Tema 7: MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN

Transcripción

1 Introduccón a la Econometría. Conceto. Las meddas o índces de concentracón tenen como objetvo fundamental cuantfcar el grado de desgualdad en el rearto o dstrbucón de una magntud económca (rentas, negoco, benefcos, etc...), entre un número determnado de undades (ndvduos, famlas, emresas, etc...). La forma de la dstrbucón de una magntud, reresentada or una varable estadístca, ya se ha estudado a través de dversas meddas de oscón, dsersón, asmetría y auntamento. Lo que ahora nos nteresa es la mayor o menor equdad en el rearto de la suma total observada de una magntud entre los ntegrantes del conjunto ercetor de dcha suma. Para ello, deberemos recoger de cada elemento ertenecente al conjunto ercetor, la nformacón de la cuantía ndvdual recbda en el rearto. La dfcultad resde en que, en muchas ocasones, esa nformacón vene agruada en clases y, or tanto, el estudo de la concentracón no se odrá hacer con la recsón debda. Es evdente que las dos stuacones extremas que odemos consderar, resecto a la equdad en el rearto, son: - Mínma concentracón o máxma gualdad: cuando a todos los ntegrantes del conjunto ercetor se les asgna la msma cantdad en el rearto del monto total. - Máxma concentracón o mínma gualdad: cuando un únco ercetor recbe la suma total a reartr y los demás no ercben nada. Estas dos stuacones deberán estar claramente dentfcadas or las meddas de concentracón que se defnan y que, asmsmo, deberán graduar las stuacones ntermedas, entre las que se encontrará la mayoría de los casos estudados en la ráctca. 2. Índce de Gn. Para la obtencón de este índce de concentracón se debe ordenar, revamente, el conjunto de ercetores de menor a mayor cuantía obtenda en el rearto de la magntud dstrbuda. S el número de ercetores es N y reresentamos or V el valor que le corresonde al ercetor -ésmo, la ordenacón suondrá que: V V 2 V V N- V N A contnuacón se obtendrán las cantdades acumuladas, tanto del número de ercetores como del valor ercbdo, ara determnar, fnalmente, las roorcones corresondentes a estas cantdades acumuladas. Todo lo anteror se uede exoner en el sguente cuadro: 03

2 Deartamento de Estadístca e Investgacón Oeratva II (Métodos de Decsón) ercetores Valor obtendo V número acumulado de ercetores valor acumulado U N 00 q U U N º V U V q 2º V 2 2 U 2 V +V 2 2 q 2 º V U V +...+V q (N-)º V N- N- U N- V +...+V N- N- q N- Nº V N N U N V +...+V N N 00 q N Las dos últmas columnas nos descrben de qué forma se ha llevado a cabo la dstrbucón de la cuantía total entre los ercetores. S el rearto hubese sdo gualtaro, todos ercbendo la msma cantdad, se cumlría que q,...,n-; mentras que en el caso de que un únco ercetor obtuvera la cuantía total, caso de máxma concentracón, se tendría que q 0,...,N-. En cualquer otro caso ntermedo, que serán los consderados en la ráctca, se dará que > q, udéndose establecer que s estos valores están muy róxmos la concentracón será muy baja, y s están muy alejados entre sí, la concentracón será elevada. Cuanto mayor sea la dferenca ( - q ) mayor será la concentracón roducda en el rearto, udendo, así, dentfcar en qué sectores o gruos del conjunto ercetor se da mayor concentracón, or el mayor valor de esas dferencas. El índce de concentracón de Gn se defne como: I G N- ( -q ) N- - N- N- q [7.] Cumlendo que: - Caso de mínma concentracón o máxma gualdad ( q,...,n-): I G 0 - Caso de máxma concentracón o mínma gualdad (q 0,...,N-): I G - Casos ntermedos: cuanta mayor concentracón se detecte, más cerca de se stuará el valor del índce, y cuanta mayor gualdad haya en el rearto más cerca de 0 estará. Por tanto: 0 I G Pero, como se ha exuesto antes, la nformacón de la dstrbucón nos uede venr agruada en clases o ntervalos. En este caso los datos deberán ordenarse según lo ercbdo or los ntegrantes de las clases y no or el valor que corresonda a toda la clase. S se uderan determnar las marcas de clase, éstas deberán estar ordenadas de menos a más. Las roorcones acumuladas de los valores se calcularán sobre los valores totales ercbdos or las clases. El cuadro quedará de la sguente forma: 04

