EL ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS: UNA METODOLOGÍA MUY RECIENTE EN ECONOMÍA

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1 EL ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS: UNA METODOLOGÍA MUY RECIENTE EN ECONOMÍA Miguel Escribano Ródenas Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I Escuela Universitaria de Estudios Empresariales Universidad Complutense de Madrid RESUMEN La técnica de análisis por elementos finitos (AEF) consiste en dividir la geometría en la que se quiere resolver una ecuación diferencial de un campo escalar o vectorial en un dominio, en pequeños elementos, teniendo en cuenta unas ecuaciones de campo en cada elemento, los elementos del entorno de vecindad y las fuentes generadoras de campo en cada elemento. Habitualmente, esta técnica es muy utilizada en el ámbito de la ingeniería debido a que muchos problemas físicos de interés se formulan mediante la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales, a partir de cuya solución es posible modelar dicho problema (transmisión del calor, electromagnetismo, cálculo de estructuras, etc). Esta técnica se encuentra automatizada en las herramientas software comerciales, llamadas herramientas de análisis por elementos finitos para problemas físicos tanto de propósito general, como aplicadas a problemas físicos particulares. Sin embargo, su aplicación es aún poco conocida en economía y a veces es incluso confundida con la discretización de las ecuaciones diferenciales, técnica que es mucho más utilizada en estudios económicos. No es habitual encontrar herramientas comerciales en que se automatice esta labor para problemas económicos. Esta comunicación presenta la técnica matemática del AEF y algunas ideas para su aplicación en la resolución de problemas de tipo económico. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional 1

2 Miguel Escribano Ródenas Palabras claves: Elementos finitos, Discretización, Economía Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C-63 computational techniques Área temática: Metodología y didáctica de la matemáticas aplicadas a la economía y la empresa 2 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional

3 FINITE ELEMENT ANALYSIS: A VERY RECENT METHODOLOGY IN ECONOMICS Miguel Escribano Ródenas Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I Escuela Universitaria de Estudios Empresariales Universidad Complutense de Madrid ABSTRACT Finite element analysis technique (FEA) is based on splitting a geometry in which a partial derivative equation for a scalar or vector field, has to be solved in a physical domain, in small elements, taking into account field equations, boundary elements and field sources on each element. Commonly, this technique is very used in engineering applications due to many physical problems are formulated by means of the solution of a partial derivative equation, whose solution is the first step to model this physical problem (heat transfer, electromagnetics, stress analysis in structures, etc). This technique is implemented in commercial software tools named finite element analysis tools, for physical problems of general purpose and applied physical problems too. However, its application is not yet very well known in economics, and sometimes is confused with discretization of partial derivative equations. This technique is much more used in economical studies. On the other hand, it is not very common to find commercial tools in which this task be implemented for economical problems. This work presents finite element analysis technique and some ideas for its application in solving economical problems. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional 3

4 Miguel Escribano Ródenas Key words: Finite Elements, Discretization, Economics JEL Classification: C-63 computational techniques Área temática: Metodología y didáctica de la matemáticas aplicadas a la economía y la empresa 4 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional

5 1. INTRODUCCIÓN Existen multitud de problemas físicos cuya formulación desde un punto de vista matemático responde a una ecuación diferencial en derivadas parciales. Tal es el caso de la transmisión del calor, del electromagnetismo, de la mecánica de fluidos o del análisis estructural. La solución de dichos problemas tiene un interés elevado en ingeniería, ya que dichas soluciones son el punto de partida para el diseño y modelado de los sistemas físicos que representan aquellas ecuaciones. En general, la resolución de las ecuaciones diferenciales que formulan un problema físico es de gran complejidad. Solamente en los casos en que se hacen simplificaciones sobre las dimensiones en que se estudia el problema para las distribuciones de campo, y sobre las geometrías en que se resuelven estas ecuaciones, es posible obtener una solución analítica del problema. En dichos casos, tales simplificaciones conducen a ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles. El método de separación de variables también proporciona solución a multitud de problemas físicos. Por otro lado la semejanza y la analogía permiten la obtención de la solución de un problema físico cuando se conoce la solución a otro problema físico (análogo) que tiene la misma forma desde un punto de vista matemático. Tal es el caso de la analogía entre la transmisión de calor en régimen permanente y la electrostática, y el caso de la analogía entre la transmisión de calor unidimensional transitoria y las ecuaciones de las líneas de transmisión. Para todos los casos en los que las técnicas analíticas o bien porque pierden exactitud (debido a que la distribución de campo empieza a dejar de ser unidimensional), o bien porque no es posible aplicarlas, debido a que estos casos se salen del alcance de las mismas (como consecuencia de que la distribución térmica sea 2D o 3D), es donde los métodos numéricos tienen mucha utilidad. Esta técnica consiste en la resolución de las ecuaciones diferenciales que modelan el problema mediante procedimientos numéricos iterativos, que discretizan la ecuación diferencial en una ecuación en diferencias, resolviéndola de forma iterativa. Dentro de estas técnicas destaca la técnica de análisis por elementos finitos. En este trabajo, se propone el empleo de esta técnica para la resolución de problemas de tipo económico. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional 5

