ESTADÍSTICA (GRUPO 12)

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1 ESTADÍSTICA (GRUPO 12) CAPÍTULO II.- ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES) TEMA 7.- MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN. DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES UNIVERSIDAD DE SEVILLA

2 1. CONCEPTO DE CONCENTRACIÓN. Concepto Representa el grado de homogenedad en el reparto de las observacones entre los dversos valores de la dstrbucón. Stuacones extremas (Dstrbucón genérca de N observacones) Concentracón máxma.- Todas las observacones se concentran en un solo valor. x 1 = x 2 =... x -1 = x +1 =...= x N =0; x = N Concentracón mínma (equdstrbucón).- Todas las observacones se reparten por gual entre todos los valores. x 1 = x 2 =... = x N-1 = x N Antono Pajares Ruz 2

3 ESTUDIO GRÁFICO DE LA CONCENTRACIÓN Fundamento para el análss Estudar la relacón exstente entre las frecuencas relatvas acumuladas y los totales acumulados, expresados tambén en térmnos relatvos, para los dstntos valores o ntervalos de valores de la varable ( = 1, 2,..., k). n x n N = n N N j= 1 P = Antono Pajares Ruz u = x n j j j= 1 u = Q uk 3

4 ESTUDIO GRÁFICO DE LA CONCENTRACIÓN Análss de Gn y Lorenz Sobre un par de ejes de coordenadas cartesanas representamos en el eje de abscsas las cfras de P y en el eje de ordenadas las cfras de Q. Stuamos en el plano los puntos defndos por la nterseccón entre las correspondentes cfras de P y Q para cada uno de los dstntos valores o ntervalos de valores de la dstrbucón. Unmos medante trazos rectlíneos consecutvos los ctados puntos. La curva de Lorenz es aquella polgonal representada en el plano que establece la relacón entre los puntos P y Q para los dstntos valores o ntervalos de valores de la dstrbucón. Antono Pajares Ruz 4

5 ESTUDIO GRÁFICO DE LA CONCENTRACIÓN Curva de Lorenz B Concentracón mínma OB Q +1 P = Q P = Q Concentracón máxma OAB Q S S S S Curva de Lorenz O A P P +1 Antono Pajares Ruz 5

6 ESTUDIO GRÁFICO DE LA CONCENTRACIÓN Curva de Lorenz: Sus característcas fundamentales 1. Su punto de arranque es el valor de coordenadas (0, 0) y su punto de fnalzacón es el valor de coordenadas (, ). 2. Sempre se encuentra stuada por debajo de la dagonal prncpal. 3. Es crecente. 4. Mentras más cercana esté la curva a la línea de equdstrbucón, menor será la concentracón exstente en la dstrbucón. 5. Mentras más alejada esté la curva de la línea de equdstrbucón, mayor será la concentracón exstente en la dstrbucón. Antono Pajares Ruz 6

7 ÍNDICE DE GINI Concepto Se trata de un índce que cuantfca el grado de aproxmacón exstente entre la curva de Lorenz y la línea de equdstrbucón. Sus valores extremos representarán las stuacones extremas de máxma y mínma concetracón. Se defne matemátcamente como el cocente entre el área comprendda entre la curva de Lorenz y la línea de equdstrbucón y el área comprendda entre la línea de máxma concentracón y la de equdstrbucón: S las dos áreas son concdentes, estaríamos ante una stuacón de máxma concentracón. S la curva de Lorenz se stúa en la línea de equdstrbucón, el área del numerador sería nula, encontrándonos en una stuacón de mínma concentracón. Antono Pajares Ruz 7

8 ÍNDICE DE GINI Su determnacón matemátca Q +1 Q P = Q P = Q S S S S B área rayada I G = área OAB 0 I G < 1 O P P +1 A k 1 k 1 1 I = Q P Q P 00 G = 0 = 0 Antono Pajares Ruz 8

9 ÍNDICE DE GINI Sus característcas 1. Se trata de un valor que no vene expresado en undad de medda alguna, es admensonal. 2. Es nvarante ante cambos de escala en la varable. 3. No es nvarante ante cambos de orgen en la varable. 4. S es nulo, estaríamos ante ausenca de concentracón o equdstrbucón. 5. Cuanto más próxmo esté de la undad, mayor será la concentracón. 6. El índce nunca llega a ser uno. Antono Pajares Ruz 9

10 Ej.: Analzar la concentracón exstente en la dstrbucón del salaro mensual percbdo (10 3 ) por los 150 ejecutvos de una gran empresa. Salaro n ) Determnacón de los totales correspondentes a cada ntervalo. 2) Cálculo de las frecuencas acumuladas y de los totales acumulados. 3) Cálculo de tales valores acumulados en térmnos relatvos del últmo de ellos. Salaro x n x n N u P 20 53,3 86,6 Q 14,36 43,61 80,84 Antono Pajares Ruz 10

