LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD

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1 LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD Carlos Gradí y Coral del Río Uiversidade de Vigo Septiembre, 2001

2 Estas otas está basadas e los Capítulos 1 y 3 del libro Desigualdad, Polarizació y Pobreza e la Distribució de la reta e Galicia de Carlos Gradí y Coral Del Río, Istituto de Estudios Ecoómicos de Galicia - Fudació P. Barrié de la Maza, º 11, A Coruña, ÍNDICE 1. El Cocepto de desigualdad 2. Órdees parciales y ordeacioes de bieestar 2.1 El Criterio de Lorez y el Criterio de Lorez Geeralizado 2.2 Desigualdad absoluta versus desigualdad relativa 3. Órdees Completos 3.1 Ídices completos de desigualdad 3.2 Ídices ormativos 3.3 Aálisis gráficos 3.4 Qué ídice de desigualdad elegir? Propiedades deseables de u ídice de desigualdad 4. La estructura de la desigualdad 5. Las fuetes de iformació sobre la distribució de la reta 6. Aspectos metodológicos e el aálisis de la distribució de la reta 6.1 Las dimesioes de la desigualdad y la pobreza 6.2 La variable objeto de estudio 6.3 La uidad de aálisis 6.4 Las comparacioes iterpersoales de bieestar: el papel de las escalas de equivalecia 6.5 Cambios reales y cambios moetarios: la tasa de iflació y el papel redistributivo de los precios 6.6 La diámica de la pobreza y la desigualdad 6.7 El error muestral y el error de diseño 1

3 1. El Cocepto de desigualdad Ua primera acepció del térmio desigualdad de la reta hace referecia a su sigificado de diferecia o disparidad e los iveles de reta, de la misma forma que hablamos de desigualdad de pesos o alturas etre idividuos. E este caso, lo úico relevate e u estudio que utilice esa acepció es el valor umérico que la variable toma para cada idividuo. Este sigificado es el que adoptó Kuzets al afirmar: "cuado hablamos de desigualdad de la reta, simplemete os referimos a las diferecias de reta, si teer e cueta su deseabilidad como sistema de recompesas o su ideseabilidad como esquema que cotradice cierta idea de igualdad" (Kuzets (1953), pág. vii). Si embargo el iterés e la literatura ecoómica por el térmio desigualdad o sólo se cetra e este efoque sio que se adetra e los terreos ormativos de la ecoomía. E esta seguda acepció hay "u coteido moral, es decir, eiste la presució de que la igualdad es deseable" (Atkiso (1975), pág. 13). Partimos de u todo y queremos valorar el reparto eistete e fució de algua oció de justicia distributiva. "Los dos sigificados del térmio so evidetemete diferetes. U idividuo puede disfrutar de ua reta mayor que otro, pero puede cosiderarse que o es ijusto ya que tedrá ua reta correspodietemete meor el año próimo. La mera eistecia de disparidades de reta y riqueza o costituye ua base suficiete para realizar afirmacioes sobre la justicia e ijusticia; es ecesario determiar que los idividuos implicados sea comparables e lo que se refiere a otros aspectos relevates" (Atkiso (1975), pág. 14). Seguir a Atkiso hasta sus últimas cosecuecias supoe situaros e el corazó mismo de la Ecoomía del Bieestar y e los problemas de comparabilidad que ésta ha puesto de maifiesto. De todo esto se deduce que o es imediato cocluir sobre la justicia o ijusticia de ua distribució de la reta a partir de la medició de sus iveles de cocetració o dispersió. Y esto será así mietras tegamos ta poca iformació y os resulte ta difícil realizar valoracioes sobre ecesidades, retas futuras o preferecias de los idividuos. Si embargo, estamos de acuerdo co Atkiso cuado afirma que "el hecho de que estos problemas sea difíciles de resolver o sigifica, si embargo, que debamos daros por vecidos. E este coteto se ha llamado la ateció sobre el 'peligro de caer e u cierto ihilismo que se maifiesta subrayado, legítimamete, ua dificultad de algú tipo para costruir a partir de ella u paorama de desastre total'. Del mismo modo que o debemos supoer que cualquier diferecia implica ijusticia, tampoco podemos cocluir que las dificultades de comparació implica que los problemas distributivos debe igorarse" (Atkiso (1975), págs ). 2

4 Auque e la actualidad estos postulados está asumidos e la profesió, hasta hace relativamete poco tiempo los ecoomistas iteresados e el problema de la desigualdad úicamete dirigiero sus esfuerzos a dar respuesta a pregutas del tipo: es la distribució de la reta actual más equitativa que las eistetes e el pasado?, se caracteriza los países pobres por uos mayores iveles de desigualdad? o cuál es el impacto distributivo del sistema impositivo? Y si embargo, cocediero poca importacia a los problemas coceptuales asociados a las medidas de desigualdad, tal como acabamos de presetar. Escasas fuero las cotribucioes teóricas que, durate ese período, permitiero desvelar la relació subyacete etre cada medida de desigualdad y el cocepto de bieestar social asociado. Y, si embargo, tal como afirma Kolm: "Esto es ecesario ya que las distitas medidas de desigualdad produce resultados ampliamete divergetes y puede que icluso opuestos. (...) Así, uo puede tomar como referecia cualquier país y probar que a lo largo de u período de tiempo la desigualdad ha aumetado o dismiuido (...) escogiedo medidas de desigualdad diferetes que, a primera vista, parecería igualmete bueas y valiosas" (Kolm (1976a), pág. 416). Fue a partir de 1970 cuado la comparació de distribucioes de reta se emarcó e ua rica literatura de coteido aalítico, iiciada por Atkiso (1970), Se (1973) y Kolm (1976a, 1976b). 1 Como es sabido, la clave de este efoque radica e situar el aálisis y la medició empírica de la desigualdad e el marco de la Ecoomía del Bieestar. De esta forma se tomó plea cociecia de que e ecoomía carece de setido medir feómeos de esta aturaleza si utilizar juicios de valor sobre las propiedades que, desde el puto de vista social, debe satisfacer los istrumetos de medida. 2 1 Ispirados e el trabajo pioero de Dalto (1920). 2 Lambert (1989) y Cowell (2000) so eceletes revisioes de los diferetes efoques y problemas e la medició de la desigualdad. 3

