CUADRILÁTEROS. En la configuración de la ciudad, los arquitectos diseñaron sus manzanas en forma de cuadriláteros.

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1 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 URILÁTEROS L IU E LIM, conocida tamién como iudad de los Reyes, fue fundada por Francisco Pizarro el 18 de enero de 1535 en la margen derecha del río Rímac deido a las magníficas condiciones estratégicas y geográficas de este valle. Hoy en día, Lima es una ciudad moderna que ofrece una gran variedad de atractivos, que unidos a su rico pasado, presenta una síntesis armoniosa de toda esta riqueza histórica en sus museos, arrios tradicionales, restaurantes, galerías de artesanos y vida nocturna. En la configuración de la ciudad, los arquitectos diseñaron sus manzanas en forma de cuadriláteros. uadriláteros. 1. efinición: un cuadrilátero es un polígono con cuatro lados. α 1 β 1 α 4 β 4 β α α 3. Elementos de un cuadrilátero: β 3 1. Lados:,, y. Vértices:,, y. 3. Ángulos interiores: α 1, α, α 3 y α Ángulos exteriores: β 1, β, β 3 y β iagonales: y URILÁTEROS

2 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M Propiedad ásica: En todo cuadrilátero se cumple que la suma de la medida de sus cuatro ángulos interiores es 360. Sore la ase del cuadrilátero mostrado en la figura anterior, se puede afirmar: m + m + m + m = α + α + α + α = lasificación de los cuadriláteros convexos: En este capítulo sólo trataremos cuadriláteros convexos. uadriláteros convexos simétrico Simétricos Trapecio Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles Paralelogramo Trapecio Rectángulo Romoide Rectángulo Romo uadrado URILÁTEROS

3 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M uadriláteros Simétricos: si una de sus diagonales es mediatriz de la otra Propiedades Tiene dos pares de lados congruentes. Sore la ase de la figura se puede afirmar: y. La diagonal que forma el eje de simetría ( en la figura) iseca a los ángulos interiores del cuadrilátero. 4.. uadriláteros simétricos: si no es simétrico. α α β β 4.3. lasificación de cuadriláteros asimétricos: Trapecio: Es un cuadrilátero asimétrico que tiene un par de lados opuestos paralelos, llamados ases. efiniciones: Mediana de un trapecio, es el segmento de recta que une los puntos medios de sus lados no paralelos: MN M N ltura de un trapecio, es el segmento perpendicular entre las ases: H. H = h. H Propiedades: La mediana de un trapecio es paralela a las ases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las ases. M N + MN = El área de la región encerrada por un trapecio es igual al producto de la longitud de su mediana y la longitud de su altura. = + mh = h m h URILÁTEROS

4 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las ases. P Q PQ = Se tienen trapecios: escalenos (rectángulos y no rectángulos); trapecios isósceles y paralelogramos Paralelogramo: Es un trapecio que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos. Propiedades: Los lados opuestos son congruentes. Los ángulos opuestos son congruentes y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. Las diagonales se isecan mutuamente. El área de la región encerrada por un paralelogramo es igual al producto de la longitud de su ase y la longitud de su altura. h = h Entre los paralelogramos tenemos: el romoide, el rectángulo y el romo; y como caso particular el cuadrado uadriláteros especiales: d El romo, que además de ser un paralelogramo equilátero, es un cuadrilátero simétrico. Su área es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. d = URILÁTEROS

5 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 El cuadrado, que además de un rectángulo (tiene un ángulo recto). es un romo (tiene sus lados congruentes). Su área es igual a la longitud de su lado elevada al cuadrado. L = L uadrilátero inscriptile en una circunferencia Un cuadrilátero es inscriptile en una circunstancia si todos sus vértices están uicados en dicha circunferencia. uadrilatero circunscriptile a una circunferencia Un cuadrado es circunscriptile a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a dicha circunferencia. Ejemplos: 1. Una paloma mensajera vuela de Norte a Sur 1 000m, desde hasta, luego vuela 800m hacia el Oeste desde hasta y por último recorre el tercer tramo de Sur a Norte de 000m desde hasta, cuál es la distancia de a?. En la siguiente figura calcule x. x θ θ β β 3. En un trapecio ( // ), = 10 u, = 4 u. alcule la medida del segmento que une los puntos medios de y si y son complementarios. URILÁTEROS