11 Ej.: Analzar la concentracón exstente en la dstrbucón del salaro mensual percbdo (10 3 ) por los 150 ejecutvos de una gran empresa. Salaro P Q , ,3 43,61 Q 80,84 P = Q ,6 80,84 43, A partr de los valores de P y Q representamos la curva de Lorenz. 14, ,3 86,6 P CONCENTRACIÓN ESCASA Antono Pajares Ruz 11

12 Ej.: Analzar la concentracón exstente en la dstrbucón del salaro mensual percbdo (10 3 ) por los 150 ejecutvos de una gran empresa. Para cuantfcar la concentracón analítcamente, calculamos el índce de Gn. Salaro TOTAL k 1 k 1 1 I = Q P Q P 00 Antono Pajares Ruz P 20 53,3 86,6 - G = 0 = , IG = = 0, Q 14,36 43,61 80,84 - Q +1 P 872,2 4308, ,9 Q P ,4 3776, CONCENTRACION ESCASA 12

13 OTROS ÍNDICES DE CONCENTRACIÓN Su planteamento Consderar las dstancas, meddas en sentdo vertcal, desde cada uno de los puntos que conforman la curva de Lorenz y la línea de equdstrbucón. S tal dstanca es nula para todos los puntos consderados, la concentracón sería mínma. S la curva de Lorenz se stúa en la línea de máxma concentracón, la concentracón será máxma. Antono Pajares Ruz 13

14 OTROS ÍNDICES DE CONCENTRACIÓN Q P = Q P = Q Q -P S S B Q +1 -P +1 I k 1 =1 c = k 1 ( P Q ) =1 P O Q -1 -P -1 A 0 I 1 c P -1 P P +1 Antono Pajares Ruz 14

15 Ej.: Analzar la concentracón exstente en la dstrbucón del salaro mensual percbdo (10 3 ) por los 150 ejecutvos de una gran empresa. Para cuantfcar la concentracón analítcamente, vamos ahora a determnar el índce de concentracón alternatvo al índce de Gn. I c = k 1 =1 ( Q ) P k 1 P =1 21,09 Ic = = 0, ,9 Salaro TOTAL Antono Pajares Ruz P 20 53,3 86,6 - Q 14,36 43,61 80,84-21,09 I c = 259,9 CONCENTRACION ESCASA P -Q 5,64 9,69 5,76-21,09 15

16 3. MEDIALA. Concepto Es aquel valor de la varable que, una vez ordenados todos los valores de la msma, dvde los totales de la msma en dos partes guales. Su determnacón Habrá que buscar, en general, el valor de la varable cuyo total acumulado relatvo sea el prmero en superar el 50% del total. Se procede de forma análoga a como determnamos la medana, con la únca salvedad de que aquí trabajamos con los valores Q en lugar de con las frecuencas acumuladas. Antono Pajares Ruz 16

17 3. MEDIALA. Su determnacón Dstrbucones de valores sn agrupar en ntervalos. Será aquel valor de la varable cuyo Q sea el prmero en superar el valor de 50. x + x+ 1 = > Ml = ; S x / Q = 50 2 er Ml x /1 Q 50 Dstrbucones de valores agrupadas en ntervalos. El ntervalo que engloba la medala será aquel cuyo Q sea el prmero en superar el valor de 50. En ese ntervalo suponemos que los totales se dstrbuyen unformemente, prorrateándolos, y defnendo así el valor aproxmado de la medala. ( er 1 Ml L,L /1 Q 50 Antono Pajares Ruz 50 Q 1 Ml = L 1+ a Q Q 1 17

18 3. MEDIALA. Su relacón con la medana La medana es sempre superor o gual que la medana. P Q ; = 1, 2,..., k Me Ml En el caso de mínma concentracón (equdstrbucón), medana y medala concden. P = Q Me = Ml Antono Pajares Ruz 18

19 3. MEDIALA. Ej.: Consderando la dstrbucón del salaro mensual percbdo (10 3 ) por los 150 ejecutvos de una gran empresa, determnar aquel valor salaral que dvde la masa salaral total de la empresa. Salaro TOTAL P 20 53,3 86,6 - Q 14,36 43,61 80,84 - Se trata de determnar la medala en esta dstrbucón. er 1 Q 50 Q = 80,84 ( Ml 60, ,61 Ml = ,84 43,61 3 Ml = 63, Antono Pajares Ruz 19