5 A cotiuació describiremos brevemete los pricipales istrumetos que se utiliza para realizar comparacioes de desigualdad. E primer lugar está las comparacioes puramete ordiales, basadas e pricipios geerales sobre los que pueda eistir u cierto coseso. Estos criterios o os permite realizar ua comparació de cualquier par de distribucioes y tampoco cuatificar las diferecias e iveles de desigualdad, por lo que e segudo lugar presetaremos los ídices más habituales y sus propiedades. El coste que se paga para poder realizar comparacioes cardiales es que éstas requiere u mayor grado de coseso sobre la oció justicia distributiva. 2. Órdees parciales y ordeacioes de bieestar 2.1 El Criterio de Lorez y el Criterio de Lorez Geeralizado Cosideremos ua distribució dada, dode se produce ua trasferecia de reta de u idividuo cualquiera hacia otro cuya reta es meor. Siempre que la trasferecia sea lo suficietemete pequeña como para que el orde de reta etre ambos o se altere, afirmamos que la desigualdad ha dismiuido. Si cotiuásemos sucesivamete co estas trasferecias, al fial del proceso alcazaríamos la distribució igualitaria, dode todos los idividuos se caracteriza por teer el mismo ivel de reta, la media, que coicidiría eactamete co la media de la distribució iicial ya que e el proceso o se pierde reta. Podemos decir, así, que cada trasferecia progresiva del tipo euciado os acerca u poco más a la distribució igualitaria. Este tipo de trasferecias so coocidas como trasferecias de Pigou-Dalto, por ser estos autores los que euciaro dicho pricipio como criterio para determiar el aumeto de la igualdad. Derivado de la afirmació aterior, si queremos comparar dos distribucioes cuya reta media es la misma, diremos que ua distribució ehibe meos desigualdad que otra si puede ser obteida a partir de ella mediate ua serie de trasferecias de Pigou-Dalto. Esto es lo que se cooce como el Pricipio de Trasferecias de Pigou-Dalto, y se trata del criterio más ampliamete aceptado a la hora de evaluar distribucioes e térmios de desigualdad. Como veremos a cotiuació, la mejor maera de determiar si os ecotramos ate ua situació de este tipo es calcular las curvas de Lorez asociadas a ambas distribucioes y compararlas segú el coocido criterio que lleva su mismo ombre. La curva de Lorez de ua distribució de retas es ua fució que os idica la proporció de reta, respecto del total, poseída por cada porcetaje de la població acumulada ua vez que hemos ordeado a los idividuos de forma creciete segú su ivel de reta, esto es, de más pobre a más rico. Es decir, L (p) hace referecia a la proporció de reta que posee el p por cieto 4

6 más pobre de la població, co relació al total de reta eistete e esa ecoomía. Aalíticamete esto sigifica que las ordeadas de Lorez para u vector de retas,, so: L (p)= L (l/)= l i=1 i i i=1 = l i=1 i µ, dode 1 ² 2 ²...², µ es la media de la distribució, y l es meor o igual que, represetado el tamaño de la població. Ua vez calculadas estas ordeadas, la curva se costruye mediate la iterpolació lieal de estos putos e el gráfico. Como es bie coocido, se trata de ua curva odecreciete y covea, delimitada e el itervalo [0,1], de forma que ecesariamete L (0) = 0 y L (1) = 1. Siempre que eista desigualdad e el reparto, los grupos más ricos poseerá u porcetaje de la reta superior a su peso demográfico y la curva se situará por debajo de la líea que se correspode co u águlo de 45 grados. Esta líea represeta el límite superior que puede alcazar las curvas de Lorez y coicide co la de la distribució perfectamete igualitaria. Siedo esto así, el criterio de Lorez afirma que dadas dos distribucioes, e y, la distribució domia e el setido de Lorez a la distribució y, y se deota ³ L y, siempre que la curva de Lorez asociada a o se sitúe por debajo de la curva de Lorez de y e iguo de los putos dode ha sido estimadas. Esto es: L (l/) L y (l/), para todo l ². E la Figura 1 se muestra u ejemplo gráfico dode la distribució A domia a la distribució B. Figura 1. Curvas de Lorez Relativas Proporció de reta acumulada 1 A B 0 p 1 Proporció de Població 5

