicios: Funciones Área Matemática Resultados de aprendizaje Determinar dominio y recorrido de una función. Analizar funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Determinar la función

Más detalles

PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL ORIENTACIONES PARA EL PLANEAMIENTO ANUAL

PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL ORIENTACIONES PARA EL PLANEAMIENTO ANUAL Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica PROYECTO MATEM CURSO PRECÁLCULO UNDÉCIMO AÑO MODALIDAD ANUAL ORIENTACIONES PARA EL PLANEAMIENTO ANUAL 2016 I PARCIAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Más detalles

Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes:

Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: Funciones, 3º ESO () RECTAS Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: - Lineales, de fórmula y mx. Las gráficas de estas funciones pasan por el origen de coordenadas. m es la pendiente

Más detalles

() 30 de marzo de / 13

() 30 de marzo de / 13 MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o situación del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una pobalción, la demanda por un producto, etc. El propósito

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real Tema Funciones reales de variable real Introducción En este primer tema del Bloque de Cálculo tendremos como objetivo fundamental el recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable

Más detalles

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían

Más detalles

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto se

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

UNIDAD DOS FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA

UNIDAD DOS FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA UNIDAD DOS FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA UNIDAD DOS: FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA CAPITULO UNO: Las Funciones Introducción... 4 Objetivo General y Objetivos Específicos... 4 Sistema

Más detalles

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS. el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real

Más detalles

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA DURACION 3

Más detalles

10.4 Sistemas de ecuaciones lineales

10.4 Sistemas de ecuaciones lineales Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 001 y MATE 02 Clase #11: martes, 14 de junio de 2016. 10.4 Sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones.

Más detalles

ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1

ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1 ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1 Correspondencias y aplicaciones (Curso 2007 2008) 1. Dadas las siguientes correspondencias, determinar sus conjuntos origen, imagen, decidir si no son aplicaciones

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se

Más detalles