3 Introduccón a la Econometría clases marcas de clase frecuencas valor obtendo V frecuencas acumuladas valor acumulado U N 00 q N U 00 U C x n V x n N U V q C 2 x 2 n 2 V 2 x 2 n 2 N 2 U 2 V +V 2 2 q 2 C x n V x n N U V +...+V q C n- x n- n n- V n- x n- n n- N n- U n- V +...+V n- n- q n- C n x n n n V n x n n n N n N U n V +...+V n U n 00 q n 00 N U De tal forma que en la clase C estarán ncludos los ercetores con menor cuantía asgnada en el rearto, mentras que en la últma clase estarán los que les haya corresonddo mayor cantdad. Esta ordenacón mlca que las marcas de clase cumlrán que: x x 2 x x n- x n. Sn embargo, los valores V no tendrán que verfcar una ordenacón como ésa, ya que sus cuantías deenderán de las frecuencas (n ) que corresondan a cada clase. Para este caso el índce de concentracón de Gn se defnrá así: I G n- ( -q ) n- - n- n- q [7.2] Mantenéndose la msma relacón entre sus valores y los dstntos casos de concentracón que se descrberon anterormente. Lo únco a señalar es que el valor de este últmo índce [7.2] será una aroxmacón del anteror [7.], dado que éste se calcularía con la nformacón de todas las cuantías corresondentes a cada uno de los ntegrantes del gruo ercetor, con las roorcones acumuladas uno a uno, mentras que el otro utlza las roorcones acumuladas or las clases o ntervalos que recogen la nformacón de los dferentes ercetores ncludos en ellas. 3. Curva de Lorenz. La curva de Lorenz o curva de concentracón es una gráfca que se deduce a artr de la nformacón sumnstrada ara el cálculo del índce de Gn y que, or tanto, refleja la mayor o menor concentracón en la dstrbucón de una magntud. Como exondremos a contnuacón, exste una relacón drecta entre el índce de Gn y la forma de la curva de Lorenz, suonendo ésta últma una nformacón adconal muy nteresante sobre la forma en que se ha llevado a cabo el rearto de la cuantía total. Para su reresentacón gráfca llevaremos al eje de abscsas de un sstema de ejes cartesanos los valores de las roorcones acumuladas del número de ercetores, 05

4 Deartamento de Estadístca e Investgacón Oeratva II (Métodos de Decsón) y en el eje de ordenadas stuaremos las roorcones acumuladas de los valores obtendos en el rearto q. Ambas roorcones varían entre 0 y 00, y como sabemos cumlen que: q, de tal forma que s trazamos la dagonal, del cuadrado formado, que arte del orgen de coordenadas, los untos (, q ) se mantendrán en o or debajo de dcha dagonal. La curva de Lorenz es la resultante de unr todos los untos (, q ), obtenéndose una gráfca, en forma de línea quebrada, que cuanto mayor sea el número de untos más se aroxmará a ser una curva, como la que se descrbe en el sguente gráfco, con cuatro untos ntermedos (n5 y, or tanto, 5 q 5 00): q 00 q,,,, 0 00 De tal forma que en el caso de mínma concentracón la curva de Lorenz se confundrá con la dagonal. Luego, cuanta mayor concentracón se establezca en el rearto, mayores serán las dferencas ( - q ) y, or tanto, más alejada de la dagonal aarecerá la curva de Lorenz. En el otro caso extremo de máxma concentracón la curva de Lorenz quedará formada or el roo eje de abscsas y la vertcal trazada or el unto de abscsa gual a 00. Tal como se refleja en los sguentes gráfcos: q mínma concentracón caso ntermedo máxma concentracón,...,n- q / > q,...,n- q 0 ( I G 0 ) ( 0 < I G < ) ( I G ) Como vemos, exste una relacón entre el índce de Gn y la curva de Lorenz: a mayor alejamento de la dagonal, or arte de la curva de Lorenz, mayor valor tomará el índce de concentracón de Gn. Mentras que el índce de Gn nos da un valor ndcatvo del nvel de concentracón roducdo en el rearto, la curva de Lorenz nos descrbe gráfcamente ese fenómeno, udendo dentfcar ara que gruos de ercetores se acentúa la concentracón y ara cuáles de ellos se amnora. Como se uede dstngur en estos dos gráfcos: () (2) 06

5 Introduccón a la Econometría En el rmer caso la concentracón es de mayor mortanca ara los últmos ercetores, al ser en la segunda arte de la curva donde se seara más de la dagonal. Mentras que en el segundo caso la concentracón es más amla en el rmer gruo de ercetores, a artr del cual la curva tende con mayor endente a unrse a la dagonal. Además se uede determnar una relacón más drecta entre la curva de Lorenz y el valor del índce de Gn. S le damos carácter contnuo a las valores de q y de la exresón del índce se odría gualar a: ( - q ) ( - q ) Δ I G Δ Donde Δ reresenta una dferenca constante entre dos valores consecutvos de. S hacemos tender esa dferenca a cero, se obtendrá que: lm ( - q ) Δ Δ 0 Área (OAB) lm IG Δ 0 lm Δ Área(ODB) Δ 0 Sendo las áreas resultantes las que aarecen en el sguente gráfco, donde la curva de Lorenz se suone contnua y reresentada or la funcón f(). q 00 B f() (OAB) A O D 0 00 Es decr, que el valor del índce de Gn se uede aroxmar or el cocente entre el área de la fgura comrendda entre la dagonal y la curva de Lorenz y el área del trángulo (ODB) que forma la dagonal con el eje de abscsas y la vertcal or el valor de gual a 00. Esta aroxmacón será más recsa cuando sean menores las dferencas entre valores consecutvos de, o, lo que es lo msmo, cuando sea mayor el número de ercetores consderados en el cálculo del índce de concentracón. S suonemos que la curva de Lorenz es contnua y que las roorcones se determnan, no entre 0 y 00, sno entre 0 y, sn multlcar or 00 los cocentes resectvos, se uede comrobar la sguente relacón: - f()d Área(OAB) 2 0 I G - 2 f()d 0 Área(ODB) 0 2 Que es una exresón teórca, bastante utlzada, del índce de Gn y la curva de Lorenz. 07