7 Las implicacioes de este criterio de domiacia so mucho más importates de lo que pudiera parecer. Atkiso estableció las codicioes bajo las cuales la comparació de iveles de desigualdad a través del criterio de Lorez tiee u claro sigificado ormativo. Así, el coocido teorema de Atkiso (1970), 3 etedido posteriormete por Dasgupta et al. (1973), establece que si dos distribucioes tiee la misma media, etoces la domiacia de Lorez es equivalete a las preferecias represetadas por toda Fució de Bieestar Social que sea cotiua y S-cócava. Ua Fució de Bieestar Social (FBS, de aquí e adelate) es ua fució, W, defiida e el espacio de retas, R, que cotiee toda la iformació socialmete relevate a la hora de valorar diferetes distribucioes de reta. Así, para cada distribució = ( 1,..., i,..., ), W() os proporcioa el bieestar social o simplemete el bieestar agregado desde u puto de vista ormativo. 4 De esta forma, por primera vez e la literatura se establece u procedimieto operativo para decidir si ua distribució es superior a otra a partir de u cojuto míimo de postulados éticos geeralmete aceptados. Ya que estamos iteresados e medir el bieestar ecoómico de ua població y sabemos que la elecció que adoptemos e cuato a los istrumetos de medida ifluirá ecesariamete e las coclusioes que podamos etraer, es especialmete deseable miimizar el cojuto de juicios de valor itroducidos e el aálisis. Por eso es ta importate o ceñirse a ua FBS cocreta, lo que requeriría caracterizarla co ua lista de propiedades detallada e ievitablemete subjetiva. Por el cotrario, este resultado permite utilizar u procedimieto empírico secillo para idetificar situacioes e las que para toda FBS que cumpla co las codicioes geerales del teorema, el bieestar ha aumetado (o por lo meos o ha dismiuido). Si embargo, ua importate limitació de este teorema es la restricció impuesta sobre la igualdad de las medias e las distribucioes objeto de comparació. Cuado, como e uestro caso, estamos iteresados e coocer la evolució temporal del bieestar e ua població debemos teer presete que además de cambiar la forma de la distribució tambié 3 Como señala Lambert, Este teorema ya era coocido por Kolm e 1965 y fue presetado e Biarritz e ua Mesa Redoda de la Iteratioal Ecoomic Associatio e septiembre de Ua versió e iglés puede ecotrarse e Kolm (1969) (Lambert (1989), pág. 88 de la edició española). 4 Ua FBS, W, es S-cócava si para cualquier distribució de retas,, y cualquier matriz bioestocástica de orde, B, se verifica que W(B) W(), siedo bioestocástica toda matriz cuadrada e la que todos sus elemetos so o-egativos y cada ua de sus filas y columas suma la uidad. La S-cocavidad de la FBS implica el cumplimieto del pricipio de trasferecias de Pigou-Dalto y el pricipio de aoimidad, segú el cual las permutacioes de reta etre los agetes o modifica el ivel de bieestar social. Evidetemete ambas propiedades so deseables e todo istrumeto de medida que preteda evaluar el bieestar de ua sociedad si deseamos que icorpore algua oció de equidad. Más adelate veremos como o será las úicas propiedades que eigiremos. 6

8 cambia la reta media, siedo la tedecia a aumetar a lo largo del tiempo. 5 E estos casos, ecesitamos utilizar criterios que haga eplícito cómo valora los icremetos e reta, y o sólo las dismiucioes e la desigualdad, a la hora de hacer recomedacioes uáimes de bieestar. Shorrocks (1983) avaza por este camio, y etiede el teorema de Atkiso al caso de medias distitas, sirviédose del cocepto de curva de Lorez Geeralizada. Ua curva de Lorez Geeralizada o es más que el producto de la curva de Lorez de ua distribució multiplicada por su media: 1 GL(l/)= µ L(l/)= para todo l ². Las propiedades gráficas de la curva de Lorez Geeralizada so básicamete las mismas que la curva de Lorez ordiaria. Así, tambié es cotiua, o-decreciete y covea e el itervalo uidad, de forma que su grado de curvatura idica el grado de desigualdad alcazado. Es importate destacar, si embargo, que a diferecia de la curva de Lorez ordiaria, la altura alcazada por la curva de Lorez Geeralizada e cada ua de sus ordeadas refleja los iveles de las retas. Así, el valor de GL (1) coicide co la media de la distribució. El criterio de domiacia geeralizada de Lorez se defie de forma similar al aterior, eigiedo que la curva de Lorez Geeralizada de ua distribució uca se sitúe por debajo de la de otra, e cualquiera de los putos e los que ha sido estimadas. E este caso, el teorema de Shorrocks (1983) 6 os garatiza que este criterio es ordialmete equivalete a la clasificació que, e térmios de bieestar, obtedríamos a partir de cualquier FBS cotiua, S-cócava y creciete. 7 La cotribució del teorema de Shorrocks cosiste e la posibilidad de ofrecer u criterio de ordeació e alguas de las situacioes e las que el criterio de Lorez o cocluye (al producirse cruces etre las curvas) o simplemete o os satisface al o teer e cueta, e absoluto, la diferecia e la reta l i=1 i, 5 U problema adicioal e las comparacioes de bieestar etre distribucioes es que habitualmete sus tamaños poblacioales o so idéticos. Geeralmete, e la literatura esto se resuelve eigiedo que las FBSs verifique el Pricipio de Réplicas Poblacioales de Dalto, que garatiza eutralidad respecto al tamaño de població. Si embargo, como afirma Cowell (1995), o es evidete que ésta sea ua propiedad deseable. Para ua discusió de las cosecuecias ormativas de esta propiedad véase, por ejemplo, Foster y Se (1997). 6 Nuevamete, de acuerdo co Lambert, e Kolm (1969) se puede ecotrar ua primera versió del criterio de domiacia geeralizada (calificada de isófila por el autor) y del coocido teorema de Shorrocks. 7 Es iteresate destacar u uevo criterio de domiacia de Lorez desarrollado por Atkiso y Bourguigo (1987), deomiado domiacia geeralizada secuecial. Este efoque permite realizar u aálisis e térmios de reta o-ajustada, y por lo tato si ecesidad de utilizar escalas de equivalecia, a costa de subdividir la població e grupos co diferetes iveles de ecesidad. A partir de estos juicios de valor previos, estos autores demuestra que las curvas de Lorez geeralizadas sigue siedo útiles para valorar el bieestar cuado se tiee e cueta, o sólo el ivel de reta de los hogares, sio tambié sus diferetes ecesidades. 7

