Máster en comunicaciones. Clase 2. Modelos predictores.

Transcripción

1 Máster en comunicaciones. Clase 2. Modelos predictores. 1. Introducción Uno de los cometidos más importantes de la estadística es la explotación de los datos observados de una o más características de interés en un problema real. Además de las clásicas herramientas descriptivas que permiten ordenar, visualizar y resumir los datos, se plantea un modelo matemático que los datos permiten validar en el sentido de que si el comportamiento de los datos es coherente con la información que proporciona el modelo, este modelo se considerará adecuado con fines explicativos (tratan de comprender el funcionamiento del sistema en estudio) o predictores (tratan de reducir la incertidumbre que genera el comportamiento futuro del sistema adelantando, con un error, las ocurrencias futuras). El planteamiento anterior no deja de tener algunos problemas como la sobreexplotación de los datos ya que son utilizados tanto para estimar los parámetros del modelo como para validarlo, lo cual genera un sesgo que puede ser corregido utilizando distintos datos para la estimación y para la validación. Esto no es factible en cualquier tipo de estudios, especialmente en el campo de las ciencias sociales, pero sí en el campo de la ingeniería. En el tratamiento de series temporales el problema de la sobreexplotación de los datos juega un papel importante, mayor que en otras técnicas estadísticas. La razón estriba en que los modelos de series temporales son utilizados para la predicción por tanto aparecen, además de los errores de ajuste del modelo, los errores de predicción. Estos errores preferiblemente se obtienen con datos que no han sido utilizados en el ajuste del modelo puesto que, en otro caso, se adultera la información que proporcionan. Esta clase se centrará en distinguir la naturaleza de los distintos tipos de errores en la modelización con series temporales. Posteriormente, se presentarán medidas para discriminar entre las distintas técnicas de predicción basadas en series temporales. 2. Notación En este tema supondremos que tenemos una realización de tamaño N de una serie temporal. En concreto, disponemos de N datos que denotaremos {Y 1, Y 2,..., Y N } y que se utilizarán a efectos de ajuste del modelo. 1

2 Por otra parte, el modelo puede ser utilizado para predecir valores futuros de la serie en un horizonte de M unidades de tiempo tras el instante N, estas predicciones las denotaremos Ŷ N (M), donde implícitamente se indica que la predicción se ha construido a partir de un modelo ajustado con una realización de tamaño N de la serie en estudio. 3. Validación del ajuste: ruido blanco Para facilitar los contenidos de este punto, supondremos que nuestra técnica de predicción se basa en un modelo estadístico. Esto significa que cada valor de la serie se puede escribir: Y t = P t + ε t donde P t representa la parte determinista [o sistemática] y ε t la perturbación aleatoria, donde {ε t } es un ruido blanco. Se denomina ruido blanco gaussiano a una sucesión de variables aleatorias {ε t } incorreladas, con media cero y varianza constante que se distribuyen normalmente. Una sucesión de variables aleatorias que satisfaga las condiciones anteriores se denomina ruido blanco, más formalmente {ε t } es un ruido blanco cuando: 1. E[{ε t }] = 0, para cada t. 2. E[ε t ε t ] = 0, para cada t, t. 3. E[ε 2 t ] = σ 2, para cada t. 4. ε t N(0, σ 2 ), para cada t. También se denomina perturbación y en el campo de la ingeniería de telecomunicación es el ruido ideal en el sentido de que los ruidos de transmisión son inevitables y un ruido blanco permite que el sistema proporciones señales buenas. Las cuatro condiciones anteriores son, en general, las hipótesis básicas para validar un modelo de ajuste con series temporales. Observemos que el correlograma teórico de una serie que es ruido blanco está en blanco. Puesto que las variables que constituyen un ruido blanco son incorreladas entre sí. Desde le dominio de la frecuencia, Observa que dada una serie de perturbaciones podemos decidir si forman un ruido blanco si su correlograma muestral no sugiere lo contrario, esto es, si el correlograma muestral no 2

3 tiene barras que destaquen mucho. También se han desarrollado contrastes que son utilizados al efecto. Contraste de ruido blanco A partir de una realización de un proceso estocástico podemos determinar si es o no es un ruido blanco. Para ello utilizamos el contraste de Box-Ljung que consiste en contrastar si, conjuntamente, los k primeros coeficientes de autocorrelación son nulos. En esencia se plantea: H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ k = 0, H 1 : al menos uno no es nulo. (1) El estadístico de contraste, Q, se distribuye como una χ 2 con k grados de libertad: Q = N(N + 2) M h=1 1 N h r2 h Si este valor supera un nivel crítico (es un contraste de una cola), entonces no hay evidencia para aceptar H 0 y no consideraremos la hipótesis de ruido blanco. 4. Los errores en las técnicas de predicción Observemos que ε t es una variable aleatoria para cada t y se denomina muchas veces error del modelo, pero no descansa en él la precisión de una técnica de predicción, sino la validez teórica del modelo estadístico, puesto que las propiedades de ruido blanco recogen la idea de buen modelo, pero puede haber varios buenos modelos entre los que habrá que escoger el de mejor capacidad predictora. Es este último aspecto el que centra este apartado. Por otra parte, habrá que utilizar una técnica de ajuste para obtener los parámetros que determinan P t, por lo que finalmente tendremos ˆP t+m, que es el valor utilizado para obtener el pronóstico del valor de la serie en el instante t + m, Ŷt(t + m). La precisión de un método de predicción es un problema complicado. Tengamos en cuenta que estamos tratando de medir la aproximación a valores futuros desconocidos. Podemos seguir distintos criterios para seleccionar una técnica, en cualquier caso, el criterio escogido es determinante. Es imposible dar el mejorçriterio, nuestro objetivo es presentar en este punto los distintos factores que intervienen en la construcción de un criterio. El hecho de conocerlos nos permitirá defender nuestras predicciones de modo razonado. 3