6 Deartamento de Estadístca e Investgacón Oeratva II (Métodos de Decsón) EJERCICIOS PROPUESTOS. En una determnada rovnca, las rentas ercbdas se han dstrbudo así: Renta (en 0 5 ts.) Nº de ersonas º: Determne el índce de concentracón de Gn. 2º: Dbuje la curva de Lorenz. 3º: Qué conclusones se sacan de los resultados anterores?. 2. Dos emresas A y B emlean a ml trabajadores cada una, clasfcados en tres categorías: I, II y III. En un mes determnado han dstrbudo una msma masa salaral de cen mllones de esetas, de la sguente forma: EMPRESA A EMPRESA B categorías salaros emleados categorías salaros emleados I I II II III III º: Calcule el índce de concentracón de Gn ara cada una de las emresas y dbuje en un msmo gráfco las dos curvas de Lorenz. 2º: A la vsta de los resultados del aartado anteror crtque y comare la equdad en el rearto de la masa salaral entre los emleados de las dos emresas. 3. En dos regones dferentes se determnaron las sguentes dstrbucones de la renta: Regón A Regón B Renta en 0 6 ts. Nº de ersonas Renta en 0 6 ts. Nº de ersonas 0,5 -, ,5 -,5 583,5-2,5 225,5-2, ,5-4,5 82 2,5-4,5 94 4,5-6,5 56 4,5-6,5 22 6, , º: Comruébese que el índce de concentracón de Gn no deende de los nveles de renta, sno del número de ndvduos ncludos en cada nvel. 2º: Determínese la concentracón de renta ara el conjunto de las dos regones. 08

7 Introduccón a la Econometría 4. Dscuta la veracdad o falsedad de las sguentes rooscones: ) Puede obtenerse un valor aroxmado del índce de Gn a artr de la curva de Lorenz. 2) Las curvas de Lorenz de dos dstrbucones dstntas no ueden cortarse. 3) S la dstrbucón I tene un índce de Gn: G 0,28 y la dstrbucón II tene G 2 0,30 la dstrbucón (I + II) tene or índce de Gn: G +2 0, Una socedad tene reartdas accones entre sus ml acconstas de la sguente forma: 800 acconstas tenen 5 accones cada uno, 20 acconstas tenen 50 accones cada uno, 60 acconstas tenen 200 accones cada uno y 20 acconstas oseen 400 accones cada uno. º: Obtenga el número medo de títulos or acconsta y una medda del grado de concentracón de los títulos en manos de los acconstas. 2º: A la vsta del resultado anteror comente la equdad en el rearto del total de accones entre los acconstas y la reresentatvdad del número medo de títulos. 6. En el sguente gráfco están reresentados en el eje de abscsas las roorcones acumuladas del nº de ndvduos entre los que se rearte certa magntud y en el eje de ordenadas las roorcones acumuladas de los valores reartdos. La funcón f() reresenta una estmacón de la curva de Lorenz. q f() 0 º: Defna el Índce de concentracón de Gn. 2º: Enunce su relacón con la curva de Lorenz. 3º: Calcule el valor del Índce de Gn s la curva de Lorenz es: f() 2 ara 0 09

8 Deartamento de Estadístca e Investgacón Oeratva II (Métodos de Decsón) 7. En 994 en Esaña se estmaron los sguentes orcentajes que de la renta famlar dsonble total corresonderon a los dstntos hogares, reresentados or su orcentaje resecto al nº total de ellos y ordenados de menor a mayor renta ercbda: Porcentaje de los hogares Porcentaje de la renta famlar dsonble 20 7,5 20, ,2 20 2, ,23 TOTAL : º: Calcule el índce de concentracón de Gn. 2º: Dbuje la curva de Lorenz. 3º: Qué conclusones se obtenen de los resultados anterores?. 8. En certa cudad, dvdda en 20 dstrtos muncales, se ha calculado el número de establecmentos comercales, obtenéndose que hay un total de locales. S se ordenan los dstrtos de menor a mayor número de establecmentos y se clasfcan en 5 gruos, los resultados se ueden resentar de la sguente forma: Gruos de dstrtos Número de dstrtos Número medo de establecmentos or dstrto Gruo I Gruo II Gruo III Gruo IV Gruo V 8400 Analce el grado de concentracón en la dstrbucón de los establecmentos comercales entre los dferentes dstrtos muncales, or medo del índce de Gn y la curva de Lorenz. 0