9 media eistete etre dos distribucioes. Obsérvese, si embargo, que si al comparar dos distribucioes de reta sus curvas de Lorez Geeralizadas se cruza, uevamete os ecotramos ate ua situació e la que carecemos de criterio a la hora de ordearlas e térmios de bieestar. 8 De todo lo aterior se deduce que cuado dos vectores de retas tiee diferetes medias y diferetes grados de desigualdad, su evaluació social requiere el establecimieto de algú tipo de compromiso etre el ivel y la dispersió de las retas. El criterio de Lorez se sitúa e u etremo, obviado la iformació relativa al tamaño del pastel, mietras que el criterio de Lorez Geeralizado se decata claramete por este segudo elemeto. Tal como afirma Bishop et al. (1991), "ua gra parte de la potecia del criterio de domiació de Lorez Geeralizada [e comparacioes iteracioales] se debe a la preferecia por la eficiecia... la preferecia por la equidad añade sólo margialmete capacidad para ordear distribucioes de reta". Así, por ejemplo, supogamos que teemos dos distribucioes, e y, la seguda de las cuales es idética a la primera salvo que el idividuo más rico ha visto icremetar su ivel de reta e ua catidad todo lo grade que se desee imagiar. Para todas las FBSs asociadas al teorema de Shorrocks esto supoe u icremeto e el ivel de bieestar (y ³ GL ), auque evidetemete la desigualdad ha aumetado ( ³ L y). 2.2 Desigualdad absoluta versus desigualdad relativa Idepedietemete del país y del periodo ivolucrado e el aálisis empírico, maifestarse sobre este tipo de trade offs es ua cuestió éticamete delicada. Ate esta disyutiva eiste razoes itelectuales que os ivita a iteresaros por procedimietos de evaluació e los que o estamos dispuestos a afirmar que se ha producido u icremeto e el bieestar si o hay, simultáeamete, mejora e la media y mejora e la desigualdad. Así, si ambas magitudes se mueve e direccioes cotrarias, diremos que las dos distribucioes objeto de estudio o so comparables. Se trata de u efoque icompleto (todavía e mayor grado que los ateriores) y e el que, e muchas ocasioes, o podremos ofrecer ua evaluació social. Pero a cambio, se ecesita meos juicios de valor, por lo que se amplía la admisibilidad ética y política de los resultados que se pueda obteer. E este setido estamos iteresados e los criterios desarrollados por Shorrocks (1983), Moyes (1987) y Chakravarty (1988). Estos autores propoe procedimietos operativos asociados a diferetes ocioes de desigualdad para comparar distribucioes de 8 E cualquier caso, e Lambert (1989) se muestra que e alguas situacioes los cruces de curvas de Lorez Geeralizadas todavía puede asociarse a resultados uáimes de bieestar, si restrigimos la clase de FBSs cosideradas. 8

10 reta, e el setido idicado. Esto os obliga a presetar las distitas ocioes de desigualdad eistetes y a detallar los requisitos que debe cumplir cualquier istrumeto de medida e el campo del bieestar y la desigualdad. Alguos ya ha sido presetados ateriormete cuado defiimos la curva de Lorez. Ahora pretedemos completar el cuadro, dotádolo de mayor precisió. Los procedimietos dispoibles parte de cuatro supuestos geeralmete aceptados. Los istrumetos de medida debe ser cotiuos, de maera que si ua distribució sólo se diferecia de otra por ua pequeña perturbació, las estimacioes de la desigualdad y el bieestar de las dos distribucioes debe ser tambié muy parecidas (Cotiuidad). Ua modificació e la distribució de retas que sólo ocasioe permutacioes e la posició de los idividuos o debe afectar a uestras medicioes de desigualdad y bieestar (Simetría o Aoimidad). Si replicamos eactamete ua població, de maera que por cada hogar origial haya ahora otro hogar adicioal co la misma reta e idéticas características, la desigualdad y el bieestar de la ueva població debe coicidir co los de la població origial (Pricipio de la població de Dalto). Por último, ya vimos que si se produce ua pequeña redistribució de reta desde u hogar hacia otro más pobre, si que varíe i la media de la distribució origial i la ordeació relativa de los dos hogares implicados, la desigualdad debe dismiuir y el bieestar aumetar (Pricipio de trasferecias de Pigou- Dalto). A cotiuació, es preciso dar u paso éticamete comprometido. Hay que optar por alguo de los coceptos alterativos de desigualdad eistetes. Dos so las ocioes utilizadas e esta literatura. La primera y más importate es la llamada desigualdad relativa, segú la cual la desigualdad permaece costate siempre que ua variació de la reta media se distribuya de forma proporcioal etre todos los hogares. Así, si la proporció etre ricos y pobres es la misma e dos distribucioes, ambas debe ehibir la misma desigualdad. Evidetemete la curva de Lorez icorpora esta oció de desigualdad ya que permaece ialterada ate icremetos proporcioales e la reta de todos los hogares. La seguda es la llamada desigualdad absoluta, segú la cual la desigualdad permaece costate sólo si la variació e la reta media se reparte a partes iguales etre todos los hogares. E la Figura 2 y para el caso de dos idividuos, se muestra las distribucioes que comparte el mismo ivel de desigualdad (relativo y absoluto) que ua distribució iicial, z, represetadas e las rectas R y A, respectivamete. 9