6 Miguel Escribano Ródenas 2. LA TÉCNICA DE ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS La técnica de análisis por elementos finitos (AEF) consiste en el empleo de los métodos numéricos en la resolución de un problema físico determinado. Este método numérico se basa en dividir la geometría en la que se quiere resolver un problema físico, en pequeños elementos en los cuales se resuelven las ecuaciones diferenciales correspondientes a un campo (la temperatura en transmisión del calor, el campo magnético en electromagnetismo, el campo de velocidades en mecánica de fluidos, etc), en forma discreta, teniendo en cuenta las propiedades físicas de los materiales empleados, los elementos del entorno de vecindad, las condiciones de contorno y las fuentes generadoras de campo. La resolución de estas ecuaciones de forma discreta se realiza de forma iterativa hasta que se alcanza convergencia en la solución. Las herramientas software que permiten realizar este proceso de forma eficiente y cómoda se denominan herramientas de análisis por elementos finitos, o simplemente herramientas de elementos finitos (HEF). Existen HEF de propósito general o multidisciplinar que permiten resolver varios problemas físicos como son: mecánica de fluidos, transmisión del calor, electromagnetismo, mecánica estructural, etc y HEF que se aplican a un problema físico específico. Hay herramientas que permiten incluso acoplar dos problemas como es el caso del problema térmico y del problema electromagnético. Es decir la salida de un problema se emplea como entrada en el otro problema y viceversa, de forma iterativa. El proceso de generación de la solución mediante AEF se realiza en estas herramientas mediante varios pasos: definición de la geometría objeto de estudio, especificación del régimen a estudiar, asignación de las propiedades físicas de los materiales, asignación de las condiciones de contorno, aplicación de las cargas, mallado de la geometría, resolución del problema y análisis de la solución. Estos pasos se pasan a explicar a continuación para el caso de un problema físico en particular, como es el problema de la transmisión del calor. 2.1 Definición de la geometría objeto de estudio Consiste en la obtención de un dibujo en 2D o 3D, en malla de alambre, de las formas de los diferentes objetos en los que se pretenden resolver las ecuaciones de 6 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional

7 campo. Para efectuar este cometido las HEF suelen tener una herramienta CAD por debajo. 2.2 Especificación del régimen a estudiar Para el caso del modelado térmico, las HEF permiten realizar un análisis en régimen permanente o en régimen transitorio. Es en esta fase en la que se especifica el tipo de régimen a estudiar. 2.3 Asignación de las propiedades físicas de los materiales Es aquí donde las propiedades termofísicas tales como la conductividad térmica, la densidad y el calor específico, se asignan a cada uno de los objetos que se han generado en la fase de definición de la geometría. Las HEF suelen tener una base de datos de propiedades de materiales, de forma que la asignación de propiedades térmicas se realice de forma más cómoda. 2.4 Asignación de las condiciones de contorno Las condiciones de contorno más típicas que se aplican en la frontera del problema suelen ser de temperatura constante (isoterma), superficies adiabáticas (flujo de calor nulo) o condiciones de simetría. Asimismo, en el caso de la frontera entre sólidos y entre sólidos y el ambiente, suele aplicarse alguna condición de contorno del tipo de conducción, y de convección o de convección y radiación respectivamente. 2.5 Aplicación de las cargas Se entiende por cargas, las fuentes activas de campo. En el caso particular de la transmisión del calor, la fuente de campo es la generación de calor. La generación de calor suele expresarse o bien mediante un valor neto [W] o bien mediante una densidad de generación de calor [W/m 3 ]. Si se asigna una densidad de generación de calor, ésta suele poderse expresar en función de las variables espaciales. 2.6 Mallado de la geometría La geometría objeto de estudio se divide en diferentes elementos en los que resuelven las ecuaciones de campo. Las HEF suelen tener herramientas por debajo que mallan de forma automática y permiten que el usuario malle de forma más fina las zonas que más le convenga. Es por ello que el mallado de la geometría es una tarea clave en el proceso de AEF. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional 7