4 A la hora de predecir podemos partir de dos planteamientos: 1.- Buscar un método de predicción que proporcione una serie ajustada lo más parecida posible a la serie tomada como muestra. 2.- Buscar un método de predicción que proporcione pronósticos que se aproximen lo mejor posible a los futuros valores que tomará la serie en estudio. Estos dos planteamientos pueden dar lugar a idénticas conclusiones, esto es, el método que mejor se ajusta a la serie es, a su vez, el que proporciona los pronósticos más próximos a los valores futuros desconocidos. Esto sólo puede sustentarse teóricamente en el caso de que se suponga que la serie en el futuro no tendrá alteraciones importantes, luego su comportamiento será similar al seguido en el pasado. Esta estabilidad en la serie lleva a la asunción de estacionariedad en la serie. Pero, como veremos, no tiene por qué ser así incluso si hay estacionariedad en la serie. En efecto, debemos tener en cuenta otro problema que consiste en decidir entre dos o más series cuál se aproxima más a una tomada como referencia. Cuando tengamos decidido el criterio, entonces podremos hablar de la mejor aproximación de modo preciso, pero siempre indicando el criterio bajo el cual hemos llegado a la selección del método. Es muy importante tener claro cuál es el planteamiento adoptado en un trabajo práctico, porque es en función del uso que estemos dando a la técnica de predicción que entenderemos de distinta manera el error y, por tanto, la precisión de una técnica de predicción. Observa el siguiente esquema: 4

5 Figura 1: errores de ajuste y de predicción En la esquema superior de la figura 1 el error se corresponde con los residuos. También se denominan errores de predicción con paso 1, puesto que resultan de restar a cada observación la predicción obtenida utilizando la información de la serie hasta el instante anterior. Son estos los errores que se utilizarán cuando el criterio de selección se base en la calidad del ajuste. En el esquema inferior de la figura 1, los errores de predicción son variables aleatorias, puesto que resultan de restar un valor no observado (variable aleatoria) con la correspondiente predicción obtenida utilizando la información de la serie hasta el último instante observado, N. Ahora bien, en muchos casos se reservan los h últimos datos de la serie y no son utilizados para realizar el ajuste del modelo. Posteriormente se calculan los errores de predicción restando a cada dato reservado la predicción que proporciona el modelo. Estos errores son utilizados para medir la capacidad de predicción del método y se denominan errores fuera de la muestra (out of sample). Una vez que hemos calculado los errores con ambos criterios, debemos obtener un error global que permita establecer un orden de prelación entre las técnicas utilizadas. De nuevo 5

6 nos encontramos que existe una gran variedad de medidas para obtener el error global (bien sea de ajuste o de predicción). En la figura 2 se presentan las que destacamos en este curso, donde el error e t puede ser el error de ajuste (residuo) o de predicción, según que la finalidad del estudio sea explicativa o predictora. Figura 2: medidas de error Existen otros criterios para valorar la calidad del ajuste, mucho más elaborados que los presentados en el cuadro anterior, pero que no permiten su generalización para valorar la capacidad predictora del modelo. Las medidas presentadas en la primera fila del cuadro dependen de las unidades de medida, por lo que no son útiles para comparar la precisión de un método cuando es utilizado con series de distinta naturaleza o con una misma serie en diferentes intervalos de tiempo. La medida MAPE es un error relativo, cada sumando del numerador representa el tanto por uno de desviación del pronóstico respecto al verdadero valor. Finalmente, la U-Theil compara el pronóstico realizado con el que realizaría el método ingenuo. Cuando toma valores próximos a 1, el método utilizado no difiere mucho del ingenuo, si es mayor que uno la técnica utilizada es peor que el método ingenuo y si es menor que uno, la técnica utilizada es mejor que el método ingenuo. 5. Ejercicios 1.- Ejercicio modelo: Dada una serie temporal pedir: 6

7 a) Construir la predicción ingenua, medias móviles más adecuadas, algún método algorítmico. b) Ajuste ARIMA c) Predicción d) Selección de modelos. 7