11 Figura 2. Desigualdad Relativa y Absoluta Rico R A Equidad I z II Pobre El papel jugado por la curva de Lorez e el caso de la desigualdad relativa, es represetado por la deomiada curva de Lorez absoluta e el caso de la desigualdad absoluta. Esta curva, propuesta por Moyes (1987), se calcula e cada cuatil como la diferecia de retas co relació a la media, (µ ), acumuladas y divididas por el tamaño muestral, para el porcetaje (l/) más pobre de la població. Esto es: l 1 A(l/)= (i - µ ) [ = µ L( l / ) 1]. i=1 Como se muestra e la Figura 3, siempre toma valores egativos, siedo decreciete cuado las retas so iferiores a la media, y posteriormete creciete hasta valer uevamete 0 para el total de la població. Resulta evidete que se trata de ua curva ivariate a traslacioes de todas las retas. Figura 3. Curvas de Lorez absolutas 0 p 1 Població A B Siedo esto así, podemos defiir el criterio de domiacia absoluta de Lorez, y deotarlo por ³ A y, de la siguiete forma: dadas dos distribucioes e y, decimos que la 10

12 distribució domia e el setido absoluto de Lorez a la distribució y si y sólo si para todo l ² se cumple que: A (l/) A y (l/). Hay dos aspectos importates que debemos destacar. Primero, e térmios ordiales los coceptos de desigualdad absoluto y relativo coicide cuado trabajamos co distribucioes que tiee idética media. 9 Segudo, es evidete que ate icremetos de reta, ua dismiució e la desigualdad segú el criterio absoluto implica ecesariamete ua dismiució segú el criterio relativo: cualquier reparto de reta que beeficie por igual a todos los hogares se traduce ecesariamete e u icremeto de reta proporcioal similar para todos ellos más u etra que redudará e las capas de la població que parte de uos iveles de reta más bajos. Para recalcar el carácter político de la opció etre estos dos tipos de desigualdad, basta recordar que Kolm calificó de "ídices derechistas" a los ídices relativos, e "ídices izquierdistas" a los absolutos. La siguiete cita ilustra elocuetemete sus razoes: "E Mayo de 1968 e Fracia, los estudiates radicales precipitaro ua revuelta estudiatil que codujo a ua huelga obrera geeral. Todo ello acabó e los acuerdos de Greelle que decretaro u 13 por cieto de icremeto e todos los salarios. Así, los trabajadores que gaaba 80 libras al mes recibiero 10 más, mietras que los ejecutivos que gaaba 800 libras mesuales recibiero 100 más. Los Radicales se sitiero amargamete egañados; e su opiió, esta medida aumetó cosiderablemete la desigualdad de la reta. Si embargo, esta solució al coflicto hubiera dejado ivariable cualquier ídice de desigualdad relativa... E otros países,..., los sidicatos so más astutos y, e lugar de icremetos relativos, isiste a meudo e icremetos absolutos para evitar el efecto aterior" (Kolm (1976a), pág. 419). Asociadas a estos coceptos de desigualdad Shorrocks (1983) propuso dos clases de medidas admisibles de bieestar. Ambas satisface las cuatro propiedades ya cometadas, y se diferecia por la forma de euciar u quito supuesto. Este último aioma recoge la preferecia social por la eficiecia de maera cogruete co las dos ocioes de desigualdad que acabamos de presetar. Por u lado, propoe que el bieestar aumete siempre que todas las retas aumete proporcioalmete; es decir, mateiedo la desigualdad relativa costate. Gráficamete, el bieestar aumeta a medida que os movemos e setido ascedete por rayos que parte del orige de coordeadas. Alterativamete, sugiere que el 11

13 bieestar aumete sólo si todas las retas aumeta e la misma catidad absoluta; es decir, mateiedo la desigualdad absoluta costate a lo largo de líeas paralelas a la bisectriz e el ejemplo co dos idividuos que vimos ateriormete (recuérdese la Figura 2). Deotemos por W R y W A a esas dos clases de medidas de bieestar, respectivamete. El mérito de la cotribució de Shorrocks (1983) es proporcioar procedimietos operativos para cotrastar empíricamete si este tipo de criterios se verifica e la realidad. Esecialmete, dadas dos distribucioes de reta e y, se trata de verificar si ua de ellas, por ejemplo, satisface simultáeamete las dos codicioes que eigimos para cocluir que se ha producido ua mejora del bieestar: ehibir ua meor desigualdad relativa o absoluta, de acuerdo al correspodiete criterio de domiacia de Lorez y teer mayor media. Etoces, los resultados teóricos de Shorrocks os asegura que para cualquier medida que satisfaga las cico codicioes mecioadas, es decir, que perteezca a las clases W R o W A, segú el caso, siempre ocurrirá que la distribució arrojará mayor bieestar que la y. E la práctica, uo debe empezar por ivestigar si etre dos distribucioes la de mayor media domia a la otra de acuerdo co la clase W A que, como hemos visto, es la más eigete de las dos desde el puto de vista ético. E ese caso, habremos termiado uestro trabajo: ua distribució preseta simultáeamete mayor media y meor desigualdad absoluta y, por lo tato, tambié meos desigualdad relativa. De o ser así, debemos cotrastar si se satisface el criterio relativo, e cuyo caso podremos afirmar que teemos mayor bieestar a partir de ua oció de desigualdad relativa. Curiosamete esto es lo que le acoteció a la ecoomía española e la década de los ocheta. Uido a u fuerte crecimieto ecoómico se produjo u aumeto e la desigualdad absoluta y ua dismiució e la desigualdad relativa. 10 Estamos pues ate u ejemplo de maual que está demadado la utilizació de ocioes de desigualdad situadas etre la más eigete oció absoluta y la más utilizada oció relativa. Por otro lado, eiste tambié u mayor iterés teórico por estos temas. Kolm (1976a, 1976b) observó que mucha gete percibe que los icremetos proporcioales de todas las retas aumeta la desigualdad, mietras que los icremetos e la misma magitud absoluta la reduce. De forma cosistete co su termiología tildó tales actitudes de cetristas. De hecho, iformes recietes etraídos de ecuestas sobre estas materias ha mostrado que la gete o es e modo alguo uáime e la elecció etre u 9 Ya que e este caso, úicamete el Pricipio de Trasferecias de Pigou-Dalto es cocluyete a la hora de comparar las distribucioes e térmios de desigualdad. 10 Etre los trabajos que corrobora la dismiució de la desigualdad relativa e España podemos citar a INE (1996), Del Río y Ruiz-Castillo (1996), Ayala et al. (1993), Gradí (1999b) y Sastre (1999). A su vez, e Del Río y Ruiz-Castillo (1996) se preseta los resultados para la desigualdad absoluta. 12