8 Miguel Escribano Ródenas 2.7 Resolución del problema En esta fase del proceso, es donde se aplica el método de análisis por elementos finitos para obtener la solución del problema físico de forma iterativa, en este caso la transmisión del calor. La solución se obtiene en cada uno de los elementos en que se descompone la geometría. Aunque siempre es posible sumar o integrar estos pequeños elementos en una región determinada, ya sea área o volumen. 2.8 Análisis de la solución Una vez que se ha obtenido la solución del problema térmico, la distribución de temperaturas se puede emplear para calcular energías térmicas, flujos de calor a través de superficies, para hacer operaciones entre distintos campos e incluso para calcular resistencias térmicas. Una vez obtenida la solución, es posible representar gráficamente la distribución que se trate. La última fase se conoce también con el nombre de solución, y la penúltima fase del proceso que se acaba de describir se conoce también con el nombre de postprocesamiento, y el resto de las fases se conocen con el nombre de preprocesamiento. El empleo de HEF en el modelado térmico de componentes magnéticos es muy importante, ya que mediante el uso de estas herramientas software es posible analizar distintos efectos sobre la distribución térmica tales como efectos geométricos, efectos de las propiedades termofísicas, efectos de las cargas y de las condiciones de contorno. Asimismo permiten visualizar distintas magnitudes como temperaturas, flujos de calor, energías térmicas, etc. Esta visualización permite la determinación de puntos calientes, y qué zonas están peor y mejor refrigeradas del dispositivo. En la figura 1 se muestra el método de análisis por elementos finitos aplicado a la resolución del problema térmico de forma resumida. Una vez obtenida la solución de un problema físico mediante AEF la generación de un modelo físico no está resuelta 1. En la obtención de este modelo hay dos puntos claves: 1 Véanse las Tesis Doctorales de Miguel Escribano Ródenas, Modelado Térmico de Componentes Magnéticos en Electrónica de Potencia de Alta Frecuencia mediante Técnicas Analíticas y de Análisis por Elementos Finitos, leida en 2005, y la de R. PRIETO LÓPEZ, titulada Análisis y Optimización de Componentes Magnéticos mediante Técnicas de Elementos Finitos, leida en 1998, ambas en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid de la Universidad Politécnica de Madrid. 8 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional

9 En primer lugar hay que considerar una estructura para el modelo que se desea construir. La estructura de este modelo y su complejidad en general, dependerán de la precisión con la que se modelan los diferentes aspectos de los que consta esta disciplina: cómo se considera la distribución de la generación de calor, qué detalle se quiere obtener en el mapa de temperaturas, qué tipo de régimen es preciso considerar, cómo se modelan las condiciones de contorno y cómo se consideran las propiedades físicas. En segundo lugar, una vez establecida la estructura que tiene el modelo, habrá que determinar sus parámetros, para los cuales también existen varias posibilidades dependiendo de: el tipo de distribución en la generación de calor para el análisis, el tipo de condiciones de contorno empleadas, el tipo de régimen, etc. Dependiendo del tipo de estructura elegida para el modelo, la complejidad en el proceso de obtención de parámetros cambiará. Por tanto ambos aspectos están relacionados. Cuanto más complejo y más preciso sea el modelo generado, más difícil será la obtención de sus parámetros. Es decir, existirá una solución de compromiso entre la precisión que se desea del modelo y la complejidad del mismo. Geometría Condiciones de contorno y cargas Mallado Generación núcleo Generación devanado1 Temperatura cte. Convección Radiación Conductores Convección Radiación Núcleo Temperatura cte. Generación devanado2 Análisis de la solución Resolución del problema Figura 1. Proceso de obtención de la solución mediante análisis por elementos finitos. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional 9