6 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 Manejo de onceptos 1. on respecto a las diagonales de cada figura, coloca un check ( ) Propiedades de sus diagonales Se isecan entre sí Son congruentes. Son perpendiculares. isecan los ángulos del vértice. Forman dos pares de triángulos congruentes. Forman 4 triángulos congruentes.. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), y justifique adecuadamente su respuesta. a. Es posile que un trapecio tenga tres lados congruentes. En un trapecio, los ángulos adyacentes de los lados no paralelos son complementarios. 3. Qué características tienen las diagonales de un cuadrado? 4. uáles son las diferencias entre un romoide y un romo? 5. Rellene los espacios en lanco en cada caso: a. l unir los puntos medios de los lados de un cuadrado en forma consecutiva se forma un.. l unir los puntos medios de los lados de un rectángulo en forma consecutiva se forma un. c. l unir los puntos medios de los lados de un romo en forma consecutiva se forma un.. d. l unir los puntos medios de los lados de un romoide en forma consecutiva se forma un. URILÁTEROS

7 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 Gráficos 6. e la figura, calcule x. γ γ x θ θ La figura mostrada es un romo, calcule "x" e "y". 0 m y 8. La figura mostrada es un trapecio, calcule "x" e "y" y x-7 3y x alcule x en la siguiente figura: 15 m X X es un paralelogramo. = 1 cm, = 15 cm. alcule la longitud del segmento H. α α H 11. el gráfico, calcule α. a a α α URILÁTEROS

8 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 onstrucciones 1. La ase mayor y menor de un trapecio miden (10 - n) y (4 + n) respectivamente. Si las medidas están en centímetros, calcule la longitud de su mediana. 13. ado un trapecio rectángulo, recto en y. a. alcule si = 11m, = 3m y = 15m.. alcule si = 0m, = 1m y = 36m. c. alcule si = 0cm, = 8cm y = 17cm. 14. En un paralelogramo, se tiene m + m = 148. alcule el menor ángulo que forman las isectrices interiores de los ángulos y. 15. En un triángulo, donde m = 80, se tiene un punto F, en, tal que las mediatrices de los segmentos F y F cortan a los lados y en los puntos Q y R respectivamente. alcule el valor del ángulo QFR. 16. En un trapecio rectángulo, recto en y, las medidas de las ases están en relación de 1 a y el lado no paralelo, forma un ángulo de 150 con la ase menor. En qué relación se encuentran las medidas de la altura y la mediana del trapecio? 17. El lado menor de un paralelogramo mide 8m. Se traza la isectriz del ángulo que corta al lado en el punto E. alcule la longitud del segmento que une los puntos medios de los segmentos E y. 18. En un paralelogramo, = 4m, = 15m; al trazar las isectrices interiores de los ángulos determinan un cuadrilátero. alcule la diagonal de dicho cuadrilátero. Situaciones del contexto real 19. La figura muestra un PNTNO, cuyas mediciones se han realizado y sore el cual se quiere construir un puente que una los caminos y. Saiendo que los caminos y son paralelos y con el fin de hacer los costos de construcción más económicos, calcule la distancia que existe entre dichos caminos. URILÁTEROS

9 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas M 111 Respuestas: Manejo de conceptos Gráficos onstrucciones 1. a c. - - d. - - e. f VF 3. congruentes, perpendiculares y isecan los ángulos a. uadrado. Romo c. Rectángulo d. Romoide x = 9 m; y = 0 m ; m34,0 m cm ,5 1. 7,0 cm 13. a. 5 m. 0 m c. 5 m m m Situaciones del contexto real m URILÁTEROS

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