14 cocepto relativo, absoluto o itermedio de desigualdad. 11 E el caso español, Ballao y Ruiz-Castillo (1993) descubriero que, para el cojuto de persoas que mostraba u grado de cosistecia aceptable a lo largo del cuestioario, sólo el 31 por cieto apoyaba ua versió relativa de la desigualdad, el 24 por cieto apoyaba ua versió absoluta y el 27 por cieto ua cocepció itermedia (el resto se maifestaba favorable a otras posicioes más etremistas). Desde luego, eiste propuestas teóricas iteresates para ocupar parte de ese espacio cetrista o itermedio etre los dos etremos habituales. Coocemos la propuesta del propio Kolm (1976b), la de Bossert y Pfigste (1990) y la de Pfigste y Seidl (1997). Si embargo, e el terreo empírico sólo cotamos co u procedimieto operativo aálogo a los de Shorrocks (1983) que utilice u cocepto de desigualdad itermedia. Se trata del cocepto de deomiado (, π)-desigualdad desarrollado e Del Río y Ruiz-Castillo (2000), que podemos presetar de la siguiete forma. Dada ua distribució de la reta e ua població de hogares, tomemos otra distribució y que tega meos desigualdad relativa y más desigualdad absoluta que, y supogamos, si pérdida de geeralidad, que µ y > µ. Decimos que las dos distribucioes tiee la misma (, π)-desigualdad si y sólo si y puede obteerse a partir de repartiedo la catidad adicioal de reta, (µ y - µ ), de la maera siguiete: u π por cieto mateiedo las proporcioes idividuales respecto de la reta total que se da e, y u (1 - π) por cieto e catidades absolutas iguales etre todos los idividuos. Co esta oció de desigualdad (que o es más que ua combiació lieal etre la absoluta y la relativa), los autores desarrolla procedimietos para idetificar situacioes empíricas e las que, para todo el cojuto de FBS cosistetes co la (, π)-desigualdad, el bieestar de la sociedad ha aumetado o dismiuido, si ambigüedad. 3. Órdees Completos 3.1 Ídices completos de desigualdad Como ya hemos mecioado, los procedimietos empíricos presetados e el epígrafe aterior so los que meos juicios de valor eige y, por lo tato, los que os permite obteer resultados meos cotamiados por las decisioes metodológicas. Por desgracia, si embargo, e el trabajo empírico os ecotramos co situacioes e las que o podemos ordear e térmios de bieestar la totalidad de las distribucioes posibles de reta. Típicamete esto ocurre cuado se produce cruces etre las curvas de Lorez objeto de 11 Véase por ejemplo Amiel y Cowell (1992). 13

15 comparació, o cuado para igua de las ocioes de desigualdad presetadas (relativa, absoluta o itermedia) eiste coicidecia etre el criterio de desigualdad y el criterio de la media. Por otro lado, tambié eiste ua pretesió lógica por coocer co mayor eactitud cómo ha evolucioado la desigualdad, esto es, por cuatificar el cambio observado. Resulta evidete que e este terreo los procedimietos derivados de Shorrocks (1983) sólo permite discerir el setido del cambio, e térmios de mayor o meor desigualdad, pero o su magitud. E cualquiera de estas situacioes se hace imprescidible acudir a lo que se deomia ídices completos de desigualdad. U ídice de desigualdad es ua fució que asocia a cada distribució de la reta u úmero real, que refleja sitéticamete su ivel de desigualdad. Su pricipal característica es que resume e u escalar la iformació coteida e la distribució. De esta forma, y al estar defiido sobre la totalidad del espacio de distribucioes de reta posibles, os proporcioa ua ordeació completa de todas ellas y os permite cuatificar la magitud de las diferecias observadas. Ahora bie, el problema es que cada ídice agrega la iformació coteida e la distribució de forma diferete, y por lo tato medidas distitas puede dar lugar a ordeacioes diferetes. El precio que hay que pagar por alcazar completitud es teer que aceptar u amplio abaico de juicios de valor presete e cada uo de los ídices, los cuales geeralmete o suscitará acuerdo uáime. Por ejemplo, cada ídice icorpora ua sesibilidad particular a las trasferecias que se produce e los diferetes putos de la distribució. Así, si bie e el trabajo empírico os limitemos a ídices que refleje ua dismiució de la desigualdad ate trasferecias progresivas, e el caso e que se produzca dos trasferecias e setido cotrario, ua progresiva y otra regresiva, el cambio eperimetado e la desigualdad depederá de la sesibilidad que el ídice empleado asige a cada ua de ellas. Esto es, depederá del lugar e que ésta se produce, bie e fució de la reta o bie e fució de la posició ocupada por los idividuos implicados. De este modo os ecotramos co ídices más sesibles a las trasferecias producidas e la cola baja, e la cola alta o e el cetro de la distribució. Detro de este amplio cojuto de idicadores podemos distiguir tres grupos claramete difereciados. E primer lugar os ecotramos co ua corriete positivista, cuya preocupació se cetra e cuatificar la dispersió de la distribució de retas. Costituye lo que e la literatura se cooce como "medidas objetivas de desigualdad", 12 siedo alguos de sus represetates: el rago, la variaza, el coeficiete de variació, la 12 Utilizado la termiología itroducida por Se (1973). 14