10 Miguel Escribano Ródenas Aunque la obtención de un modelo a partir de la solución del problema físico no es automática, bien es verdad que constituye el primer paso para su posterior generación. 3. APLICACIÓN DE LA TÉCNICA DE ANÁLISIS PARA PROBLEMAS ECONÓMICOS La economía viene siendo en los últimos años una de las ciencias que más se está matematizando, haciendo uso de los modelos que anteriormente sólo se habían utilizado en física o ingeniería. Cuando las variables económicas tienen suficiente grado de especificación sus relaciones pueden traducirse fácilmente a funciones matemáticas. Así los modelos económicos se elaborarán como un conjunto de relaciones matemáticas, al que será preciso aplicar las técnicas analíticas adecuadas para su resolución. Aunque los economistas utilizan la teoría y la observación como otros científicos, se enfrentan a un obstáculo que hace su tarea muy desafiante: en economía no es fácil hacer experimentos para conseguir datos. Los economistas deben utilizar los datos que les proporciona la sociedad, y en particular los que les ofrece la historia. Los modelos que utilizan los economistas están realizados, en la mayoría de los casos, con diagramas y ecuaciones matemáticas. La economía del siglo XXI es una ciencia empírica, y por lo tanto, el método científico es imprescindible en ella. Por lo tanto, los procesos de observación, modelización y verificación son importantes. En sus intentos de entender las relaciones subyacentes al entramado económico, los economistas se ven forzados a usar varios tipos de datos agrupados, entre otras simplificaciones. Por lo tanto, y como en todas las ciencias complejas, los modelos sólo son capaces de dar una descripción aproximada de la realidad, mediante la utilización de algunas de las variables implicadas. Los economistas actuales ya han comenzado a utilizar muchos modelos de la física, pero en particular han hecho poco uso de las HEF. En la literatura revisada, sólo hemos encontrado el artículo Numerical Analysis of a nonlinear operator equation arising from a monetary model, de Jenny X. Li, aparecido en 1998, en el Journal of Economic Dynamics and Control, págs En dicho trabajo se resuelve un modelo de economía monetaria, mediante una ecuación de un operador no lineal con métodos numéricos de elementos finitos, con iteraciones en punto fijo. 10 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional

11 4. CONCLUSIONES Se ha presentado la técnica de análisis por elementos finitos como una técnica interesante, utilizada habitualmente en problemas físicos de ingeniería, y que desde aquí se propone su empleo en la resolución de problemas en economía. Asimismo se ha descrito esta técnica para un problema físico particular como es la transmisión del calor. Desde este trabajo se ha propuesto su empleo en la resolución de problemas económicos mostrando varias ideas para su utilización. Como aspectos interesantes de esta técnica de cara a su uso en problemas económicos destacan las siguientes: La resolución puede ser automatizada con ayuda de un programa por computador, como es el caso de las HEF en ingeniería La tarea de visualización de distribuciones de campo se efectúa de forma cómoda Un vez obtenida la solución a un problema, realizar operaciones matemáticas con la solución (postprocesamiento) se realiza con facilidad Aunque la implementación en problemas físicos de ingeniería se realiza en dos y tres dimensiones, puede ser interesante su implementación en una herramienta software con más de tres dimensiones, que modelen diferentes variables económicas en un problema de esta índole, aunque tenga menos sentido físico su representación espacial. 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ESCRIBANO RÓDENAS M. (2005). Modelado Térmico de Componentes Magnéticos en Electrónica de Potencia de Alta Frecuencia mediante Técnicas Analíticas y de Análisis por Elementos Finitos. Tesis Doctoral Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid. Universidad Politécnica de Madrid. LI, Jenny X. (1998). Numerical Analysis of a nonlinear operator equation arising from a monetary model, Journal of Economic Dynamics and Control, pp PRIETO LÓPEZ R. (1998). Análisis y Optimización de Componentes Magnéticos mediante Técnicas de Elementos Finitos. Tesis Doctoral Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid. Universidad Politécnica de Madrid. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internacional 11

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