16 desviació relativa respecto de la media, la variaza de los logaritmos y el ídice de Gii. Para estos ídices la medició de la desigualdad se cetra e la determiació del grado de cocetració de las distribucioes de reta objeto de estudio. Dada la relevacia que estos ídices tiee e los estudios de desigualdad, merece la pea presetar la defiició formal de alguos de ellos: 1) La variaza Si lo que os iteresa es medir la dispersió de ua distribució de retas, ua primera aproimació sería acudir a las medidas eistetes e el campo de la estadística. De este modo podríamos utilizar la variaza, σ 2, defiida como el valor promedio de las diferecias etre las retas idividuales y la media elevadas al cuadrado: V( )= σ = ( i - µ ). i=1 Como resulta secillo de verificar, la variaza o es u idicador relativo ya que si duplicamos la reta de todos los idividuos la variaza de la ueva distribució será cuatro veces superior a la origial. Así, e lugar de reflejar diferecias proporcioales se preocupa de las diferecias absolutas etre las retas de los idividuos, siedo el ejemplo más secillo de idicador absoluto. Como ocurre co todos ellos, su utilizació e el trabajo empírico ha sido muy reducida. 2) El coeficiete de variació Se trata de u idicador relativo costruido a partir de la estadarizació de la variaza. Así, se defie como el cociete etre la desviació típica (σ ) y la media (µ ). E térmios discretos, σ CV( )= = µ 1 ( i - µ i=1 1 i i=1 Como veremos posteriormete, a pesar de cumplir co el pricipio de trasferecias de Pigou-Dalto y ser ampliamete utilizado e la literatura, se trata de u ídice etremadamete sesible a las trasferecias que se produce e la cola superior de la distribució. 3) La desviació relativa respecto de la media Se defie como la proporció que represeta, respecto a la totalidad de la reta, la suma de las diferecias absolutas etre las retas idividuales y la media. Así, ) 2 (1/2). 15

17 i - µ i=1 DRM( )= Estamos uevamete ate u ídice relativo que además posee ua iterpretació geométrica e térmios de la curva de Lorez, ya que es el doble de la distacia máima etre dicha curva y la recta de 45 grados. Si embargo, ótese que co este idicador alguas trasferecias progresivas puede dejar ialterado el ivel de desigualdad, cotradiciedo el pricipio de trasferecias de Pigou-Dalto. Esto ocurrirá siempre que el trasvase de retas se produzca etre idividuos que coicide e disfrutar iveles de reta superiores, o iferiores, a la reta media. 4) La variaza de los logaritmos y la desviació estádar de los logaritmos Otra forma de cosiderar ocioes relativas de desigualdad, y por lo tato de hacer que la medició de la misma sea idepediete de la media, es calcular la variaza, o e su caso la desviació estádar, de la variable reta tomada e logaritmos, VL( 1 )= i=1 i. 2 [ l ( i ) - l( µ ) ], * i=1 dode µ * es la media geométrica de la distribució. 13 Nuevamete, si embargo, estamos ate u ídice que o verifica el pricipio de trasferecias de Pigou-Dalto. 5) El ídice de Gii Esta medida se costruye como el cociete etre la media aritmética de las diferecias absolutas etre los 2 pares de retas idividuales, y el doble de la reta media de la distribució. Es decir, 1 2 G( )= i=1 j=1 2µ i - j Al igual que la DRM, el ídice de Gii permite cuatificar lo alejada que ua distribució se ecuetra de la distribució perfectamete igualitaria. E este setido, es ampliamete coocida su iterpretació e térmios de la curva de Lorez, segú la cual os permite medir el área etre la curva de Lorez y la líea de 45 grados e proporció del área total situada por debajo de la mecioada líea de equidad perfecta. Es secillo comprobar que para retas o egativas sólo puede tomar valores etre cero y uo. Si es igual a 0 os idica que estamos ate la distribució perfectamete igualitaria, mietras que u Gii igual a la. 16

18 uidad refleja ua distribució dode la desigualdad es máima. El gozar de ua iterpretació muy ituitiva y el verificar las cuatro propiedades cosideradas básicas juto a la ivariaza ate icremetos proporcioales e las retas eplica que sea el ídice que tradicioalmete más se ha utilizado e la literatura empírica de desigualdad. Si embargo, eiste otros ídices que, además de las ateriores, verifica propiedades ormativas añadidas que los hace más atractivos que el ídice de Gii. Etre éstos ecotramos u segudo grupo de idicadores que está costituido por la deomiada familia de ídices de Theil. Estos ídices se desmarca de los itegrates del grupo aterior (los deomiados ídices objetivos tradicioales) tato por su diferete orige, a partir de coceptos propios de la teoría de la iformació, como por las propiedades ormativas que ha demostrado poseer. 6) Idices de Theil 1 T c( )= 1 c(c - 1) i i=1 µ c - 1, c 0,1 1 i i T c( )=, l i=1 µ µ c = 1 1 T c( )= l µ, c = 0. i=1 i Para c = 1 se obtiee el ídice iicialmete propuesto por Theil, siedo éste el parámetro característico de los ídices de etropía; co c = 0 este ídice se cooce tambié como Desviació Logarítmica Media y para c = 2 se verifica que T 2 () = ½[CV()] 2, es decir coicide co la mitad del coeficiete de variació al cuadrado. Estos ídices costituye ua familia tato por su orige comú como porque segú el valor de c que elijamos estamos ate ídices co propiedades ormativas gradualmete diferetes, lo que os permite comparar resultados y etraer coclusioes sobre sus posibles discrepacias e situacioes empíricas cocretas. E tercer lugar está los llamados ídices éticos o ormativos, que mide la desigualdad e térmios de la pérdida de bieestar social debida a la dispersió de las retas. Estos ídices trata de cuatificar el coste potecial ocasioado por la desigualdad, por lo que ecesita utilizar algua FBS cocreta que icorpore u cojuto de juicios de valor de forma 13 La desviació estádar de los logaritmos o es más que la raíz cuadrada de esta variaza. 17

19 eplícita. Este ideal de trasparecia es, precisamete, lo que sus defesores echa de meos e los ídices tradicioales, ya que detrás de su pretedida objetividad subyace siempre algua oció de bieestar social cuyas implicacioes éticas o se hace, a meudo, todo lo eplícitas que debiera. 14 De especial iterés es la familia de ídices de Atkiso 15 que se defie como: Aα ( )= 1- i=1 1 i µ (1-α ) 1 1-α, para α > 0, α 1, y Aα ( )= 1- i=1 i µ 1, para α = 1. Como aputa Atkiso, el parámetro α debe ser iterpretado como u parámetro de aversió a la desigualdad, ya que a medida que α aumeta se cocede más peso a las trasferecias e el etremo iferior de la distribució y meos a las trasferecias e el etremo superior. E el caso límite e que α, obteemos la FBS de Rawls, que sólo tiee e cueta las trasferecias que afecta al idividuo más pobre de la població, mietras que si α fuera 0, estaríamos e el caso del utilitarismo que ordea las distribucioes co arreglo solamete al ivel de reta total. A efectos de su utilizació e el trabajo empírico es importate destacar que los ídices de Theil, T c, y los ídices de Atkiso, A α, so ordialmete equivaletes para los valores c = 1 α, co α > 0. Dada su importacia e la adecuada compresió de los ídices, el epígrafe siguiete discute co más profudidad los ídices ormativos, si bie por su ecesario carácter técico puede ser obviado por el lector meos eigete. 3.2 Ídices ormativos La corriete ormativa tiee sus raíces e el ídice de Dalto (1920), siedo sus represetates más destacados los procedimietos propuestos por Atkiso (1970), Kolm (1976b) y Se (1973), que deomiaremos AKS de aquí e adelate, y por Kolm (1976b) y Blackorby y Doaldso (1980), que deomiaremos KBD. Para eteder e profudidad las implicacioes asociadas a cada uo de estos procedimietos seguiremos, a partir de ahora, la presetació del tema realizada por Ruiz- Castillo (1986, 1995b). Sea W ua FBS cotiua, S-cócava e ivariate ate réplicas 14 Debemos reseñar que tambié sobre este tipo de medidas se ha vertido alguas críticas, fudametalmete relacioadas co los problemas plateados a la hora de yutapoer las ocioes de equidad y bieestar (véase Zubiri (1985), el debate recogido e Ruiz-Castillo (1986) y las referecias allí citadas). 15 Véase Atkiso (1970). 18

20 poblacioales; deotemos por e y a dos distribucioes cualesquiera de retas sobre ua població de idividuos, y por e al vector -dimesioal e el que todos sus compoetes so la uidad. E ua aproimació ética a la medició de la desigualdad deberíamos iteresaros por FBSs para cada ua de las cuales eista u úico ídice de desigualdad asociado de maera éticamete cosistete. Esto es, u úico ídice que herede sus propiedades al ordear las distribucioes de reta e térmios de desigualdad de igual forma a como lo hace la FBS e térmios de bieestar (cuado o eiste diferecias e las medias). 16 Además, tambié sería coveiete trabajar co FBSs que pueda ser epresadas e térmios de sólo dos estadísticos de la distribució de retas: la media y ua medida de la desigualdad. Dutta y Esteba (1992) demostraro que para alcazar este objetivo es ecesario especificar el tipo de ivariaza e media que queremos que satisfaga el ídice de desigualdad. Así, si deseamos que sea relativo, debemos eigir que la FBS cumpla el pricipio de homoteticidad débil, mietras que e el caso de u ídice absoluto deberemos eigir trasladabilidad débil. 17 Si a estos requisitos añadimos que la FBS cumpla co el pricipio de mootoicidad correspodiete, sigifica que estamos ate el modelo estádar de bieestar sobre el que se sostiee la posibilidad de realizar comparacioes de distribucioes de reta e térmios de bieestar utilizado sólo dos estadísticos asociados a la distribució, tal como hemos mecioado repetidamete a lo largo de este trabajo. De esta forma podemos epresar la FBS, W, de la siguiete forma: W ( ) = V ( µ, I( )), siedo V ua fució creciete e el primer argumeto y decreciete e el segudo. Si embargo, este modelo básico que captura ua preferecia por la eficiecia y por la equidad, ada os dice sobre el trade off eistete etre ambos objetivos. Para alcazar ua ordeació completa debemos impoer restriccioes adicioales. Como eseguida veremos, osotros cocetraremos uestra ateció e las especificacioes multiplicativa y aditiva del 16 Formalmete, decimos que u ídice de desigualdad, I, es cosistete co ua FBS, W, si para dos distribucioes e y co idética media, se cumpple que: I( ) I( y) W( ) W( y ). 17 Decimos que ua FBS, W, es: 1) débilmete homotética si, y sólo si, para dos distribucioes cualesquiera, e y, tales que µ = µ y se cumple que: W ( ) W ( y) W(β ) W(β y ) para todo β>0; 2) débilmete trasladable si, y sólo si, para dos distribucioes cualesquiera, e y, tales que µ = µ y se cumple que: W ( ) W ( y) W( + λ e ) W( y + λe ), para todo λ tal que (+λe ) e (y+λe ) perteece al cojuto factible, R +. 19

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